期末复习精练(一)——三角形的证明 （含答案） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

期末复习精练(一)——三角形的证明
知识点1　三角形内角和定理及其推论
1．在△ABC中，∠A＋∠B＝120°，∠C＝2∠A，则∠A的度数为(　　)
A.30° B．60° C．90° D．120°
2．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD的度数为(　　)
A．40° B．45° C．50° D．55°
　　
第2题图 第3题图
3．如图，∠1，∠2，∠3之间的大小关系是(　　)
A．∠1＞∠3＞∠2 B．∠1＞∠2＞∠3
C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠1＞∠3
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝20°，则∠ADE的度数为________．
　　
第4题图
知识点2　等腰三角形的性质与判定
5．(2025河源期中)若一个等腰三角形的一边长为3 cm，周长为15 cm，则该等腰三角形的底边长为(　　)
A．3 cm或9 cm B．9 cm
C．3 cm D．3 cm或6 cm
6．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AB＝AD＝CD，若∠C＝40°，则∠B的度数为(　　)
第6题图
A．40° B．50° C．70° D．80°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若AB＝5，AD＝4，则BC的长是________．
第7题图
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，连接AC，过点D作DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
(2)若DE＝CB，求∠CAD的度数．
第8题图
知识点3　等边三角形的性质与判定
9．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB的长为半径作弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则∠DEC的度数为(　　)
第9题图
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．如图是某种落地灯的简单示意图，已知悬杆CD与支杆BC，CD＝BC，且∠BCE＝120°.若CD的长度为50 cm，则点B，D之间的距离为(　　)
第10题图
A．40 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm
11．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，过点O作OD∥AB，OE∥AC，分别交BC于点D，E.试判断△ODE的形状，并说明理由．
第11题图
知识点4　直角三角形的性质与判定
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC的长为(　　)
第12题图
A． B．2 C．2 D．4
13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．a∶b∶c＝2∶3∶4 B．a2＝b2＋c2
C．∠B＋∠C＝∠A D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD为边BC上的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC.求证：FD＝CD.
第14题图
15．小明一家去露营，他们搭建的帐篷的部分支架示意图如图所示．在△ABC中，两根支架AB与AC从帐篷的顶点A处支撑在水平支架BC上，支架AD⊥BC于点D.经测量，BD＝1.6 m，CD＝0.9 m，AD＝1.2 m．当帐篷支架AB与AC的夹角∠BAC为直角时，帐篷符合安全要求．
(1)求帐篷顶点A与水平支架端点C之间的距离；
(2)请通过计算说明他们搭建的帐篷是否符合安全要求．
第15题图
知识点5　线段的垂直平分线的性质与判定
16．(2025揭阳期中)如图，DE为△ABC的边AC的垂直平分线，已知BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长是(　　)
第16题图
A．16 B．18 C．26 D．28
17．如图，某公园的三个出口A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处．若在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应该建在(　　)
第17题图
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
18．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连接AD，已知BE＝AC.
(1)求证：AD垂直平分CE；
(2)若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
第18题图
知识点6　角平分线的性质与判定
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D.如果AC＝6，那么AE的长为(　　)
第19题图
A．3 B．4 C．5 D．6
20．如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，连接AD，DE，DF，若BE＝CF，且△BDE和△CDF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.
第20题图
21．如图，△ABC的外角∠EBC，∠FCB的平分线相交于点P，PE⊥AB交AB的延长线于点E，PF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：BC＝BE＋CF.
第21题图
知识点7　反证法与逆命题、逆定理
22．用反证法来证明命题“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”，第一步应假设____________________________________．
23．下列命题的逆命题不成立的是(　　)
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
知识点8　尺规作图
24．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的(　　)
第24题图
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
25．尺规作图：如图，已知线段a，求作以a为底，以a的长为高的等腰三角形ABC，并判断等腰三角形ABC有什么特征．(保留作图痕迹，不写作法)
第25题图
26．(2025茂名期中)如图，张、李两村均坐落在两相交的笔直公路所形成的夹角的内部．某市计划在张、李两村之间建一个活动中心P，其中点P必须同时满足下列条件：①点P到两条公路的距离相等；②点P到张、李两村的距离也相等．请你用尺规作图法确定点P的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
第26题图
基础题
1．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为(　　)
A．35° B．40° C．70° D．110°
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　)
A．1，2，3 B．2，3，4
C．，， D．9，40，41
3．随着钓鱼成为一种潮流，便携式折叠凳(如图1)成为热销产品，其撑开后的侧面示意图如图2所示．已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则∠ODC的度数为(　　)
第3题图
A．36° B．50° C．54° D．72°
4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连接CE.若AE＝AC，则∠E的度数为(　　)
第4题图
A．45° B．60° C．65° D．75°
5．(2025深圳期中)用反证法证明命题“一个三角形中，至少有两个角是锐角”，应先假设一个三角形中(　　)
A．至少有两个角是锐角 B．最多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
6．(2025佛山期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB.若AC＝12，EC＝5，则BE的长为(　　)
第6题图
A．5 B．10 C．12 D．13
7．如图，已知O是△ABC的三条角平分线的交点．若△ABC的周长为18，且点O到边AC的距离为4，则△ABC的面积为________．
第7题图
8．如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，已知CD＝3，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△CDE为等边三角形；
(2)求EF的长．
第8题图
提升题
9．如图1，2，3，在△ABC中，∠A＝60°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠M＋∠N＋∠P＝(　　)
第9题图
A．150° B．180° C．210° D．220°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC.若P，Q分别是线段AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是__________．
第10题图
11．(2025梅州期中)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，下列结论：①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠PCQ＝45°.其中正确的结论有________．(填序号)
第11题图
12．如图，D为△ABC外一点，G为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F，连接DG，AD，已知DG⊥BC，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB＝15，AC＝9，求AE的长．
第12题图
13．(2025佛山期中)若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫作△ADE的“余高”．
(1)如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，连接BD，CE，判断△ABD与△ACE________“底余等腰三角形”．(填“互为”或“不互为”)
(2)如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，当0°＜∠BAC＜180°时，若△ADE的“余高”是AH.
①请用直尺和圆规作出AH；(不写作法，保留作图痕迹)
②求证：DE＝2AH.
(3)如图2，当∠BAC＝90°时，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，连接BD，CE.若BD＝6，CE＝8，请直接写出BC的长．
第13题图
期末复习精练（一）——三角形的证明
1．A　2.C　3.B　4.50°　5.C　6.D　7.6　
8．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°－∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝60°.
∵∠FCD＋∠CDE＝∠EFC，
∴∠FCD＝∠EFC－∠CDE＝30°.∴∠FCD＝∠CDE.
∴CF＝DF.∴△FCD是等腰三角形．
（2）解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°.
又∵∠CDE＝∠ACB，DE＝CB，
∴△CDE≌△ACB（ASA）.
∴CD＝AC.∴∠CDA＝∠CAD.
由（1），得∠ACD＝30°.
∴∠CAD＝（180°－∠ACD）＝75°.
9．C　10.C　
11．解：△ODE是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠B＝60°，∠OED＝∠C＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝60°.
∴∠ODE＝∠OED＝∠DOE＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
12．B　13.A　
14．证明：∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝90°－∠ABC＝45°.
∴∠ABC＝∠BAD.∴BD＝AD.
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）.∴FD＝CD.
15．解：（1）在Rt△ADC中，AD＝1.2，CD＝0.9，
∴AC＝＝1.5（m）.
（2）在Rt△ABD中，BD＝1.6，AD＝1.2，
∴AB＝＝2.
∵BC＝BD＋CD＝2.5，AC＝1.5，
∴AB2＋AC2＝22＋1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25.
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
∴他们搭建的帐篷符合安全要求．
16．B　17.A　
18．（1）证明：如答图1，连接AE.
答图1
∵EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
又∵BE＝AC，∴AE＝AC.
又∵D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE.
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠EAB＝∠B＝35°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝55°.
∴∠EAD＝∠BAD－∠EAB＝55°－35°＝20°.
∵AE＝AC，D为线段CE的中点，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°.
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝75°.
19．B　
20．证明：如答图2，过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H.
答图2
∵S△BDE＝S△CDF，
∴BE·DG＝CF·DH.
又∵BE＝CF，∴DG＝DH.
又∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
21．证明：如答图3，过点P作PH⊥BC于点H.
答图3
∵CP是∠FCB的平分线，PF⊥AC，PH⊥BC，
∴PF＝PH.
在Rt△CPF和Rt△CPH中，
∴Rt△CPF≌Rt△CPH（HL）.
∴CF＝CH.
同理可得BE＝BH.
∴BC＝BH＋CH＝BE＋CF.
22．a，b都小于0　23.B　24.B　
25．解：如答图4，△ABC即为所求．
答图4
∵OC＝AO＝OB＝a，OC⊥AB，
∴∠CAO＝∠CBO＝45°.
∴等腰三角形ABC是等腰直角三角形．
26．解：如答图5，点P即为所求．
答图5
常考训练　1.B　2.D　3.B　4.D　5.B　6.D　7.36　
8．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝∠60°，∠EDC＝∠B＝60°.
∴∠DEC＝∠EDC＝∠ECD＝60°.
∴△CDE是等边三角形．
（2）解：∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝3.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠EFD＝90°－∠EDF＝30°.
∴DF＝2DE＝2×3＝6.
∴EF＝＝＝3.
9．C　10.　11.①②③　
12．（1）证明：如答图6，连接DB，DC.
答图6
∵DG⊥BC，G为BC的中点，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴DB＝DC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）.∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ AD平分∠BAC.
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE＝AF.
∵BE＝CF，∴AB－AE＝AF－AC＝AE－AC.
∴15－AE＝AE－9.解得AE＝12.
13．（1）解：互为．
（2）①解：如答图7，线段AH即为所求．
答图7
②证明：如答图7，过点A作AF⊥DE于点F.
∴∠AHB＝∠DFA＝90°.
∵△ABC和△ADE互为“底余等腰三角形”，
∴∠ABH＋∠ADF＝90°，BA＝AD＝AE.
又∵∠ABH＋∠BAH＝90°，
∴∠BAH＝∠ADF.
又∵∠AHB＝∠DFA，BA＝AD，
∴△AHB≌△DFA（AAS）.∴AH＝DF.
又∵AF⊥DE，AD＝AE，
∴DE＝2DF.∴DE＝2AH.
（3）解：BC＝5.