上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-07三角函数与解三角形、数列经典题（含答案）

上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-07三角函数与解三角形、数列经典题
一、单选题
1．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
2．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
二、填空题
4．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
6．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)
7．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
8．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
9．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
10．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则___________.
11．（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
12．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________．
13．（2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___
14．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个.
15．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
16．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．
17．（2021·上海·高考真题）在无穷等比数列中，，则的取值范围是________
18．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______；
19．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则______.
三、解答题
20．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称；
(1)若点P与点C重合，求的大小；
(2)求五边形面积S的最大值，
21．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒
(1)若，求b、c；
(2)若，求c．
22．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.
23．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
24．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
25．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.
试卷第1页，共3页
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《上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-07三角函数与解三角形、数列经典题》参考答案
题号 1 2 3
答案 C A B
1．C
【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
对于C，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以C不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
2．A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
3．B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.
即对任意的，恒成立，
令，构造函数，
则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故至多个零点，
又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.
故选：B.
4．/
【分析】由正切的倍角公式求解
【详解】已知，则.
故答案为：
5．
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
6．
【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.
【详解】设，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因为，得，
利用计算器即可得，
故答案为：.
7．
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
8．
【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
9．
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
10．/
【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出.
【详解】因为，所以，设.
由可得：，
两式相除得：.
又，且
解得：.
因为，所以，解得：.
故答案为：.
11．
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
12．
【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得.
【详解】，
A为的内角，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.
13．
【分析】
利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值.
【详解】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域
（其中），
必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴，
∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数,使得，即，，
同时，
∴的最小值为,
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键.
14．98
【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果．
【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，
，1，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
15．
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
16．
【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.
【详解】由题设有，因为，故，故，
当时，，故，此时为闭区间，
当时，不妨设，若，则，
若，则，
若，则，
综上，，
又为闭区间等价于为闭区间，
而，故对任意恒成立，
故即，故，
故对任意的恒成立，因，
故当时，，故即.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.
17．
【分析】由无穷等比数列的概念可得公比的取值范围，再由极限的运算知，从而得解．
【详解】解：无穷等比数列，公比，，，
，
，
，，．
故答案为：，，．
18．189
【分析】由等比数列前项和公式求解，
【详解】由题意得，
故答案为：189.
19．
【分析】直接代入等差数列的通项公式可得答案.
【详解】因为， 所以.
故答案为：.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案；
（2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接，
，
在中，，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：连接，
因为曲线CMD上任一点到O距离相等，
所以，
因为P，Q关于OM对称，
所以，
设，则，
则
，其中，
当时，取得最大值，
所以五边形面积S的最大值为.
21．(1)1，；
(2)﹒
【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．
(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值．
【详解】（1）∵，由正弦定理得，
又，可得，
由于，可得．
（2）∵，0＜C＜π，
∴，C＞＞A，
.
∵，
∴，
又，
可解得或(舍)，
由正弦定理，可得．
22．(1)7或9；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用递推公式可得，进而可求出；
（2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例即可得出命题为假命题；
（3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式.
【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9；
（2）因为成等差数列，所以，,
所以，
逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题，
（3）因为，所以
，所以，
因此，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：
当时，明显成立；
假设当时命题成立，即，
则，即，即命题得证；
回到原题，分类讨论求数列的通项公式：
1.若，则矛盾；
2.若，则，所以，所以，
此时，
所以，
3.若，则，所以，所以，
所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾，
综上.
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
23．(1)
(2)
【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；
（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1），则，
，，，
，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得，．
令，由，则，
在有解．
又在上是严格增函数，
，即，
又，则.
24．(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明，
（2）构造函数后由导数证明不等式，
（3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解，
【详解】（1），则在处的切线为，
当时，，即，
所以当正整数时，；
（2）作差得，
令，，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
，故，
所以当正整数时，；
（3），令，
与单调性相同，由（2）得，
当时，，当时，，
故至多有两解，
若成等差数列，则，
故最多项成等差数列，此时，．
而，，
令，，显然时，，
故在上单调递增，
而，，，故有唯一解，
存在使得，此时，故存在最多项成等差数列，
25．（1）；（2）证明见解析，；（3）.
【分析】（1）根据等差中项分别验证求解；
（2）根据等差数列，分别计算，即可证明；
（3）由或可知或，结合（2）可求最大值.
【详解】（1）由题意，或，
∴，此时，满足
，此时，，
所以
（2）∵，∴，或，经检验，；
∴，或（舍），∴；
∴，或（舍），∴；
∴，或（舍），∴；
综上，、、成等比数列，公比为；
（3）由或，可知或，
由第（2）问可知，，
∴，，
∴，
同理，，，∴，
同理，，∴的最大值为
【点睛】关键点点睛：由，再利用，再结合①或②，按②变换次，按①变换次，求出，同理求出其他，属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页