第三章图形的平移与旋转 培优训练 （含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第三章　图形的平移与旋转
第一节　图形的平移
培优点1　利用平移的性质进行计算或证明
1．如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移一定的距离得到△DEF.若AB＝2，EC＝2BE，则图中阴影部分的面积为________．
第1题图
2．如图，在△ABC中，I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将△ABC平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　)
第2题图　
A.3 B．4 C．4.5 D．5
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为(2，0)，(12，0)，AC＝BC＝13.将△ABC向左平移，当点C落在直线y＝－x＋8上时，线段AC扫过的区域的面积为________．
第3题图
4．如图，形状、大小完全相同的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC不动，将△DEF沿射线BC向右平移，记DE交AC于点G.下列结论：①四边形ABEG与四边形CGDF的面积相等；②AD∥EC，且AD＝EC；③若BF＝8 cm，EC＝2 cm，则△DEF向右平移了2 cm.其中正确的结论有(　　)
第4题图
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
培优点2　利用平移解决实际问题
5．如图是一块长方形场地ABCD，其长AB＝a m，宽AD＝b m，现准备在场地中修建两条小路，其中A，B两处入口的小路宽均为1 m，两小路汇合处的路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为______m2.
第5题图
6．【阅读理解】(1)数学老师布置了一个任务：在一块长为30 m，宽为20 m的长方形空地上，设计一条宽为x m的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为560 m2，画出设计图并求出小路的宽．
图1是小明同学的设计图，他的计算过程如下：(将下列过程补充完整)
小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移x m和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形，这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为________________．解得x＝________．
【类比应用】(2)某小区物业准备在一块长为20 m，宽为15 m的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于270 m2，则小路的宽不能超过多少米？
【拓展延伸】(3)图4是一个长为a m，宽为b m的街心花园，其空白部分为花坛，阴影部分是宽为1 m的小路，则花坛的总面积为______________m2.(用含a，b的式子表示)
第6题图
第二节　图形的旋转
培优点1　利用旋转的性质进行计算或证明
1．如图，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B的坐标为(1，0)，AC＝2，∠ABC＝30°，把Rt△ABC先绕点B顺时针旋转180°，然后向下平移2个单位长度得到Rt△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为________．
第1题图
2．如图，将含有60°角的三角板ABC绕顶点C(∠ACB＝60°)逆时针旋转一个角度α(0°＜α＜90°)得到△EDC，AB，CE相交于点F，若AE＝AF，则旋转角α＝________°.
第2题图
3．如图，在等边三角形ABC中，点O在边AC上，且AO＝3，CO＝6，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.若点D恰好落在边BC上，则OP的长为________．
第3题图
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，则线段BC在上述旋转过程中所扫过区域(图中阴影部分)的面积是(　　)
第4题图
A. B． C． D．
5．如图，O是等边三角形ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，连接O′A.下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与点O′之间的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝24＋12；⑤S△BOC＝12＋16.其中正确结论的个数为(　　)
第5题图
A.5 B．4 C．3 D．2
培优点2　规律探究
6．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片．如图2，以三个叶片的重合点为原点，以水平方向为x轴建立平面直角坐标系．已知开始时其中一个叶片的外端点A的坐标为(4，3)，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，则在第2 026秒时，点A的对应点A2 026的坐标为________．
第6题图
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝，AC在直线l上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点P1；将位置①的三角形绕点P1按顺时针方向旋转到位置②，可得到点P2；将位置②的三角形绕点P2按顺时针方向旋转到位置③，可得到点P3；……按此规律，AP2 025的长为________．
第7题图
培优点3　分类讨论
8．如图，已知∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC＝DE＝2，将△ADE绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，当点D恰好落在△ABC的直角边上时，BD的长为________．
第8题图
培优专题3　网格作图
类型1　平移、旋转作图
1．如图是一个正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点以及点P均在格点上．
(1)将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕点P逆时针旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A2B2C2的面积．
第1题图
2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－5，2)，B(－4，5)，C(－3，4).
(1)平移△ABC，使得点B与点O重合，平移后的图形为△A1OC1，画出△A1OC1；
(2)画出△A1OC1关于点O中心对称的△A2OC2.
第2题图
3．如图是一个正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C；
(3)(2)中的线段CB2也可由(1)中的线段A1B1旋转得到，请作出其旋转中心O.
第3题图
类型2　图案设计
4．如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)在图1中画出△ABD(点D在格点上)，使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形．
(2)在图2中画出△ABE(点E在格点上)，使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．
第4题图
本章重难压轴
1．探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片做平移实验(∠B＝∠DEF＝90°).
【操作探究】
(1)把△DEF沿射线BC向左平移到如图1所示的位置，E恰好是边BC的中点，连接AF，若AB＝2，求△ACF的面积；
【深入探究】
(2)如图2，把△DEF继续向左平移，当点E与点C重合时，连接AF，交DC于点G，求证：DG＝CG；
【拓展提升】
(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DQ⊥AF于点Q，连接CQ，若DQ＝2，求CQ的长．
第1题图
2.【操作实践】(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AP.将△ABP以点A为旋转中心，∠BAC的大小为旋转角逆时针旋转，点B的对应点为点B′，点P的对应点为点P′，画出旋转后的图形．
【深入探究】(2)如图2，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P是边BC上一点(不与点B，C重合)，猜想BP，CP，AP之间的数量关系，并给出证明．
【拓展应用】(3)如图3，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，P是△ABC的内部一点，且PA＝6，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为________．
(4)如图4，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值．
第2题图
第三章　图形的平移与旋转
第一节　图形的平移
1.　2.B　3.132　4.B　5.（ab－a－2b＋2）
6．解：（1）20（30－x）＝560　2.
（2）设小路的宽为x m.
根据题意，得15（20－x）≥270.
解得x≤2.
答：小路的宽不能超过2 m.
（3）（a－2）（b－1）.
第二节　图形的旋转
1．（－2，－2－）　2.40　3.3　4.C　5.C　6.（－4，－3）
7．4 050　8.3或3
培优专题3　网格作图
1．解：（1）如答图1，△A1B1C1即为所求．
答图1
（2）如答图1，△A2B2C2即为所求．
（3）S△A2B2C2＝×4×2＝4.
2．解：（1）如答图2，△A1OC1即为所求．
答图2
（2）如答图2，△A2OC2即为所求．
3．解：（1）如答图3，△A1B1C1即为所求．
答图3
（2）如答图3，△A2B2C即为所求．
（3）如答图3，点O即为所求．
4．解：（1）如答图4，△ABD即为所求．（答案不唯一）
答图4
（2）如答图5，△ABE即为所求．（答案不唯一）
答图5
四边形ACBE的面积为2×4＝8.
本章重难压轴
1．（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，
∴AB＝BC＝2.
由平移的性质，得EF＝BC＝2.
∵E是边BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝.
∴CF＝EF－CE＝.
∴S△ACF＝CF·AB＝××2＝5.
（2）证明：如答图1，连接AD.
答图1
由平移的性质，得AD＝CF，AD∥CF.
∴四边形ADFC是平行四边形．
∵G是 ADFC对角线AF，DC的交点．∴DG＝CG.
（3）解：如答图2，过点C分别作CH⊥FQ于点H，CM⊥CQ，交FQ于点M.
答图2
∴∠MCQ＝90°＝∠FCD.
∴∠FCM＋∠MCG＝∠DCQ＋∠MCG，即∠FCM＝∠DCQ.
∵DQ⊥AF，∴∠DQG＝90°＝∠FCD.
∴∠CFM＋∠CGF＝∠CDQ＋∠DGQ.
∵∠CGF＝∠DGQ，∴∠CFM＝∠CDQ.
又∵CF＝CD，∴△CFM≌△CDQ（ASA）.
∴CM＝CQ.∴∠CMH＝∠CQH.
又∵∠MCQ＝90°，∴∠CQH＝45°.
∵CH⊥FQ，∴∠CHG＝90°＝∠DQG.
由（2），得DG＝CG.又∵∠DGQ＝∠CGH，
∴△DQG≌△CHG（AAS）.
∴CH＝DQ＝2.∵∠CQH＝45°，∠CHG＝90°，
∴∠HCQ＝∠CQH＝45°.∴QH＝CH＝2.
∴CQ＝＝2.
2．解：（1）如答图3，△AB′P′即为所求．
答图3
（2）BP2＋CP2＝2AP2.证明如下：
如答图4，将△ABP绕点A逆时针旋转90°，AB的对应边恰与AC重合，得到△ACE，连接PE.
答图4
∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°.
由旋转的性质，得AE＝AP，CE＝BP，∠ACE＝∠B，∠EAP＝90°.
∴∠ECP＝∠ACE＋∠ACB＝∠B＋∠ACB＝90°.
在Rt△CEP中，由勾股定理，得CE2＋CP2＝EP2，
即BP2＋CP2＝EP2.
在Rt△AEP中，AP2＋AE2＝EP2，即2AP2＝EP2.
∴BP2＋CP2＝2AP2.
（3）135°.
（4）如答图5，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接EP，CD.
答图5
由旋转的性质，得∠ABD＝∠PBE＝60°，∠DBE＝∠ABP，DB＝AB＝4，EB＝PB，ED＝PA.
∴△PBE是等边三角形．
∴EP＝PB.
∴PA＋PB＋PC＝ED＋EP＋PC.
∴当点D，E，P，C共线时，PA＋PB＋PC有最小值，最小值为CD的长．
∵∠ABC＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝30°＋60°＝90°.
在Rt△BCD中，由勾股定理，
得CD＝＝＝.
∴PA＋PB＋PC的最小值为.