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平面直角坐标系 单元综合素养进阶卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四点，若有一 条直线过点且与x 轴垂直，则也会通过下列哪一个点（ ）
A．点A B．点B C．点 C D．点D
2．点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3． 在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4）两点，若AB∥x轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
4．下列说法中错误的是（ ）
A．平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同
B．平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同
C．若点在轴上，则
D．与表示两个不同的点
5． 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
6．点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（ ）
A．（-1，0） B．（-2，0） C．（-3，0） D．（-4，0）
7．若点与关于轴对称，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．若 在第二象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依次规律，点A2016的纵坐标为（ ）
A．0 B．﹣3×（ ）2015
C．（2 ）2016 D．3×（ ）2015
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为
12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴右侧一点，到y轴的距离为2，且O，A，B三点构成的三角形面积为 ，则点B的坐标为 ．
13．已知P（﹣a，b）在第一象限，则B（a﹣b，b+1）在第 象限.
14．如图，在△ABC中，A，B两点的坐标分别为A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），则△ABC的面积是 .
15．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ，那么点A对应的点A′的坐标是
16．在平面直角坐标系中，已知点对于点和正实数给出如下定义：若，点向右平移个单位，再关于轴对称，得到点；若，点向上平移个单位，再关于轴对称，得到点，称点为点的“-变换”点，点为点的“反-变换”点．例如，已知，，当时，点的“2-变换”点为，点的“2-变换”点为．
（1）当时，
①已知点，则点的“3-变换”点为_______；
②点的“反3-变换”点坐标为_______，点的“反3-变换”点坐标为_______；
（2）已知，记长方形上及内部所有点的“反-变换”点组成的图形面积为．
①当时，_______；
②当时，_______．（用含的式子表示）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知点P（a﹣1，3a+9），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P到x轴、y轴的距离相等且在第二象限．
18．在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点在轴上，求点的坐标；
（2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，和关于点成中心对称．
⑴画出对称中心，并写出点的坐标；
⑵画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
⑶画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
20．如图，在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是-1，横坐标x的取值范围是1≤x≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用“(x，-1)(1≤x≤5)”表示。按照类似这样的规定，回答下面的问题：
（1）怎样表示线段CD上任意一点的坐标
（2）把线段AB向上平移2.5个单位长度，作出所得的线段 线段 上任意一点的坐标怎样表示
（3）把线段CD向左平移3个单位长度，作出所得的线段 线段C'D'上任意一点的坐标怎样表示
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，．
（1）求点的坐标；
（2）设为轴上的一点，若，试求点的坐标．
22．已知是平面直角坐标系内的两点，且满足．
（1）直接写出A，B两点的坐标：A： ，B： ；
（2）如图1，C是四象限内的一点，连接，若，且，求点C的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，已知AC与x轴的交点坐标为，动点P从点A出发，沿y轴向点O运动，到达点O后立即沿x轴向x轴的正方向运动，运动时间为t秒，运动速度均为每秒1个单位长度．以为直角边，向右作等腰直角，使得，连接，是否存在某个时刻t，使得？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
23．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．
（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为 ；
（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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平面直角坐标系 单元综合素养进阶卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四点，若有一 条直线过点且与x 轴垂直，则也会通过下列哪一个点（ ）
A．点A B．点B C．点 C D．点D
【答案】A
【解析】【解答】解：有一直线l通过点（-4，3）且与y轴垂直，则l也会通过点A．
故选：A．
【分析】根据直线l通过点（-4，3）且与y轴垂直，结合点A的坐标，即可求解.
2．点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和5，
∴点的坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据点坐标的定义及第四象限点坐标的特征求解即可。
3． 在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4）两点，若AB∥x轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】B
【解析】【解答】根据题意
AB∥x轴
则a+2=4
解得a=2
则 A（﹣2，4），B（﹣1，4）
A，B两点间的距离：-1-（-2）=-1+2=1
故选：B
【分析】在平面直角坐标系内，根据平行可知两点纵坐标相同，因此可计算出a值，再根据坐标系内两点间坐标公式可计算出距离。
4．下列说法中错误的是（ ）
A．平行于轴的直线上的所有点的纵坐标相同
B．平行于轴的直线上的所有点的横坐标相同
C．若点在轴上，则
D．与表示两个不同的点
【答案】C
【解析】【解答】解：A、平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同；A正确；
B、平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同；B正确；
C、若点P（a，b）在x轴上，则b=0，C错误；
D、（-3，4）与（4，-3）表示两个不同的点，D正确；
故答案为：C.
【分析】根据平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同；（-3，4）与（4，-3）表示两个不同的点；若点P（a，b）在x轴上，则b=0，等知识进行判断即可．
5． 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵被遮挡的部分在第二象限
∴这个点的横坐标＜0，纵坐标＞0
∴（-3，4）符合题意
故答案为：B.
【分析】根据直角坐标系中象限中点的特征解题即可.
6．点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，则点N的坐标为（ ）
A．（-1，0） B．（-2，0） C．（-3，0） D．（-4，0）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点M（a，a+3）向右平移1个单位后与x轴上点N重合，
∴a+3=0，
∴a=-3，
∴M（-3，0），
∴N（-2，0），
故答案为：B
【分析】根据x轴上的点纵坐标为0即可求出a的值，进而即可求出M的坐标，从而结合题意即可求解。
7．若点与关于轴对称，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点与关于轴对称，
∴，，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求解即可。
8．若 在第二象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵A（2x 4，6 2x）在第二象限，
∴ ，
解得：x＜2，
故答案为：A．
【分析】由第二象限内点的横坐标为负数、纵坐标为正数列出不等式组，解之可得．
9．如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，
由题意得可知点B的纵坐标为3，
设点B的坐标为（m，3），
∴OC=3，BC=m，
∵线段AB平分这8个正方形组成的图形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：A．
【分析】过点B作BC⊥y轴于C，设点B的坐标为（m，3），根据“线段AB平分这8个正方形组成的图形的面积”可得，再求出，可得点B的坐标.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依次规律，点A2016的纵坐标为（ ）
A．0 B．﹣3×（ ）2015
C．（2 ）2016 D．3×（ ）2015
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A2OC2=30°，OA1=OC2=3，
∴OA2= OC2=3× ；OA3= OC3=3×（ ）2；OA4= OC4=3×（ ）3，
∴OA2016=3×（ ）2015．
而点A2016在y轴的负半轴上，
故选B．
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2= OC2=3× ；OA3= OC3=3×（ ）2；OA4= OC4=3×（ ）3，于是可得到OA2016=3×（ ）2015．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为
【答案】(4，4)
【解析】【解答】解：如图，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
故答案为：（4，4）.
【分析】连结AC，BD交于点E，根据菱形性质可知AC⊥BD，AC=2AE，BD=2DE，由B，D两点坐标可知BD//x轴，DE=4，AC=4，从而求出C点坐标.
12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴右侧一点，到y轴的距离为2，且O，A，B三点构成的三角形面积为 ，则点B的坐标为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解： 点B为y轴右侧一点，到y轴的距离为2，
设点B的坐标为（2，a），
点A的坐标为（3，0），
OA=3，
= ，解得a= ，
点B的坐标为(2，5)或(2， 5)
故答案为：(2，5)或(2， 5)
【分析】由点B在y轴右侧且到y轴的距离为2，可设点B的坐标为（2，a），再表示出 的面积，求出a值即可.
13．已知P（﹣a，b）在第一象限，则B（a﹣b，b+1）在第 象限.
【答案】二
【解析】【解答】解：∵P（﹣a，b）在第一象限，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴b﹣a＞0，b+1＞1＞0，
∴a﹣b＜0，b+1＞0，
∴点B（a﹣b，b+1）在第二象限；
故答案是：二.
【分析】由第一象限的点的坐标特点：横纵坐标的符号都为“+”，可得到a，b的取值范围，再确定出a-b，b+1的取值范围，即可得到点B所在的象限。
14．如图，在△ABC中，A，B两点的坐标分别为A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），则△ABC的面积是 .
【答案】5
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，A（-1，3），B（-2，0）， C（2，2），
∴△ABC的面积=3×4-×4×2-×3×1-×1×3=5．
故答案为：5.
【分析】用大长方形的面积减去周围3个直角三角形面积求解．
15．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ，那么点A对应的点A′的坐标是
【答案】（3，3）
【解析】【解答】解：点A变化前的坐标为（6，3），
将纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ，则点A的对应点的坐标是（3，3）．
故答案为（3，3）．
【分析】先写出点A的坐标为（6，3），纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ，即可判断出答案．
16．在平面直角坐标系中，已知点对于点和正实数给出如下定义：若，点向右平移个单位，再关于轴对称，得到点；若，点向上平移个单位，再关于轴对称，得到点，称点为点的“-变换”点，点为点的“反-变换”点．例如，已知，，当时，点的“2-变换”点为，点的“2-变换”点为．
（1）当时，
①已知点，则点的“3-变换”点为_______；
②点的“反3-变换”点坐标为_______，点的“反3-变换”点坐标为_______；
（2）已知，记长方形上及内部所有点的“反-变换”点组成的图形面积为．
①当时，_______；
②当时，_______．（用含的式子表示）
【答案】（1）①；②或，．
（2）①；②．
【解析】【解答】（1）解：当时，
①已知点，因为，
所以点向上平移3个单位得到，
再关于轴对称得到的坐标为，
则点P的“3-变换”点为．
②点的“反3-变换”：
第一种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为或．
点的“反3-变换” ：
第一种情况：设，若，
所以先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时不符合题意．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为．
（2）
①如图所示，
作长方形关于x轴对称，再向左平移4个单位，此时绿色线条内满足，
作长方形关于y轴对称，再向下平移4个单位，此时红色线条内满足，
所以，，
，
故答案为：62．
②如图所示：
当时，
，，
；
如图所示：
当时，
，，
；
∴．
【分析】（1）根据新定义定义，可得与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点．
（2）根据与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点，然后再根据点的坐标分情况计算长方形的长和宽的长度，再计算长方形的面积即可．
（1）解：当时，
①已知点，因为，
所以点向上平移3个单位得到，
再关于轴对称得到的坐标为，
则点P的“3-变换”点为．
②点的“反3-变换”：
第一种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为或．
点的“反3-变换” ：
第一种情况：设，若，
所以先关于轴对称得到，
再向左平移3个单位得到的坐标为，
此时不符合题意．
第二种情况：设，若，
则先关于轴对称得到，
再向下平移3个单位得到的坐标为，
此时符合题意，的坐标为，
综上可得，的坐标为．
（2）①如图所示，
作长方形关于x轴对称，再向左平移4个单位，此时绿色线条内满足，
作长方形关于y轴对称，再向下平移4个单位，此时红色线条内满足，
所以，，
，
故答案为：62．
②如图所示：
当时，
，，
；
如图所示：
当时，
，，
；
∴．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知点P（a﹣1，3a+9），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P到x轴、y轴的距离相等且在第二象限．
【答案】（1）解：∵点P（a﹣1，3a+9）在x轴上，
∴3a+9＝0，
解得：a＝﹣3，
故a﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4，
则P（﹣4，0）；
（2）解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣1＝3a+9或a﹣1+3a+9＝0，
解得：a＝﹣5，或a＝﹣2，
故当a＝﹣5时，a﹣1＝﹣6，3a+9＝﹣6，
则P（﹣6，﹣6）在第三象限，不合题意，舍去；
故当a＝﹣2时，a﹣1＝﹣3，3a+9＝3，
则P（﹣3，3）在第二象限，符合题意．
综上所述：P（﹣3，3）．
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0进行解答即可；
（2）由点P到x轴、y轴的距离相等， 可得点P的横坐标与纵坐标的绝对值相等，据此建立方程求出a值，再由点P在第二象限确定结论即可；
18．在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点在轴上，求点的坐标；
（2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：，，
（2）解：在第二、四象限的角平分线上，
，
，
【解析】【分析】（1）y轴上的点，横坐标为0，列等式，可得m的值，进而求出点M的坐标；
（2） 点在第二、四象限的角平分线上 ，横坐标和纵坐标互为相反数，列代数式，可得m的值，进而求出点M的值.
19．如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，和关于点成中心对称．
⑴画出对称中心，并写出点的坐标；
⑵画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
⑶画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
【答案】解：（1）如图所示：点D的坐标为
（2）绕点逆时针旋转得如图所示；
（3）与关于点成中心对称的如图所示：
【解析】【分析】（1）连接BB1，CC1，交点即为点D，根据网格特性写出点D的坐标即可；
（2）分别将OA1，OB1，OC1饶点O逆时针旋转90°得到线段OA2，OB2，OC2，再顺次连接A2B2，B2C2，A2C2即可.
（3）连接A1O，B1O，C1O并延长，使A3O=A1O，B3O=B1O，C3O=C1O，再顺次连接A3B3，B3C3，A3C3即可.
20．如图，在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是-1，横坐标x的取值范围是1≤x≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用“(x，-1)(1≤x≤5)”表示。按照类似这样的规定，回答下面的问题：
（1）怎样表示线段CD上任意一点的坐标
（2）把线段AB向上平移2.5个单位长度，作出所得的线段 线段 上任意一点的坐标怎样表示
（3）把线段CD向左平移3个单位长度，作出所得的线段 线段C'D'上任意一点的坐标怎样表示
【答案】（1）解：线段CD上任意一点的坐标可表示为(2，y)(-1≤y≤3)。
（2）解：所得的线段A'B'如图，线段A'B'上任意一点的坐标可表示为(x，1.5)(1≤x≤5)。
（3）解：所得的线段C'D'如图，线段C'D'上任意一点的坐标可表示为(-1，y)(-1≤y≤3)。
【解析】【分析】(1)由图可知，平行于y轴的线段CD上所有点的横坐标都是2，纵坐标y的取值范围是-1≤y≤3 ，进而可表示线段CD上任意一点的坐标；
(2)根据向上平移，横坐标不变纵坐标相加，得到线段AB平移后的线段上的任意一点的坐标；
(3)根据向左平移，纵坐标不变横坐标相加，得到线段CD平移后的线段上的任意一点的坐标.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，．
（1）求点的坐标；
（2）设为轴上的一点，若，试求点的坐标．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，则：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴或．
【解析】【分析】（1）根据 点， 可得，则，求解即可；
（2）设，则，由可得，求解方程即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，则：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴或．
22．已知是平面直角坐标系内的两点，且满足．
（1）直接写出A，B两点的坐标：A： ，B： ；
（2）如图1，C是四象限内的一点，连接，若，且，求点C的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，已知AC与x轴的交点坐标为，动点P从点A出发，沿y轴向点O运动，到达点O后立即沿x轴向x轴的正方向运动，运动时间为t秒，运动速度均为每秒1个单位长度．以为直角边，向右作等腰直角，使得，连接，是否存在某个时刻t，使得？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，4）；（10，2）
（2）解：如图1中，过点C作轴于点H，过点B作交的延长线于点T．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴；
（3）解：存在，t=或或
【解析】【解答】解：（1）
A坐标为（0，4），B坐标为（10，2）
故第一空填：（0，4），第二空填：（10，2）
（3）存在．
理由：如图2中，当点P在线段上时，过点C作轴于点J，过点Q作交的延长线于点K．
g
同法可证，
∴，
∵，
∴点Q的纵坐标为2，
∵，
∴轴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图3中，当点P在x轴的正半轴上时，且点Q在的上方时．
过点Q作轴于点M，过点C作于点M，过点P作于点L．
同法可得，
∴，
∴点Q的横坐标为6，
∴，
∵
∴
∴
当点Q在的下方时，可得
[∴
综上所述，满足条件的t的值为或或．
【分析】 (1)、根据二次根式有意义的条件，先得a=2，再求b=10，进而求得坐标；
(2)、根据题意，用直角坐标系内两点间距离、勾股定理可以求得C的坐标；
(3)、根据面积关系，列等式，求面积时各线段用含t的式子表示，再求t值，这是基本思路；在用t表示各线段的过程中，区分2种情况讨论，动点P在AO上和在OB上；当动点P在OB上时，又出现了2种情形影响了线段的表示：Q可能在BC上方也可能出现在BC下方，故分别通过面积计算求取t值。计算量较大，需要检验以保证计算准确。
23．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．
（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y与x之间的等量关系式为 ；
（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】解：（1）如图1作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，
则四边形AMON为平行四边形，且OM=ON，
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy=60°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等边三角形，
∴OA=OM=2；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，
则 PN=x，PM=y，
由PN∥OB，得=即=；
由PM∥OC，得=，即=；
∴+=+=1，
即 3x+4y=12；
故答案为：3x+4y=12；
（3）（2）中的结论仍然成立，如图3，当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=﹣x，PM=y，
与（2）类似，=，=．
又∵﹣=1．
∴﹣=1，即+=1．
【解析】【分析】（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 PN=x，PM=y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式=、=；再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知+=+ =1；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN=﹣x，PM=y，证明过程同（2）．
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