第二章不等式与不等式组 培优训练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第二章　不等式与不等式组
第一～二节　不等式的性质与一元一次不等式
培优点1　不等式的性质
1．(新BS八下P71)在不等式ax＋b>0中，a，b是常数，且a≠0.当________时，不等式的解集是x>－；当________时，不等式的解集是x＜－.
2．(2025梅州期末)实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①a＋b＞0；②a＋b＞a＋c；③bc＞ac；④ab＞ac.其中正确的有________．(填序号)
第2题图
3．我国著名数学家华罗庚曾用诗词“数缺形时少直观，形少数时难入微”表达了“数形结合”的思想．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
已知：x＞y＞0，求证：x2＞y2.
(1)从“数”的角度证明；
(2)从“形”的角度证明．
培优点2　解一元一次不等式
4．若x＝2是关于x的不等式3x－a＋2＜0的一个解，则整数a可能为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．5
变式4.1　已知关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为x＝3，则实数m的取值范围是________．
5．已知m，n是常数，若关于x的不等式mx＋n＞0的解集为x＜，则关于x的不等式nx－m＜0的解集是(　　)
A．x＜－2 B．x＜2 C．x＞－2 D．x＞2
6．【数形结合】设“〇”“□”“△”分别代表三种不同的物体，用天平称了两次，情况如图所示．若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上的表示正确的是(　　)
第6题图
7．对于实数a，b，定义一种新运算“▲”为a▲b＝－2a＋b，例如：2▲3＝－2×2＋3＝－1.已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上的表示如图所示，则k的值是(　　)
第7题图
A．2 B．－3 C．6 D．－4
8．定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”．
(1)不等式x≥2________x≤2的“友好不等式”；(填“是”或“不是”)
(2)已知a≠－1，关于x的不等式x＋3＞a与ax－1≤a－x互为“友好不等式”，求a的取值范围；
(3)若关于x的不等式x－m≥0不是2x－1＜x＋2的“友好不等式”，则m的取值范围是________．
第三节　一元一次不等式与一次函数
培优点1　利用图象确定不等式的解集
1．(2025徐州)如图为一次函数y＝kx＋b的图象，关于x的不等式k(x－3)＋b＜0的解集为(　　)
　　　 　
第1题图
A．x＜－4 B．x＞－4 C．x＜2 D．x＞2
2．已知直线y1＝kx＋b(k＞0)与x轴交于点(－2，0)，直线y2＝mx＋b(m＜0)与x轴交于点(3，0)，据此可推出关于x的不等式组kx＋b≥mx＋b＞0的解集为(　　)
A．－2＜x＜3 B．0＜x≤3
C．－2≤x＜0 D．0≤x＜3
3．一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象如图所示，下列结论：①ab＜0；②若M(x1，y1)，N(x2，y2)是直线y1＝ax＋b上不重合的两点，则(x1－x2)(y1－y2)＞0；③a＋b＞c＋d；④3a＋b＝3c＋d；⑤当m＞3时，am＋b＞cm＋d.其中正确的结论有(　　)
第3题图
A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1和y＝kx＋b的图象分别与x轴交于点A(－2，0)，B(5，0)，两直线相交于点C.观察图象并回答下列问题：
第4题图
(1)关于x的方程k1x＋b1＝0的解是________，关于x的不等式kx＋b＜0的解集是________．
(2)若点C的坐标为(2，6)，
①关于x的不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集是________；
②△ABC的面积为________；
③在y轴上找一点P，使得PB－PC的值最大，则点P的坐标为________．
培优点2　新函数与一元一次不等式
5．【探究发现】某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径：定义→图象→性质→应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x－2|－2，下表是y与x的几组对应值．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 －2 a 2 …
(1)a＝________．
(2)以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并把这些点依次连接起来，得到函数图象．根据函数图象写出该函数的一条性质：_____________________________________.
【拓展应用】(3)若点A(m，p)，B(n，p)均在该函数图象上，请写出m，n之间的数量关系：________．
(4)结合函数y＝2|x－2|－2的图象，请写出不等式2|x－2|－2＞x－1的解集：________．
第5题图
第四节　一元一次不等式组
培优点1　不等式组求参数
1．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为(　　)
A．m＝5 B．m＞5 C．m＜5 D．m≤5
2．(2025南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是________．
3．若关于x的不等式组的所有整数解的和为9，求整数m的值．
培优点2　阅读理解
4．在解不等式|x＋1|＞2时，我们可以采用下面的方法：
①当x＋1≥0时，|x＋1|＝x＋1＞2.
可得不等式组解得x＞1.
②当x＋1＜0时，|x＋1|＝－(x＋1)＞2.
可得不等式组解得x＜－3.
综上所述，原不等式的解集为x＞1或x＜－3.
请你仿照上述方法，解不等式|x－2|≤1.
5．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．例如：方程2x－6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4.因为1＜3＜4，所以称方程2x－6＝0为不等式组的关联方程．
(1)下列方程：①3x－3＝0；②x＋1＝0；③x－(3x＋1)＝－9.其中是不等式组的关联方程的是______．(填序号)
(2)若方程5x－10＝0和＝2都是关于x的不等式组(k≠1)的关联方程，请求出k的取值范围．
培优专题2　一元一次不等式(组)的应用
1．“五一”长假期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增4人，每个窗口每分钟出售票数3张(规定每人只限购一张)．若在开始售票20分钟后，来购票的旅客不用排队等待，则至少需要开放________个窗口．
2．某电器超市销售A，B两种型号的电风扇，每台的进价分别为160元和120元，下表是近两周的销售情况：
销售 时段 销售数量 销售 收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1 200元
第二周 5台 6台 1 900元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)分别求A，B两种型号的电风扇的售价．
(2)若超市准备用不超过7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，则最多能采购A种型号的电风扇多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1 850元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并指出哪种方案获得的利润最大；若不能，请说明理由．
3．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2，3辆购物车叠放所形成的购物车列的长度为1.6 m．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6 m的购物车列．
第3题图
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
(1)当n辆购物车按如图2所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为L m，则L与n的关系式是________．
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆的购物车．
(3)若该超市需转运100辆购物车，并要求使用电梯的总次数为5，则有哪几种使用电梯的分配方案？请写出所有方案．
本章重难压轴
1．若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b(a＜b，a，b均不为0)，则根据对应点(a，b)所在坐标系中的象限，称A为其所在象限解集．例如：不等式组A的解集为1＜x＜2，根据对应点(1，2)在第一象限，称A为第一象限解集．
(1)已知关于x的不等式组A：则A为第________象限解集；
(2)已知关于x的不等式组B：为第一象限解集，求m的取值范围；
(3)已知关于x的不等式组C：为第二象限解集，且其对应点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求a＋b的值．
2.【综合与实践】
某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动．
【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量(辆/分钟)和时间进行数据的收集、统计和分析，整理得到如下表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到y1与x之间的函数关系式及y2与x之间的函数关系式．
时间x 7时 10时 14时 17时 20时
自西向东交通量y1(辆/分钟) 93 78 a 43 28
自东向西交通量y2(辆/分钟) 42 48 56 62 68
【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向．通过查阅资料发现：若设单位时间内双向交通总量为v总＝y1＋y2，则当车流量较大的方向的交通量y≥v总时，道路非常拥堵，需要将“可变车道”的行车方向变为交通量较大的方向，去改善交通状况．
【解决问题】
(1)已知y1与x之间的函数关系式为y1＝－5x＋128，则表格中a＝________．
(2)求y2与x之间的函数关系式．(不用写自变量的取值范围)
(3)请你通过计算判断该路段在7时至20时时段，应如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵(即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道)
第2题图
第二章　不等式与不等式组
第一～二节　不等式的性质与一元一次不等式
1．a＞0　a＜0　2.①②③④
3．证明：（1）∵x＞y＞0，∴x＋y＞0，x－y＞0.
∴（x＋y）（x－y）＞0.
∴x2－y2＞0，即x2＞y2.
（2）如答图1，设正方形ABCD的边长为x，正方形BEFG的边长为y，则正方形ABCD的面积为x2，正方形BEFG的面积为y2.
答图1
所以x2＞y2.
4．C　变式4.1　7≤m＜10　5.A　6.D　7.C
8．解：（1）是．
（2）∵x＋3＞a，∴x＞a－3.
∵ax－1≤a－x，
∴（a＋1）x≤a＋1.分两种情况讨论：
①当a＋1＞0，即a＞－1时，x≤，即x≤1.
此时a－3＜1.解得a＜4.∴－1＜a＜4.
②当a＋1＜0，即a＜－1时，x≥，即x≥1.
此时始终符合题意．∴a＜－1.
综上所述，a的取值范围为a＜－1或－1＜a＜4.
（3）m＞2.
第三节　一元一次不等式与一次函数
1．C　2.D　3.B
4．（1）x＝－2　x＞5；（2）①x＞2；②21；③（0，10）
5．解：（1）0.
（2）描点，并把这些点依次连接起来如答图1所示．
答图1
当x＜2时，y的值随x值的增大而减小（答案不唯一）.
（3）m＋n＝4.
（4）x＜1或x＞5.
第四节　一元一次不等式组
1．D　2.m≤3
3．解：解不等式①，得x＞2－m.
解不等式②，得x≤4.
∵该不等式组的所有整数解的和为9，
∴整数解为4，3，2或4，3，2，1，0，－1.
∴1≤2－m＜2或－2≤2－m＜－1.
解得0＜m≤1或3＜m≤4.
∴整数m的值为1或4.
4．解：①当x－2≥0时，|x－2|＝x－2≤1.
可得不等式组解得2≤x≤3.
②当x－2＜0时，|x－2|＝－（x－2）≤1.
可得不等式组解得1≤x＜2.
综上所述，原不等式的解集为1≤x≤3.
5．解：（1）③.
（2）解方程5x－10＝0，得x＝2.
解方程 ＝2，得x＝5.
分以下两种情况：
i．当k＜1时，解不等式kx－x＞k－1，得x＜1.
解不等式x＋5≤k，得x≤k－5.
因为k＜1，所以k－5＜－4.
所以原不等式组的解集为x≤k－5.
此时x＝2和x＝5都不可能是该不等式组的解．
所以不符合题意，舍去．
ii.当k＞1时，解不等式kx－x＞k－1，得x＞1.
解不等式x＋5≤k，得x≤k－5.
因为不等式组有解，所以k－5＞1.解得k＞6.
所以原不等式组的解集为1＜x≤k－5.
根据题意，得k－5≥5.解得k≥10.
综上所述，k的取值范围为k≥10.
培优专题2　一元一次不等式（组）的应用
1．8
2．解：（1）设A，B两种型号的电风扇的售价分别为x元和y元．
根据题意，得解得
答：A，B两种型号的电风扇的售价分别为200元和150元．
（2）设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇（50－a）台．
根据题意，得160a＋120（50－a）≤7 500.解得a≤37.5.
∵a是整数，∴a的最大值为37.
答：最多能采购A种型号的电风扇37台．
（3）能实现利润超过1 850元的目标．
由（2），设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇（50－a）台．
根据题意，得（200－160）a＋（150－120）（50－a）＞1 850.解得a＞35.
又∵a≤37.5，且a为整数，∴a＝36或37.
∴相应的采购方案有两种：
方案一：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台，利润为（200－160）×36＋（150－120）×（50－36）＝1 860（元）；
方案二：采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台，利润为（200－160）×37＋（150－120）×（50－37）＝1 870（元）.
∵1 860<1 870，∴方案二获得的利润最大．
3．解：（1）L＝0.2n＋1.
（2）当L＝2.6时，0.2n＋1＝2.6.解得n＝8.
2×8＝16（辆）.
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）设使用扶手电梯转运m次，则使用直立电梯转运（5－m）次．
根据题意，得24m＋16（5－m）≥100.解得m≥2.5.
又∵m为正整数，且m≤5，∴m可以取3，4，5.
∴共有3种使用电梯的分配方案：
方案1：使用3次扶手电梯，2次直立电梯；
方案2：使用4次扶手电梯，1次直立电梯；
方案3：单独使用5次扶手电梯．
本章重难压轴
1．解：（1）二．
（2）解不等式①，得x＞6m＋2.
解不等式②，得x＜.
∵不等式组B有解，∴6m＋2＜.解得m＜.
∵不等式组B为第一象限解集，∴
解得m＞－.
∴m的取值范围是 －＜m＜.
（3）根据二次根式的意义，得解得a＝5.
将a＝5代入不等式组C，得
解得8＋2b＜x＜3.∴其对应点为（8＋2b，3）.
又∵不等式组C为第二象限解集，且其对应点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，
∴8＋2b＜0，3＝2|8＋2b|.∴3＝－2（8＋2b）.
解得b＝－.∴a＋b＝5－＝.
2．解：（1）58.
（2）设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx＋b.
将（7，42），（10，48）代入，得解得
∴y2与x之间的函数关系式为y2＝2x＋28.
（3）由题意，得v总＝y1＋y2＝－5x＋128＋2x＋28＝－3x＋156.
①当y1≥v总时，－5x＋128≥（－3x＋156）.解得x≤8.
②当y2≥v总，时，2x＋28≥（－3x＋156）.解得x≥19.
答：在7时至8时时段，“可变车道”的方向应设置为自西向东；在19时至20时时段，“可变车道”的方向应设置为自东向西．