上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-05函数与导数经典题（含答案）

上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-05函数与导数经典题
一、单选题
1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
3．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
4．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
5．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（ ）
A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称
C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称
6．（2021·上海·高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________．
8．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
9．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.
10．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
11．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；
12．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.
13．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
14．（2024·上海·高考真题）已知则______．
三、解答题
15．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
16．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
17．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
18．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
19．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
20．（2021·上海·高考真题）已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.
21．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
22．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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《上海市五年（2021-2025）高考数学真题按题型知识点分类汇编-05函数与导数经典题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D B A D C
1．B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.
即对任意的，恒成立，
令，构造函数，
则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故至多个零点，
又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.
故选：B.
2．D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
3．B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
4．A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
5．D
【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误.
【详解】对于A，因为为偶函数，故，
而的图像关于直线对称，故，故，
故为周期函数且周期为2，
而在必有最大值，故必有最大值，故A错误.
对于B，而的图像关于点对称，故，
故，故，故
故为周期函数且周期为4，
而在必有最大值，故必有最大值，故B错误.
对于C，因为为奇函数，故，
而的图像关于直线对称，故，故，
所以故为周期函数且周期为4，
而在必有最大值，故必有最大值，故C错误.
对于D，因为为奇函数，故，
而的图像关于点对称，故，
故，设，
则，故无最大值，
故选：D
6．C
【分析】根据反函数的定义判断．
【详解】在定义域内，
中可能有两个不同的对应同一个，不存在反函数；
是周期函数，多个对应同一个，不存在反函数；
对值域内每一个值在定义域内都只有唯一的与之对应，存在反函数，
是所有对应同一个，它不存在反函数．
故选：C．
7．/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知.
故答案为：.
8．
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
9．0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】是奇函数，则恒成立，
所以，解得
故答案为：0．
10．
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
11．
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
12．，，
【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得．
【详解】令得，或（舍去）；
当时，，故对任意，
都存在，，，故，
故，，，而当时，，
故当，，时，参数的最小值为，
故参数的取值范围为，，
故答案为：，．
13．1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.
【详解】当时，，
当时，，故，
而，故即，
故答案为：1.
14．
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；
（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1），则，
，，，
，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得，．
令，由，则，
在有解．
又在上是严格增函数，
，即，
又，则.
16．(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
17．(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
18．(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明，
（2）构造函数后由导数证明不等式，
（3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解，
【详解】（1），则在处的切线为，
当时，，即，
所以当正整数时，；
（2）作差得，
令，，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
，故，
所以当正整数时，；
（3），令，
与单调性相同，由（2）得，
当时，，当时，，
故至多有两解，
若成等差数列，则，
故最多项成等差数列，此时，．
而，，
令，，显然时，，
故在上单调递增，
而，，，故有唯一解，
存在使得，此时，故存在最多项成等差数列，
19．(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；
（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.
【详解】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，故在点处的切线方程为.
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域R上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）解绝对值不等式即可得答案；
（2）利用有两个不同的实数根，转化为有两个根，利用换元法可求实数a的取值范围；
（3）分与两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的取值范围.
【详解】解：（1），∴，解得；
所以函数的定义域为.
（2）由题知有2个不同实数根，
所以，，
设，∴有2个不同实数根，
∴整理得，有2个不同实数根，同时，
∴；
（3）当，，在递减，
此时需满足，即时，函数在上递减；
当，，在上递减，
∵，
∴，即当时，函数在上递减；
综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减.
所以的取值范围是
【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为，有2个不同实数根，进而求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解.
21．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；
（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：函数的定义域满足，即，
所以，要使函数的定义域非空，则，即.
若将函数图像向下移后得到的解析式为：
，.
所以在函数的图像上，即，
解得：，
所以，
（2）解：由题知，
,
,
因为函数在上单调递增，
所以等价于，展开整理得：，
所以，不等式的解集为的解，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
22．(1)不存在
(2)且
【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；
（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范围是且.
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