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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 下册第五章
课标要求 1、通过分式和分式方程描述数量关系的过程，体会模型思想，建立符合意识，发展合理推理，体会数学基本思想。2、能结合具体情境发现并提出数学问题，尝试用不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。3、经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识分式和分式方程，掌握必要的运算技能，探索具体问题中的数量关系。4、能积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，有克服困难的意识，具备学好数学的信心。
内容分析 本章是继整式之后对代数式的进一步的研究，主要内容为：①分式的概念和基本性质，分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除、乘方的运算；②可化为一元一次方程的分式方程；③零指数幂和负整数指数幂。分式不同于整式的另一种有理式，是代数式中最重要的基本概念，分式方程是另一种有理方程，解分式方程比解整式方程更为复杂，然而分式或分式方程更适合某些问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。本章内容是数与代数的重要组成部分，是对整式和一元一次方程的深化和拓展。
学情分析 通过前期的学习，学生初步养成了自主探究意识，一方面，学生学习了整式的加减乘除的运算，具备了研究分式的基础知识和方法；另一方面，分式是分数的代数化，学生可以通过类比进行学习。另外，在学习本章之前，学习了一元一次方程和二元一次方程组，他们对整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路比较熟悉，分式方程的未知数在分母中，它们的解法比以前学过的整式方程较复杂，随着问题复杂化的增加，学生需要不断提高认识问题的水平，这种认识水平的提高，是构建知识体系过程中不可缺少的。
单元目标 （一）教学目标知识与技能1、掌握分式的定义，了解分式方程的定义。2、掌握分式的基本性质，能熟练的对分式进行约分和通分，熟练的进行分式的四则运算，能熟练的解可化为一元一次方程法人分式方程，理解增根的原因，会检验分式的根，能列出分式方程解决问题。3、理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，能用科学计数法表示绝对值比较小的数，能进行分式的混合运算。过程与方法经历用字母表示现实情境中的数量关系（分式或分式方程）的过程，了解分式和分数方程的概念，体验分式或分式方程描述现实生活中数量关系的模型，发展符号感。经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式四则运算法则。发展学生合理的推理能力和代数恒等变形能力。情感态度与价值观在学习过程中发展学生思维的缜密性，让学生感受分式的实际意义，从而激发学生学习分式的兴趣，增强学生的责任感。（二）教学重点、难点重点.掌握分式的基本性质，分式的四则运算、分式方程及其运用。难点：分式的混合运算，分式方程的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数0.1认识分式102分式的基本性质103分式的乘除104同分母分式的加减105异分母分式的加减106分式的混合运算107分式方程108分式方程的运用109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识分数1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别.会用分式表示数量，理解分式的分母不能为零，会计算简单的分式的值.2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.1、学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。2、用分式表示数量。3、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。4、小组交流分式根据分式赋予分式的实际意义。5、用分式表示具体的量，小组交流分式和除法的关系，6、自学例题2，得到分式有意义、无意义、分式值为1，分式值为0的条件。7、用代入法求分式的值。8、课堂练习9、课堂总结环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式的基本性质1、通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握分式约分的方法；了解什么是最简分式。2、使学生会用类比思想方法探究新知，培养类比转化的思维能力，使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。3、通过类比分数的基本性质，消除对新知识的陌生感和畏难情绪，增强学生的自信心，培养学生严谨、细致、一丝不苟的科学态度。1、回顾旧知。2、思考问题，并分数的基本性质解释。3、类比分数的基本性质得到分式的基本性质。4、学习例题1，注意同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式值不变。4、学习例题2，理解约分的方法，明晰约分的根据和约分的结果。5、通过思考与交流，进一步掌握约分的方法和结果（最简分式或整式），从而得到最简分式的概念。6、课堂练习.7、课堂总结。环节一：知识回顾环节二：问题引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置分式的乘除类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则，会进行简单分式的乘除运算。能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。3、经历探索分式乘除运算法则的过程，培养代数化归意识，渗透类比思想，发展合情推理能力。1、完成检测题.2、类比分数乘法的计算法则，探究分式乘法的的计算法则，并进行相应的练习。3、类比分数除法的计算法则，探究分式除法的的计算法则，并进行相应的练习。4、类比整式乘方的计算法则，探究分式乘方的的计算法则，并进行相应的练习。5、用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生。6、课堂练习.7、课堂总结。环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置同分母分式的加减1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3经历了类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则的过程，培养学生类比的思想及发展有条理的思考及其语言表达能力。完成检测题；复习同分母分数的加减，类比得到同分母分式的加减计算法则；3、学习例题1.小组交流得出给多项式的分子添去括号，注意符号的变化，所得结果要化简。4、完成例题1的相应练习。5、学习例题2，小组交流得出分母互为相反式时，改变一下运算符号即可变为同分母。6、完成例题2的相应练习；7、课堂练习.8、课堂总结。环节一：课前检测环节二：引入新课环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置异分母分式的加减1、能进行分式的通分,理解并掌握异分母分式加减法的法则.并能用分式加减法解决简单的实际问题。2、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。3、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。1、完成检测题；2、习分数加减的计算法则，思考如何计算，对于两种算法发表自己的见解。3、类比分数的通分方法探究分式（分母为单项式、多项式）的通分方法，4、找出4个分式的公分母。5、用类比的方法得出异分母分式加减法的计算法则。6、教师示范例题1（1）的计算过程，学生完成例题1中的（2）、（3）题。7、小组交流完成例题2。注意蕴含的数量关系。8、课堂练习.9、课堂总结。环节一：课前检测环节二：引入新课环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式的混合运算熟练运用分式的运算法则进行分式加减乘除、乘方的混合运算.2、利用分式的加减乘除、乘方的混合运算，解决简单的实际问题，体会数学的运用价值。3、经历分式的混合运算的探究，体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值。1、回顾分式运算法则，完成检测题.2、回顾整式混合运算顺序，猜测分式的混合运算顺序。3、学习例题1、2，强调：分式混合运算时多项式的注意添括号、分子、分母能分解的要先分解，计算结果必须是最简分式或整式.4、小组交流讨论《尝试与交流》为后续学习分式方程奠定基础。5、课堂练习.6、课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式方程1、理解分式方程的概念，根据实际问题建立分式方程的数学模型。2、体会分式方程到整式方程的转化思想。掌握分式方程的解法。3、培养学生的数学转化思想。培养学生的观察、类比、探索的能力。1、回顾旧知。2、给方程分类得到分式方程的定义，并完成习题判断哪些是分式方程那些是整式方程。3、列分式方程，并说一说列分式方程的根据是什么。4、解分式方程，讨论分式方程为什么可能会出现增根。强调解分式方程必须检验。5、完成两个解分式方程，关注后进生学习效果。6、课堂练习.7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结分式方程的运用1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．回顾旧知。学生逐个问题思考引入新课。可小组合作的形式完成。3、教师有意识的引导学生经过“审、设、找、列、解、验、答”七个步骤完成例题1的学习。4、小组讨论例题2、3题中的数量关系，学生独立完成例题2、3的学习。5、小组交流得出用分式方程解决实际问题的一般步骤;审、设、找、列、解、验、答，强调必须检验是否增根。6、课堂练习.7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．1、展示课前布置的本章思维导图。2、回顾分式的定义，完成相应练习.3、回顾分式的基本性质，完成相应练习4、回顾分式的加减乘除及乘方的运算法则，完成相应练习。5、回顾分式方程的解法和列方程解决实际问题，完成相应练习。6、小组合作完成相应练习，交流解题方法。7、课堂练习环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习
《分式与分式方程》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：情景导入
活动三：探究新知
活动四：典例分析
任务一：认识分式
分
式
与
分
式
方
程
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：分式的基本性质
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
活动二：探究新知
任务三：分式的乘除
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
活动二：引入新课
活动三：典例精析
任务四：同分母分式的加减
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
分
式
与
分
式
方
程
活动二：引入新课
活动三：探究新知
任务五：异分母分式的加减
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：回顾知识
活动二：课前检测
任务六：分式的混合运算
活动三：导入新课
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动二：探究新知
任务七：分式方程
活动一：回顾知识
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：回顾知识
分
式
与
分
式
方
程
活动二：情景引入
活动二：典例精析
任务八：分式方程的运用
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动二：典例精析
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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第四章 《分式与分式方程》导学案
5.3分式方程的运用
学习目标与重难点
学习目标：
1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题
2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.
3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
学习重点：
建立分式方程模型解决实际问题
学习难点：
根据数量关系正确地列出分式方程
预习自测
一、知识链接
1.解分式方程的思路是什么？
.
2.解分式方程的一般步骤是
.
教学过程
一、创设情境、导入新课
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
Ⅰ、你能找出这一情景中的相等关系吗？
(1) .
(2) .
(3) .
Ⅱ、根据这一情景你能提出哪些问题？
(1) .
(2) .
Ⅲ、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
二、合作交流、新知探究
例题1：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。
分析：问题中有怎样的等量关系？如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120个这种工艺品所用的时间？
解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品（x+10）个，根据题意，得
解这个方程，得x=40。
经检验，x=40是所列方程的根。
40+10=50。
所以，师傅每天加工这种工艺品50个，徒弟每天加工这种工艺品40个。
例2、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨三分之一。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得
解得x=1.5
经检验，x=1.5 是所列方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
例2、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元。为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后(搅匀)销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同。这包甲种糖果有多少千克？
解：设这包甲种糖果为x千克，根据题意，得
解这个方程，得x=6
经检验， x=6 是所列方程的根.
答：这包甲种糖果有6千克.
【强调】：
分式方程解应用题的一般步骤：
审:审题，明确题意和题目中的数量关系；
设：用字母表示题目中的未知数；
找：找出表示题目全部含义的相等关系；
列：根据相等关系列出分式方程；
解：解分式方程得未知数的值；
验：检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；
答：写出答案，包括单位。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.解分式方程 时,去分母后正确的是( )
A.2=1-x(x-1) B.2=x-1-x(x-1) C.2=x-1-x(x+1) D.2(x+1)=x-1-x
2.方程 的解为( )
A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=9
3.分式方程 的解是( )
A.x=1 B.x=-2 C.x= D.x=2
4.若x<2,且+|x-2|+x-1=0,则x= .
5.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器．
6.某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？
设：计划每天铺xm.则实际每天铺1.25x，列方程得：( ）．
能力提升：
7.如图,A,B,C三点在数轴上,对应的数分别是 且点B到A,C的距离相等,则x= 。
8.若关于x的分式方程 的解为非负数，且整数a≤5，则 的值为（ ）
拓展迁移
9.某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
(1)一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元)的函数关系式．(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)
总结反思、拓展升华
分式方程解应用题的一般步骤：
1、审题，明确题意和题目中的数量关系；
2、用字母表示题目中的未知数；
3、找出表示题目全部含义的相等关系；
4、根据相等关系列出分式方程；
5、解分式方程得未知数的值；
6、检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；
7、写出答案，包括单位。
五、【作业布置】
基础达标：
1.分式方程 的解为( )
A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.无解
2.若关于x的分式方程 有增根,则m的值是 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.若关于x的分式方程 无解,则m的值为 。
4.分式方程 的解是 .
5.自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．
如设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是( )
如设乙种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
6.某村计划新修水渠3 600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务．若设原计划每天修水渠x米，则可列方程为（ ）
7.质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂产品的合格率高5%，设乙厂的合格率为x,列方程得（ ）
能力提升：
8、若关于x的方程 无解,求m的值.
拓展迁移：
9. 为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人
员应该佩戴安全头盔．某商店用1 800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于
是，又用7 200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵
20元．
(1)第一批头盔的进货单价是多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？
课堂练习参考答案
B
D
D
1
200
6、
7、6
8、
9、解：(1)设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为(x＋100)元，根据题意，得
＝，解得x＝400.
经检验：x＝400为所列方程的解．
∴x＋100＝500.
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
(2)①根据题意，得
∴m的取值范围为16≤m≤25.
②根据题意，得
w＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)·(50－m)＝(100－n)m＋10000－50n.
∵50≤n≤150，
∴(Ⅰ)当50≤n<100时，100－n>0，∴m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25(100－n)＋10 000－50n＝－75n＋12 500.
(Ⅱ)当n＝100时，100－n＝0，销售这批丝绸的最大利润w＝5000.
(Ⅲ)当100课外作业参考答案
D
C
0或±4
x=3
5、
6、
7、
8、解:方程两边都乘(x-4)(x+4),得x+4+m(x-4)=m+3,
整理,得(m+1)x=5m-1.
当m+1=0时,方程无解, 此时m=-1.
当m+1≠0时,解得x=.
当 时,
原方程的根为增根,解得m=5或m=-.
综上所述,m的值为-1,5或-.
9、解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．
根据题意，得＝3×，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意．
答：第一批头盔的进货单价为60元．
(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×＝120(个)，
∵总利润不少于4 200元，
∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.
答：销售单价至少为110元．
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北师大版（2026）八年级数学下册第五章《分式与分式方程》教学设计
5.3分式方程的运用
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 分式方程的运用 课时 1
课标要求 能根据具体问题（工程问题、行程问题等）中的数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程。检验方程的解是否合理，并运用分式方程解决简单的实际问题。
教材分析 本节是分式方程的第3小节，共二个课时，学生在学习了分式方程以及分式方程的解法并能熟练地解方程之后，如何将这些技能应用于现实生活当中，也就是将生活中某些问题模型化。 本节课安排教学内容是分式方程的运用，旨在培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，主要让学生经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学中设置丰富的实例，关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中的数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程。
学情分析 学生的知识技能基础：前两节课，学生认识了分式方程这样的数学模型，并且学会解分式方程，为本节课用分式方程解决生活中实际问题打下了基础.学生活动经验基础：在本节第一课时学生已经历用分式方程来刻画现实世界问题的过程，也经历了探索解分式方程的过程，获得了一些数学活动经验和体验，同时在以前学习了列一元一次方程、二元一次方程组解应用题，为本节分式方程的应用打下了基础.
核心素养目标 1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
教学重点 建立分式方程模型解决实际问题
教学难点 根据数量关系正确地列出分式方程
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1.解分式方程的思路是：【分式方程转化整式方程】2.解分式方程的一般步骤(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.(4)写出原方程的根. 回顾旧知 回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.
二、引新 某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。Ⅰ、你能找出这一情景中的相等关系吗？(1) 第二年房屋租金=第一年房屋租金+500元. (2) 第二年出租房屋间数=第一年出租房屋间数. (3) 出租房屋的总租金=每间房屋的租金×出租房屋间数. Ⅱ、根据这一情景你能提出哪些问题？(1) 求出租房屋的总间数. (2) 分别求两年每间出租房屋的租金. Ⅲ、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x+500)元，根据题意，得解得x=800 学生逐个问题思考引入新课。可小组合作的形式完成。 设置问题串，学生在弄清题意地情况下列出符合题意得分式方程，从而引入新课
三、探究 例题1：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。分析：问题中有怎样的等量关系？如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120个这种工艺品所用的时间？解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品（x+10）个，根据题意，得解这个方程，得x=40。经检验，x=40是所列方程的根。40+10=50。所以，师傅每天加工这种工艺品50个，徒弟每天加工这种工艺品40个。例2、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨三分之一。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得 解得x=1.5经检验，x=1.5 是所列方程的根.答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.例2、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元。为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后(搅匀)销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同。这包甲种糖果有多少千克？解：设这包甲种糖果为x千克，根据题意，得解这个方程，得x=6经检验， x=6 是所列方程的根.答：这包甲种糖果有6千克.小结：分式方程解应用题的一般步骤：审:审题，明确题意和题目中的数量关系；设：用字母表示题目中的未知数；找：找出表示题目全部含义的相等关系；列：根据相等关系列出分式方程；解：解分式方程得未知数的值；验：检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；答：写出答案，包括单位。 教师有意识的引导学生经过“审、设、找、列、解、验、答”七个步骤完成例题1的学习。小组讨论例题2、3题中的数量关系，学生独立完成例题2、3的学习。小组交流得出用分式方程解决实际问题的一般步骤;审、设、找、列、解、验、答，强调必须检验是否增根。 学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
四、尝试 基础达标：1.解分式方程 时,去分母后正确的是( B )A.2=1-x(x-1) B.2=x-1-x(x-1)C.2=x-1-x(x+1) D.2(x+1)=x-1-x2.方程 的解为( D )A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=93.分式方程 的解是( D )A.x=1 B.x=-2 C.x= D.x=24.若x<2,且+|x-2|+x-1=0,则x= 1 . 5.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 200 台机器．6.某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？设：计划每天铺xm.则实际每天铺1.25x，列方程得：( ）．能力提升：7.如图,A,B,C三点在数轴上,对应的数分别是 且点B到A,C的距离相等,则x= 6 若关于x的分式方程 的解为非负数，且整数a≤5，则 的值为（ ） 拓展迁移9.某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．(1)一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．①求m的取值范围；②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元)的函数关系式．(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)解：(1)设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为(x＋100)元，根据题意，得＝，解得x＝400.经检验：x＝400为所列方程的解．∴x＋100＝500.答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．(2)①根据题意，得∴m的取值范围为16≤m≤25.②根据题意，得w＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)·(50－m)＝(100－n)m＋10000－50n.∵50≤n≤150，∴(Ⅰ)当50≤n<100时，100－n>0，∴m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25(100－n)＋10 000－50n＝－75n＋12 500.(Ⅱ)当n＝100时，100－n＝0，销售这批丝绸的最大利润w＝5000.(Ⅲ)当100五、提升 分式方程解应用题的一般步骤：1、审题，明确题意和题目中的数量关系；2、用字母表示题目中的未知数；3、找出表示题目全部含义的相等关系；4、根据相等关系列出分式方程；5、解分式方程得未知数的值；6、检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；7、写出答案，包括单位。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 列分式方程解决问题的一般步骤审------设------找------列------解------验------答 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.分式方程 的解为( D )A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.无解2.若关于x的分式方程 有增根,则m的值是 ( C )A.1 B.-1 C.2 D.-23.若关于x的分式方程 无解,则m的值为 0或±4. 4.分式方程 的解是 x=3 . 5.自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．如设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是( )如设乙种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）6.某村计划新修水渠3 600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务．若设原计划每天修水渠x米，则可列方程为7.质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂产品的合格率高5%，设乙厂的合格率为x,列方程得能力提升：8、若关于x的方程 无解,求m的值.解:方程两边都乘(x-4)(x+4),得x+4+m(x-4)=m+3,整理,得(m+1)x=5m-1.当m+1=0时,方程无解,此时m=-1.当m+1≠0时,解得x=.当 时,原方程的根为增根,解得m=5或m=-.综上所述,m的值为-1,5或-.拓展迁移：9. 为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1 800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7 200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．(1)第一批头盔的进货单价是多少元？(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．根据题意，得＝3×，解得x＝60.经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意．答：第一批头盔的进货单价为60元．(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×＝120(个)，∵总利润不少于4 200元，∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.答：销售单价至少为110元．
教学反思
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第五章 分式与分式方程
5.3分式方程的运用
01
教学目标
02
知识回顾
03
情景引入
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题
01
经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.
。
02
通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
03
02
复习旧知
1.解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
转化
2.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
02
情景导入
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
Ⅰ、你能找出这一情景中的相等关系吗？
(1) 第二年房屋租金=第一年房屋租金+500元
(2) 第二年出租房屋间数=第一年出租房屋间数
(3) 出租房屋的总租金=每间房屋的租金×出租房屋间数
03
情景导入
Ⅱ、根据这一情景你能提出哪些问题？
(1) 求出租房屋的总间数
(2) 分别求两年每间出租房屋的租金
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
03
情景导入
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
Ⅲ、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x+500)元，根据题意，得
解得x=800
03
新知探究
例题1：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。
分析：问题中有怎样的等量关系？如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120个这种工艺品所用的时间？
03
新知探究
解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品（x+10）个，根据题意，得
解这个方程，得x=40。
经检验，x=40是所列方程的根。
40+10=50。
所以，师傅每天加工这种工艺品50个，徒弟每天加工这种工艺品40个。
03
新知探究
例2、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨三分之一。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。
已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得
解这个方程，得x=1.5
经检验，x=1.5 是所列方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
03
新知探究
例3、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元。为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后(搅匀)销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同。这包甲种糖果有多少千克？
解：设这包甲种糖果为x千克，根据题意，得
解这个方程，得x=6
经检验， x=6 是所列方程的根.
答：这包甲种糖果有6千克.
知识要点1
分式方程解应用题的一般步骤：
1、审题，明确题意和题目中的数量关系；
2、用字母表示题目中的未知数；
3、找出表示题目全部含义的相等关系；
4、根据相等关系列出分式方程；
5、解分式方程得未知数的值；
6、检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；
7、写出答案，包括单位。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.解分式方程 时,去分母后正确的是( )
A.2=1-x(x-1) B.2=x -1-x(x-1) C.2=x -1-x(x+1) D.2(x+1)=x -1-x
2.方程 的解为( )
A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=9
3.分式方程 的解是( )
A.x=1 B.x=-2 C.x=34 D.x=2
4.若x<2,且 ,则x= .
B
D
D
1
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器．
6．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道。为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务。实际每天铺设多长管道？
设：计划每天铺xm.则实际每天铺1.25x，列方程得：( ).
200
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图,A,B,C三点在数轴上,对应的数分别是 且点B到A,C的距离相等,则x= .
-6
8.若关于x的分式方程 的解为非负数，且整数a≤5，则 的值为_______
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
(1)一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元)的函数关系式．(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1)设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为(x＋100)元，根据题意，得
，解得x＝400.
经检验：x＝400为所列方程的解．
∴x＋100＝500.
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
(2)①根据题意，得
∴m的取值范围为16≤m≤25.
m≤50-m
m≥16
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
②根据题意，得
w＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)·(50－m)＝(100－n)m＋10 000－50n.
∵50≤n≤150，
∴(Ⅰ)当50≤n<100时，100－n>0，∴m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25(100－n)＋10000－50n＝－75n＋12500.
(Ⅱ)当n＝100时，100－n＝0，销售这批丝绸的最大利润w＝5 000.
(Ⅲ)当10005
课堂小结
1、审题，明确题意和题目中的数量关系；
2、用字母表示题目中的未知数；
3、找出表示题目全部含义的相等关系；
4、根据相等关系列出分式方程；
5、解分式方程得未知数的值；
6、检验所求值是否为原方程的根，是否符合实际；
7、写出答案，包括单位。
分式方程解应用题的一般步骤：
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.分式方程 的解为( )
A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.无解
2.若关于x的分式方程 有增根,则m的值是 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.若关于x的分式方程 无解,则m的值为 .
4.分式方程 的解是 .
D
C
0或±4
x=3
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．
如设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是( )
如设乙种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是( )
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务．若设原计划每天修水渠x米，则可列方程为（ ）．
7.质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂产品的合格率高5%，设乙厂的合格率为x,列方程得（ ）.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8、若关于x的方程 无解,求m的值.
解:方程两边都乘(x-4)(x+4),得x+4+m(x-4)=m+3,
整理,得(m+1)x=5m-1.
当m+1=0时,方程无解, 此时m=-1.
当m+1≠0时,解得x= .
当 =±4原方程的根为增根,
解得m=5或m=-13.
综上所述,m的值为-1,5或-13.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．
(1)第一批头盔的进货单价是多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．
根据题意，得＝3×，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意．
答：第一批头盔的进货单价为60元．
(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×＝120(个)，
∵总利润不少于4 200元，
∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.
答：销售单价至少为110元．
Thanks!
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