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第四章 《分式与分式方程》导学案
回顾与思考
学习目标与重难点
学习目标：
知识与技能：
（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；
（2）提高学生分式的基本运算技能．
数学能力：
（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；
（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．
学习重点：
（1）分式的四则运算（2）分式方程的解法（3）分式方程的应用。
学习难点：
用分式的整数解决实际问题。
预习自测
知识架构
教学过程
一、知识梳理
分式的定义：
如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】
分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】
例题1
（1）.下列式子中，是分式的是（ A ）
A. B. C. D.
（2）.当x取某个值时，分式 的值不存在，则此时x所取的值是( A )
A. -1 B.0 C.1 D.
(3).当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（C ）
A. B. C. D.
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例题2：
（1）. 若 ，则 的值是（ C）
A. B. C. D.
（2）.下列各等式中成立的有（B）
③
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
(3).化简：
3.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
例题3;
4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程的步骤：
方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解这个整式方程。3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。4.写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例题4：
解：（1）方程两边同时乘以x（x-1）得：
3x-2（x-1）=0，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，x（x-1）≠0，
∴x=-2是原分式方程的解；
（2）方程两边同时乘以2（x-2）得：
2（1-x）=x-2（x-2），
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，2（x-2）≠0，
∴x=-2是原分式方程的解．;
5.列方程应用题的步骤是什么？ (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。
例题5：某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m所用的时间a型机器人比b型机器人多用40分钟两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm，
等量关系式：
A机器清扫100平米的时间=B机器清扫100平方米的时间+40分钟
可列方程为:( ）
例题6：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量。设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n)，那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？为什么
典例精析
分析：本题若单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把x+1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便．
思路点拨: 当已知条件为形如 的连比等式，所要求值的分式是一个含x,y,z有而又不易化简的分式时，通常设 ，将其变形为,然后再代入分式求值．
例9 已知分式方程 的解为非负数，求a的取值范围
解：方程两边乘以（x-1）得2x+a=x-1
x=-a-1,由题意得-a-1≥0，a≤1
且x-1≠0，即-a-1-1≠0,a≠-2
所以a得取值范围是a≤1,且a≠-2
例10 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．
思路点拨：设原计划每小时修路x m，则实际每小时修路（1+20%)xm，因此原计划需要 小时完成任务，实际只用 小时即可，利用实际比原计划提前8小时完成任务列方程。
解：设原计划每小时修路x m，则根据题意可得：
解得x=50
经检验，x＝50是原方程的解．
答：原计划每小时修路50米.
例题11，某救生员沿一条河顺流游泳Lm，然后逆流游回出发点，设该救生员在静水中的游泳速度为xm/s，水流速度为nm/s，该救生员来回一趟需要ts。
用含L, x,n的代数式表示t；
（2）用含t,x，n的代数式表示L。
解;根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速
例题12，某商品的标价比成本高P%，当商品降价销售，为了不亏本，降价幅度最多为d%, 请用p 表示d.
解：题目要求不亏本，降价幅度最多为d%,则现在销售价=成本，把成本看着“1”（1+p%）(1-d%)=1
三、课堂练习
基础达标：
1．下列函数中，自变量x的取值范围是的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
3．分式化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
5．当x＝ 时，分式无意义，当x＝ 时，分式的值为0．
6．分式 的值是整数，则正整数m的值等于 ．
若式子 有意义，则实数x的取值范围是 ．
8.计算
解方程
能力提升：
下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：
以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
任务二：
本题解答是否正确？ ；
如果正确，请指出第四步变形的依据________，
如果错误，请写出该分式化简的正确步骤．
拓展迁移
11.被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
12．阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力．永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少？
四、【作业布置】
基础达标：
1．下列关于x的式子中，属于分式方程的是( )
A. B.＝1 C.＝4 D.＋＝x
2．若分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠ D．x≠3
3．化简－的结果是( )
A．－x2＋2x B．－x2＋6x C．－ D.
4．解分式方程－＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
5．某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为 元．
6.若x2＋3x＝－1，则x－ = ．
7．若关于x的分式方程＝4的解是非负数，则b的取值范围是; ．
8.若分式 有意义，求x的取值范围．
9.计算
10.解方程
能力提升：
11.阅读理解
材料1：为了研究分式 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大， 的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大， 的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大， 的值 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式 值的范围。
拓展迁移：
12.为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．
(1)第一批头盔的进货单价是多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？
13.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。某会议会务人员到该店采购铅笔，如果给参会人员每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用 120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元。
（1）该会议的参会人员总数在什么范围内？
（2）如果按批发价购买360支与按零售价购买300支所付款相同，那么该会议的参会人员有多少人
课堂作业参考答案：
B
C
B
x≠-3
-1；1
2或3或5
x≤1且x≠-2
8、
9、解：(1)去分母，得x(x＋1)－(x-1)＝2(x－1)，
去括号，得x＋x－x＋1＝2x－2，解得x＝3，
经检验x＝3是原分式方程的解．
(2)去分母，得3x－(x＋2)＝0，解得x＝1,
检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.
∴x＝1是原分式方程的增根，即原分式方程无解
任务一：三；分式的基本性质
任务二：不正确
11.解：(1)设A块试验田x亩，B块试验田（x+4）亩，列方程得
求出X=8
经检验x=8是原方程的解
9600÷8=1200kg, 7200÷12=600kg
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克
12.解：设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.5x千米/小时，
由题意可知：
解得x＝40，
经检验：x＝40是原方程的根．
答：大客车的速度为40千米/小时，则小汽车的速度为60千米/小时．
课外作业参考答案：
C
A
C
x(x＋1)
-2
b≤12且b≠6
8、解：∵
∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0
解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．
9、
10、
（1）减少；减少
12.解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．
根据题意，得 ，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意．
答：第一批头盔的进货单价为60元．
(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×（1800÷60）＝120(个)，
∵总利润不少于4 200元，
∴120y－(1800＋7200)≥4 200，解得y≥110.
答：销售单价至少为110元．
13.解：（1）该会议的参会人员总数为x人.则
解得240＜x≤300
所以该会议的参会人员总数大于240人小于或等于300人.
（2）由题意可知零售价为 ，批发价 列方程得；
化简得 解得x=300
经检验x=300是原方程的解
答：该会议的参会人员有300人.
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回顾与思考
第五章 分式与分式方程
01
教学目标
02
知识框架
03
知识梳理
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
知识与技能：
使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； 提高学生分式的基本运算技能．
01
数学能力：
提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．
02
02
知识框架
分式与分式方程
分式的概念
分式的基本性质
分式乘除法法则
分式加减法法则
分式方程
分式方程的解法
分式方程的应用
02
知识梳理
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】
分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】
环节一：认识分式
02
练一练
例题1
（1）.下列式子中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
（2）.当x取某个值时，分式 的值不存在，则此时x所取的值是( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 3
(3).当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
A
A
C
02
知识梳理
环节二：分式的基本性质
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
02
练一练
例题2：
（1）. 若 ，则 的值是( )
A. B. C. D.
（2）.下列各等式中成立的有（ ）
①; ②;
③; ④ ；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
B
02
练一练
(3).化简：
(4).化简
02
知识梳理
环节三：分式的运算
3.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
02
知识梳理
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
02
练一练
例题3；计算
02
知识梳理
环节四：分式方程
4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程的步骤：
（1）.方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2）.解这个整式方程。
（3）.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）.写出原方程的根。
02
知识梳理
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
02
练一练
例题4：解方程
02
知识梳理
环节五：分式方程的运用
5.列方程应用题的步骤是什么？
(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；
(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；
(3)列：根据等量关系正确列出方程；
(4)解：认真仔细；
(5)检：不要忘记检验；
(6)答：不要忘记写。
02
练一练
例题5：某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50％；清扫100m 所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm ，
等量关系式：
可列方程为:( )
A机器清扫100平米的时间=B机器清扫100平方米的时间+40分钟
02
练一练
例题6：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量。设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n)，那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？为什么
02
练一练
03
典例精析
分析：本题若单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把x+1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便．
03
典例精析
思路点拨: 当已知条件为形如 的连比等式，所要求值的分式是一个含x,y,z有而又不易化简的分式时，通常设 ，将其变形为,然后再代入分式求值．
03
典例精析
例9 已知分式方程 的解为非负数，求a的取值范围
03
典例精析
例10 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．
思路点拨：设原计划每小时修路x m，则实际每小时修路（1+20%)xm，因此原计划需要 小时完成任务，实际只用 小时即可，利用实际比原计划提前8小时完成任务列方程。
03
典例精析
解：设原计划每小时修路x m，则根据题意可得：
解得x=50
经检验，x＝50是原方程的解．
答：原计划每小时修路50米.
03
典例精析
例题11，某救生员沿一条河顺流游泳Lm，然后逆流游回出发点，设该救生员在静水中的游泳速度为xm/s，水流速度为nm/s，该救生员来回一趟需要ts。
（1）用含L, x,n的代数式表示t；（2）用含t,x，n的代数式表示L。
解;根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速
03
典例精析
例题12，某商品的标价比成本高P%，当商品降价销售，为了不亏本，降价幅度最多为d%, 请用p 表示d.
解：题目要求不亏本，降价幅度最多为d%,则现在销售价=成本，把成本看着“1”（1+p%）(1-d%)=1
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x＞0的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
3．分式 化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
B
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4．若分式 有意义，则x的取值范围是 ．
5．当x= 时，分式 无意义，
当x＝ 时，分式 的值为0．
6．分式 的值是整数，则正整m数的值等于 ．
7．若式子 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x≠3
=-1
=1
2或3或5
x≤1且x≠-2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
8、计算
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
9、解方程
解：(1)去分母，得x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)，
去括号，得x2＋x－x2＋1＝2x－2，解得x＝3，
经检验x＝3是原分式方程的解．
(2)去分母，得3x－(x＋2)＝0，解得x＝1,
检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.
∴x＝1是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
10.下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
任务一：
以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是______________________________________；
任务二：
本题解答是否正确？________；
如果正确，请指出第四步变形的依据________，
如果错误，请写出该分式化简的正确步骤．
三
分式的基本性质
不正确
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
11.被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【综合拓展类作业】
04
课堂练习
解：(1)设A块试验田x亩，B块试验田（x+4）亩，列方程得
求出X=8
经检验x=8是原方程的解
9600÷8=1200kg, 7200÷12=600kg
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克
【综合拓展类作业】
04
课堂练习
解：(2）设至少把y亩B块试验田改种杂交水稻,总产量达到17700kg
列方程得:1200×(8+x)+600×(12-x)=17700
化简得:12×(8+x)+6×(12-x)=177
解得x=1.5
答：至少把B块试验田改1.5亩种植杂交水稻．
【综合拓展类作业】
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
12．阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力．永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少？
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.5x千米/小时，
由题意可知：
解得x＝40，
经检验：x＝40是原方程的根．
答：大客车的速度为40千米/小时，则小汽车的速度为60千米/小时．
05
课堂小结
分式与分式方程
分式的概念
分式的基本性质
分式乘除法法则
分式加减法法则
分式方程
分式方程的解法
分式方程的应用
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列关于x的式子中，属于分式方程的是( )
A. B. C. D.
2．若分式 有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠ D．x≠3
3．化简 的结果是( )
A．－x2＋2x B．－x2＋6x C． D.
C
A
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．解分式方程 去分母时，方程两边同乘的最简公分母是:
.
5．某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为 元．
7．若关于x的分式方程 的解是非负数，则b的取值范围是;
．
x(x+1)
-2
b≤12且b≠6
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
8.若分式 有意义，求x的取值范围．
解：∵
∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0
解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
9.计算
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
10.解方程
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
11.阅读理解
材料1：为了研究分式 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大， 的值也随之减小．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大， 的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大， 的值 （增大或减小）；
减少
减少
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）当x＞1时，随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式 值的范围。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
12.为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．
(1)第一批头盔的进货单价是多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．
根据题意，得 ，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意．
答：第一批头盔的进货单价为60元．
(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×（1800÷60）＝120(个)，
∵总利润不少于4 200元，
∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.
答：销售单价至少为110元．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
13.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。某会议会务人员到该店采购铅笔，如果给参会人员每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用 120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元。
（1）该会议的参会人员总数在什么范围内？
（2）如果按批发价购买360支与按零售价购买300支所付款相同，那么该会议的参会人员有多少人
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（1）该会议的参会人员总数为x人.则
解得240＜x≤300
所以该会议的参会人员总数大于240人小于或等于300人.
（2）由题意可知零售价为 ，批发价 列方程得；
化简得 解得x=300
经检验x=300是原方程的解
答：该会议的参会人员有300人.
x≤300
x+60＞300
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 下册第五章
课标要求 1、通过分式和分式方程描述数量关系的过程，体会模型思想，建立符合意识，发展合理推理，体会数学基本思想。2、能结合具体情境发现并提出数学问题，尝试用不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。3、经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识分式和分式方程，掌握必要的运算技能，探索具体问题中的数量关系。4、能积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，有克服困难的意识，具备学好数学的信心。
内容分析 本章是继整式之后对代数式的进一步的研究，主要内容为：①分式的概念和基本性质，分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除、乘方的运算；②可化为一元一次方程的分式方程；③零指数幂和负整数指数幂。分式不同于整式的另一种有理式，是代数式中最重要的基本概念，分式方程是另一种有理方程，解分式方程比解整式方程更为复杂，然而分式或分式方程更适合某些问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。本章内容是数与代数的重要组成部分，是对整式和一元一次方程的深化和拓展。
学情分析 通过前期的学习，学生初步养成了自主探究意识，一方面，学生学习了整式的加减乘除的运算，具备了研究分式的基础知识和方法；另一方面，分式是分数的代数化，学生可以通过类比进行学习。另外，在学习本章之前，学习了一元一次方程和二元一次方程组，他们对整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路比较熟悉，分式方程的未知数在分母中，它们的解法比以前学过的整式方程较复杂，随着问题复杂化的增加，学生需要不断提高认识问题的水平，这种认识水平的提高，是构建知识体系过程中不可缺少的。
单元目标 （一）教学目标知识与技能1、掌握分式的定义，了解分式方程的定义。2、掌握分式的基本性质，能熟练的对分式进行约分和通分，熟练的进行分式的四则运算，能熟练的解可化为一元一次方程法人分式方程，理解增根的原因，会检验分式的根，能列出分式方程解决问题。3、理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，能用科学计数法表示绝对值比较小的数，能进行分式的混合运算。过程与方法经历用字母表示现实情境中的数量关系（分式或分式方程）的过程，了解分式和分数方程的概念，体验分式或分式方程描述现实生活中数量关系的模型，发展符号感。经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式四则运算法则。发展学生合理的推理能力和代数恒等变形能力。情感态度与价值观在学习过程中发展学生思维的缜密性，让学生感受分式的实际意义，从而激发学生学习分式的兴趣，增强学生的责任感。（二）教学重点、难点重点.掌握分式的基本性质，分式的四则运算、分式方程及其运用。难点：分式的混合运算，分式方程的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数0.1认识分式102分式的基本性质103分式的乘除104同分母分式的加减105异分母分式的加减106分式的混合运算107分式方程108分式方程的运用109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识分数1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别.会用分式表示数量，理解分式的分母不能为零，会计算简单的分式的值.2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.1、学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。2、用分式表示数量。3、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。4、小组交流分式根据分式赋予分式的实际意义。5、用分式表示具体的量，小组交流分式和除法的关系，6、自学例题2，得到分式有意义、无意义、分式值为1，分式值为0的条件。7、用代入法求分式的值。8、课堂练习9、课堂总结环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式的基本性质1、通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握分式约分的方法；了解什么是最简分式。2、使学生会用类比思想方法探究新知，培养类比转化的思维能力，使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。3、通过类比分数的基本性质，消除对新知识的陌生感和畏难情绪，增强学生的自信心，培养学生严谨、细致、一丝不苟的科学态度。1、回顾旧知。2、思考问题，并分数的基本性质解释。3、类比分数的基本性质得到分式的基本性质。4、学习例题1，注意同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式值不变。4、学习例题2，理解约分的方法，明晰约分的根据和约分的结果。5、通过思考与交流，进一步掌握约分的方法和结果（最简分式或整式），从而得到最简分式的概念。6、课堂练习.7、课堂总结。环节一：知识回顾环节二：问题引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置分式的乘除类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则，会进行简单分式的乘除运算。能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。3、经历探索分式乘除运算法则的过程，培养代数化归意识，渗透类比思想，发展合情推理能力。1、完成检测题.2、类比分数乘法的计算法则，探究分式乘法的的计算法则，并进行相应的练习。3、类比分数除法的计算法则，探究分式除法的的计算法则，并进行相应的练习。4、类比整式乘方的计算法则，探究分式乘方的的计算法则，并进行相应的练习。5、用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生。6、课堂练习.7、课堂总结。环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置同分母分式的加减1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3经历了类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则的过程，培养学生类比的思想及发展有条理的思考及其语言表达能力。完成检测题；复习同分母分数的加减，类比得到同分母分式的加减计算法则；3、学习例题1.小组交流得出给多项式的分子添去括号，注意符号的变化，所得结果要化简。4、完成例题1的相应练习。5、学习例题2，小组交流得出分母互为相反式时，改变一下运算符号即可变为同分母。6、完成例题2的相应练习；7、课堂练习.8、课堂总结。环节一：课前检测环节二：引入新课环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置异分母分式的加减1、能进行分式的通分,理解并掌握异分母分式加减法的法则.并能用分式加减法解决简单的实际问题。2、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。3、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。1、完成检测题；2、习分数加减的计算法则，思考如何计算，对于两种算法发表自己的见解。3、类比分数的通分方法探究分式（分母为单项式、多项式）的通分方法，4、找出4个分式的公分母。5、用类比的方法得出异分母分式加减法的计算法则。6、教师示范例题1（1）的计算过程，学生完成例题1中的（2）、（3）题。7、小组交流完成例题2。注意蕴含的数量关系。8、课堂练习.9、课堂总结。环节一：课前检测环节二：引入新课环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式的混合运算熟练运用分式的运算法则进行分式加减乘除、乘方的混合运算.2、利用分式的加减乘除、乘方的混合运算，解决简单的实际问题，体会数学的运用价值。3、经历分式的混合运算的探究，体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值。1、回顾分式运算法则，完成检测题.2、回顾整式混合运算顺序，猜测分式的混合运算顺序。3、学习例题1、2，强调：分式混合运算时多项式的注意添括号、分子、分母能分解的要先分解，计算结果必须是最简分式或整式.4、小组交流讨论《尝试与交流》为后续学习分式方程奠定基础。5、课堂练习.6、课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置分式方程1、理解分式方程的概念，根据实际问题建立分式方程的数学模型。2、体会分式方程到整式方程的转化思想。掌握分式方程的解法。3、培养学生的数学转化思想。培养学生的观察、类比、探索的能力。1、回顾旧知。2、给方程分类得到分式方程的定义，并完成习题判断哪些是分式方程那些是整式方程。3、列分式方程，并说一说列分式方程的根据是什么。4、解分式方程，讨论分式方程为什么可能会出现增根。强调解分式方程必须检验。5、完成两个解分式方程，关注后进生学习效果。6、课堂练习.7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：课堂作业环节四：课堂总结分式方程的运用1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．回顾旧知。学生逐个问题思考引入新课。可小组合作的形式完成。3、教师有意识的引导学生经过“审、设、找、列、解、验、答”七个步骤完成例题1的学习。4、小组讨论例题2、3题中的数量关系，学生独立完成例题2、3的学习。5、小组交流得出用分式方程解决实际问题的一般步骤;审、设、找、列、解、验、答，强调必须检验是否增根。6、课堂练习.7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．1、展示课前布置的本章思维导图。2、回顾分式的定义，完成相应练习.3、回顾分式的基本性质，完成相应练习4、回顾分式的加减乘除及乘方的运算法则，完成相应练习。5、回顾分式方程的解法和列方程解决实际问题，完成相应练习。6、小组合作完成相应练习，交流解题方法。7、课堂练习环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习
《分式与分式方程》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：情景导入
活动三：探究新知
活动四：典例分析
任务一：认识分式
分
式
与
分
式
方
程
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务二：分式的基本性质
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
活动二：探究新知
任务三：分式的乘除
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
活动二：引入新课
活动三：典例精析
任务四：同分母分式的加减
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：课堂检测
分
式
与
分
式
方
程
活动二：引入新课
活动三：探究新知
任务五：异分母分式的加减
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：回顾知识
活动二：课前检测
任务六：分式的混合运算
活动三：导入新课
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动二：探究新知
任务七：分式方程
活动一：回顾知识
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：回顾知识
分
式
与
分
式
方
程
活动二：情景引入
活动二：典例精析
任务八：分式方程的运用
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：知识框架
活动二：知识梳理
任务九：回顾与思考
活动二：典例精析
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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北师大版（2026）八年级数学下册第五章《分式与分式方程》教学设计
5.2分式的混合运算
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 分式的混合运算 课时 1
课标要求 了解分式和最简分式的概念，掌握分式的基本性质，能对简单分式进行加、减、乘、除及混合运算，保证运算准确。理解分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根产生原因，掌握验根方法，能从现实情境中列出分式方程，并用它解决实际问题，能检验方程解的实际合理性。通过类比分数、整式，构建分式知识体系；体会转化（化归）思想：分式方程 → 整式方程；提升运算能力、抽象能力、建模能力；学会自主梳理知识、反思总结。
教材分析 北师大版（2024）八年级下册《分式与分式方程》的 “回顾与思考”，是知识系统化的梳理课、思想方法的提炼课、核心素养的升华课。它以结构化内容、问题化引导、思想化提炼为特色，不仅帮助学生巩固本章知识，更培养代数思维与建模能力，在初中代数学习中具有承上启下的关键作用，是落实数学核心素养的重要载体
学情分析 已掌握分数的概念、基本性质与四则运算，可通过类比学习分式，但易混淆分数与分式的区别（分母是否含字母）；熟练整式运算、因式分解（提公因式、公式法），这是分式约分、通分的关键工具，但部分学生因式分解不熟练，直接影响运算准确率；已会解一元一次方程，理解方程解法思路，但对 “去分母”“增根” 等新问题缺乏经验；具备初步代数运算能力和简单方程建模能力，有一定类比、归纳思维，但逻辑严谨性不足，对 “分母不为零”“验根必要性” 等约束条件重视不够八年级学生正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对分式这类抽象代数式理解仍需借助分数类比，对程序性知识（运算步骤、解方程步骤）掌握较快，但对算理理解不深，易机械模仿，注意力集中时间有限，复杂分式混合运算易出现疲劳性错误；对与小学分数相似的内容易产生轻视心理，忽视细节，遇到增根、无解、实际问题建模时易产生畏难情绪，运算量大、步骤多，部分学生会出现烦躁、粗心、跳步等问题。
核心素养目标 知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．
教学重点 （1）分式的四则运算（2）分式方程的解法（3）分式方程的应用
教学难点 用分式的整数解决实际问题
教学准备 第五章《分式与分式方程》思维导图
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识架构 展示课前布置的本章思维导图。 检查预习效果，展示知识架构图，对本章知识内容有基本了解
二、知识梳理 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】例题1（1）.下列式子中，是分式的是（ A ）A. B. C. D. （2）.当x取某个值时，分式 的值不存在，则此时x所取的值是( A )A. -1 B.0 C.1 D. (3).当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（C ）A. B. C. D. 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。例题2：（1）. 若 ，则 的值是（ C） A. B. C. D. （2）.下列各等式中成立的有（B） ③ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个(3).化简： 3.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。例题3; EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程的步骤：方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解这个整式方程。3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。4.写出原方程的根。增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例题4： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 解：（1）方程两边同时乘以x（x-1）得： 3x-2（x-1）=0， 解得：x=-2， 检验：当x=-2时，x（x-1）≠0， ∴x=-2是原分式方程的解； （2）方程两边同时乘以2（x-2）得： 2（1-x）=x-2（x-2）， 解得：x=-2， 检验：当x=-2时，2（x-2）≠0， ∴x=-2是原分式方程的解．;5.列方程应用题的步骤是什么？ (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。例题5：某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m所用的时间a型机器人比b型机器人多用40分钟两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm，等量关系式： A机器清扫100平米的时间=B机器清扫100平方米的时间+40分钟可列方程为:( ）例题6：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量。设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n)，那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？为什么 回顾分式的定义，完成相应练习.回顾分式的基本性质，完成相应练习3、回顾分式的加减乘除及乘方的运算法则，完成相应练习。4、回顾分式方程的解法和列方程解决实际问题，完成相应练习。 分为4个模块（分式的定义、分式的基本性质、分式的运用和分式方程）梳理知识，使学生对本章知识有更深层次的认识，通过针对性练习提高学生运用知识解决问题的能力。
三、变式 分析：本题若单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把x+1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便． EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 思路点拨: 当已知条件为形如 的连比等式，所要求值的分式是一个含x,y,z有而又不易化简的分式时，通常设 ，将其变形为,然后再代入分式求值． EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 例9 已知分式方程 的解为非负数，求a的取值范围 解：方程两边乘以（x-1）得2x+a=x-1x=-a-1,由题意得-a-1≥0，a≤1且x-1≠0，即-a-1-1≠0,a≠-2所以a得取值范围是a≤1,且a≠-2例10 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．思路点拨：设原计划每小时修路x m，则实际每小时修路（1+20%)xm，因此原计划需要 小时完成任务，实际只用 小时即可，利用实际比原计划提前8小时完成任务列方程。解：设原计划每小时修路x m，则根据题意可得： 解得x=50经检验，x＝50是原方程的解．答：原计划每小时修路50米.例题11，某救生员沿一条河顺流游泳Lm，然后逆流游回出发点，设该救生员在静水中的游泳速度为xm/s，水流速度为nm/s，该救生员来回一趟需要ts。用含L, x,n的代数式表示t；（2）用含t,x，n的代数式表示L。解;根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速例题12，某商品的标价比成本高P%，当商品降价销售，为了不亏本，降价幅度最多为d%, 请用p 表示d.解：题目要求不亏本，降价幅度最多为d%,则现在销售价=成本，把成本看着“1”（1+p%）(1-d%)=1 小组合作完成相应练习，交流解题方法。 通过设置恰当的、有一定梯度的题目，提高学生运用知识解决问题的能力，发展学生数学素养，练习过程关注学生知识技能的发展和不同层次的需求。
四、尝试 基础达标：1．下列函数中，自变量x的取值范围是的函数是（ B ）A． B．C． D．2．已知 ，则 的值是（ C ）A． B． C．2 D．-23．分式化简后的结果为（ B ）A． B． C． D．4．若分式有意义，则x的取值范围是 ．5．当x＝ -1 时，分式无意义，当x＝ 1 时，分式的值为0．6．分式 的值是整数，则正整数m的值等于2或3或5．若式子 有意义，则实数x的取值范围是 x≤1且x≠-2 ．8.计算 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 解方程解：(1)去分母，得x(x＋1)－(x-1)＝2(x－1)，去括号，得x＋x－x＋1＝2x－2，解得x＝3，经检验x＝3是原分式方程的解．(2)去分母，得3x－(x＋2)＝0，解得x＝1, 检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.∴x＝1是原分式方程的增根，即原分式方程无解．能力提升：下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．任务一：以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是 分式的基本性质 ；任务二：本题解答是否正确？ 不正确 ；如果正确，请指出第四步变形的依据________，如果错误，请写出该分式化简的正确步骤．拓展迁移11.被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？解：(1)设A块试验田x亩，B块试验田（x+4）亩，列方程得求出X=8经检验x=8是原方程的解9600÷8=1200kg, 7200÷12=600kg答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克12．阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力．永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少？解：设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.5x千米/小时，由题意可知：解得x＝40，经检验：x＝40是原方程的根．答：大客车的速度为40千米/小时，则小汽车的速度为60千米/小时． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．下列关于x的式子中，属于分式方程的是( C )A. B.＝1 C.＝4 D.＋＝x 2．若分式有意义，则x的取值范围是( A )A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠ D．x≠33．化简－的结果是( C )A．－x2＋2x B．－x2＋6x C．－ D. 4．解分式方程－＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 x(x＋1) ．5．某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为 元．6.若x2＋3x＝－1，则x－ = －2 ．7．若关于x的分式方程＝4的解是非负数，则b的取值范围是; b≤12且b≠6．8.若分式 有意义，求x的取值范围．解：∵∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．9.计算10.解方程 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 能力提升：11.阅读理解材料1：为了研究分式 与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大， 的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大， 的值 减少 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大， 的值 减少 （增大或减小）；（2）当x＞1时，随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0≤x≤2时，求代数式 值的范围。拓展迁移：12.为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．(1)第一批头盔的进货单价是多少元？(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．根据题意，得 ，解得x＝60.经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意．答：第一批头盔的进货单价为60元．(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×（1800÷60）＝120(个)，∵总利润不少于4 200元，∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.答：销售单价至少为110元．13.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。某会议会务人员到该店采购铅笔，如果给参会人员每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用 120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元。（1）该会议的参会人员总数在什么范围内？（2）如果按批发价购买360支与按零售价购买300支所付款相同，那么该会议的参会人员有多少人 解：（1）该会议的参会人员总数为x人.则 解得240＜x≤300 所以该会议的参会人员总数大于240人小于或等于300人.（2）由题意可知零售价为 ，批发价 列方程得；化简得 解得x=300经检验x=300是原方程的解答：该会议的参会人员有300人.
教学反思
x≤300
x+60＞300
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