第五章分式与分式方程 培优训练 （含答案） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册
文档属性
| 名称 | 第五章分式与分式方程 培优训练 （含答案） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-02 00:00:00 | ||
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文档简介
第五章 分式与分式方程
第一～二节 分式的运算及求值
培优点1 变形求值
1．若 ＝2，则 的值为( )
A.3 B． C． D．
2．(1)已知x－y＝2xy，则 － 的值为________；
(2)已知 －＝3，则 的值为________．
3．已知 ＝＋(A，B为实数)，则A＝________，B＝________．
4．已知A＝，B＝.
(1)若A＝1－，则m的值为________；
(2)当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
(3)若a＞0，比较A与B的大小．
培优点2 倒数法求值
5．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知 ＝，求 的值．
解：由题意可知，x≠0.
将等式 ＝ 两边的分子和分母同时颠倒位置，得 ＝3，即x＋＝3.
将 的分子分母颠倒位置，得 .
∴ ＝x2＋＝－2＝32－2＝7.
∴ 的值为.
上述解法叫作“倒数法”．
【类比探究】请用“倒数法”解决问题：
(1)已知 ＝－1，求 的值；
(2)已知x，y，z为实数，且满足 ＝2，＝，＝－，求 ＋＋ 的值．
培优专题4 分离常数法
1．阅读下面的材料：
分式 (x≥0)的最大值是多少？ 解：＝＝＝2＋. ∵x≥0， ∴x＋2的最小值是2. ∴ 的最大值是2. ∴2＋ 的最大值是4，即 (x≥0)的最大值是4.
根据上述方法，试求分式 的最小值．
2．在处理分式问题时，若分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t－2.
原式＝＝＝t－7＋.
∴＝x－5＋.
这样，分式 就拆分成一个整式(x－5)与一个分式 的和的形式．
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，则结果为________．
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，则结果为________．
(3)已知分式 的值为整数，求整数x的值．
第三节 分式方程
培优点1 分式方程的解法
1．规定：a b＝2a＋，则方程3 x＝4 2的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
2．已知关于x的方程 －1＝0的解是非负数，则a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≤－2且a≠－4
C．a≥－2 D．a≥－2且a≠0
3．已知关于x的分式方程 ＋＝ 无解，则m的值为________．
4．若关于x的不等式组只有3个偶数解，且关于y的分式方程 －＝1的解为正数，求符合要求的所有整数a的和．
5．阅读下列材料．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0.
方程两边都乘y，得y2－4＝0.
解得y＝±2.
经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2.解得x＝－1.
当y＝－2时，＝－2.解得x＝.
经检验，x＝－1和x＝ 都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x＝－1和x＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
请回答下列问题：
(1)设y＝，则方程 －＝0可化为 ______________；
(2)设y＝，则方程 －＝0可化为 ________________；
(3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
培优点2 分式方程的应用
6．秦始皇统一度量衡的意义重大，这一举措为人们从事经济文化交流活动提供了便利条件．欣欣利用两把不同刻度的直尺进行了如下探究：如图，将两把尺子有刻度的一侧紧贴，由此可得方程( )
第6题图
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
7．甲、乙两人沿同一路线从A地出发前往B地，他们分别以不同的速度匀速前行，乙比甲晚0.5 h出发，并且在中途停留1 h后，以原来一半的速度继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s(km)与甲出发的时间t(h)之间的关系如图所示．下列说法：①A，B两地相距24 km；②甲比乙晚到B地1 h；③乙从A地刚出发时的速度为72 km/h；④甲出发 h后与乙第三次相遇．其中正确的说法有( )
第7题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
信息1：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 h； 信息2：甲4 h完成的工作量与乙3 h完成的工作量相等； 信息3：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍．
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序轮换安排至完成工作任务，共需________h.
9．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
(1)甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为________元．
(2)乙商场定价有两种方案：
方案一：将该商品提价20%；
方案二：将该商品提价1.4元．
某顾客发现在乙商场用60元购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍，该商品在乙商场的原价是多少？
(3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是 (a＞0，b＞0，a≠b).请问甲、乙两商场中哪个商场的提价较多？请说明理由．
本章重难压轴
1．(新RJ八上P157改编)观察下列等式：
第1个等式：＝1－；
第2个等式：＝－；
第3个等式：＝－；
第4个等式：＝－；
……
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
(1)直接写出第5个等式：________________．
(2)猜想第n个等式(n为正整数)，并证明你猜想的等式是正确的．
(3)小刚尝试应用这个运算规律解决下面的问题：
一个容器装有1 L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L水，第2次倒出的水量是 L水的 ，第3次倒出的水量是 L水的 ，第4次倒出的水量是 L水的 ，……第m次倒出的水量是 L水的 ，……按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完？
请你补充解决过程：
①求倒m次水倒出的总水量；
②根据①的结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完”．
2.某校“综合与实践”小组在进行溶液的配置后，对实验的过程进行回顾整理，形成了如下活动报告．
课题 溶液配制中的分式运算
调查方式 资料查阅、小组合作
实验回顾 小组测量了配置的氯化钠溶液，结果发现配置的溶液浓度偏低，于是在该氯化钠溶液里加入一定量的氯化钠固体，提高溶质的质量分数．
实验结果 b g的氯化钠溶液中有a g(b＞a＞0)的氯化钠，再加入了m g(m＞0)氯化钠固体，全部溶解后，新的溶液的溶质质量分数变大了．
数学建模 “实验结果”用不等式表示为：【A】____________________
证明过程 ……
生活应用 某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如下表：
哪款礼盒的苹果单价更便宜？
根据以上活动报告，完成下列问题：
(1)【A】处的不等式为：____________________；
(2)请根据自主探究的思路完成证明过程；
(3)请通过计算说明哪款礼盒的苹果单价更便宜．
第五章 分式与分式方程
第一～二节 分式的运算及求值
1．B 2.（1）－；（2）2 3.1 2
4．解：（1）1.
（2）∵B＝＝1－，a为整数，
∴当a＋4＝±1时，分式B的值为整数．
∴当a＝－3或－5时，分式B的值为整数．
（3）当a＞0时，
A－B＝－
＝
＝－＜0.
∴A＜B.
5．解：（1）由题意可知，x≠0.
将等式 ＝－1两边的分子和分母同时颠倒位置，得 ＝－1，即x＋＝2.
将 的分子分母颠倒位置，得 .
∴＝x2＋－7＝－2－7＝22－2－7＝－5.
∴＝－.
（2）∵＝2，＝，＝－，
∴＝，＝，＝－.
∴＋＝①，＋＝②，＋＝－③.
①＋②＋③，得2＝.
∴＋＋＝.
培优专题4 分离常数法
1．解：＝＝＝3－.
∵m2≥0，∴m2＋2的最小值是2.
∴ 的最大值是 .
∴3－ 的最小值是，即 的最小值是 .
2．解：（1）2＋.
（2）x＋.
（3）设x－1＝t，则x＝t＋1.
原式＝＝＝t－1＋.
∴ ＝x－2＋.
∵分式的值是整数，且x是整数，
∴x－1＝±1或x－1＝±2.
∴整数x的值为2或0或3或－1.
第三节 分式方程
1．B 2.D 3.1或－4或6
4．解：解不等式组得∵不等式组只有3个偶数解，
∴－2≤<0.解得－4≤a<2.
解分式方程－＝1，得y＝－2a－2.
∵分式方程的解为正数且y≠±2，
∴－2a－2＞0且－2a－2≠±2.
解得a<－1且a≠－2.
∴－4≤a<－1且a≠－2.
∵a为整数，∴a＝－4或a＝－3.
－4＋（－3）＝－7.
∴符合要求的所有整数a的和为－7.
5．解：（1）－＝0.
（2）y－＝0.
（3）原方程可化为 －＝0.
设y＝，则原方程可化为y－＝0.
方程两边都乘y，得y2－1＝0.
解得y＝±1.
经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解．
当y＝1时，＝1.该方程无解．
当y＝－1时，＝－1.解得x＝－.
经检验，x＝－ 是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x＝－.
6．A 7.D 8.
9．解：（1）1.
（2）设该商品在乙商场的原价为x元．
根据题意，得 ＝.
解得x＝1.
经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．
答：该商品在乙商场的原价为1元．
（3）乙商场的提价较多．理由如下：
由题意，得甲商场两次提价后的价格为1×（1＋a）（1＋b）＝1＋a＋b＋ab；
乙商场两次提价后的价格为1×＝1＋a＋b＋
.
∵－（1＋a＋b＋ab）＝－ab＝＞0，
∴乙商场的提价较多．
本章重难压轴
1．解：（1）＝－.
（2）第n个等式：＝－.
证明：∵右边＝－＝－＝＝左边，
∴等式是正确的．
（3）①倒m次水倒出的总水量为 ＋×＋×＋…＋×＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝（L）.
②∵＜1，
∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1 L.
∴按照这种倒水的方法，这1 L水倒不完．
2．（1）解：＞（b＞a＞0且m＞0）.
（2）证明：－＝－＝＝.
∵b＞a＞0，且m＞0，∴b－a＞0，b＋m＞0.
∴＞0.
∴＞.
（3）解：设礼盒重量为x kg（0＜x＜5），则甲款礼盒的苹果重量为（5－x）kg，乙款礼盒的苹果重量为（10－x）kg，故甲款礼盒的苹果单价为 元，乙款礼盒的苹果单价为 元．
－＝＝.
∵0＜x＜5，∴50x＞0，5－x＞0，10－x＞0.
∴＞0.∴＞.
∴乙款礼盒的苹果单价更便宜．
第一～二节 分式的运算及求值
培优点1 变形求值
1．若 ＝2，则 的值为( )
A.3 B． C． D．
2．(1)已知x－y＝2xy，则 － 的值为________；
(2)已知 －＝3，则 的值为________．
3．已知 ＝＋(A，B为实数)，则A＝________，B＝________．
4．已知A＝，B＝.
(1)若A＝1－，则m的值为________；
(2)当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
(3)若a＞0，比较A与B的大小．
培优点2 倒数法求值
5．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知 ＝，求 的值．
解：由题意可知，x≠0.
将等式 ＝ 两边的分子和分母同时颠倒位置，得 ＝3，即x＋＝3.
将 的分子分母颠倒位置，得 .
∴ ＝x2＋＝－2＝32－2＝7.
∴ 的值为.
上述解法叫作“倒数法”．
【类比探究】请用“倒数法”解决问题：
(1)已知 ＝－1，求 的值；
(2)已知x，y，z为实数，且满足 ＝2，＝，＝－，求 ＋＋ 的值．
培优专题4 分离常数法
1．阅读下面的材料：
分式 (x≥0)的最大值是多少？ 解：＝＝＝2＋. ∵x≥0， ∴x＋2的最小值是2. ∴ 的最大值是2. ∴2＋ 的最大值是4，即 (x≥0)的最大值是4.
根据上述方法，试求分式 的最小值．
2．在处理分式问题时，若分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t－2.
原式＝＝＝t－7＋.
∴＝x－5＋.
这样，分式 就拆分成一个整式(x－5)与一个分式 的和的形式．
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，则结果为________．
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，则结果为________．
(3)已知分式 的值为整数，求整数x的值．
第三节 分式方程
培优点1 分式方程的解法
1．规定：a b＝2a＋，则方程3 x＝4 2的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
2．已知关于x的方程 －1＝0的解是非负数，则a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≤－2且a≠－4
C．a≥－2 D．a≥－2且a≠0
3．已知关于x的分式方程 ＋＝ 无解，则m的值为________．
4．若关于x的不等式组只有3个偶数解，且关于y的分式方程 －＝1的解为正数，求符合要求的所有整数a的和．
5．阅读下列材料．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0.
方程两边都乘y，得y2－4＝0.
解得y＝±2.
经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2.解得x＝－1.
当y＝－2时，＝－2.解得x＝.
经检验，x＝－1和x＝ 都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x＝－1和x＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
请回答下列问题：
(1)设y＝，则方程 －＝0可化为 ______________；
(2)设y＝，则方程 －＝0可化为 ________________；
(3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
培优点2 分式方程的应用
6．秦始皇统一度量衡的意义重大，这一举措为人们从事经济文化交流活动提供了便利条件．欣欣利用两把不同刻度的直尺进行了如下探究：如图，将两把尺子有刻度的一侧紧贴，由此可得方程( )
第6题图
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
7．甲、乙两人沿同一路线从A地出发前往B地，他们分别以不同的速度匀速前行，乙比甲晚0.5 h出发，并且在中途停留1 h后，以原来一半的速度继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s(km)与甲出发的时间t(h)之间的关系如图所示．下列说法：①A，B两地相距24 km；②甲比乙晚到B地1 h；③乙从A地刚出发时的速度为72 km/h；④甲出发 h后与乙第三次相遇．其中正确的说法有( )
第7题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
信息1：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 h； 信息2：甲4 h完成的工作量与乙3 h完成的工作量相等； 信息3：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍．
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序轮换安排至完成工作任务，共需________h.
9．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
(1)甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为________元．
(2)乙商场定价有两种方案：
方案一：将该商品提价20%；
方案二：将该商品提价1.4元．
某顾客发现在乙商场用60元购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍，该商品在乙商场的原价是多少？
(3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是 (a＞0，b＞0，a≠b).请问甲、乙两商场中哪个商场的提价较多？请说明理由．
本章重难压轴
1．(新RJ八上P157改编)观察下列等式：
第1个等式：＝1－；
第2个等式：＝－；
第3个等式：＝－；
第4个等式：＝－；
……
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
(1)直接写出第5个等式：________________．
(2)猜想第n个等式(n为正整数)，并证明你猜想的等式是正确的．
(3)小刚尝试应用这个运算规律解决下面的问题：
一个容器装有1 L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L水，第2次倒出的水量是 L水的 ，第3次倒出的水量是 L水的 ，第4次倒出的水量是 L水的 ，……第m次倒出的水量是 L水的 ，……按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完？
请你补充解决过程：
①求倒m次水倒出的总水量；
②根据①的结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1 L水经过多少次可以倒完”．
2.某校“综合与实践”小组在进行溶液的配置后，对实验的过程进行回顾整理，形成了如下活动报告．
课题 溶液配制中的分式运算
调查方式 资料查阅、小组合作
实验回顾 小组测量了配置的氯化钠溶液，结果发现配置的溶液浓度偏低，于是在该氯化钠溶液里加入一定量的氯化钠固体，提高溶质的质量分数．
实验结果 b g的氯化钠溶液中有a g(b＞a＞0)的氯化钠，再加入了m g(m＞0)氯化钠固体，全部溶解后，新的溶液的溶质质量分数变大了．
数学建模 “实验结果”用不等式表示为：【A】____________________
证明过程 ……
生活应用 某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如下表：
哪款礼盒的苹果单价更便宜？
根据以上活动报告，完成下列问题：
(1)【A】处的不等式为：____________________；
(2)请根据自主探究的思路完成证明过程；
(3)请通过计算说明哪款礼盒的苹果单价更便宜．
第五章 分式与分式方程
第一～二节 分式的运算及求值
1．B 2.（1）－；（2）2 3.1 2
4．解：（1）1.
（2）∵B＝＝1－，a为整数，
∴当a＋4＝±1时，分式B的值为整数．
∴当a＝－3或－5时，分式B的值为整数．
（3）当a＞0时，
A－B＝－
＝
＝－＜0.
∴A＜B.
5．解：（1）由题意可知，x≠0.
将等式 ＝－1两边的分子和分母同时颠倒位置，得 ＝－1，即x＋＝2.
将 的分子分母颠倒位置，得 .
∴＝x2＋－7＝－2－7＝22－2－7＝－5.
∴＝－.
（2）∵＝2，＝，＝－，
∴＝，＝，＝－.
∴＋＝①，＋＝②，＋＝－③.
①＋②＋③，得2＝.
∴＋＋＝.
培优专题4 分离常数法
1．解：＝＝＝3－.
∵m2≥0，∴m2＋2的最小值是2.
∴ 的最大值是 .
∴3－ 的最小值是，即 的最小值是 .
2．解：（1）2＋.
（2）x＋.
（3）设x－1＝t，则x＝t＋1.
原式＝＝＝t－1＋.
∴ ＝x－2＋.
∵分式的值是整数，且x是整数，
∴x－1＝±1或x－1＝±2.
∴整数x的值为2或0或3或－1.
第三节 分式方程
1．B 2.D 3.1或－4或6
4．解：解不等式组得
∴－2≤<0.解得－4≤a<2.
解分式方程－＝1，得y＝－2a－2.
∵分式方程的解为正数且y≠±2，
∴－2a－2＞0且－2a－2≠±2.
解得a<－1且a≠－2.
∴－4≤a<－1且a≠－2.
∵a为整数，∴a＝－4或a＝－3.
－4＋（－3）＝－7.
∴符合要求的所有整数a的和为－7.
5．解：（1）－＝0.
（2）y－＝0.
（3）原方程可化为 －＝0.
设y＝，则原方程可化为y－＝0.
方程两边都乘y，得y2－1＝0.
解得y＝±1.
经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解．
当y＝1时，＝1.该方程无解．
当y＝－1时，＝－1.解得x＝－.
经检验，x＝－ 是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x＝－.
6．A 7.D 8.
9．解：（1）1.
（2）设该商品在乙商场的原价为x元．
根据题意，得 ＝.
解得x＝1.
经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．
答：该商品在乙商场的原价为1元．
（3）乙商场的提价较多．理由如下：
由题意，得甲商场两次提价后的价格为1×（1＋a）（1＋b）＝1＋a＋b＋ab；
乙商场两次提价后的价格为1×＝1＋a＋b＋
.
∵－（1＋a＋b＋ab）＝－ab＝＞0，
∴乙商场的提价较多．
本章重难压轴
1．解：（1）＝－.
（2）第n个等式：＝－.
证明：∵右边＝－＝－＝＝左边，
∴等式是正确的．
（3）①倒m次水倒出的总水量为 ＋×＋×＋…＋×＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝（L）.
②∵＜1，
∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1 L.
∴按照这种倒水的方法，这1 L水倒不完．
2．（1）解：＞（b＞a＞0且m＞0）.
（2）证明：－＝－＝＝.
∵b＞a＞0，且m＞0，∴b－a＞0，b＋m＞0.
∴＞0.
∴＞.
（3）解：设礼盒重量为x kg（0＜x＜5），则甲款礼盒的苹果重量为（5－x）kg，乙款礼盒的苹果重量为（10－x）kg，故甲款礼盒的苹果单价为 元，乙款礼盒的苹果单价为 元．
－＝＝.
∵0＜x＜5，∴50x＞0，5－x＞0，10－x＞0.
∴＞0.∴＞.
∴乙款礼盒的苹果单价更便宜．
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