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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 下册第五章
课标要求 1、通过分式和分式方程描述数量关系的过程，体会模型思想，建立符合意识，发展合理推理，体会数学基本思想。2、能结合具体情境发现并提出数学问题，尝试用不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。3、经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识分式和分式方程，掌握必要的运算技能，探索具体问题中的数量关系。4、能积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，有克服困难的意识，具备学好数学的信心。
内容分析 本章是继整式之后对代数式的进一步的研究，主要内容为：①分式的概念和基本性质，分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除、乘方的运算；②可化为一元一次方程的分式方程；③零指数幂和负整数指数幂。分式不同于整式的另一种有理式，是代数式中最重要的基本概念，分式方程是另一种有理方程，解分式方程比解整式方程更为复杂，然而分式或分式方程更适合某些问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。本章内容是数与代数的重要组成部分，是对整式和一元一次方程的深化和拓展。
学情分析 通过前期的学习，学生初步养成了自主探究意识，一方面，学生学习了整式的加减乘除的运算，具备了研究分式的基础知识和方法；另一方面，分式是分数的代数化，学生可以通过类比进行学习。另外，在学习本章之前，学习了一元一次方程和二元一次方程组，他们对整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路比较熟悉，分式方程的未知数在分母中，它们的解法比以前学过的整式方程较复杂，随着问题复杂化的增加，学生需要不断提高认识问题的水平，这种认识水平的提高，是构建知识体系过程中不可缺少的。
单元目标 （一）教学目标知识与技能1、掌握分式的定义，了解分式方程的定义。2、掌握分式的基本性质，能熟练的对分式进行约分和通分，熟练的进行分式的四则运算，能熟练的解可化为一元一次方程法人分式方程，理解增根的原因，会检验分式的根，能列出分式方程解决问题。3、理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，能用科学计数法表示绝对值比较小的数，能进行分式的混合运算。过程与方法经历用字母表示现实情境中的数量关系（分式或分式方程）的过程，了解分式和分数方程的概念，体验分式或分式方程描述现实生活中数量关系的模型，发展符号感。经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式四则运算法则。发展学生合理的推理能力和代数恒等变形能力。情感态度与价值观在学习过程中发展学生思维的缜密性，让学生感受分式的实际意义，从而激发学生学习分式的兴趣，增强学生的责任感。（二）教学重点、难点重点.掌握分式的基本性质，分式的四则运算、分式方程及其运用。难点：分式的混合运算，分式方程的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数0.1认识分式102分式的基本性质103分式的乘除104同分母分式的加减105异分母分式的加减106分式的混合运算107分式方程108分式方程的运用109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识分数1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别.会用分式表示数量，理解分式的分母不能为零，会计算简单的分式的值.2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.1、学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。2、用分式表示数量。3、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。4、小组交流分式根据分式赋予分式的实际意义。5、用分式表示具体的量，小组交流分式和除法的关系，6、自学例题2，得到分式有意义、无意义、分式值为1，分式值为0的条件。7、用代入法求分式的值。8、课堂练习9、课堂总结环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式的基本性质1、通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握分式约分的方法；了解什么是最简分式。2、使学生会用类比思想方法探究新知，培养类比转化的思维能力，使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。3、通过类比分数的基本性质，消除对新知识的陌生感和畏难情绪，增强学生的自信心，培养学生严谨、细致、一丝不苟的科学态度。1、回顾旧知。2、思考问题，并分数的基本性质解释。3、类比分数的基本性质得到分式的基本性质。4、学习例题1，注意同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式值不变。4、学习例题2，理解约分的方法，明晰约分的根据和约分的结果。5、通过思考与交流，进一步掌握约分的方法和结果（最简分式或整式），从而得到最简分式的概念。6、课堂练习.7、课堂总结。环节一：知识回顾环节二：问题引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置分式的乘除类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则，会进行简单分式的乘除运算。能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。3、经历探索分式乘除运算法则的过程，培养代数化归意识，渗透类比思想，发展合情推理能力。1、完成检测题.2、类比分数乘法的计算法则，探究分式乘法的的计算法则，并进行相应的练习。3、类比分数除法的计算法则，探究分式除法的的计算法则，并进行相应的练习。4、类比整式乘方的计算法则，探究分式乘方的的计算法则，并进行相应的练习。5、用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生。6、课堂练习.7、课堂总结。环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置同分母分式的加减1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3经历了类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则的过程，培养学生类比的思想及发展有条理的思考及其语言表达能力。完成检测题；复习同分母分数的加减，类比得到同分母分式的加减计算法则；3、学习例题1.小组交流得出给多项式的分子添去括号，注意符号的变化，所得结果要化简。4、完成例题1的相应练习。5、学习例题2，小组交流得出分母互为相反式时，改变一下运算符号即可变为同分母。6、完成例题2的相应练习；7、课堂练习.8、课堂总结。环节一：课前检测环节二：引入新课环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置异分母分式的加减1、能进行分式的通分,理解并掌握异分母分式加减法的法则.并能用分式加减法解决简单的实际问题。2、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。3、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。1、完成检测题；2、习分数加减的计算法则，思考如何计算，对于两种算法发表自己的见解。3、类比分数的通分方法探究分式（分母为单项式、多项式）的通分方法，4、找出4个分式的公分母。5、用类比的方法得出异分母分式加减法的计算法则。6、教师示范例题1（1）的计算过程，学生完成例题1中的（2）、（3）题。7、小组交流完成例题2。注意蕴含的数量关系。8、课堂练习.9、课堂总结。环节一：课前检测环节二：引入新课环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式的混合运算熟练运用分式的运算法则进行分式加减乘除、乘方的混合运算.2、利用分式的加减乘除、乘方的混合运算，解决简单的实际问题，体会数学的运用价值。3、经历分式的混合运算的探究，体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值。1、回顾分式运算法则，完成检测题.2、回顾整式混合运算顺序，猜测分式的混合运算顺序。3、学习例题1、2，强调：分式混合运算时多项式的注意添括号、分子、分母能分解的要先分解，计算结果必须是最简分式或整式.4、小组交流讨论《尝试与交流》为后续学习分式方程奠定基础。5、课堂练习.6、课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式方程1、理解分式方程的概念，根据实际问题建立分式方程的数学模型。2、体会分式方程到整式方程的转化思想。掌握分式方程的解法。3、培养学生的数学转化思想。培养学生的观察、类比、探索的能力。1、回顾旧知。2、给方程分类得到分式方程的定义，并完成习题判断哪些是分式方程那些是整式方程。3、列分式方程，并说一说列分式方程的根据是什么。4、解分式方程，讨论分式方程为什么可能会出现增根。强调解分式方程必须检验。5、完成两个解分式方程，关注后进生学习效果。6、课堂练习.7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结分式方程的运用1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．回顾旧知。学生逐个问题思考引入新课。可小组合作的形式完成。3、教师有意识的引导学生经过“审、设、找、列、解、验、答”七个步骤完成例题1的学习。4、小组讨论例题2、3题中的数量关系，学生独立完成例题2、3的学习。5、小组交流得出用分式方程解决实际问题的一般步骤;审、设、找、列、解、验、答，强调必须检验是否增根。6、课堂练习.7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．1、展示课前布置的本章思维导图。2、回顾分式的定义，完成相应练习.3、回顾分式的基本性质，完成相应练习4、回顾分式的加减乘除及乘方的运算法则，完成相应练习。5、回顾分式方程的解法和列方程解决实际问题，完成相应练习。6、小组合作完成相应练习，交流解题方法。7、课堂练习环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习
《分式与分式方程》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：情景导入
活动三：探究新知
活动四：典例分析
任务一：认识分式
分
式
与
分
式
方
程
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：分式的基本性质
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
活动二：探究新知
任务三：分式的乘除
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
活动二：引入新课
活动三：典例精析
任务四：同分母分式的加减
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
分
式
与
分
式
方
程
活动二：引入新课
活动三：探究新知
任务五：异分母分式的加减
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：回顾知识
活动二：课前检测
任务六：分式的混合运算
活动三：导入新课
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动二：探究新知
任务七：分式方程
活动一：回顾知识
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：回顾知识
分
式
与
分
式
方
程
活动二：情景引入
活动二：典例精析
任务八：分式方程的运用
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动二：典例精析
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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第五章 分式与分式方程
5.1分式的认识
01
教学目标
02
知识回顾
04
探究新知
05
典例精析
07
课堂小结
08
作业布置
06
课堂练习
03
情景导入
01
教学目标
了解分式的概念，明确分式和整式的区别.会用分式表示数量，理解分式的分母不能为零，会计算简单的分式的值.
01
让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．
02
培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.
03
02
温故知新
你能判断下面哪些式子是整式吗？
5x-1
整式是单项式和多项式的统称，是有理式的一部分。在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
02
情景导入
1、 2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口的旅程时间，京张高速铁路全长174Km,在这条线路上，甲列车的平均速度是乙列车的2倍。
设乙列车的平均速度为xKm/h,请回答下列问题：
（1）乙列车从北京到张家口市的行驶时间是多少？
（2）甲列车从北京到张家口市的行驶时间是多少？
03
情景引入
3、某长方形花园的面积为S㎡，长为8m，则它的宽为 米？;如果长是xm,那么宽为 米.
2、面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前完成原计划的任务．如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少个月？
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
03
情景引入
4、李叔叔计划用x元购买单价为a元/Kg的苹果，由于购买量大，现每千克便宜b元，李叔叔现在可以购买多少千克苹果？
5、在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续的转播，这项赛事前a天日均收看人数为m万人，后b天日均收看人数为n万，那么（a+b)天该赛事日均收看人数为多少万人？
03
新知探究
1、找出一个与从不同的代数式
2、观察其他代数式有什么共同特点:
3、他们与整式有什么不同？
观察下面代数式
（分母中都含有字母）
整式的分母中不含有字母.
03
新知探究
分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式。如果B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
分式的概念
①分子分母都是整式
②分母中含有字母
③分母不能为零。
03
新知探究
例：下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
解:属于整式的有（2）、（4）；分式的有（1）、（3）
为什么（2）、（4）不是分式？判断的关键是什么？
分母含有字母是分式， 分母不含字母是整式.
03
尝试与交流
你能赋予分式 ， 的一些实际意义吗？
苹果每千克a元，b元可以买 千克。
一项工程原计划a天完成，现在提前b天就完成了任务，现在每天完成这工程的 。
知识要点1
1、满足分数的形式；
2、分母中要有字母；
3、分母的值不能为0。
4 、分式与除法的关系，如：
关于分式的几点注意
可表示为（x -1) ÷ (x -3) .
03
典例精析
例1：小明参加打靶比赛,有a次打了m环, b次打了n环,则此次打靶的平均成绩是多少？
解：
被除式
除式
t
a-x
被除式÷除式 = （商式）
整式 整式 分式
t ÷ (a-x) =
例2；当x取何值时分式
（1）没有意义；（2）有意义；（3）分式值为零；（4）分式值为1
03
典例精析
解：（1）当2a-1=0, a= 时没有意义。
（2） 当2a-1≠0, a≠ 时有意义。
（3）当a+1=0,a=-1时分式值为零
（4）当a+1=2a-1,a=2时分式值为1.
03
典例精析
例3 : 当a=1, 2,-1时，分别求出分式 的值；
解：当a=1时，
当a=2时，
当a=-1时，
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列代数式中，属于分式的是( )
A． B. a－b C. －3 D．－4a3b
2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是( )
A. B. C． D.
3. 在代数式 中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
D
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4．当分式 的值为0时，x的值为( )
A．0 B．3 C．－3 D．±3
5．分式 中，当x＝－a时，下列说法正确的是( )
A．分式的值为0 B．分式无意义
C．当a≠－ 时，分式的值为0 D．当a≠ 时，分式的值为0
C
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
7．若分式 的值为0，则x＝
8. 当x＝ 时，分式 无意义．
9. 当x＝6时，分式 的值等于
10.甲种水果每千克价格a元，乙种水果每千克价格b元，取甲种水果m千克，乙种水果n千克，混合后，平均每千克价格是 元.
x≠1
1
-2或-3
-1
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
11.思考： 是分式还是整式？小明是这样想的：因为 ，而a是一个整式，所以 是一个整式，你认为小明的想法正确吗？
解：小明的想法不正确．因为 的分母中含有未知数，所以 是分式．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
12.已知
(a、b均为正整数)．探究a、b的值；
∴b＝10，a＝102－1＝99；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
13.已知 ，x取哪些值时：(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义．
x-1＜0
2-3x＜0
解：(1) y为正数， 无解； 解得 ＜x＜1.
(2) y为负数， 解得x＞1； 解得 x＜ .
（3）y的值为0，x-1=0，x=1 ; (4)分式无意义，2-3x=0,x=
∴当 ＜x＜1时，y为正数；当x＞1或x＜ 时，y为负数；当x＝1时，y值为零；当x＝ 时，分式无意义．
x-1＞0
2-3x＞0
x-1＞0
2-3x＜0
x-1＜0
2-3x＞0
05
课堂小结
一个概念
分母等于零
分母不等于零
分子等于零且分母不等于零
两个应用
列分式
求分式的值
三个条件
分式有意义的条件
分式无意义的条件
分式的值为零的条件
分式的概念
②式子A和B都是整式
③并且B中含有字母的式子
①与分数一样都是 的形式
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列代数式中，是分式的为（ ）
A. B. C. D.
2.若分式 有意义，则x的取值范围是( )
A.x≠0 B.x≠1 C.x≠3 D..x≠0 且.x≠1
3．分式 中，当x＝－a时，下列说法正确的是( )
A．分式的值为0 B．分式无意义
C．当a≠－ 时，分式的值为0 D．当a≠ 时，分式的值为0
D
D
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4 .要使式子 有意义,则实数a的取值范围是 .
5.已知x=-2时,分式 无意义;x=4时,分式的值为0,则a+b= .
6.根据题目要求，确定x的取值范围．
(1)当x取什么值时，分式 有意义？
(2)当x取什么值时，分式 无意义？
(3)当x取什么值时，分式 的值为零？
a≥3且a≠±1
6
x≠±5
x=±3
x=-7
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
7. 已知分式 ，根据给出的条件，求解下列问题：
(1)当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值；
(2)如果 ，求分式的值．
解：(1)由x＝1时，分式的值为0，得x+y=0 解得y＝－1，x＝1， 2x＋y＝2＋(－1)＝1；
(2)由题意得 解得y＝1，x＝1，
.
x-y=0
x+y-2=0
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.阅读下面的学习材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： ，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ，类似地，假分式也可以化为“带分式”(即整式与真分式的和的形式)．
参考上面的方法解决下列问题：
(1)将分式 化为带分式．
(2)当x取什么整数值时，分式 的值也为整数？
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是 分钟。
10.某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是 。
Thanks!
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第四章 《分式与分式方程》导学案
5.1认识分式
学习目标与重难点
学习目标：
1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别.会用分式表示数量，理解分式的分母不能为零，会计算简单的分式的值.
2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．
3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.
学习重点：
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
学习难点：
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
预习自测
你能判断下面哪些式子是整式吗？
整式有; .
【强调】整式是单项式和多项式的统称，是有理式的一部分。在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
教学过程
一、创设情境、导入新课
1、 2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口的旅程时间，京张高速铁路全长174Km,在这条线路上，甲列车的平均速度是乙列车的2倍。
设乙列车的平均速度为xKm/h,请回答下列问题：
（1）乙列车从北京到张家口市的行驶时间是多少？ .
甲列车从北京到张家口市的行驶时间是多少？ .
2、面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前完成原计划的任务．如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少个月？ .
（2）实际完成造林任务用了多少个月？ .
3、某长方形花园的面积为S㎡，长为8m，则它的宽为 米.如果长是xm,那么宽为 米.
4、李叔叔计划用x元购买单价为a元/Kg的苹果，由于购买量大，现每千克便宜b元，李叔叔现在可以购买多少千克苹果？ .
5、在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续的转播，这项赛事前a天日均收看人数为m万人，后b天日均收看人数为n万，那么（a+b)天该赛事日均收看人数为多少万人？
.
合作交流、新知探究
一、观察下面代数式
1、找出一个与从不同的代数式 []
2、观察其他代数式有什么共同特点: [分母中都含有字母]
3、他们与整式有什么不同？[整式的分母中不含有字母].
二、分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式。如果B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
【强调】：①分子分母都是整式；②分母中含有字母，③分母不能为零。
下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
解:属于整式的有（2）、（4）；分式的有（1）、（3）
为什么（2）、（4）不是分式？判断的关键是什么？
。
四、尝试与交流
能赋予分式， 的一些实际意义吗？【答案不唯一，以下答案仅供参考】
（1）苹果每千克a元，b元可以买 千克。
（2）一项工程原计划a天完成，现在提前b天就完成了任务，现在每天完成这工程的
探究小结：
关于分式的几点注意
1、满足分数的形式； 2、分母中要有字母；
3、分母的值不能为0。 4 、分式与除法的关系
五、典例精析
例1：小明参加打靶比赛,有a次打了m环, b次打了n环,则此次打靶的平均成绩是多少？
解
可以发现分式和除法的关系：
整式 整式 分式
例2；当x取何值时分式
没有意义；（2）有意义；（3）分式值为零；（4）分式值为1。
解：（1）当2a-1=0, a=时没有意义。 （2） 当2a-1≠0, a≠ 时有意义。
（3）当a+1=0,a=-1时分式值为零 （4）当a+1=2a-1,a=2时分式值为1.
例3 : 当a=1, 2,-1时，分别求出分式 的值；
解：当a=1时 当a=2时 当a=-1时
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 下列代数式中，属于分式的是( )
A． B. a－b C. －3 D．－4a3b
2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是( )
A. B. C． D.
3. 在代数式、、、、、a＋中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．当分式的值为0时，x的值为( )
A．0 B．3 C．－3 D．±3
5．分式 中，当x＝－a时，下列说法正确的是( )
A．分式的值为0 B．分式无意义
C．当a≠－ 时，分式的值为0 D．当a≠ 时，分式的值为0
6若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
若分式的值为0，则x＝ .
8. 当x＝ 时，分式无意义．
9. 当x＝6时，分式 的值等于 .
10.甲种水果每千克价格a元，乙种水果每千克价格b元，取甲种水果m千克，乙种水果n千克，混合后，平均每千克价格是 元.
能力提升：
思考：是分式还是整式？小明是这样想的：因为＝a2÷a＝a，而a是一个整式，所以是一个整式，你认为小明的想法正确吗？
12.已知
(a、b均为正整数)．探究a、b的值；
拓展迁移
已知 ，x取哪些值时：(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义．
总结反思、拓展升华
关于分式的几点注意：1、满足分数的形式； 2、分母中要有字母；
3、分母的值不能为0。 4 、分式与除法的关系，
五、【作业布置】
基础达标：
1.下列代数式中，是分式的为（ ）
A. B. C. D.
2.若分式 有意义，则x的取值范围是( )
A.x≠0 B.x≠1 C.x≠3 D..x≠0 且.x≠1
3．分式 中，当x＝－a时，下列说法正确的是( )
A．分式的值为0 B．分式无意义
C．当a≠－ 时，分式的值为0 D．当a≠时，分式的值为0
4 .要使式子有意义,则实数a的取值范围是 .
5.已知x=-2时,分式 无意义;x=4时,分式的值为0,则a+b= .
6.根据题目要求，确定x的取值范围．
(1)当x取什么值时，分式 有意义？
(2)当x取什么值时，分式 无意义？
(3)当x取什么值时，分式 的值为零？
7. 已知分式 ，根据给出的条件，求解下列问题：
(1)当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值；
(2)如果 ，求分式的值．
能力提升：
8.阅读下面的学习材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如 ： ，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ，类似地，假分式也可以化为“带分式”(即整式与真分式的和的形式)．
参考上面的方法解决下列问题：
(1)将分式 化为带分式．
(2)当x取什么整数值时，分式 的值也为整数？
拓展迁移：
9.某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是 分钟。
10.某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是 。
课堂练习参考答案：
A
D
B
B
A
x≠3
1
-2或-3
-1
10、
11、解：小明的想法不正确．因为的分母中含有未知数，所以是分式．
12、
∴b＝10，a＝10－1＝99；
13、 解：(1) y为正数， 无解； 解得 ＜x＜1.
( 2) y为负数 ， 解得x＞1. 解得x＜
（3）y的值为0，x-1=0，x=1 ;
(4)分式无意义，2-3x=0,x=
∴当 ＜x＜1时，y为正数；当x＞1或x＜ 时，y为负数；当x＝1时，y值为零；当x＝ 时，分式无意义．
课外作业参考答案：
D
D
A
a≥3且a≠±1
6
（1）x≠±5 （2）x=±3 （3）X=-7
7、解：(1)由x＝1时，分式的值为0，得x+y=0。y=-1
2x＋y＝2＋(－1)＝1；
(2)由题意得 解得y＝1，x＝1，
8、
9、
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北师大版（2026）八年级数学下册第五章《分式与分式方程》教学设计
5.1认识分式
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 认识分式 课时 1
课标要求 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件、分式为零的条件，能用代入法求分式的值。渗透模型观念、化归思想和类比思想。
教材分析 本节课是分式的起始课，是学生学习了整式、因式分解基础上进行的的，是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式方程的前提，所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点。因为分式与分数类似，所以为了突破重点和难点，采用了类比的学习方法，让学生学会自主探索，合作交流，老师的讲和学生的学相结合。分式是表示现实世界中一类量的数学模型，为了让学生体会这一点，在课题引入时从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。
学情分析 学生的知识技能基础：学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的．在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系．学生的活动经验基础：在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力
核心素养目标 1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别.会用分式表示数量，理解分式的分母不能为零，会计算简单的分式的值.2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.
教学重点 理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
教学难点 能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
教学准备 相应课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 你能判断下面哪些式子是整式吗？整式有【强调】整式是单项式和多项式的统称，是有理式的一部分。在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。 学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。 温故知新，为认识分式奠基
二、引新 1、 2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口的旅程时间，京张高速铁路全长174Km,在这条线路上，甲列车的平均速度是乙列车的2倍。设乙列车的平均速度为xKm/h,请回答下列问题：（1）乙列车从北京到张家口市的行驶时间是多少？甲列车从北京到张家口市的行驶时间是多少？2、面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前完成原计划的任务．如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么（1）原计划完成造林任务需要多少个月？（2）实际完成造林任务用了多少个月？3、某长方形花园的面积为S㎡，长为8m，则它的宽为米？;如果长是xm,那么宽为 米.4、李叔叔计划用x元购买单价为a元/Kg的苹果，由于购买量大，现每千克便宜b元，李叔叔现在可以购买多少千克苹果？5、在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续的转播，这项赛事前a天日均收看人数为m万人，后b天日均收看人数为n万，那么（a+b)天该赛事日均收看人数为多少万人？ 用分式表示数量。 从生活中选取实际背景，让学生对分式模型有了浓厚的兴趣，五个个有层次的实例，既有整式又有分式，为归纳分式的定义及区分整式和分式做了很好的引入。
三、探究 一、观察下面代数式1、找出一个与从不同的代数式 2、观察其他代数式有什么共同特点:分母中都含有字母3、他们与整式有什么不同？整式的分母中不含有字母.二、分式定义：一般地，如果A、B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式。如果B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.强调：①分子分母都是整式；②分母中含有字母，③分母不能为零。三、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？解:属于整式的有（2）、（4）；分式的有（1）、（3）为什么（2）、（4）不是分式？判断的关键是什么？分母含有字母是分式， 分母不含字母是整式.尝试与交流能赋予分式， 的一些实际意义吗？（1）苹果每千克a元，b元可以买 千克。（2）一项工程原计划a天完成，现在提前b天就完成了任务，现在每天完成这工程的 探究小结：关于分式的几点注意1、满足分数的形式；2、分母中要有字母；3、分母的值不能为0。4 、分式与除法的关系 1、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。2、小组交流分式根据分式赋予分式的实际意义， 从观察代数式找出与众不同的代数式，从而导出分式的意义，强调分式必须符合①分子分母都是整式；②分母中含有字母，③分母不能为零三个条件。设计尝试与交流赋予分式， 的一些实际意义，体会分式可以表示实际意义的量。
四、变式 例1：小明参加打靶比赛,有a次打了m环, b次打了n环,则此次打靶的平均成绩是多少？解分式和除法的关系： 整式 整式 分式例2；当x取何值时分式没有意义；（2）有意义；（3）分式值为零；（4）分式值为1。解：（1）当2a-1=0, a=时没有意义。 （2） 当2a-1≠0, a≠ 时有意义。 （3）当a+1=0,a=-1时分式值为零 （4）当a+1=2a-1,a=2时分式值为1.例3 : 当a=1, 2,-1时，分别求出分式 的值；解：当a=1时当a=2时当a=-1时 用分式表示具体的量，小组交流分式和除法的关系，自学例题2，得到分式有意义、无意义、分式值为1，分式值为0的条件。用代入法求分式的值 经历用分式表示具体的量；满足什么条件分式有、无意义和值为1或0的条件；求分式值的过程，加深对分式意义的理解和掌握。
五、尝试 基础达标：1. 下列代数式中，属于分式的是( A )A． B. a－b C. －3 D．－4a3b2. 无论a取何值时，下列分式一定有意义的是( D )A. B. C． D.3. 在代数式、、、、、a＋中，分式的个数有( B )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．当分式的值为0时，x的值为( B )A．0 B．3 C．－3 D．±35．分式 中，当x＝－a时，下列说法正确的是( A )A．分式的值为0 B．分式无意义C．当a≠－ 时，分式的值为0 D．当a≠ 时，分式的值为06若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是【 x≠3】 7．若分式的值为0，则x＝【1】8. 当x＝【－2或－3 】时，分式无意义．9. 当x＝6时，分式的值等于【-1】10.甲种水果每千克价格a元，乙种水果每千克价格b元，取甲种水果m千克，乙种水果n千克，混合后，平均每千克价格是 元.能力提升：思考：是分式还是整式？小明是这样想的：因为＝a2÷a＝a，而a是一个整式，所以是一个整式，你认为小明的想法正确吗？ 解：小明的想法不正确．因为的分母中含有未知数，所以是分式．12.已知(a、b均为正整数)．探究a、b的值；∴b＝10，a＝10－1＝99； 拓展迁移13.已知 ，x取哪些值时：(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义． 解：(1) y为正数， 无解； 解得 ＜x＜1. (2) y为负数 ， 解得x＞1. 解得x＜ （3）y的值为0，x-1=0，x=1 ; (4)分式无意义，2-3x=0,x=∴当 ＜x＜1时，y为正数；当x＞1或x＜ 时，y为负数；当x＝1时，y值为零；当x＝ 时，分式无意义． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 关于分式的几点注意：1、满足分数的形式；2、分母中要有字母；3、分母的值不能为0。4 、分式与除法的关系， 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 分式的认识 整式 整式 分式 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.下列代数式中，是分式的为（ D ）A. B. C. D.2.若分式 有意义，则x的取值范围是( D ) A.x≠0 B.x≠1 C.x≠3 D..x≠0 且.x≠13．分式 中，当x＝－a时，下列说法正确的是( A )A．分式的值为0 B．分式无意义C．当a≠－ 时，分式的值为0 D．当a≠时，分式的值为04 .要使式子有意义,则实数a的取值范围是 a≥3且a≠±1 .5.已知x=-2时,分式 无意义;x=4时,分式的值为0,则a+b= 6 . 6.根据题目要求，确定x的取值范围．(1)当x取什么值时，分式 有意义？ (2)当x取什么值时，分式 无意义？(3)当x取什么值时，分式 的值为零？7. 已知分式 ，根据给出的条件，求解下列问题：(1)当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值；(2)如果 ，求分式的值．解：(1)由x＝1时，分式的值为0，得x+y=0。y=-1 2x＋y＝2＋(－1)＝1； (2)由题意得 解得y＝1，x＝1，.能力提升：8.阅读下面的学习材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如 ： ，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ，类似地，假分式也可以化为“带分式”(即整式与真分式的和的形式)．参考上面的方法解决下列问题：(1)将分式 化为带分式．(2)当x取什么整数值时，分式 的值也为整数？拓展迁移：9.某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是 分钟。10.某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是 。
教学反思
x-1＞0
2-3x＜0
x-1＜0
2-3x＜0
x-1＞0
2-3x＞0
x-1＜0
2-3x＞0
X=±3
x≠±5
X=-7
x-y=0
x+y-2=0
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