湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026高一上·开福期末）（ ）
A． B． C． D．1
2．（2026高一上·开福期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·开福期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2026高一上·开福期末）函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026高一上·开福期末）若对定义域内的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·开福期末）已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2026高一上·开福期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·开福期末）若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2026高一上·开福期末）已知实数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026高一上·开福期末）已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线
C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线
D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线
11．（2026高一上·开福期末）已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2026高一上·开福期末）函数的单调递增区间是 ．
13．（2026高一上·开福期末）化简的值为 ．
14．（2026高一上·开福期末）已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数的取值范围是 ，的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2026高一上·开福期末）已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
16．（2026高一上·开福期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
（1）若，求的长；
（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
17．（2026高一上·开福期末）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：
（2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）：求函数的最小值.
18．（2026高一上·开福期末）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围．
19．（2026高一上·开福期末）设，其中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求不等式的解集；
（3）若对任意，，恒有，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数周期性，结合特殊角的正切函数值化简求值.
2．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数为单调递增函数，
因为，所以，
根据零点存在定理可知函数的零点所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理求解即可.
3．【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先根据点P所在象限，确定 ， 的符号，再结合各象限三角函数的符号规律，判断角终边的位置。
4．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可得，，，，即，
则函数的解析式为，将点代入得，
即，因为，所以取，可得，则.
故答案为：A．
【分析】根据函数图象易知和周期，根据周期公式求得，再根据函数图象经过代入求，即可得到函数解析式.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对定义域内的任意，不等式恒成立，两因式必须同号，
因为函数式与均为增函数，所以两函数的零点必须相同，即，
则，即的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意可知方程与的根相同，即，代入求解即可.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
则 ，，即为偶函数，则充分性成立；
若为偶函数，则，即必要性成立，
故“”是“为偶函数”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据，利用两角和差的余弦公式及余弦函数的对称性求解即可判断充分性，再根据函数为偶函数，可得判断必要性，结合充分、必要条件的概念判断即可.
7．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故答案为：C
【分析】由，得，同理，，代入两角差公式可得.
8．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；正弦函数的图象；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，
易知函数在上单调递增，
因为，所以存在，使得，则函数在上有个零点，
要使函数有个零点，则函数有个零点，
由，得，需使，解得，
则正数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】易知函数在上单调递增，根据零点存在性定理可得函数上有个零点，要使函数有个零点，则函数有个零点，再由正弦函数的图象性质及零点个数求解正数的取值范围即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、幂函数在单调递增，由，可得，故A正确；
B、指数函数在单调递增，由，可得，故B正确；
C、对数函数在单调递减，由，可得，故C不正确；
D、函数，如图所示：
由图可知，函数在单调递增，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据幂函数的单调性即可判断A；根据指数函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性即可判断C；函数，作出函数的性质，数形结合即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A不符合；
B、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，故B符合；
C、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象，故C符合；
D、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象，故D符合.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数与图象交点坐标分别为，，
函数与图象交点坐标分别为，，
由与的图象关于对称，与的图象也关于对称，
可得它们的交点，关于直线对称，，关于直线对称，如图所示：
则，，且，
.
故答案为：ABD.
【分析】分别设函数与图象交点，函数与图象交点分别为，和，，根据与的图象关于对称，与的图象也关于对称，作出函数与、与图象，数形结合，利用对称性质逐项求解判断即可.
12．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得或，
则函数的定义域为，
令，因为在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递增区间是．
故答案为：.
【分析】根据对数函数有意义，列不等式求得函数的定义域，再根据复合函数同增异减求解即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式化简求值即可.
14．【答案】；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，作出函数的图象，如图所示：
因为方程有4个根，，，，且，所以与有4个交点，
由图象可知，且，，可得；
因为，，所以，；
所以，
因为，所以，
则的取值范围是.
故答案为：；的取值范围是.
【分析】去绝对值得分段函数，作出函数的图象，由题意可得与有4个交点，根据图象可判断实数的取值范围，以及4个交点，，，的取值范围，，，然后得到，最后利用的范围求解即可.
15．【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．【答案】（1）解：，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）；
（2）解：因为四边形是矩形，可得，所以在中，，，
在中，，则，
，
则矩形的面积
，
即，
由，得，
则当时，即时，，
故当时，取得最大值，最大值为平方米.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1），在中，求出，再在中，求的长即可；
（2）在中，求得，，在中，，求得，再根据正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简求得，由正弦函数的单调性计算即可.
（1）因为，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）.
（2）因为四边形是矩形，可得，
所以在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形的面积
，
所以
由，得，
则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
17．【答案】（1）解：由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，得，解得，则，
显然，也满足函数的解析式，故；
（2）解：由题意可得：，
当，时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，判断适合，利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得：，分和讨论，利用基本不等式、函数单调性的性质求解即可.
（1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，
得，所以，所以，
显然，也满足函数的解析式，
所以；
（2），
当，时，
，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，
，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
18．【答案】（1）解：因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以.
（2）解：因为，即，
可得，
即对于任意实数x恒成立，
因为，则，可得，
所以实数t的取值范围为.
（3）解：由（1）可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义 恒成立，代入函数表达式化简，对比系数求出 的值。
(2)将 代入不等式，化简后分离参数 ，再根据对数函数的性质求出 的取值范围。
(3)由 推出 存在奇函数点，代入表达式化简后换元，转化为二次函数在区间 上存在零点的问题，进而求出 的取值范围。
（1）因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以.
（2）因为，即，
可得，
即对于任意实数x恒成立，
因为，则，可得，
所以实数t的取值范围为.
（3）由（1）可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：，
，则，
解得，
则
；
（2）解：当时，若，即，
整理得，
令函数，则函数为上单调递增的奇函数，
由得，，
化简得，解得，，
故不等式的解集为，；
（3）解：因为，所以，所以，即.
设，则，，恒有，即在上单调递增，
由（1）可知，
，
令，
则可转化为函数，
因为为增函数，
由复合函数的单调性法则知在上单调递增，
注意到的单调递增区间为，，
因此，即，解得，，
注意到，因此当时，；当时，，即；
当时，，此时无解，
综上可知，.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；简单的三角恒等变换；余弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由，可得，变形可求得的值，再根据求即可；
（2）将，代入，化简，得，构造函数，易知函数的单调性和奇偶性，根据函数的奇偶性与单调性得到不等式，解不等式即可；
（3）设，由题意知在上单调递增，换元后得到在上单调递增，根据函数的单调性列不等式组求解即可.
（1）因为，即，
所以，
故
.
（2）当时，若，即，
整理得，
令函数，则函数为上单调递增的奇函数，
由得，，
化简得，解得，，
故不等式的解集为，.
（3）因为，所以，
所以，即.
设，则，，恒有，
即在上单调递增.
由（1）可知，
.
令，
则可转化为函数，
因为为增函数，
由复合函数的单调性法则知在上递增，
注意到的单调递增区间为，，
因此，即，
解得，，
注意到，因此当时，；当时，，即；
当时，，此时无解.
综上可知，.
1 / 1湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026高一上·开福期末）（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数周期性，结合特殊角的正切函数值化简求值.
2．（2026高一上·开福期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数为单调递增函数，
因为，所以，
根据零点存在定理可知函数的零点所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理求解即可.
3．（2026高一上·开福期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先根据点P所在象限，确定 ， 的符号，再结合各象限三角函数的符号规律，判断角终边的位置。
4．（2026高一上·开福期末）函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可得，，，，即，
则函数的解析式为，将点代入得，
即，因为，所以取，可得，则.
故答案为：A．
【分析】根据函数图象易知和周期，根据周期公式求得，再根据函数图象经过代入求，即可得到函数解析式.
5．（2026高一上·开福期末）若对定义域内的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对定义域内的任意，不等式恒成立，两因式必须同号，
因为函数式与均为增函数，所以两函数的零点必须相同，即，
则，即的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意可知方程与的根相同，即，代入求解即可.
6．（2026高一上·开福期末）已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
则 ，，即为偶函数，则充分性成立；
若为偶函数，则，即必要性成立，
故“”是“为偶函数”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据，利用两角和差的余弦公式及余弦函数的对称性求解即可判断充分性，再根据函数为偶函数，可得判断必要性，结合充分、必要条件的概念判断即可.
7．（2026高一上·开福期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故答案为：C
【分析】由，得，同理，，代入两角差公式可得.
8．（2026高一上·开福期末）若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；正弦函数的图象；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，
易知函数在上单调递增，
因为，所以存在，使得，则函数在上有个零点，
要使函数有个零点，则函数有个零点，
由，得，需使，解得，
则正数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】易知函数在上单调递增，根据零点存在性定理可得函数上有个零点，要使函数有个零点，则函数有个零点，再由正弦函数的图象性质及零点个数求解正数的取值范围即可.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2026高一上·开福期末）已知实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、幂函数在单调递增，由，可得，故A正确；
B、指数函数在单调递增，由，可得，故B正确；
C、对数函数在单调递减，由，可得，故C不正确；
D、函数，如图所示：
由图可知，函数在单调递增，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据幂函数的单调性即可判断A；根据指数函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性即可判断C；函数，作出函数的性质，数形结合即可判断D.
10．（2026高一上·开福期末）已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线
C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线
D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线
【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A不符合；
B、由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，故B符合；
C、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象，故C符合；
D、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象，故D符合.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解逐项判断即可.
11．（2026高一上·开福期末）已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数与图象交点坐标分别为，，
函数与图象交点坐标分别为，，
由与的图象关于对称，与的图象也关于对称，
可得它们的交点，关于直线对称，，关于直线对称，如图所示：
则，，且，
.
故答案为：ABD.
【分析】分别设函数与图象交点，函数与图象交点分别为，和，，根据与的图象关于对称，与的图象也关于对称，作出函数与、与图象，数形结合，利用对称性质逐项求解判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2026高一上·开福期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得或，
则函数的定义域为，
令，因为在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递增区间是．
故答案为：.
【分析】根据对数函数有意义，列不等式求得函数的定义域，再根据复合函数同增异减求解即可.
13．（2026高一上·开福期末）化简的值为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式化简求值即可.
14．（2026高一上·开福期末）已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数的取值范围是 ，的取值范围是 .
【答案】；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，作出函数的图象，如图所示：
因为方程有4个根，，，，且，所以与有4个交点，
由图象可知，且，，可得；
因为，，所以，；
所以，
因为，所以，
则的取值范围是.
故答案为：；的取值范围是.
【分析】去绝对值得分段函数，作出函数的图象，由题意可得与有4个交点，根据图象可判断实数的取值范围，以及4个交点，，，的取值范围，，，然后得到，最后利用的范围求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2026高一上·开福期末）已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．（2026高一上·开福期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
（1）若，求的长；
（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）解：，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）；
（2）解：因为四边形是矩形，可得，所以在中，，，
在中，，则，
，
则矩形的面积
，
即，
由，得，
则当时，即时，，
故当时，取得最大值，最大值为平方米.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1），在中，求出，再在中，求的长即可；
（2）在中，求得，，在中，，求得，再根据正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简求得，由正弦函数的单调性计算即可.
（1）因为，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）.
（2）因为四边形是矩形，可得，
所以在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形的面积
，
所以
由，得，
则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
17．（2026高一上·开福期末）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：
（2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）：求函数的最小值.
【答案】（1）解：由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，得，解得，则，
显然，也满足函数的解析式，故；
（2）解：由题意可得：，
当，时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，判断适合，利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得：，分和讨论，利用基本不等式、函数单调性的性质求解即可.
（1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，
得，所以，所以，
显然，也满足函数的解析式，
所以；
（2），
当，时，
，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，
，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
18．（2026高一上·开福期末）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以.
（2）解：因为，即，
可得，
即对于任意实数x恒成立，
因为，则，可得，
所以实数t的取值范围为.
（3）解：由（1）可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义 恒成立，代入函数表达式化简，对比系数求出 的值。
(2)将 代入不等式，化简后分离参数 ，再根据对数函数的性质求出 的取值范围。
(3)由 推出 存在奇函数点，代入表达式化简后换元，转化为二次函数在区间 上存在零点的问题，进而求出 的取值范围。
（1）因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以.
（2）因为，即，
可得，
即对于任意实数x恒成立，
因为，则，可得，
所以实数t的取值范围为.
（3）由（1）可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
19．（2026高一上·开福期末）设，其中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求不等式的解集；
（3）若对任意，，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
，则，
解得，
则
；
（2）解：当时，若，即，
整理得，
令函数，则函数为上单调递增的奇函数，
由得，，
化简得，解得，，
故不等式的解集为，；
（3）解：因为，所以，所以，即.
设，则，，恒有，即在上单调递增，
由（1）可知，
，
令，
则可转化为函数，
因为为增函数，
由复合函数的单调性法则知在上单调递增，
注意到的单调递增区间为，，
因此，即，解得，，
注意到，因此当时，；当时，，即；
当时，，此时无解，
综上可知，.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；简单的三角恒等变换；余弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由，可得，变形可求得的值，再根据求即可；
（2）将，代入，化简，得，构造函数，易知函数的单调性和奇偶性，根据函数的奇偶性与单调性得到不等式，解不等式即可；
（3）设，由题意知在上单调递增，换元后得到在上单调递增，根据函数的单调性列不等式组求解即可.
（1）因为，即，
所以，
故
.
（2）当时，若，即，
整理得，
令函数，则函数为上单调递增的奇函数，
由得，，
化简得，解得，，
故不等式的解集为，.
（3）因为，所以，
所以，即.
设，则，，恒有，
即在上单调递增.
由（1）可知，
.
令，
则可转化为函数，
因为为增函数，
由复合函数的单调性法则知在上递增，
注意到的单调递增区间为，，
因此，即，
解得，，
注意到，因此当时，；当时，，即；
当时，，此时无解.
综上可知，.
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