上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-06计数原理与概率统计经典题（含答案）

上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-06计数原理与概率统计经典题
一、单选题
1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．0
2．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
3．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ）
A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关
二、填空题
4．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．
5．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．
6．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．
7．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．
8．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________．
9．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
10．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______；
11．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______.
12．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为______.
13．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；
14．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．
15．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；
16．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合________
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点8点 8点9点 9点10点 10点11点 11点12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
三、解答题
17．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
18．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
19．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
米色内饰 8 12
棕色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立；
(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设：
假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。
假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。
假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。
请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。
试卷第1页，共3页
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《上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-06计数原理与概率统计经典题》参考答案
题号 1 2 3
答案 B C C
1．B
【分析】根据独立事件的概率公式可求.
【详解】因为相互独立，故，
故选：B.
2．C
【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.
【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.
对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
故C正确，D错误.
故选：C.
3．C
【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答.
【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确；
由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势，
所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误.
故选：C
4．
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：.
5．329
【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：329．
6．0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，题库的比例为：，
各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率．
故答案为：0.85．
7．10
【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，
所以的展开式项的系数为.
故答案为：10
8．
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有.
故答案为：.
9．288
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有种排法.
故答案为：288
10．946
【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可.
【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为.
因为中位数与平均数相等，所以,
所以2020年GDP总额：.
故答案为：946.
11．49
【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案.
【详解】二项式的通项为，
二项式的通项为，
，
，若，则为奇数，
此时，
，又为奇数，的最大值为49.
故答案为：49.
12．
【分析】根据已知条件求出的值，利用二项式定理可求得的系数.
【详解】因为的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则，
故的二项展开式的通项为，
由可得，故的系数为.
故答案为：.
13．
【分析】
由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．
【详解】
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
14．9
【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解.
【详解】因为空间中有三个点，且，
不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：
第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，
此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;
不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，
此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;
不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；
综上所述：总共有9种情况.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解.
15．10
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可.
【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ；
又的系数是常数项的5倍，所以，解得 .
故答案为：10
16．
【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.
【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，的组
合是不符题意的，∴,
故答案为：23.
17．(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得.
【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为，
则极差为；
数据中间两数为与，
则中位数为.
故极差为，中位数为；
（2）由题意，数据共个，以上数据共有个，
故设事件“恰有个数据在以上”，
则，
故恰有个数据在以上的概率为；
（3）由题意，成绩的平均数
，
由直线过，
则，
故回归直线方程为.
当时,.
故预测年冠军队的成绩为秒.
18．(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.
【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中．
．
则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
19．(1)，事件相互独立；
(2)分布列见解析，271元.
【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答.
（2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答.
【详解】（1）由给定的数表知，，，，
而，因此事件相互独立，
所以，事件相互独立.
（2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，
依题意，；；
，则，
因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；
外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，
奖金额的可能值为：，
奖金额的分布列：
600 300 150
奖金额的期望（元）.
答案第1页，共2页
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