2025-2026学年苏科版七年级下册数学7.3 同底数幂的除法 强化提升专练（含答案）

7.3 同底数幂的除法强化提升专练
一、同底数幂的除法
核心公式：（其中a≠0，m、n均为正整数，且m>n）
记忆口诀：底数不变，指数相减
易错要点：
前提条件：底数必须完全相同，且底数不能为0（0的任何正整数次幂为0，0不能作为除数）；
指数要求：被除数的指数（m）必须大于除数的指数（n），若，则结果可转化为负整数指数幂；
区分辨析：切勿与同底数幂的乘法、幂的乘方混淆（乘法加指数、乘方乘指数、除法减指数）；
易错示例：，不可写成或；
符号处理：若底数为负数，运算时底数保持不变，仅对指数相减，注意负号的保留（如）。
二、易错提醒（重点标注）
运算优先级：若涉及混合运算，先算乘方，再算同底数幂的除法，最后算加减；
底数禁忌：同底数幂除法中，底数不能为0，这是运算的前提，切勿忽略；
指数易错：避免出现“指数相除”“指数相乘”的错误，牢记除法对应“指数相减”；
符号易错：底数为负数时，负号随底数一起参与运算，不单独进行乘方（如）。
二、零指数幂运算
核心公式：（其中）
记忆口诀：非零数的零次幂，结果恒等于1
易错要点：
前提条件：底数不能为0，无意义；
形式变化：任何非零数的0次幂都等于1，与指数大小无关（如，）；
易混点：不要将（）与（为正整数）混淆，前者恒为1，后者随和变化。
三、负整数指数幂运算
核心公式：（其中，为正整数）
记忆口诀：负指数变正指数，底数取倒数
易错要点：
前提条件：底数不能为0；
运算步骤：先将负指数转化为正指数，再求底数的倒数（如，）；
符号处理：负指数只针对底数，若底数有符号需整体取倒数（如，注意与区分）；
与除法的关系：同底数幂除法中，若，则，结果转化为正指数幂的倒数。
四、易错提醒（重点标注）
运算优先级：若涉及混合运算，先算乘方（含零指数、负指数），再算同底数幂的除法，最后算加减；
底数禁忌：同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂中，底数均不能为0，这是运算的前提，切勿忽略；
指数易错：避免出现“指数相除”“指数相乘”的错误，牢记除法对应“指数相减”，负指数需转化为正指数的倒数；
符号易错：底数为负数时，负号随底数一起参与运算，不单独进行乘方（如）；零指数幂中，负数的零次幂为1，负指数幂中，负数的负指数幂需先整体取倒数再计算。
）。
强化提升专练
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
2．下列各式中，计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ 　 ）
A． B．
C． D．
4．太阳与地球的平均距离约为米，光在真空中的传播速度约为米/秒，则太阳光传播到地球的时间约为（ ）
A．0.5秒 B．5秒 C．50秒 D．500秒
5．实数，，满足，，，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，定义新运算，则的值是（ ）
A． B．11 C． D．
7．已知，，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．计算：_____．
10．把下列分数写成负整数指数幂的形式：
（1）_______；
（2）_______；
（3）_______．
11．若，则的值是____
12．若，，则__．
13．若am=20，bn=20，ab=20，则=______．
14．若，则_________ ．
15．已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ．
16．已知，其中是正整数，那么_____．
17．若整数a，b，c满足，则______．
18．2025年3月，全球首枚三进制芯片的诞生．这项被称为“第三次数学革命”的技术突破，在多维度全面超越传统二进制技术．三进制数的组成数字为0，1，2．我们知道，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，常在数的右下角标明基数，例如，二进制数，三进制数．将二进制数转换为十进制数为：；将十进制数转化为二进制数可以用“除2取余”法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图所示，将式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）．将二进制数化为三进制数为______．
三、解答题
19．计算：
20．已知．
(1)求的值；
(2)求证：．
21．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？
22．某银行去年新增居民存款3亿元人民币．
(1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示）
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？
23．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系；
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：
设，，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算： ．
24．阅读材料：
定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，
例如：，那么称2是100的劳格数，记为．
填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；
直接写出______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且，，
根据劳格数的定义：，______，
∵
∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴______，即，
请你把数学研究小组探究过程补全
拓展：根据上面的推理，你认为：______．
试卷第4页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D D C B A C
1．D
【详解】解：．
故选：D
2．B
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项符合题意；
C. ，故选项不符合题意；
D. ，故选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【详解】对于选项A：∵
∴A错误．
对于选项B：∵，
∴B错误．
对于选项C：∵，
∴C错误．
对于选项D：∵，与右边相等，
∴D正确．
故选：D．
4．D
【详解】解：∵太阳到地球的距离约为米，光在真空中的传播速度约为米/秒，
∴太阳光到达地球的时约为：（秒）．
故选：D．
5．C
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
7．A
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
设，，
则，．
∵，
又，
∴，
∴．
∴．
故选A.
8．C
【详解】解：①∵，
∴，该选项正确，符合题意；
②∵，
∴，
解得，该选项错误，不符合题意；
③由得，设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，该选项正确，符合题意；
④令，则，
∵，
∴，该选项正确，符合题意；
∴正确的选项有：①③④，
故选：C．
9．
【详解】解：．
故答案为：．
10． （或） （或或）
【详解】（1），故答案为：；
（2），故答案为：或；
（3），故答案为：或或．
11．
【详解】解：，
，
故答案为：8．
12．9
【详解】，，
．
故答案为：9．
13．1
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
14．或2
【详解】解：分三种情况讨论：
（1）当指数为0，底数不为0时，根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，可得
解得，且，即，符合题意；
（2）当底数为1时，1的任意次幂都等于1，可得，
解得，此时，符合题意；
（3）当底数为时，，
解得，此时，不符合题意，舍去.
综上，的值为或．
15．2
【详解】解：∵，，，
∴，
∴﹒
故答案为：2
16．或
【详解】解：，
①∴，
解得：
∴．
②∴，
解得：，
∴．
故答案为：或．
17．
【详解】，
又，
，
，
解得，
．
故答案为．
18．
【详解】解：∵，
∴
∴将二进制数化为三进制数为．
故答案为：
19．
【详解】原式
20．
【详解】（1）解：，
当时，原式．
（2）证明：当时，
，
又，
∴，
∴．
21．1滴水（以20滴水为计）中大约有个水分子，大约需要31773年才能数完．
【详解】解：1滴水的质量为1克克千克，
1滴水中水分子数量为个；
10亿人人，
每分钟计数数量总量为个，
总工作量为个，
总时间为分钟，
分钟年，
∴大约需要31773年才能数完．
22．(1)
(2)10天
【详解】（1）解：，
答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有；
（2）解：天，
答：点钞机大约要点10天．
23．
【详解】（1）解：由题意可得：，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，，
，，
，
，
；
（3）①证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
②解：
，
设，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
24．1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．
【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为，
∴，那么称3是1000的劳格数，记为．
∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8；
∵，
∴，
∵，，
∴＝pq，
∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n，
∴＝＋，
即，
设，，
∴，，
∵，
∴＝a－b＝－，
即－．
故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．