第六章平行四边形 培优训练 （含答案） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第六章　平行四边形
第一节　平行四边形的性质及判定
培优点1　利用性质进行线段和角度计算
1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为(　　)
第1题图
A．4 B．6 C．8 D．5
2．【多结论】如图，在 ABCD中，∠ADC＝60°，AD＝2AB，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，连接OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S四边形OECD＝S△AOD；④OE垂直平分AC；⑤∠COD＝60°.其中正确的有(　　)
第2题图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．(2025梅州期末)如图1，已知在 ABCD中，AD＝DC，若点P从顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为(　　)
第3题图
A．5 B． C． D．
4．(2025梅州期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作 PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为________．
第4题图
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AD于点D，∠BAD＝30°，BD＝4.E为AB上的一动点，连接EO并延长，交CD于点F.
(1)当EF⊥AB时，∠BOE的度数为_________________；
(2)当四边形ADFE为平行四边形时，求AE的长；
(3)当点O在BE的垂直平分线上时，连接DE，求△BDE的面积．
第5题图　　　　　　　　备用图
培优点2　平行四边形的判定
6．如图是4×4的正方形网格，其中每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB的两个端点都在格点上，若线段AB为 ABCD的一边，且 ABCD的四个顶点都在格点上，则满足上述条件的 ABCD的个数为(　　)
第6题图
A．3 B．4 C．8 D．11
变式6.1　如图，在4×4的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点(网格的交点)上，且面积为2的平行四边形共有(　　)
变式题图
A．10个 B．12个 C．14个 D．27个
7．(2025河源期末)如图，在等边三角形ABC中，BC＝8 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4 cm/s的速度运动．设它们运动的时间为t s，则当t＝________时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
第7题图
8．【跨学科】(新RJ八下P66)如图，在长方形台球桌面上击球，得到球的运动轨迹恰好为四边形EFGH.当台球每次撞击一条桌边时，入射方向与这条桌边的夹角等于反弹方向与这条桌边的夹角，如∠BEH＝∠AEF，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
第8题图
9．【开放性】(2025深圳期中)如图，在 ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点(不在线段BD上)，AC与BD相交于点O.
(1)下列条件：①CE∥AF；②CE＝AF；③BE＝DF.请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程．
(2)若四边形AECF是平行四边形，且BD＝2DF，△BCD的面积为5，求△AEC的面积．
第9题图
培优专题5　巧构辅助线解题
类型1　平行线＋线段中点→全等三角形
1．如图，在 ABCD中，E为AD的中点，点G，F分别在AB，CD上，连接GE，GF，EF，已知GE⊥EF，求线段AG，DF与GF之间的数量关系，并说明理由．
第1题图
变式1.1　如图，在 ABCD中，E是CD的中点，过点B作BF⊥AD于点F，连接EF.若AB＝5，BC＝4，DF＝1，则EF的长为________．
变式题图　
2．【方程思想】如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF.若DF＝，则AE的长为(　　)
第2题图
A．2 B． C． D．
类型2　构造平行四边形
3．如图，BC是 ABCD与 BCFE的公共边．连接AF与DE交于点O.求证：AF与DE互相平分．
第3题图
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积．
第4题图
第二节　三角形的中位线
培优点1　中位线定理的其他证明方法
1．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC.
下面是两种添加辅助线的证明方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一　如图1，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，CD，AF.
方法二　如图2，过点E作EF∥AB，交BC于点F，过点A作AM∥BC，交FE的延长线于点M.
第1题图
培优点2　中位线定理的应用
2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN，若MN＝5，则CD的长为(　　)
第2题图
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
3．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，若AB＝CD，∠EGF＝124°，则∠GEF的度数为________．
第3题图
4．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形的面积记为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形 的面积记为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形的面积记为S3，若△ABC的面积为64，则S1＋S2＋S3＝(　　)
第4题图
A．21 B．24 C．27 D．32
5．如图，点D是△ABC内一点，且BD⊥CD，连接AD，E，F，G，H分别为线段AB，AC，CD，BD的中点，若AD＝13，CD＝6，BD＝8，则图中阴影部分的周长为________．
第5题图
6．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，连接EF，DG.请判断DG与EF之间的位置关系和数量关系，并说明理由．
第6题图
培优专题6　构造中位线
类型1　三角形
已知一边的中点，构造另一边的中点 已知两个或多个中点
【条件】AD＝BD 【辅助线】取AC的中点E，连接DE 【结论】DE∥BC，且DE＝BC 【条件】AD＝BD 【辅助线】延长AC至点E，使CE＝AC，连接DC，BE 【结论】DC∥BE，且DC＝BE 【条件】AD＝BD，AE＝CE 【辅助线】连接BC 【结论】DE∥BC，且DE＝BC
1.(2025深圳期末)如图，点E为 ABCD的对角线BD上一点，DE＝1，BE＝5，连接AE并延长至点F，使EF＝AE，则CF的长为(　　)
第1题图
A．3 B． C．4 D．
2．(2025清远期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，连接CF，DF，若AB＝6，AC＝3，则DF的长为(　　)
第2题图
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
3．如图，在四边形ABCD中，R是CD的中点，P是CB上一动点，连接AP，RP，E，F分别是AP，RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，线段EF的长(　　)
第3题图
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
变式3.1　如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，M，N分别为线段BC，AB上的动点(点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则线段EF的最大值为________．
变式题图
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：
(1)△BEF是等腰三角形；
(2)BD＝(BC＋BF).
第4题图
类型2　四边形
已知四边形对边中点 已知四边形两条对角线中点
【条件】AE＝DE，BF＝CF 【辅助线】取BD的中点G，连接EG，FG 【结论】EG綊AB，FG綊CD 【条件】BE＝DE，AF＝CF，AD与BC不平行 【辅助线】取BC的中点G，连接EG，FG 【结论】EG綊CD，FG綊AB 【条件】BE＝DE，AF＝CF，AD∥BC 【辅助线】取CD的中点G，连接FG 【结论】EG綊BC，FG綊AD
5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝40°，∠ABC＝50°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连接MN.若AD＝BC＝2，则MN的长为________．
第5题图
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是对角线BD，AC的中点．若AD＝6，BC＝18，求EF的长．
第6题图
7．【性质应用】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝________°.
【方法迁移】(2)如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由．
【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE.
第7题图
第三节　多边形的内角和与外角和
1．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则这个多边形是________边形．
2．如图，已知线段AB，BC，CD是一个正多边形的三条边，延长AB，DC交于点M，若∠M＝90°，则这个正多边形是(　　)
第2题图
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
3．如图，将正五边形ABCDE沿BF折叠，若∠1＝18°，则∠2的度数为(　　)
第3题图
A．96° B．97° C．98° D．99°
4．(2025淮安)如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A，C分别在直线a，b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　)
第4题图
A．15° B．20° C．30° D．40°
5．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若∠1，∠2，∠3，∠4对应的外角的度数之和为220°，则∠BOD的度数为(　　)
第5题图
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠CBE的平分线相交于点P，若∠D＋∠C＝210°，则∠P＝(　　)
第6题图
A．10° B．15° C．30° D．40°
7．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝________°.
第7题图
变式7.1　如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
变式题图
8．【新定义】规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形．例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形．
(1)如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为________．
(2)如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线相交于点E，判断四边形DBEC是否为智慧四边形，并说明理由．
第8题图
本章重难压轴
1．综合与实践
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图1是这种平开窗滑撑支架的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如图2所示的示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，CF固定在窗页底边，B，E，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点C与点A重合，DC和DB均落在AB上；当点O在AB上滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OC＝6 cm，CD＝10 cm，BE＝13 cm． 图2
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OE与AB形成一个角∠EOB.出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内(即∠EOB≤30°)．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中DE的长度为________cm，滑动轨道AB的长度是________cm.
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，要求当点O滑动到点P时，∠EOB＝30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？(结果保留根号)
2.(2025佛山期末)综合与探究
折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
如图1，在平行四边形纸片ABCD中，点P是AB边上的一个动点，连接DP，把平行四边形ABCD沿着线段PD对折，点A的对应点为点A′.
【探究1】如图2，当点P与点B重合时，连接A′C，求证：A′C∥BD，请完成下面的证明过程：
证明：由折叠的性质，得∠DBA＝∠A′BD，AB＝A′B.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DBA＝________，A′B＝CD.
∴∠________＝∠________＝(180°－∠DEB).∴EB＝ED.
∴A′B－EB＝DC－ED，即________＝________．∴∠EA′C＝∠ECA′＝(180°－∠A′EC).
∵∠DEB＝∠A′EC，∴________＝________．∴A′C∥BD.
【探究2】如图3，若点A′刚好落在BC的中点处，且BP＝1，求AP的长．
【探究3】如图4，已知∠A＝30°，AD＝2，P是AB的中点，Q是DC的中点，连接A′Q，若△A′DQ是直角三角形，直接写出AB的长．
第2题图
第六章　平行四边形
第一节　平行四边形的性质及判定
1．A　2.B　3.C　4.3
5．解：（1）30°.
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OD＝OB.∴∠ODF＝∠OBE.
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△DOF≌△BOE（ASA）.∴DF＝BE.
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AE＝DF.∴AE＝BE＝AB.
∵BD⊥AD，∠BAD＝30°，BD＝4，
∴AB＝2BD＝8.∴AE＝4.
（3）如答图1，连接DE.
答图1
∵BD⊥AD，∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝60°.
∵点O在线段BE的垂直平分线上，
∴OE＝BO.
∴△OBE为等边三角形．
∴OE＝BE＝BO＝DO＝BD＝2，∠BOE＝∠OEB＝60°.
∴∠OED＝∠ODE.
又∵∠OED＋∠ODE＝∠BOE＝60°，∴∠OED＝30°.
∴∠DEB＝∠OED＋∠OEB＝90°.
∴DE＝＝＝2.
∴S△BDE＝BE·DE＝×2×2＝2.
6．D　变式6.1　D　7.或4
8．解：四边形EFGH是平行四边形．理由如下：
由题意可知，∠BEH＝∠AEF，∠AFE＝∠DFG.
∵∠A＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.
∴∠BEH＋∠DFG＝90°.
∵∠BEH＋∠HEF＋∠AEF＝180°，
∴∠HEF＝180°－2∠BEH.
∵∠AFE＋∠EFG＋∠DFG＝180°，
∴∠EFG＝180°－2∠DFG.
∴∠HEF＋∠EFG＝180°－2∠BEH＋（180°－2∠DFG）＝360°－2（∠BEH＋∠DFG）＝360°－180°＝180°.
∴EH∥FG.同理，得EF∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
9．解：（1）选择①.证明如下：
∵CE∥AF，∴∠AFE＝∠CEF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.
∴180°－∠ADB＝180°－∠CBD，即∠ADF＝∠CBE.
∴△ADF≌△CBE（AAS）.∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．
（或选择③.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴BO＋BE＝DO＋DF，即EO＝FO.
又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．）
（2）∵四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形，
∴OE＝OF，OB＝OD，AO＝CO.
∴OE－OB＝OF－OD，即BE＝DF.
又∵BD＝2DF，∴DF＝OD＝OB＝BE.
∴S△COB＝S△BCD＝×5＝2.5.
∴S△COE＝2S△COB＝2×2.5＝5.
∴S△AEC＝2S△COE＝2×5＝10.
培优专题5　巧构辅助线解题
1．解：GF＝AG＋DF.理由如下：
如答图1，延长GE，FD交于点H.
答图1
∵E为AD的中点，∴EA＝ED.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠A＝∠EDH.
在△AEG和△DEH中，
∴△AEG≌△DEH（ASA）.∴AG＝DH，EG＝EH.
又∵GE⊥EF，∴EF垂直平分GH.
∴GF＝HF＝DH＋DF＝AG＋DF.
变式1.1　　2.B
3．证明：如答图2，连接AE，DF.
答图2
∵四边形ABCD和BCFE是平行四边形，
∴AD綊BC，BC綊EF.∴AD綊EF.
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD＝∠CDA.
在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA（SAS）.∴AC＝BD.
（2）解：如答图3，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BC于点F.
答图3
∵AD∥CB，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴DE＝AC，CE＝AD＝2.
∴BE＝BC＋CE＝10.
由（1），得AC＝BD.
∴DE＝AC＝BD.
∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD.
∴△BDE是等腰直角三角形．∴DE＝BE＝5.
又∵DF⊥BC，∴BF＝EF＝BE＝5.
∴DF＝＝5.
∴梯形ABCD的面积为 ×（2＋8）×5＝25.
第二节　三角形的中位线
1．证明：方法一：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝CE.
又∵EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形．
∴AD∥CF，AD＝CF.∴BD∥CF，BD＝CF.
∴四边形BDFC是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC.
方法二：∵EF∥AB，AM∥BC，
∴四边形AMFB是平行四边形．
∴AM＝BF，AB＝MF.
∵AM∥BC，∴∠M＝∠CFE.
∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴AD＝BD＝AB，AE＝CE.
在△AME和△CFE中，
∴△AME≌△CFE（AAS）.∴AM＝CF，ME＝EF＝MF.
又∵AM＝BF，∴AM＝BF＝CF＝BC.
∵AD＝AB，ME＝MF，AB＝MF，∴AD＝ME.
又∵EF∥AB，即AD∥ME，
∴四边形ADEM是平行四边形．∴AM＝DE，AM∥DE.
又∵AM∥BC，AM＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC.（任选其一即可）
2．D　3.28°　4.A　5.23
6．解：DG∥EF，DG＝EF.理由如下：
如答图1，连接AO.
答图1
∵CE是△ABC的中线，
∴E是AB的中点．
又∵F是BO的中点，
∴EF是△ABO的中位线．
∴EF∥AO，EF＝AO.
同理，得DG∥AO，DG＝AO.
∴DG∥EF，DG＝EF.
培优专题6　构造中位线
1．C　2.C　3.C　变式3.1　2.5
4．证明：（1）∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD，∠BAC＝∠ACB.
又∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°.
又∵∠CBE＝90°，∠CDE＝90°，
∴∠BEF＝67.5°，∠BFE＝∠CFD＝67.5°.
∴∠BEF＝∠BFE.
∴BE＝BF.∴△BEF是等腰三角形．
（2）如答图1，延长AB至点M，使BM＝AB，连接CM.
答图1
由（1），得AD＝CD.
∴BD∥MC，BD＝MC.
∴∠BFE＝∠MCE.
由（1）得，∠BEF＝∠BFE，BE＝BF.
∴∠BEF＝∠MCE.∴ME＝MC.
∴BD＝MC＝ME＝（BM＋BE）＝（AB＋BF）＝（BC＋BF）.
5.
6．解：如答图2，取AB的中点G，连接EG.
答图2
∵E，F分别是对角线BD，AC的中点，
∴EG∥AD，EG＝AD＝×6＝3，GF∥BC，GF＝BC＝×18＝9.
又∵AD∥BC，∴G，E，F三点共线．
∴EF＝GF－EG＝9－3＝6.
7．（1）解：128.
（2）解：△OMN是等腰三角形．理由如下：
如答图3，取BD的中点H，连接HE，HF.
答图3
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝CD.
又∵AB＝CD，∴HF＝HE.
∴∠HFE＝∠HEF.
∵HF∥AB，HE∥CD，∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN.
∴∠ONM＝∠OMN.∴OM＝ON.
∴△OMN是等腰三角形．
（3）证明：如答图4，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF.
答图4
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴HE∥BM，HF∥CN，HE＝AB，HF＝CD.
又∵AB＝CD，∴HE＝HF.
∴∠HEF＝∠HFE.
∵HE∥BM，HF∥CN，∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE.
∴∠BME＝∠CNE.
第三节　多边形的内角和与外角和
1．九　2.D　3.D　4.B　5.C　6.B　7.360　变式7.1　360
8．解：（1）90°.
（2）四边形DBEC为智慧四边形．理由如下：
∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线相交于点E，
∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝∠BCN.
∴∠CBE＋∠BCE＝∠MBC＋∠BCN＝（∠MBC＋∠BCN）＝（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝（180°＋∠A）＝90°＋∠A.
又∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°，
∴90°＋∠A＋∠E＝180°.
又∵∠BDC＝90°＋∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°.
∴四边形DBEC为智慧四边形．
本章重难压轴
1．解：任务一：6　29.
任务2：如答图1，当点O与点P重合时，∠EOB＝30°，过点E作EH⊥OB于点H，则∠OHE＝∠BHE＝90°.
答图1
∵四边形OCDE为平行四边形，
∴OE＝CD＝10 cm，DE＝OC＝6 cm.
∴EH＝OE＝5 cm.
∴OH＝＝＝5（cm），BH＝＝＝12（cm）.
∴PA＝OA＝AB－OH－BH＝29－5－12＝（17－5）cm.
答：限位器P应装在离点A（17－5）cm的位置．
2．解：探究一：∠CDB　EBD　EDB　A′E　CE　∠ECA′ ∠EDB.
探究2：如答图2，延长PA′，DC交于点M.
答图2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.∴∠MDP＝∠DPA.
由折叠的性质，得∠DPA＝∠DPA′，AP＝A′P.
∴∠MDP＝∠DPA′.∴MD＝MP.
设AP＝A′P＝x.
∴AB＝CD＝AP＋BP＝x＋1.
∵CD∥AB，∴∠PBA′＝∠MCA′，∠A′PB＝∠M.
∵A′是BC的中点，∴A′B＝A′C.
在△PA′B和△MA′C中，
∴△PA′B≌△MA′C（AAS）.
∴BP＝CM＝1，A′P＝A′M＝x.∴MP＝A′P＋A′M＝2x.
∵MD＝CD＋CM＝x＋1＋1＝x＋2，MD＝MP，
∴x＋2＝2x.解得x＝2.∴AP＝2.
探究3：AB的长是4或 或 或2.