河北文安县第一中学2026届高三一模数学试题(无答案)

数学试题
本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则
A． B． C．10 D．
3．函数的大致图象是
A． B． C． D．
4．已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则
A．20 B． C．10 D．
5．在中，D为边上靠近点A的三等分点，，，，则
A． B． C．1 D．3
6．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则
A． B． C． D．
7．如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是
A． B． C． D．
8．已知定义域均为R的函数和满足，，函数是偶函数，且，则
A．16 B．18 C．14 D．20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，且，则的最小值为
D．若，，且，则
10．设函数则下列结论正确的是
A．至少有一个零点
B．的零点都可以利用二分法求解
C．若，则有两个零点
D．若是的极值点，且存在使得则
11．已知O为坐标原点，A，B是椭圆上的两点，且，，垂足为D，则下列说法正确的是
A．E的离心率为 B．
C． D．面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________．
13．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与该抛物线交于B，C两点，的面积为1，则________．
14．已知函数在区间上的最大值为，其中，则函数的值域为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知，分别是双曲线的上、下焦点，双曲线C的渐近线方程是，且到双曲线C的渐近线的距离是．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过的直线l与C交于A，B两点，其中A在第一象限，B关于原点对称的点为M，且．，求直线l的方程．
16．（15分）
已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
17．（15分）
某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金．
（1）求顾客获得的购物金X的数学期望．
（2）若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金．
（i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案
（ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差．
18．（17分）
如图，在正四棱台中，，且．
（1）若．
（i）求证：平面；
（ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
（2）若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值．
19．（17分）
若数列满足对任意的，都有，则称数列为q-伪等比数列．
（1）若数列为2-伪等比数列，（，求的所有可能取值；
（2）证明：对任意的，存在以及一个首项为1的2-伪等比数列，使得数列的前n项和；
（3）若数列为q-伪等比数列，数列的前n项积，当时，证明：或，．
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