(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 一元一次不等式
课时2 一元一次不等式的应用
能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决
简单的问题．（运算能力、几何直观、模型观念、应用意识）
课标要求
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
衔接回顾
衔接回顾
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1．用“＞”“＜”“≥”或“≤”填空：大于：________，小于：________，不大于：________，最多：________，最少：________，至少：________，不低于：________，不超过：________．
2．用不等式表示“m的2倍与5的差不小于10”为____________．
＞
＜
≤
≤
≥
≥
≥
≤
2m－5≥10
课堂讲练
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一元一次不等式的应用
例1 （新BS八下P61改编）某校组织环保知识竞赛，共有20道题，每位选手有基础分20分，规定答对1题得5分，答错或不答，每题都扣1分．乐乐至少要答对几道题，总分才不会低于90分？
解：设乐乐答对x道题，则他答错和不答的共有（20－x）道题．
由题意，得20＋5x－（20－x）≥90.
解得x≥15.
答：乐乐至少要答对15道题，总分才不会低于90分．
训练 1.（新BS八下P62）学校准备用2 000元购买名著和词典作为文艺节奖品，其中名著每套65元，词典每本40元．现已购买名著20套，最多还能购买多少本词典？
解：设购买x本词典．
∵x为正整数，∴x的最大值为17.
答：最多还能购买17本词典．
例2 某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是多少元？
解：设这种商品的标价是x元．
由题意，得x×80%－320≥25%×320.
解得x≥500.
答：这种商品的标价最少是500元．
训练 2.（新BS八下P62）某种商品的进价为400元，销售时标价为500元，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于10%，则最多可打几折？
解：设至多可打x折．
答：最多可打八八折．
解一元一次不等式应用题的一般步骤
（1）审：审题，找出已知量和未知量以及它们之间的不等关系；
（2）设：设出合适的未知数；
（3）列：根据题中的不等关系列出不等式；
（4）解：解不等式，求出其解集，并检验解集是否符合实际情况；
（5）答：根据实际问题的意义进行作答．
课堂检测
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1．某工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400 m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是2 cm/s，人跑步的速度是5 m/s.设导火线的长度为x cm，若想知道导火线长度需要满足的条件，可列不等式为__________．
2．在学校举办的“阅读经典·传承文明”读书活动期间，小亮从图书馆借了一本共88页的经典图书，计划在7天内读完．开始的2天小亮每天只读了9页，在剩下的5天里，小亮每天至少要读多少页？
解：设小亮之后每天读x页．
根据题意，得9×2＋5x≥88.
解得x≥14.
答：在剩下的5天里，小亮每天至少要读14页．
3．每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐的营养情况．他们获取了一份快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
解：设这份快餐含有xg的蛋白质．
根据题意，得x＋4x≤400×70%.
解得x≤56.
答：这份快餐最多含有56 g的蛋白质．
4．【跨学科】一般来说，在一条食物链中上一营养级的能量只有10%～20%能够流入下一营养级．在“植物→食草动物→食肉动物”这条食物链中，要使食肉动物增长不少于5 kg，至少需消耗植物________kg.
125
5．（新RJ七下P137）某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型 A型 B型
载客量/人 40 56
租金/元 1 000 1 200
学校计划租用11辆客车，那么
（1）最多可以租用多少辆A型客车？
解：设租用x辆A型客车，则租用（11－x）辆B型客车．
由x应为非负整数，可得x最大为2.
答：最多可以租用2辆A型客车．
（2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
解：共有三种租车方案．
方案一：租用2辆A型客车和9辆B型客车，租金为1 000×2＋1 200×9＝12 800（元）.
方案二：租用1辆A型客车和10辆B型客车，租金为1 000×1＋1 200×10＝13 000（元）.
方案三：租用11辆B型客车，租金为1 200×11＝13 200（元）.
因为12 800＜13 000＜13 200，
所以租用2辆A型客车和9辆B型客车租金最低．
随堂测
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1．某工程队计划在8天内修路8 km，施工前3天修完3 km后，计划发生变，准备至少提前3天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？设以后几天内平均每天要修路x km.根据题意可列不等式为( )
A．3＋(8－3)≤8
B．3＋(8－3)≥8
C．3＋(8－3－3)x≤8
D．3＋(8－3－3)x≥8
D
2．(新RJ七下P137)长跑比赛中，刘伟跑在前面，在离终点100 m时，他以6.5 m/s的速度向终点冲刺，在他身后10 m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟之前到达终点？
解：设李明以x m/s的速度同时开始冲刺．
答：李明需以大于7.15 m/s的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟之前到达终点．
3．(2023广东改编)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则商家最多可打多少折？
解：设商家打x折销售．
解得x≥8.8.
答：商家最多可打八八折．(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 不等式及其性质
课时1 不等关系
结合具体问题，了解不等式的意义．（抽象能力、模型观念、
应用意识）
课标要求
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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不等式的概念
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫作不等式．
注：用“≠”连接的式子也是不等式．
例1 判断下列式子是否为不等式（是的打“√”，错的打“×”）.
（1）a＋1（ ）；
（2）m＞n（ ）；
（3）x2＜4（ ）;
（4）x＋y＝3（ ）；
（5）a＋3≥a（ ）.
×
√
√
×
√
训练 1.下列各式：①0＞－2；②2y－5x≤1；③m＝1；④x2－x；⑤x＋1≠2x－1.其中是不等式的有（ ）
A. 2个
B．3个
C. 4个
D．5个
B
列不等式
例2 用适当的符号表示下列关系：
（1）a是正数：________；
（2）x与y的和是非负数：________；
（3）x的一半不超过7：________；
（4）a的3倍小于它与5的差：__________．
a>0
x＋y≥0
3a＜a－5
训练 2.用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非正数：______；
（2）x的2倍是负数：________；
（3）a与b的差不等于6：________；
（4）a与b的和的平方不小于10：______________．
a≤0
2x<0
a－b≠6
（a＋b）2≥10
例3 用适当的符号表示下列关系：
（1）铅球的质量比篮球的质量大；
（2）静音风扇运行的声音不超过26分贝；
（3）小亮每天至少锻炼1 h．
解：（1）m1＞m2（m1表示铅球的质量，m2表示篮球的质量）.
（2）x≤26[x（分贝）表示静音风扇运行的声音].
（3）x≥1[x（h）表示小亮每天锻炼的时间].
训练 3.（新BS八下P52）根据下列信息，写出有关不等式：2021年，我国自主研制的“海斗一号”全海深自主遥控潜水器打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下潜深度达到10 908 m，海底连续作业时间超过8 h，近海底航行距离超过14 km.
解：x≤10 908[x（m）表示下潜深度]，
t >8[t（h）表示海底连续作业时间]，
s>14[s（km）表示近海底航行距离]．
常见的不等关系
符号 关键词
＞ 大于、比…大/多/高/重、超过、是正数（＞0）
＜ 小于、比…小/少/低/轻、不足、是负数（＜0）
≥ 大于或等于、不小于、不少于、至少、不低于、是非负数（≥0）
≤ 小于或等于、不大于、不多于、至多、不超过、是非正数（≤0）
≠ 不等于、不为
课堂检测
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1．下列各式：①π；②3a≤－1；③3x－2；④s＝vt；⑤2x＜x－3；⑥2a2－a＝2；⑦x2＋4≥0；⑧a2＋b2≠c2.其中是不等式的有____________，是等式的有____________．（填序号）
②⑤⑦⑧
④⑥
2．不等式x≥3可以表示（ ）
A. 大于3的数
B．小于3的数
C．不大于3的数
D．不小于3的数
D
3．下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m至少是6”表示为m＞6
B．“m不大于3”表示为m＜3
C．“n的3倍不小于5”表示为3n＞5
D．“n与4的差是负数”表示为n－4＜0
D
D
5．【跨学科】生物兴趣小组要在恒温箱中培养某菌种，该菌种生长的温度不低于20 ℃且不高于28 ℃.若恒温箱的温度为t ℃，则t的取值范围为__________．
20≤t≤28
6．（新BS八下P57）请给下列不等式赋予不同的实际背景：
（1）x＋y≤5; （2）2x＋1≥3.
解：（1）某社区计划种植甲、乙两种花卉来美小区环境．若种植甲种花卉的面积为x m2，种植乙种花卉的面积为y m2，且种植两种花卉的总面积不超过5 m2，则x，y应满足什么条件？（答案不唯一）
（2）一个蓄水池内原来有1 m3的水，以x m3/min的速度注水2 min后，其蓄水量超过3 m3，求x的取值范围．（答案不唯一）
7．（新BS八下P58改编）在公路上行驶时，我们经常会看到如图所示的交通标志，它们有着不同的含义．请你用不等式进行表示．
（1）汽车载重x（t）的范围是__________；
（2）汽车宽度l（m）的范围是__________；
（3）汽车高度h（m）的范围是__________；
（4）汽车速度y（t）的范围是________．
0
0008．（新BS八下P57）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
原料 甲 乙
维生素C的含量/（单位/kg） 600 100
原料价格/（元/kg） 8 4
（1）现配制这种饮料10 kg，要求至少含有4 200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（单位：kg）应满足的不等式；
（2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，请你写出x（单位：kg）应满足的另一个不等式．
解：（1）600x＋100（10－x）≥4 200.
（2）8x＋4（10－x）≤72.
9．现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元．根据此信息，小强和小刚分别列出下列不完整的不等式：
小强：x＋_______＜9.5；
小刚：0.5x＋_______＜9.5.
（1）请你分别指出小强和小刚所列不等式中未知数x表示的意义．
（2）根据题干信息补全不等式：
①____________；②__________．
解：（1）小强：x表示1元硬币的数目；小刚：x表示5角硬币的数目．
0.5（15－x）
15－x
①
②
随堂测
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1．若x＋y□5是不等式，则符号“□”不能是( )
A．－
B．≠
C．＞
D．≤
A
2．用适当的符号表示下列关系：
(1)c的一半与d的差小于或等于－3；
(2)d与3的和大于c的2倍；
(3)5a不等于6b；
(4)明天下雨的可能性P不低于60%.
3．如图，左侧为身高x cm的1号同学，右侧为身高y cm的2号同学，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x________ y．(填“>”或“<”)
>
4．空气污染指数API值不超过50时，说明空气质量为优，相当于达到国家空气质量一级标准．若用x表示空气质量为优时的API值，则x满足的关系式为( )
A．x≤50 B．x≥50
C．x＜50 D．x＞50
A
5．某学校组织500名学生去参观博物馆，计划租用40座和30座两种型号的客车，设租用40座客车x辆，30座客车y辆，则x，y需要满足的不等式为______________．
40x＋30y≥500(共27张PPT)
第二章 章末复习
第二章 不等式与不等式组
典例精析&变式训练
知识要点&对点训练
随堂测
D
知识点 一元一次不等式
1．概念：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③不等式的两边都是整式．
2．解法步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数为1.
D
3．不等式5－（3x－1）≥x的解集为________．
知识点 一元一次不等式与一次函数
1．利用图象解不等式：在图象上找出符合条件的点，再确定这些点所对应的x或y的值．
2．解决比较型的方案决策问题．
4．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示．
（1）不等式kx＋b>0的解集是________．
（2）不等式kx＋b≤2的解集是________．
x>－2
x≤0
知识点 一元一次不等式组
1．解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分
2．不等式组的解集的四种基本类型（a＜b）：
解：解不等式①，得x＞－4.
解不等式②，得x＞1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图1所示．
答图1
因此，原不等式组的解集为x＞1.
知识点 不等式（组）的实际应用
1.审：审题，找出题目中的不等关系．
2.设：设出适当的未知数．
3.列：根据题中的不等关系列出不等式（组）.
4.解：解不等式（组），求出其解集．
5.答：根据实际问题的意义进行作答．
6．（2025汕头一模）如图，书架长102 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚1.2 cm，每本语文书厚1.5 cm.如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆放________本．
47
1.不等式2（1－x）>x－7的解集在数轴上表示为（ ）
B
－4
解不等式②，得x>1.
∴原不等式组的解集为x>1.
不等式组的解集在数轴上的表示如答图2所示．
答图2
解：解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x≥－2.
∴原不等式组的解集是－2≤x＜3.
∴不等式组的所有正整数解为1，2.
5.（2025揭阳月考）某社区采购A，B两种型号的新型垃圾桶，若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，若购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
解：设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元．
答：A型垃圾桶的单价为60元，B型垃圾桶的单价为100元．
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
解：设需购买A型垃圾桶a个，则购买B型垃圾桶（200－a）个．
由题意，得60a＋100（200－a）≤15 000.
解得a≥125.
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
6.（新BS八下P73）暑假期间，两位老师计划带领若干名学生外出参加社会实践活动，他们联系了报价均为每人500元的甲、乙两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费．假设这两位老师带领x名学生参加社会实践活动，他们选择哪家旅行社更合算？
解：选择甲旅行社所需费用为500×2＋500×0.7x＝（1 000＋350x）元；选择乙旅行社所需费用为500×0.8（x＋2）＝（400x＋800）元．
若1 000＋350x＞400x＋800，则x＜4，
∴当0＜x＜4时，选择乙旅行社更合算；
若1 000＋350x＝400x＋800，则x＝4，
∴当x＝4时，选择甲、乙两家旅行社所需费用相同；
若1 000＋350x＜400x＋800，则x＞4，
∴当x＞4时，选择甲旅行社更合算．
答：当学生人数小于4时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4时，选择甲、乙两家旅行社所需费用相同；当学生人数大于4时，选择甲旅行社更合算．
随堂测
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＞
＞
1
知识梳理
易错集训
易错点1 利用不等式的基本性质3时，忘记改变不等号的方向
1．若a2．不等式－3x＋3≤－x－1的解集为__________．
＞
x≥2
解：去分母，得2（2x－1）≤3（5x＋1）＋6.
去括号，得4x－2≤15x＋3＋6.
移项、合并同类项，得－11x≤11.
两边都除以－11，得x≥－1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
解：解不等式①，得x>2.
解不等式②，得x≤4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图2所示．
因此，原不等式组的解集为2答图2
易错点3 求参数时是否需要加等号
4．关于x的不等式2x＋b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围是_____________．
－62(共30张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 不等式及其性质
课时3 不等式的基本性质
探索不等式的基本性质．（抽象能力、运算能力、几何
直观、模型观念）
课标要求
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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1．如果a＞b，那么b________a；如果a＞b，b＞c，那么a________c.
2．已知4＞3，用“＞”或“＜”填空：
（1）4＋2________3＋2，4－2________3－2；
（2）4×2________3×2，4÷2________3÷2；
（3）4×（－2）________3×（－2），4÷（－2）________3÷（－2）.
＜
＞
＞
＞
＞
＞
＜
＜
不变
＞
＜
不变
＞
＞
＜
＜
改变
<
＜
>
＞
课堂讲练
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不等式的基本性质
＞
＞
＜
＞
＜
＜
＜
＞
＜
＜
利用不等式的基本性质解不等式
解：根据不等式的基本性质1，两边都加2，得x＞1＋2，即x＞3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
解：根据不等式的基本性质3，两边都乘－3，得x≥6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
答图2
训练 2.利用不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上．
（1）4x<3x＋6；
解：根据不等式的基本性质1，两边都减3x，得4x－3x<3x＋6－3x，即x<6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图3所示．
答图3
（2）4x<－20.
解：根据不等式的基本性质2，两边都除以4，得x<－5.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图4所示．
答图4
不等式的两边乘（或除以）同一个数时，需要根据这个数的正负判断是否改变不等号的方向．
课堂检测
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1．如果x＞y，那么下列正确的是（ ）
A. x＋5＜y＋5
B．x－5＜y－5
C．5x＞5y
D．－5x＞－5y
C
2．已知－3a＜－3b，则a与b的关系是（ ）
A．a＜b
B．a＞b
C．a≤b
D．不能确定
B
3．（2025广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A．a＋c>b＋c
B．a＋c＝b＋c
C．a＋cD．a－cA
4．判断下列结论是否正确（填“√”或“×”）．
（1）由m＋a>n＋a，得m>n；（ ）
（2）由m＞n，得am＞an；（ ）
（3）由am＞an，得m＞n；（ ）
（4）由－2x<－4，得x＞2；（ ）
（5）由a＞b，得ac2＞bc2；（ ）
（6）由ac2＞bc2，得a＞b.（ ）
√
×
×
√
×
√
5．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集．
（1）x－3≤－2；
解：根据不等式的性质1，两边都加3，得x≤－2＋3，即x≤1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图5所示．
答图5
（2）3x＋5>－4.
解：根据不等式的性质1，两边都减5，
得3x>－4－5，即3x>－9.
根据不等式的性质2，两边都除以3，得x>－3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图6所示
答图6
6．【推理能力】四个小朋友玩跷跷板，如图所示，若他们的体重分别为P，Q，R，S，则他们的体重大小关系是（ ）
A. P＞R＞S＞Q
B．Q＞S＞P＞R
C．S＞P＞Q＞R
D．S＞P＞R＞Q
D
7．【易错】（新BS八下P57）（1）比较a与a＋2的大小；
（2）比较2与2＋a的大小；
（3）比较a与2a的大小．
解：（1）a＜a＋2.
（2）当a<0时，2>2＋a；当a＝0时，2＝2＋a；
当a>0时，2<2＋a.
（3）当a<0时，a>2a；当a＝0时，a＝2a；
当a>0时，a<2a.
随堂测
返回目录
B
A
＞
＞
＜
＜
4．已知a＜b，且实数c满足ac＞bc，请你写出一个符合题意的实数c的值： ．
－1（答案不唯一）
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
(2)5x＞4x－1；
解：根据不等式的基本性质1，两边都减4x，得x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
答图2
解：根据不等式的基本性质1，两边都加2，得－x＜9.
根据不等式的基本性质3，两边都除以－1，得x＞－9.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图3所示．
(3)－x－2＜7.
答图3(共14张PPT)
微专题7 与不等式（组）相关的实际应用
第二章 不等式与不等式组
类型 销售、利润问题（不等式结合方程与函数）
例1 成都大运会成功举办，某商家推出A种纪念娃娃和B种纪念娃娃．已知购进3个A种娃娃和购进4个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元，且A种娃娃售价为18元/个，B种娃娃售价为12元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
答：每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元．
（2）该商家计划用不超过1 920元的资金购进A，B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，如何进货使商家获利最大？最大利润是多少元？
解：设购进A种娃娃a个，商家获得的利润为w元，则购进B种娃娃（200－a）个．
由题意，得12a＋9（200－a）≤1 920.
解得a≤40.
w＝（18－12）a＋（12－9）（200－a）＝3a＋600.
∵3>0，∴w随a的增大而增大．
∴当a＝40时，w有最大值，最大值为3×40＋600＝720.
此时200－a＝160.
答：购进A种娃娃40个，B种娃娃160个时商家获利最大，最大利润为720元．
训练 1.美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝，经调查，这两种荔枝的销售相关信息如下表所示：
糯米糍数量（箱） 桂味数量（箱） 总利润（元）
5 3 95
3 4 90
（1）每箱糯米糍荔枝、桂味荔枝的销售利润分别是多少元？
解：设每箱糯米糍荔枝、桂味荔枝的销售利润分别是x元和y元．
答：每箱糯米糍荔枝、桂味荔枝的销售利润分别是10元和15元．
（2）该经销商计划一次购进糯米糍、桂味两种荔枝共80箱，其中桂味数量不多于糯米糍的2倍，为使该经销商销售完这80箱荔枝后的总利润最大，如何进货？
解：设购买糯米糍荔枝a箱，利润为w元，则购买桂味荔枝（80－a）箱．
∴w＝10a＋15（80－a）＝－5a＋1 200.
∵桂味数量不多于糯米糍的2倍，
∴80－a≤2a.
∵－5<0，∴w随a的增大而减小．
又∵a为整数，∴当a＝27时，w取最大值．
此时80－a＝53.
答：购买糯米糍荔枝27箱，购买桂味荔枝53箱时，可以使该经销商销售完这80箱荔枝后的总利润最大．
类型 方案选择问题
例2 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元．
答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元．
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54个，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元．
①有哪几种购买方案？
②哪一种购买方案最省钱？
解：①设购买跳绳m根，则购买毽子（54－m）个．
∵m为正整数，∴m＝26，27，28.
∴有三种购买方案：
方案一：购买跳绳26根，毽子28个；
方案二：购买跳绳27根，毽子27个；
方案三：购买跳绳28根，毽子26个．
②方案一的费用为7×26＋4×28＝294（元）；
方案二的费用为7×27＋4×27＝297（元）；
方案三的费用为7×28＋4×26＝300（元）.
∵294<297<300，∴购买跳绳26根，毽子28个最省钱．
训练 2.下表中有两种手机通话计费方式：
月使用费 主叫限定时间（分钟） 时费（元/分钟）
方式一 50 150 0.20
方式二 80 350 0.25
（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需________元，按方式二计费需________元．
（2）已知某同学的月主叫通话时间大于350分钟，则月主叫通话时间为多少时，按方式一和方式二的计费相等？
60
80
解：设主叫通话时间为t（t＞350）分钟时，按方式一和方式二的计费相等．
根据题意，得50＋0.20（t－150）＝80＋0.25（t－350）.
解得t＝550.符合题意．
∴月主叫通话时间为550分钟时，按方式一和方式二的计费相等；
（3）当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱．
解：当t≤150时，选择方式一省钱；
当150＜t≤350时，若选择方式一更省钱，
列得不等式50＋0.20（t－150）＜80.
解得t＜300.
当t＞350时，若选择方式一更省钱，
列得不等式50＋0.20（t－150）＜80＋0.25（t－350）.
解得t＞550.
综上所述，当每月通话时间少于300分钟或大于550分钟时，选择方式一比选择方式二省钱．(共29张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 一元一次不等式与一次函数
课时2 一元一次不等式与一次函数（2）
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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例1 某电信公司对于手机话费有两类收费方式．A类：每月缴月租费12元，通话费按0.2元/min 收取；B类：不收月租费，但通话费按0.25元/min收取．
（1）什么情况下选择A类更合算？
解：设每月通话时间为x min，每月应缴费用为y元．
A类收费方式每月应缴费用y1＝0.2x＋12；
B类收费方式每月应缴费用y2＝0.25x.
（1）由题意，得y1＜y2，即0.2x＋12＜0.25x.
解得x＞240.
∴当每月通话时间大于240 min时，选择A类更合算．
（2）什么情况下选择B类更合算？
解：由题意，得y1＞y2，即0.2x＋12＞0.25x.
解得x＜240.
∴当每月通话时间小于240 min时，选择B类更合算．
（3）什么情况下两类收费方式收费相同？
解：由题意，得y1＝y2，即0.2x＋12＝0.25x.
解得x＝240.
∴当每月通话时间等于240 min时，两类收费方式收费相同．
训练 1.某苹果种植基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2 000 kg～5 000 kg（含2 000 kg和5 000 kg）的客户有两种销售方案，方案A：每千克5.8元，由基地免费送货；方案B：每千克5元，客户需支付运费2 000元．
（1）什么情况下，客户选用方案A比方案B付款少？
解：设客户的购买量为x kg，付款y元．
按方案A购买这种苹果需付款y＝5.8x；
按方案B购买这种苹果需付款y＝5x＋2 000.
（1）由题意，得5.8x＜5x＋2 000.
解得x＜2 500.
∴当购买量x的取值范围为2 000≤x＜2 500时，客户选用方案A比方案B付款少．
（2）什么情况下，客户选用方案B比方案A付款少？
解：由题意，得5.8x＞5x＋2 000.
解得x＞2 500.
∴当购买量x的取值范围为2 500＜x≤5 000时，客户选用方案B比方案A付款少．
（3）什么情况下，客户选用两种方案付款相同？
解：由题意，得5.8x＝5x＋2 000.
解得x＝2 500.
∴当购买量为2 500 kg时，客户选用两种方案付款相同．
例2 （新BS八下P66改编）某学校计划购买某型号的电脑10至20台，甲、乙两家商场对该型号电脑的报价均为3 000元/台，且多买都有一定优惠，优惠条件如下：
甲商场 电脑均打八折
乙商场 先赠送一台电脑，其余电脑打九折
请你通过计算说明该学校购买哪家商场的电脑更合算．
解：设该学校购买电脑x台，购买甲商场的电脑时，所需费用为y1元，购买乙商场的电脑时，所需费用为y2元，则y1＝3 000x×80%＝2 400x；y2＝3 000（x－1）×90%＝2 700x－2 700.
由y1＜y2，得2 400x＜2 700x－2 700.解得x＞9.
由y1＞y2，得2 400x＞2 700x－2 700.解得x＜9.
由y1＝y2，得2 400x＝2 700x－2 700.解得x＝9.
∵10≤x≤20，∴该学校购买甲商场的电脑更合算．
课堂检测
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1．（2025深圳期末）如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在盈利时的销售量（ ）
A. 小于3件
B．大于3件
C．等于3件
D．不小于3件
B
2．某景区的门票是每人30元，一次性购满40张，每张可少5元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进景区，买40张门票反而合算．
34
3．某公司要购买3张办公桌和至少10把办公椅，已知甲、乙两厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格均一致：每张办公桌800元，每把办公椅80元．现甲、乙两厂家推出以下优惠方案，甲厂家：买1张办公桌送3把办公椅；乙厂家：办公桌和办公椅均享受原价的八折优惠．
（1）什么情况下，选择甲厂家更合算？
解：设该公司购买x把办公椅，到甲厂家购买时，所需费用为y1元，到乙厂家购买时，所需费用为y2元，
则y1＝3×800＋80（x－3×3）＝80x＋1 680，
y2＝0.8（3×800＋80x）＝64x＋1 920.
（1）由题意，得80x＋1 680＜64x＋1 920.
解得x＜15.
∴当购买办公椅少于15把时，选择甲厂家更合算．
（2）什么情况下，选择甲厂家更合算？
解：由题意，得80x＋1 680＞64x＋1 920.
解得x＞15.
∴当购买办公椅超过15把时，选择乙厂家更合算．
（3）什么情况下，甲、乙两个厂家收费相同？
解：由题意，得80x＋1 680＝64x＋1 920.
解得x＝15.
∴当购买15把办公椅时，甲、乙两个厂家收费相同．
4．小明在观看2024年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．体育中心的室内游泳馆为前来游泳的市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式，下图表示会员卡支付应付金额y1（元），按次支付应付金额y2（元）与游泳次数x之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
（1）分别求y1，y2关于x的函数表达式．
解：由图，易设y1＝k1x＋30.
将（3，84）代入，得84＝3k1＋30.
解得k1＝18.
∴y1＝18x＋30.
设y2＝k2x，将（3，72）代入，得72＝3k2.
解得k2＝24.
∴y2＝24x.
（2）若小明计划假期游泳4次，则他选择哪种支付方式更合算？
解：当x＝4时，y1＝18x＋30＝102；
y2＝24x＝96.
∵102>96，∴选择按次支付更合算．
（3）若小明假期想在该游泳馆练习游泳，则他假期游泳多少次时，选择会员卡支付更合算？
解：当y1＜y2时，18x＋30＜24x.
解得x＞5.
∴他假期游泳超过5次时，选择会员卡支付更合算．
5．（新BS八下P65改编）某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案．
解：设该公司有x名女士参与此次活动，原票价为a元/张，购买团体票所需费用为y1元，不购买团体票所需费用为y2元，则y1＝40×0.8a＝32a，y2＝0.5ax＋a（40－x）＝40a－0.5ax.
由y1＜y2，得32a＜40a－0.5ax.解得x＜16.
由y1＝y2，得32a＝40a－0.5ax.解得x＝16.
由y1＞y2，得32a＞40a－0.5ax.解得x＞16.
∴当参与活动的女士不足16人时，应购买团体票；
当参与活动的女士正好是16人时，购买团体票和不购买团体票均可；
当参与活动的女士超过16人时，不应购买团体票．
随堂测
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1．如图反映了顾客在甲、乙两个草莓园采摘草莓所需的费用y1(元)，y2(元)与草莓采摘量x(kg)之间的对应关系．若顾客计划花费240元采摘草莓，则选择__________草莓园采摘的草莓更多．(填“甲”或“乙”)
乙
2．乳品公司向某地运送一批牛奶．由铁路运输每千克需运费0.58元；由公路运输每千克只需运费0.28元，但还需其他费用600元．
(1)设该公司运送的这批牛奶有x千克，选择铁路运输所需费用为y1元，选择公路运输所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的关系式．
解：由题意，得y1＝0.58x，
y2＝0.28x＋600.
(2)①若该公司的预算为1 500元，则选择__________运输运送的牛奶较多；
②若该公司要运送1 500千克牛奶，则选择__________运输所需费用较少．
公路
铁路
(3)该公司应如何选择运输方式可使所需费用较少？
解：当y1>y2时，0.58x>0.28x＋600.解得x>2 000.
当y1＝y2时，0.58x＝0.28x＋600.解得x＝2 000.
当y1∴当运送的这批牛奶超过2 000千克时，选择公路运输所需费用较少；
当运送的这批牛奶不足2 000千克时，选择铁路运输所需费用较少；
当运送的这批牛奶恰好为2 000千克时，选择两种方式均可．(共12张PPT)
新课标·新题型——综合实践与探究
第二章 不等式与不等式组
1．【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水？
【实践素材】一个容积为700 ml的水杯．
【查阅资料】
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，
即：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35 ℃～38 ℃（包括35 ℃与38 ℃），这一温度最接近人体体温．
【实践操作】
先从饮水机接温水x s，再接开水，直至接满700 ml的水杯为止．
（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．）
【问题解决】
（1）接到温水的体积是_____ml，接到开水的体积是___________ml.（用含x的代数式表示）
20x
（700－20x）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是50 ℃，求x的值．
解：根据题意，得（100－50）（700－20x）＝（50－30）20x.
解得x＝25.
答：x的值为25.
（4）若要使接满水后，杯中温度达到最佳水温，求x的取值范围．
解：设水杯接满水后杯中温度为y ℃.
根据题意，得（100－y）（700－20x）＝（y－30）20x.
∴y＝100－2x.
∵饮水最佳温度是35 ℃～38 ℃（包括35 ℃与38 ℃），
∴x的取值范围是31≤x≤32.5.
2.（2025佛山期中）根据以下素材，探索完成任务．
【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80 cm，40 cm.
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长 相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形 拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之 比为3∶1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两 块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖， 所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
解：任务1：设长方体收纳盒的高度为a cm.
观察图形可知80－2a＝3（40－2a）.
解得a＝10.
答：长方体收纳盒的高度为10 cm.
任务2 确定分配方案1 ①设用x块木板制作无盖收纳盒，则用____________块木板制作盒盖；制成的有盖收纳盒的数量为____________；制成的无盖收纳盒的数量为________________．
②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
（100－x）
2（100－x）
x－2（100－x）
解得75∴x可取整数值为76，77，78，79.
∴共有4种方案：
①用76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②用77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③用78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④用79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖．
任务3 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
解：设销售后利润为y元．
根据题意，得y＝28×2（100－x）＋5（100－x）＋20×[x－2（100－x）]－1 500，
即y＝－x＋600.
∵x的整数解为76，77，78，79，－1＜0，
∴当x＝76时，y有最大值，最大值为－76＋600＝524.
答：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大利润为524元．(共28张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第四节 一元一次不等式组
课时1 一元一次不等式组的解法（1）
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解
集．（抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识）
课标要求
课堂讲练
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一元一次不等式组的概念
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
D
一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集．
例2 写出下列数轴表示的不等式组的解集．
（1）
x≥1
（2）
－3＜x≤1
训练 1.写出下列数轴表示的不等式组的解集．
（1）
x＜－2
（2）
无解
利用数轴可以直观地确定不等式组的解集．
xax＞－2
x≤2
解：如答图1所示．
答图1
（4）因此，原不等式组的解集是___________．
－2＜x≤2
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≥3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图2所示．
答图2
因此，原不等式组的解集是x≥3.
不等式①的解集、不等式②的解集与不等式①②组成的不等式组的解集之间有什么联系？
课堂检测
返回目录
D
D
3．【开放性】某个关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，请你写出一个符合条件的不等式组：______________________．
解：解不等式①，得x＜2.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图3所示．
答图3
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≤－2.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图4所示．
答图4
因此，原不等式组的解集是x≤－2．
B
1≤x＜2
解：解不等式2x＋1≥3，得x≥1.
解不等式a－x＞1，得x＜a－1.
∵该不等式组无解，∴a－1≤1.
解得a≤2.
7．【生活情境】如图，某农场准备用50 m的护栏围成一个靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a m，宽为b m.
（1）当a＝20时，求b的值；
解：由题意，得a＋2b＝50.
当a＝20时，即20＋2b＝50，
解得b＝15.
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
解： ∵18≤a≤26，a＝50－2b，
解得12≤b≤16.
随堂测
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C
C
3．(2024广东)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是__________．
x≥3
解：解不等式①，得x＜2.
解不等式②，得x≤3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图1所示．
因此，原不等式组的解集为x＜2.
答图1
解：解不等式①，得x＞－3.
解不等式②，得x≤5.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图2所示．
因此，原不等式组的解集为－3＜x≤5.
答图2(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 一元一次不等式
课时1 一元一次不等式的解法
能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出
解集．（抽象能力、运算能力、几何直观、模型观念）
课标要求
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
衔接回顾
衔接回顾
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3（2＋x）＝2（2x－1）
6＋3x＝4x－2
3x－4x＝－2－6
－x＝－8
x＝8
课堂讲练
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只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元一次不等式．
一元一次不等式的左右两边都是整式．
一元一次不等式的概念
①⑤
解一元一次不等式
例2 解不等式3－x<2x＋6，并把它的解集表示在数轴上．
解：两边都加－2x，得3－x－2x<2x＋6－2x.
合并同类项，得3－3x<6.
两边都加－3，得3－3x－3<6－3.
合并同类项，得－3x<3.
两边都除以－3，得x>－1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
训练 1.解不等式4＋3x>6－2x，并把它的解集表示在数轴上．
解：两边都加2x，得4＋3x＋2x<6－2x＋2x.
合并同类项，得4＋5x<6.
两边都加－4，得4＋5x－4<6－4.
合并同类项，得5x<2.
两边都除以5，得x<0.4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
答图2
例3 解不等式3x＋4≥－2（x＋3），并把它的解集表示在数轴上．
解：去括号，得3x＋4≥－2x－6.
移项、合并同类项，得5x≥－10.
两边都除以5，得x≥－2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图3所示．
答图3
训练 2.解不等式3（x＋2）≤5（x－1）＋7，并把它的解集表示在数轴上．
解：去括号，得3x＋6≤5x－5＋7.
移项，得3x－5x≤－5＋7－6.
合并同类项，得－2x≤－4.
两边都除以－2，得x≥2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图4所示．
答图4
解：去分母，得3（x＋1）＞2（4x－1）.
去括号，得3x＋3＞8x－2.
移项、合并同类项，得－5x＞－5.
两边都除以－5，得x＜1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图5所示．
答图5
解：去分母，得2（2x－1）－（3x－4）≤6.
去括号，得4x－2－3x＋4≤6.
移项、合并同类项，得x≤4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图6所示．
答图6
解一元一次不等式的步骤及注意事项：
（1）去分母：不等式的每一项都要乘分母的最小公倍数，不要漏乘；
（2）去括号：如果括号前是负号，去括号时注意变号；
（3）移项：移项要变号；
（4）合并同类项：注意系数的符号，不要算错；
（5）系数为1：如果系数是负数，不等号的方向要改变．
课堂检测
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1．若3m－5x3＋m＞4是关于x的一元一次不等式，则m的值是（ ）
A. －3
B．－2
C．0
D．1
B
2．不等式2－x<3x＋10的解集是（ ）
A．x>－2
B．x<－2
C．x>2
D．x<2
A
3．（2025佛山期中）不等式－3x＋2≥5的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A
4．不等式4（x－2）≤2x的正整数解是________________．
x＝1或2或3或4
5．解不等式3（2x－1）≤2（x＋1）＋1，并把它的解集表示在数轴上．
解：去括号，得6x－3≤2x＋2＋1.
移项、合并同类项，得4x≤6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图7所示．
答图7
去分母，得4（x－1）≥3（3x－3）＋12.
去括号，得4x－4≥9x－9＋12.
移项、合并同类项，得－5x≥7.
∴x的最大整数解为－2.
7．已知点（－1，2a－3）位于第三象限，则a的取值范围是________．
a＜1.5
8．【新定义】定义新运算“ ”，规定：a b＝a－2b.若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞－1，则m的值是________．
－2
②－①，得3x＋3y＝a－12.
∴3x＋3y>3.∴a－12>3.∴a>15.
∴满足题意的最小整数a是16.
随堂测
返回目录
B
D
3．不等式2x－8<7－3x的正整数解有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
4．解下列不等式，并将其解集表示在数轴上：
(1)5x＋1＜2(4＋x);
解：去括号，得5x＋1＜8＋2x.
移项、合并同类项，得3x＜7.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
解：去分母，得3（1＋x）－2（2x－1）≤6.
去括号，得3＋3x－4x＋2≤6.
移项、合并同类项，得－x≤1.
两边都除以－1，得x≥－1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
答图2(共18张PPT)
新中考·新导向——教材回归（人教、北师）
第二章 不等式与不等式组
选题角度1 过程纠错
1．（新RJ七下P136）下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，请加以改正．
（1）－3x＋2≥－4；
解：移项，得－3x≥－6.
两边都除以－3，得x≥2.
解：不正确，两边都除以－3，得x≤2.
（2）x－4<2x＋1.
解：移项，得－4－1<2x－x.
合并同类项，得－5即x<－5.
解： 不正确，即x>－5.
解：有错误．去分母时常数项未乘2；两边都除以－2后，不等号方向没有改变．
选题角度2 开放性
3．（新BS八下P70）小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．
小明：它的所有解为非负数．
小华：其中一个不等式的解集为x≤8.
小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．
解不等式①，得x≥1.
解不等式②，得x≤8.
所以，原不等式组的解集为1≤x≤8.（答案不唯一）
选题角度3 求不等式（组）中的特殊解
4．（新BS八下P60）求不等式4（x＋1）≤24的正整数解．
解：去括号，得4x＋4≤24.
移项、合并同类项，得4x≤20.
两边都除以4，得x≤5.
所以不等式的正整数解为1，2，3，4，5.
解：去分母，得3（2＋x）≥2（2x－1）－12.
去括号，得6＋3x≥4x－2－12.
移项，得3x－4x≥－2－12－6.
合并同类项，得－x≥－20.
两边都除以－1，得x≤20.
则满足条件的正整数x的值为正整数1～20.
解不等式②，得x≤4.
所以x取整数－2，－1，0，1，2，3，4时，
选题角度4 规律探究（代数推理）
7．（新BS八下P73）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：
52＋32________2×5×3；
32＋32________2×3×3；
（－3）2＋22________2×（－3）×2；
（－4）2＋（－4）2________2×（－4）×（－4）.
＞
＝
＞
＝
（2）观察（1）中各式，你能发现它们有什么规律吗？请用一个含有字母a，b的式子表示上述规律．
（3）运用所学的知识说明你在（2）中发现的规律的正确性．
解：（2）任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍，即a2＋b2≥2ab.
（3）∵（a－b）2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
选题角度5 方案选择
8．（新RJ七下P134）甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？
解：设顾客累计购物x元．
当x≤50时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，到两超市购物花费相同．
当50当x>100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠．
①若到甲超市购物花费较少，则
100＋0.9（x－100）<50＋0.95（x－50）.解得x>150.
②若到乙超市购物花费较少，则
100＋0.9（x－100）>50＋0.95（x－50）.解得x<150.
③若到两超市购物花费相同，则
100＋0.9（x－100）＝50＋0.95（x－50）.解得x＝150.
答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少．
9．（新BS八下P66改编）甲、乙两个育种场为响应国家政策，鼓励农民多种粮、种好粮，计划优惠出售一批小麦良种．甲育种场的优惠方式为：若购买小麦良种累计不超过500元，则按原价收费；若超过500元，则超出500元的部分按原价的80%收费．乙育种场的优惠方式为：若购买小麦良种累计不超过300元，则按原价收费；若超过300元，则超出300元的部分按原价的85%收费．假设甲、乙两家育种场小麦良种的单价相同，你认为购买哪家的小麦良种更合算？
解：设购买x元的小麦良种．
当x≤300时，从甲、乙两家育种场购买小麦良种所需费用相同．
当300≤x≤500时，从乙育种场购买小麦良种更划算．
当x>500时，若甲育种场收费更少，则
500＋0.8（x－500）<300＋0.85（x－300），解得x＞1 100.
若甲、乙两家育种场收费相同，则
500＋0.8（x－500）＝300＋0.85（x－300），解得x＝1 100.
若乙育种场收费更少，则
500＋0.8（x－500）>300＋0.85（x－300），解得x<1 100.
答：当x≤300或x＝1 100时，从甲、乙两家育种场购买小麦良种所需费用相同；
当300≤x≤1 100，时，从乙育种场购买小麦良种更合算；
当x>1 100时，从甲育种场购买小麦良种更合算．(共30张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 不等式及其性质
课时2 不等式的解与解集
能在数轴上表示出不等式的解集．（抽象能力、运算能
力、几何直观、模型观念）
课标要求
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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1．在数值1，2，3，4，5，6中，是方程x－3＝0的解的为________；使不等式x－3＞0成立的数有________；使不等式x－3＜0成立的数有________．
3
4，5，6
1，2
2．如图，点A在数轴上表示的数为－5，点B在点A的右侧．
（1）点B所表示的数可能是______________________（写出三个即可），这些数都________－5（填“大于”“小于”或“等于”）；
（2）若点C所表示的数比－5小，则数轴上点C可能的位置有________个，它们都在点A的________侧（填“左”或“右”）.
－1，0，3（答案不唯一）
大于
无数
左
课堂讲练
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不等式的解与解集
1．在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的________，叫作不等式的解．
2．一个含有未知数的不等式的________，组成这个不等式的解集．求不等式解集的过程叫作解不等式．
注：不等式的解有无数个，但不等式的解集只有一个．
值
所有解
例1 （1）补全下列表格：
x 0 1 2 3 4
x－2 －2 2
（2）上面x的五个值中，是不等式x－2＜0的解的为________．
（3）当x＜________时，不等式x－2＜0总成立；当x＞________或x＝________时，不等式x－2＜0不成立．所以不等式x－2＜0的解集为________．
－1
0
1
0，1
2
2
2
x<2
训练 1.（1）下列数值：－4，－3，－2，－1，0，其中是不等式x＋3>0的解的为_____________；
（2）不等式x＋3>0的解有________个，请写出该不等式的两个负整数解：________；
（3）不等式x＋3>0的解集为________．
－2，－1，0
无数
－2，－1
x>－3
在数轴上表示不等式的解集
例2 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x＜3；
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
（2）x≥－1.
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
答图2
训练 2.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≤2；
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图3所示．
答图3
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图4所示．
答图4
例3 写出下列数轴所表示的不等式的解集（用x表示未知数）：
（1）
（2）
解：（1）x＜6.
（2）x≥－0.7.
训练 3.写出下列数轴所表示的不等式的解集（用x表示未知数）：
（1）
（2）
用数轴表示不等式的解集：大于向右画，小于向左画；无等号用空心圆圈，有等号用实心圆点．
代数表示 x＞a x＜a x≥a x≤a
数轴表示
特点 空心点，折线向右 空心点，折线向左 实心点，折线向右 实心点，折线向左
课堂检测
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1．下列各数中是不等式3－x＞5的解的是（ ）
A. 2
B．－1
C．－2
D．－3
D
2．如果x＝1.6是某个不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A．x＞3
B．x＞2
C．x＜1
D．x＜2
D
3．下图中数轴所表示的不等式的解集为（ ）
A．x＞－2
B．x＜－2
C．x＞2
D．－2＜x＜2
A
4．在数轴上表示下列不等式的解集，并填空：
（1）x＞4，其最小整数解是________；
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图5所示．
答图5
5
（2）x≤5，其正整数解是________________．
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图6所示．
答图6
1，2，3，4，5
5．对于不等式x≥2，下列说法中不正确的是（ ）
A. x＝3是它的一个解
B．x＝2是它的解集
C．它有无数个解
D．x≥2是它的解集
B
不等式的解集是一个集合，它包含不等式的每一个解．
6．若不等式x≤m＋1的解集是x≤－1，则m的值是（ ）
A. －2
B．－1
C．0
D．2
A
7．（新BS八下P57改编）某弹簧测力计的测量范围是0至80 N，小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，你知道这个物体的重力G（N）在什么范围吗？请在数轴上表示出来．若弹簧恢复原状，则这个物体的重力G（N）在什么范围？
解：若没有恢复原状，则G>80，在数轴上的表示如答图7所示．
答图7
若恢复原状，则0＜G≤80.
随堂测
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1．下图中数轴所表示的不等式的解集为( )
A．x＜1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1
A
C
3．已知某个不等式的解集是x＜－2，下列说法正确的是( )
A．0是这个不等式的解
B．－3不是这个不等式的解
C．小于－3的数都是这个不等式的解
D．小于－1的数都是这个不等式的解
C
4．在数轴上表示下列不等式的解集，并填空：
(1)x＞－3，其负整数解是_________；
第4题图1
－1，－2
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
第4题图2
答图2
解：这个不等式的解集在数轴上的表示如答图2所示．
0(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 一元一次不等式与一次函数
课时1 一元一次不等式与一次函数（1）
第二章 不等式与不等式组
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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一元一次不等式与一次函数
类型1 单一次函数
例1 一次函数y＝2x＋2的图象如图所示．
（1）当x_______时，2x＋2＝0；
（2）当x_______时，2x＋2≤0；
（3）当x_______时，2x＋2＞0；
（4）当x_______时，2x＋2＜2.
＝－1
≤－1
＞－1
＜0
训练 1.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示．
（1）当x________时，y＝0；
（2）当x________时，y＞0；
（3）当x________时，y＜0；
（4）当x________时，kx＋b＞3.
＝2
＜2
＞2
＜0
函数y＝kx＋b与关于x的方程、不等式的联系
方程kx＋b＝0的解 不等式kx＋b＞0的解集 不等式kx＋b＜0的解集
从函数y＝kx＋b的角度 y＝0时，自变量x的值 y＞0时，自变量x的取值范围 y＜0时，自变量x的取值范围
从图象（直线y＝kx＋b）的角度 直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标 直线y＝kx＋b在x轴上方所有点的横坐标所构成的集合 直线y＝kx＋b在x轴下方所有点的横坐标所构成的集合
类型2 双一次函数
例2 如图，已知直线y1＝x＋1与直线y2＝－2x＋4相交于点A（1，2）.
（1）当x________时，y1＝y2；
（2）当x________时，y1＞y2；
（3）当x________时，y1＜y2.
＝1
＞1
＜1
训练 2.如图，已知直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交于点A.
（1）当x________时，y1＝y2；
（2）当x________时，y1＞y2；
（3）当x________时，k1x＋b1＜k2x＋b2.
＝－3
＞－3
＜－3
函数y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2与关于x的方程、不等式的联系
方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解 不等式k1x＋b1>k2x＋b2的解集 不等式k1x＋b1从函数的角度 y1＝y2时，自变量x的值 y1>y2时，自变量x的取值范围 y1从图象的角度 直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2交点的横坐标 直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2上方所有点的横坐标所构成的集合 直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2下方所有点的横坐标所构成的集合
一 一元一次不等式与一次函数的应用
例3 （新BS八下P65改编）如图，y1反映了某电动车厂一天的销售收入与电动车销售量之间的关系，y2反映了该电动车厂一天的销售成本与销售量之间的关系．
（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式：________．
（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式：_____________．
y1＝x
（3）当一天的销售量不少于多少辆时，该电动车厂才能获利？
∵x为正整数，∴x的最小值为5.
∴当一天的销售量不少于5辆时，该电动车厂才能获利．
课堂检测
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1．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点（－3，0）和（0，－1），则关于kx＋b>0的不等式的解集是（ ）
A. x<－3
B．x>－3
C．x<－1
D．x>－1
A
2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（－1，－2）和B（－2，0），一次函数y＝2x的图象经过点A，则关于x的不等式2x≤kx＋b的解集为（ ）
A．x≤－1
B．x≤－2
C．x≥－1
D．－2≤x＜－1
A
3．如图，一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，－1），B（1，1），则不等式kx＋b>1的解集为________．
x>1
（2）结合图象，直接写出y2＞y1时，x的取值范围．
5．已知关于x的不等式ax＋1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是（ ）
A．（0，1）
B．（－1，0）
C．（0，－1）
D．（1，0）
D
6．（新BS八下P66改编）甲、乙两辆摩托车从相距20 km的A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．
（1）________摩托车的速度较快（填“甲”或“乙”）．
（2）经过________h，甲、乙两车相遇．
乙
（3）何时甲摩托车离B地的距离大于乙摩托车离B地的距离？
随堂测
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1．如图，若直线y＝kx＋b与坐标轴相交于A(－3，0)，B(0，5)两点，则关于x的不等式kx＋b<0的解集为( )
A．x>－3
B．x<－3
C．x>5
D．x<5
B
2．如图，已知直线y1＝x＋m与y2＝kx－1相交于点P(－1，1)，则关于x的不等式x＋m>kx－1的解集为( )
A．x>－1
B．x≥－1
C．x≤－1
D．x<－1
A
3．为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．如图，l1，l2分别表示甲、乙两种消费卡的消费费用y(元)与消费次数x之间的函数关系．观察图象可知，当消费次数x满足__________时，选择乙种消费卡更为划算．
x＞10
（4，0）
解：画出该函数的图象如答图1所示．
答图1
(3)观察图象，当函数图象在第一象限时，x的取值范围是__________．
答图1
0＜x＜4(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第四节 一元一次不等式组
课时2 一元一次不等式组的解法（2）
第二章 不等式与不等式组
会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解
集．（抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识）
课标要求
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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解复杂的一元一次不等式组
解：解不等式①，得x＜3.
解不等式②，得x≥－1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图1所示．
答图1
因此，原不等式组的解集是－1≤x＜3.
解：解不等式①，得x＜3.
解不等式②，得x≤1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图2所示．
答图2
因此，原不等式组的解集是x≤1.
解：解不等式①，得x≥－5.
解不等式②，得x＞－3.
∴不等式组的解集是x＞－3.
∴它的所有负整数解是－2，－1.
解不等式①，得x≥－3.
解不等式②，得x＜2.
∴不等式组的解集是－3≤x＜2.
∴x可取的正整数值为1.
一元一次不等式组的应用
例3 学校组织机器人大赛，老师计划将参加比赛的学生分成8组，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人．求预定每组分配的人数．
解：设预定每组分配的人数是x.
∵x为正整数，∴x＝12.
∴预定每组分配的人数为12.
训练 3.（新RJ七下P141）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本．这些书有多少本？共有多少名同学？
解：设共有x名同学，则这些书有（3x＋8）本．
∵x为正整数，∴x＝6.
∴3x＋8＝3×6＋8＝26.
答：这些书有26本，共有6名同学．
课堂检测
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B
B
1＜a＜3
解：解不等式①，得x≥2.
解不等式②，得x＞3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图3所示．
答图3
因此，原不等式组的解集是x＞3.
解：解不等式①，得x<2.
解不等式②，得x≥－1.
∴不等式组的解集为－1≤x<2.
∴该不等式组的所有整数解是－1，0，1.
－3
8．某学校准备购进甲、乙两种办公桌共40张，其中，甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元．若该学校需要购买甲种办公桌的数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18 400元，则有哪几种购买方案？
解得28≤x≤30.
∵x为整数，∴x可取28或29或30.
∴共有3种购买方案：
方案一：购买甲种办公桌28张，购买乙种办公桌12张；
方案二：购买甲种办公桌29张，购买乙种办公桌11张；
方案三：购买甲种办公桌30张，购买乙种办公桌10张．
随堂测
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C
4
C
解：解不等式①，得x＞－1.
解不等式②，得x≥－3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图1所示．
因此，原不等式组的解集是x＞－1.
答图1
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图2所示．
因此，原不等式组的解集是－2＜x≤1.
答图2(共20张PPT)
微专题6 一元一次不等式（组）的含参问题
第二章 不等式与不等式组
类型 已知不等式的解集的情况求参数
例1 已知关于x的不等式6x－1>2（x＋m）－3.
（1）求该不等式的解集（结果用含m的式子表示）；
解：去括号，得6x－1>2x＋2m－3.
移项、合并同类项，得4x>2m－2.
（2）若x＝2是该不等式的一个解，求m的取值范围；
解得m<5.
（3）若该不等式的解集与不等式x－3<2x＋6的解集相同，求m的值；
解：解不等式x－3<2x＋6，得x>－9.
解得m＝－17.
（4）若该不等式的每一个解都是不等式x－3<2x＋6的解，求m的取值范围；
解：由（3），得不等式x－3<2x＋6的解集为x>－9.
解得m≥－17.
（5）若该不等式有且只有一个负整数解，求m的取值范围．
解：∵不等式只有一个负整数解，∴这个负整数解只能是－1.
∴m的取值范围是－3≤m<－1.
解得－3≤m<－1.
点拨
已知不等式的解集的情况求参数的一般步骤：
1．利用参数表示出不等式的解集；
2．根据解集或解的特征建立方程或不等式进行求解．
技巧点拨
在根据要求求参数时，我们可以借助数轴来清晰呈现二者之间的关系．（注意取等号的情况）
图1
图2
图3
类型 已知不等式组的解集的情况求参数
解：解不等式①，得x>3.
解不等式②，得x≤2a.
∵该不等式组的解集为3解得a＝4.
（2）若该不等式组无解，求a的取值范围；
解：∵该不等式组无解，∴2a≤3.
（3）若该不等式组恰有3个整数解，求m的取值范围．
解：∵不等式组恰有3个整数解，且x＞3，
∴这三个整数解分别为4，5，6.
∴6≤2a<7.
点拨
已知不等式组的解集的情况求参数的一般步骤：
1．利用参数表示出不等式组的解集；
2．根据解集或解的特征建立方程（组）或不等式（组）进行求解．
技巧点拨
1．在根据要求求参数时，我们同样可以借助数轴来清晰呈现二者之间的关系．（注意取等号的情况）
如（2）中，由图4可知，只需使表示2a的点在表示3的点的左侧或与之重合即可．
图4
如（3）中，由图5可知，只需使表示2a的点在表示6和7的点之间，注意取不到7但可以取到6.
图5
类型 已知方程（组）的解的情况求参数
例3 （1）若关于x的一元一次方程4x－m＝3x＋1的解为正数，则m的取值范围是________．
m＞－1
（2）【整体思想】已知关于x，y的二元一次方程组（m是常数）
①若x＋y＝1，则实数m的值为________；
②若－1＜x－y＜5，则m的取值范围为________．
0＜m＜3
解：①＋②，得2x＝18－4m.
解得x＝9－2m.
①－②，得－2y＝4＋2m.
解得y＝－2－m.
∵x为非负数，y为负数，
点拨
已知方程（组）及其解的情况时，可将参数看成“常数”，求出各个方程的解，根据已知条件中解的大小关系，将方程（组）的解代入转为不等式（组），进而得出参数的取值情况．
