第四章因式分解 培优训练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第四章　因式分解
第一～三节　因式分解的概念及方法
培优点1　根据因式分解的概念求参数
1．(1)已知x2＋mx－27＝(x＋3)(x－9)，则m＝________；
(2)已知x2＋px＋q＝(x－2)(x－4)，则p＋q＝________．
2．已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是x－5，求另一个因式及k的值．
培优点2　因式分解的几种特殊方法
方法1　分组分解法
3．把下列各式因式分解：
(1)2x2＋4x－xy－2y；
(2)ax＋a2－2ab－bx＋b2.
方法2　展开化简法
4．把下列各式因式分解：
(1)(x－3)(x＋1)＋4；
(2)(a＋b)(a＋4b)－a(a＋4b).
方法3　换元(整体)法
5．因式分解：(y－3)2－4(y－3)＋4＝________．
6．因式分解：(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1.
方法4　配方法
7．已知多项式4＋4y2＋A能用完全平方公式进行因式分解，则单项式A可能为______．(请写出所有符合要求的答案)
8．用配方法因式分解：x2－2x－8.
方法5　拆项法
9．因式分解：x4＋x2＋1.
培优点3　因式分解的应用
10．利用因式分解计算102 026－102 024的结果为(　　)
A.9.9×102 025 B．9×102 024
C.102 024 D．102 025
11．若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能(　　)
A.被2整除 B．被3整除
C.被5整除 D．被7整除
12．如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A.0 B．1 C．4 D．9
13．(2025深圳期中)若m2＝n＋1 011，n2＝m＋1 011，且m≠n，则m2＋n2＝________．
14．已知x，y满足方程组
则(2x－y)2－(2x－y)(x－3y)的值为________．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a＋b＝8，ab＝12，则阴影部分的面积为________．
第15题图
16．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值．
17．(新RJ八上P134改编)【问题背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如，将多项式x2y－4y因式分解为y(x＋2)(x－2)，若取x＝15，y＝12，则有y＝12，x＋2＝17，x－2＝13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．(不足10的数字在其前面补一个0)
【实际应用】根据上述方法解决下列问题：
(1)小明同学设置了某软件的登录密码：将多项式x3－xy2因式分解后利用x，y的数值设置密码，若取x＝9，y＝3，则小明设置的登录密码是________；
(2)学校管理员设置了一个门禁密码：将多项式16p4－q4因式分解后利用p，q的数值设置密码，若p，q分别取正整数，且密码的前两个因式码为5，15，求管理员设置的第三个因式码．
本章重难压轴
1．综合与实践
【材料阅读】
若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为智慧数．
小明对智慧数进行了如下探究：
∵3＝22－12，∴3是智慧数．
∵5＝32－22，∴5是智慧数．
∵7＝42－32，∴7是智慧数．
……
小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数．他的证明方法如下：
设k是正整数，则(k＋1)2－k2＝(k＋1＋k)(k＋1－k)＝2k＋1.
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
【类比探究】
∵8＝32－12，∴8是智慧数．
∵12＝42－22，∴12是智慧数．
∵16＝52－32，∴16是智慧数．
……
(1)请你类比小明对智慧数的探究过程，对上述智慧数的规律写出自己的猜测并进行证明．
【拓展应用】
(2)不超过2 025的最大的智慧数为________，它能表示为________和________这两个正整数的平方差．
(3)如图，拼叠的正方形的边长是从2开始的连续偶数，按此规律拼叠得到正方形ABCD.若正方形ABCD的边长为200，求阴影部分的面积．
第1题图
2.【材料阅读】强强在图书馆查阅资料时，看到了一种新的因式分解的方法——“试根法”．例如，用“试根法”对多项式7x2＋x－6进行因式分解．
解：∵当x＝－1时，7x2＋x－6＝0，
∴x＝－1是方程7x2＋x－6＝0的一个解(或“根”).
由此推断7x2＋x－6因式分解后有一个因式是x＋1.
∵因式分解与整式乘法互为逆变形过程，
∴另一个因式是关于x的一次二项式且一次项的系数为7.
设另一个因式为7x＋k，则7x2＋x－6＝(x＋1)(7x＋k)＝7x2＋(k＋7)x＋k.
根据对应项系数相等，得k＝－6.
∴7x2＋x－6＝(x＋1)(7x－6).
请利用“试根法”解决下面的问题：
【知识理解】(1)若关于x的二次三项式6x2－7x＋m因式分解后有一个因式为2x－3，则m＝________．
(2)若多项式ax2＋bx－8因式分解后，有两个因式x－1和x＋2，求a－b的值．
【实践应用】下面是强强对多项式2x3＋5x2－x－6因式分解的部分过程．
解：∵当x＝1时，2x3＋5x2－x－6＝0.
∴该多项式因式分解后有一个因式是x－1.
∵原多项式最高次项的系数为2，
∴设另一个因式为2x2＋nx＋c.
(3)填空：n＝________，c＝________．
(4)利用“试根法”对关于x的多项式2x2＋nx＋c进行因式分解．
(5)多项式2x3＋5x2－x－6因式分解的结果为________________________．
第四章　因式分解
第一～三节　因式分解的概念及方法
1．（1）－6；（2）2
2．解：设另一个因式为2x＋a，
则2x2＋3x－k＝（x－5）（2x＋a）
＝2x2＋（a－10）x－5a.
∴解得
∴另一个因式为2x＋13，k的值为65.
3．解：（1）原式＝（2x2＋4x）－（xy＋2y）
＝2x（x＋2）－y（x＋2）
＝（x＋2）（2x－y）.
（2）原式＝（ax－bx）＋（a2－2ab＋b2）
＝x（a－b）＋（a－b）2
＝（a－b）（x＋a－b）.
4．解：（1）原式＝x2－2x－3＋4
＝x2－2x＋1
＝（x－1）2.
（2）原式＝a2＋5ab＋4b2－a2－4ab
＝ab＋4b2
＝b（a＋4b）.
5．（y－5）2
6．解：设x2－2x＝m，
则原式＝m（m＋2）＋1＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2.
∵m＝x2－2x，∴原式＝（x2－2x＋1）2＝（x－1）4.
7．±8y或y4
8．解：原式＝x2－2x＋1－1－8
＝（x－1）2－32
＝（x－1＋3）（x－1－3）
＝（x＋2）（x－4）.
9．解：原式＝（x2）2＋2x2＋1－x2
＝（x2＋1）2－x2
＝（x2＋x＋1）（x2－x＋1）.
10．A　11.B　12.D　13.2 021　14.132　15.14
16．解：∵a2＋b2－10a－12b＋61＝0，
∴（a2－10a＋25）＋（b2－12b＋36）＝0.
∴（a－5）2＋（b－6）2＝0.∴a－5＝0，b－6＝0.
∴a＝5，b＝6.
∵6－5又∵c是正整数，
∴△ABC的最大边c的值可能是6，7，8，9，10.
17．解：（1）060912.
（2）16p4－q4＝（4p2）2－（q2）2
＝（4p2＋q2）（4p2－q2）
＝（4p2＋q2）[（2p）2－q2]
＝（4p2＋q2）（2p＋q）（2p－q）．
∵p，q分别取正整数，
∴2p－q＜2p＋q＜4p2＋q2.
又∵密码的前两个因式码为5，15，
∴解得
∴第三个因式码为4p2＋q2＝4×52＋52＝125.
本章重难压轴
1．解：（1）猜测：除4外，所有能被4整除的数都是智慧数．
证明：设k是正整数，则（k＋2）2－k2＝（k＋2＋k）（k＋2－k）＝4（k＋1）.
∴除4外，所有能被4整除的数都是智慧数．
（2）2 025　1 013　1 012.
（3）由题意，得阴影部分的面积为
　（42－22）＋（82－62）＋（122－102）＋…＋（2002－1982）
＝4×（2＋1）＋4×（6＋1）＋4×（10＋1）＋…＋4×（198＋1）
＝4×（3＋7＋11＋…＋199）
＝4××（3＋199）×50
＝20 200.
2．解：（1）－3.
（2）根据题意，得当x＝1时，ax2＋bx－8＝a＋b－8＝0；
当x＝－2时，ax2＋bx－8＝4a－2b－8＝0.
联立，得
②－①，得3a－3b＝0，即3（a－b）＝0.
∴a－b＝0.
（3）7　6.
（4）由（3），得2x2＋nx＋c＝2x2＋7x＋6.
∵当x＝－2时，2x2＋7x＋6＝0，
∴该多项式因式分解后有一个因式是x＋2.
设另一个因式是2x＋t，
则2x2＋7x＋6＝（x＋2）（2x＋t）＝2x2＋（t＋4）x＋2t.
根据对应项系数相等，得t＋4＝7.解得t＝3.
∴2x2＋7x＋6＝（x＋2）（2x＋3）.
（5）（x－1）（x＋2）（2x＋3）.