(共28张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
第一节 平行四边形的性质及判定
课时5 平行线之间的距离
理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．（几何直观、推理能力、模型观念、运算能力、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
知识导学
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1．点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度，如图1中线段______的长度；
2．平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离称为平行线之间的距离，如图2中线段______，______的长度．
PQ
图1 图2
AB
CD
课堂讲练
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证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝90°．∴AC∥BD．
∵AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∴AC＝BD．
平行线之间的距离
例1 （新BS八下P158）已知：如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D．求证：AC＝BD．
结论：平行线之间的距离处处________．
相等
训练 1．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥BC，如果AB＝10 cm，BC＝6 cm，那么平行线a，b之间的距离为_____cm．
8
例2 如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变时，直线AB与直线CD之间的距离______，△PCD的面积______．（填序号）
①向左移动变小；
②向右移动变小；
③始终不变．
③
③
训练 2．如图，直线a∥b，A，B为直线a上两点，C，D为直线b上两点，且AB∶CD＝2∶3．若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为_____．
9
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．∴∠MDF＝∠NBE．
在△MDF和△NBE中，
平行四边形性质与判定的综合应用
例3 （新BS八下P159）已知：如图，在 ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM＝BN，DF＝BE．求证：四边形MENF是平行四边形．
∴△MDF≌△NBE（SAS）．
∴∠MFD＝∠NEB，MF＝NE．
∴180°－∠MFD＝180°－∠NEB，即∠MFE＝∠NEF．
∴MF∥NE．
∴四边形MENF是平行四边形．
训练 3．在 ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，在BD上取点F，使∠DCF＝∠BAE，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE＝6，EF＝8，则点F到直线CE的距离是_________．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD．
∴∠ABE＝∠CDF．
在△BAE和△DCF中，
∴△BAE≌△DCF（ASA）．∴BE＝DF．
∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
课堂检测
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1．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4，则平行线l1和l2之间的距离是（ ）
A．2
B．4
C．4
D．2
D
2．【生活情境】如图，体育课上甲、乙、丙三位同学依次进行跳远测试，他们都从点P起跳，落脚点分别为A，B，C，且A，B，C三点在同一直线（平行于起跳板）上，则三位同学的成绩（ ）
A．甲最好
B．乙最好
C．丙最好
D．一样好
D
3．如图，直线AB∥CD，若△ACO的面积为3 cm2，则△BDO的面积为_____cm2．
3
4．（新BS八下P164）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．求证：∠B＝∠C．
答图1
证明：如答图1，分别过点A，D作AE⊥BC于
点E，DF⊥BC于点F，
则∠AEB＝∠DFC＝90°．
又∵AD∥BC，∴AE＝DF．
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴∠B＝∠C．
5．（新BS八下P162改编）如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE，BF的中点．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）四边形ENFM是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB．∴∠CFB＝∠ABF．
∴∠AED＝∠ABF．∴DE∥FB，即ME∥FN．
又∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴ME＝DE，FN＝BF．
∴ME＝FN．∴四边形ENFM是平行四边形．
6．【转思想】（新BS八下P163改编）如图，4×4方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，要在图中格点上找到点C，使得△ABC的面积为2，满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．4个
C．6个 D．7个
C
将△ABC的面积转为点到直线的距离，进而转为平行线之间的距离．
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠E．
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE．∴∠DAF＝∠E．
∴AD∥EB，即AD∥CB．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
解：∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴AE＝AB＝10．
又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝AE＝5．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝＝＝5．
∴S△ABF＝AF·BF＝×5×5＝．
∴ ABCD的面积为2S△ABF＝25．
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝10，求四边形ABCD的面积．
随堂测
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1．如图，若直线m∥n，则下列线段中，长度可以用于表示直线m，n之间的距离的是( )
A．AB
B．AC
C．AD
D．DE
B
2．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10
B．小于10
C．等于10
D．不确定
C
3．如图，P是直线m上的一个动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n.下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小．其中不会随点P的移动而变的是__________(填序号).
①③
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∴△AFE≌△DBE（AAS）.
∴AF＝DB.
∵AD是BC边上的中线，
∴DB＝DC.∴AF＝DC.
又∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
(2)请直接写出图中任意一个面积是△AEF面积的2倍的三角形．
解：△ACF（或△ACD或△ADB或△AFB）.
（任选其一）(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 多边形的内角和与外角和
课时2 多边形的外角和
了解多边形的外角；探索并掌握多边形外角和公式．（推理能力、运算能力、几何直观、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
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多边形的外角与外角和
1．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的______________所组成的角叫作这个多边形的外角．
反向延长线
2．多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．
三角形 四边形 五边形 … n边形
图形 …
内角和 180° 360° _______° … （n－2）·180°
540
结论：任何一个外角加上与它相邻的内角都等于_______°；多边形的外角和与边数无关，都等于_______°．
三角形 四边形 五边形 … n边形
内、外角总和 3×180°＝540° _____×180°＝ _________ 180°×_____＝ _________ … ____________
外角和 540°－180°＝360° _______°－360°＝ _______° _____°－______°＝ _______° … ____________－
（n－2）·180°＝_______°
4
720°
5
900°
n·180°
720
360
900
540
360
n·180°
360
180
360
例1 （1）三角形的外角和等于_______°，正三角形每个外角等于_______°；
（2）五边形的外角和等于_______°，正五边形每个外角等于______°．
360
120
360
72
训练 1．（1）正六边形的外角和等于_______°，每个外角等于______°；
（2）正八边形的外角和等于_______°，每个外角等于______°．
360
60
360
45
例2 （1）若一个正多边形的每个外角都为30°，则这个多边形是正________边形；
（2）若一个正多边形的每个内角都为108°，则这个正多边形的每个外角都为______°，它是正______边形．
十二
72
五
训练 2．（1）若一个正多边形的每个外角都为24°，则这个多边形是正________边形；
（2）若一个正多边形的每个内角都为140°，则这个正多边形的每个外角都为______°，它的边数是_____．
十五
40
9
正n边形（n≥3）的每个外角的度数为______；正多边形的边数＝．
多边形的内角和与外角和的综合
例3 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设它是n边形．
由题意，得（n－2）·180°＝360°×3．
解得n＝8．
∴它是八边形．
训练 3．一个多边形的内角和与外角和的和为1 980°，它是几边形？
解：设它是n边形．
由题意，得（n－2）·180°＋360°＝1 980°．
解得n＝11．
∴它是十一边形．
课堂检测
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1．【创新题】“任意画出一个多边形，外角和是360°”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．无法确定
B
2．【几何直观】如图，在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的一条边重合，则∠α的度数为（ ）
A．54°
B．60°
C．70°
D．72°
D
3．（新BS八下P173改编）一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．五边形
C．四边形 D．六边形
C
变式 （新RJ八下P53改编）一个多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．
四
4．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1＋∠2＋∠3＝_______°．
180
5．（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数为_____；
（2）一个正n边形的每个内角和与它相邻外角的度数之比为3∶1，则n的值为_____．
7
8
6．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；②周长变小；③外角和增加180°；④内角和增加180°．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
D
7．如图所示是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5 B．6
C．8 D．10
B
8．【应用意识】如图，小明从点A出发，沿正东方向前进10 m后向右转20°，再前进10 m后又向右转20°，这样一直下去，直到他回到出发点A停止．在此过程中，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）求这个多边形的内角和．
解：（1）∵360°÷20°＝18，
∴小明所走的路径构成了一个正十八边形．
18×10＝180（m）．
答：小明一共走了180 m．
（2）由（1），得这个多边形为正十八边形．
（18－2）×180°＝2 880°．
∴这个多边形的内角和是2 880°．
随堂测
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1．正十边形的外角和为( )
A．360°
B．720°
C．1 080°
D．1 440°
A
2．【生活情境】图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之景如同镶嵌于一个画框之中．图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
B
3．若一个正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为( )
A．540°
B．720°
C．900°
D．1 080°
D
4．若正多边形的一个内角与它的外角相等，则这个多边形是正__________边形．
四
5．如图，在正五边形ABCDE中，延长AE，CD相交于点F，则∠F的度数是__________°.
36
解：设这个多边形的边数为n.
∴这个多边形的边数为14.(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
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第一节 平行四边形的性质及判定
课时3 平行四边形的判定（1）—— 边
探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
知识导学
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平行四边形的判定 几何语言 图示
判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵__________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵__________________， ∴四边形ABCD是平行四边形 判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，__________， ∴四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD，AD∥CB
AB＝CD，AD＝CB
AB＝CD
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证明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD．
∵∠3＝∠4，∴AD∥CB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定1——找两组对边平行
例1 如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：四边形ABCD是平行四边形．
训练 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°．
又∵∠B＝∠D，∴∠D＋∠C＝180°．
∴AD∥CB．∴四边形ABCD是平行四边形．
证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．∴AB＝CD，BC＝DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定2——找两组对边相等
例2 （新BS八下P162）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠DEC＝∠C，
∴ED＝CD．
∵AB＝CD，∴AB＝ED．
又∵AD＝EB，
∴四边形ABED是平行四边形．
训练 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E是边BC上一点，且AD＝EB，∠DEC＝∠C．求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB．
又∵E，F分别为AD和CB的中点，
∴ED＝AD，FB＝CB．∴ED＝FB．
又∵AD∥CB，即ED∥FB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
平行四边形的判定3——找一组对边平行且相等
例3 （新BS八下P155）已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB．
∵DF＝BE，
∴AD－DF＝CB－BE，即AF＝CE．
又∵AD∥CB，即AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
训练 3．（新BS八下P155改编）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
课堂检测
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1．如图，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝CB
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB∥CD，AD∥CB
D．AB＝CD，AD∥CB
D
2．【生活情境】图1是某小区倾斜式停车位，图2是其中一个车位的示意图，工人在绘制时会保证AD＝CB，∠C＝60°，∠D＝120°，则这个四边形车位的形状是______________，依据是________________ __________________________．
平行四边形
一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形
3．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC．
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE．
∴AD∥CB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CA，AC延长线上的点，且AE＝CF，BE∥DF．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形ABCD为平行四边形，你添加的条件是________________________；
BE＝DF（答案不唯一）
证明：∵BE∥DF，∴∠E＝∠F．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF．
∴∠BAC＝∠DCA．∴AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）根据你添加的条件，求证：四边形ABCD为平行四边形．
解：四边形EFGH是平行四边形．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC．
又∵BF＝DH，∴BC－BF＝AD－DH，即CF＝AH．
5．如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，且AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．探究四边形EFGH的形状，并证明．
在△AEH和△CGF中，
∴△AEH≌△CGF（SAS）．∴EH＝GF．
同理，△BEF≌△DGH（SAS）．∴EF＝GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
6．（新RJ八下P81改编）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm．点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q的运动时间为t s．
（1）用含t的代数式表示下列线段：
AP＝_____cm，DP＝_____________cm，
CQ＝______cm，BQ＝______________cm；
（2）当t为何值，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
t
（24－t）
3t
（26－3t）
解：∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，DP∥CQ．
分以下两种情况：
①当AP＝BQ时，t＝26－3t．
解得t＝6.5．
∴当t＝6.5时，四边形APQB为平行四边形．
②当DP＝CQ时，24－t＝3t．
解得t＝6．
∴当t＝6时，四边形PDCQ为平行四边形．
综上所述，当t＝6.5或6时，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
随堂测
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1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
B
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝7，CD＝5，则当AD＝__________时，四边形ABCD是平行四边形．
7
3．(新BS八下P155改编)如图，线段AD是线段BC经过平移得到的，分别连接AB，CD，则四边形ABCD是______________，依据是______________________________________．
平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且∠BCE＝∠DAF.
求证：(1)△EBC≌△FDA；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝DA，∠B＝∠D.
∴△EBC≌△FDA（ASA）.
(2)四边形AECF是平行四边形．
证明：∵△EBC≌△FDA，∴CE＝AF，BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．(共10张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
一、开展垃圾处理宣传活动
综合与实践
例1 【问题背景】垃圾分类能够减少垃圾处理量、降低处理成本、减少土地资源消耗，同时提高垃圾资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等多方面的效益．为了促进厨余垃圾减量，某社区在4月份开展了厨余垃圾减量宣传活动，社区环保志愿者对该社区内住户数相同的东、西两个小区分别通过线上微信宣传和线下入户宣传两种不同的方式进行宣传，宣传过程中，志愿者对这两个小区4月1日至7日每天的厨余垃圾量进行了调查统计，结果如下表：
4月1日厨余垃圾量（kg） 4月2日厨余垃圾量（kg） 4月3日厨余垃圾量（kg） 4月4日厨余垃圾量（kg） 4月5日厨余垃圾量（kg） 4月6日厨余垃圾量（kg） 4月7日厨余垃圾量（kg）
东小区 97 94 91 88 85 82 79
西小区 115 110 105 100 95 90 85
【模型构建】（1）观察表格发现，东、西两个小区4月1日至7日每天的厨余垃圾量与日期满足一次函数关系模型，请求出东、西两个小区每天的厨余垃圾量y1，y2（单位：kg）与日期x（记4月1日为1，4月2日为2，以此类推）之间的函数关系式．
【问题解决】（2）志愿者所采取的两种厨余垃圾减量的宣传方式，你认为哪种效果更好？请根据上述数据说明理由．
（3）根据上述一次函数关系模型，预测4月份从哪一天开始，西小区厨余垃圾量会比东小区厨余垃圾量少．
解：（1）设y1关于x的函数关系式为y1＝k1x＋b1（k1≠0）．
将（1，97），（2，94）分别代入，得解得
∴y1关于x的函数关系式为y1＝－3x＋100．
设y2关于x的函数关系式为y2＝k2x＋b2（k2≠0）．
将（1，115），（2，110）分别代入，得解得
∴y2关于x的函数关系式为y2＝－5x＋120．
（2）采取线下入户宣传方式效果更好．理由如下：
由（1）可知，y1＝－3x＋100，y2＝－5x＋120．
∴东小区每天厨余垃圾量减少3 kg，西小区每天厨余垃圾量减少5 kg．
∴西小区每天厨余垃圾量减少的更多，即采取线下入户宣传方式效果更好．
（3）根据题意，得－5x＋120<－3x＋100．解得x>10．
∴当x>10时，即从4月11日开始，西小区厨余垃圾量会比东小区厨余垃圾量少．
训练 1．某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，准备在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在增强居民垃圾分类意识、提高居民垃圾分类参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与，研究如何购买这批物资性价比更高．同学们首先走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案：
方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用y1（单位：元）与垃圾箱个数x满足如图1所示的函数关系；
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用）与垃圾箱个数x满足如图2所示的函数关系．
根据图象回答下列问题：
（1）①方案一中每个垃圾箱的价格是_______元；
②方案二中租赁机器的费用是___________元，生产一个垃圾箱的费用是______元．
（2）y1关于x的函数关系式为____________，y2关于x的函数关系式为____________________．
（3）该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠？
（4）若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共2 700个，购买1个垃圾分类宣传版面的单价是240元，1个垃圾箱的单价是150元，且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的4.4倍，则该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少？总费用最少是多少元？
150
20 000
50
y1＝150x
y2＝50x＋20 000
解：（3）当y1当y1＝y2，即150x＝50x＋20 000时，解得x＝200；
当y1>y2，即150x>50x＋20 000时，解得x>200．
∴当x<200时，选择方案一更优惠；当x＝200时，两种方案一样优惠；当x>200时，选择方案二更优惠．
（4）设购买垃圾分类宣传版面m个，所需总费用为W元，则购买垃圾箱（2 700－m）个．
由题意，得2 700－m≤4.4m．解得m≥500．
由题意，得W＝240m＋150（2 700－m）＝90m＋405 000．
∵90>0，∴当m＝500时，W的值最小，最小值为90×500＋405 000＝450 000．
答：该街道购买500个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，总费用最少为450 000元．(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 平行四边形的性质及判定
课时1 平行四边形的性质（1）—— 边、角
理解平行四边形的概念；了解四边形的不稳定性；探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等；探索平行四边形的中心对称性质．（几何直观、推理能力、模型观念、运算能力）
课标要求
第六章 平行四边形
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
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平行四边形的定义：两组对边分别________的四边形是平行四边形，它是________对称图形．
平行
中心
平行四边形的性质 几何语言 图示
①对边________且________； ②对角________ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥_____，AD∥______； AB＝______，AD＝______； ∠A＝______，∠B＝______
平行
相等
相等
CD
CB
CD
CB
∠C
∠D
课堂讲练
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平行四边形边、角的性质
例1 （新BS八下P151改编）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）∠D＝______°，∠A＝_______°，∠C＝_______°．
（2）AB＝______，BC＝______， ABCD的周长为_______．
56
124
124
25
30
110
训练 1．如图，已知 ABCD．
（1）若 ABCD的周长为30 cm，AB＝7 cm，则CD＝_____cm，BC＝_____cm；
（2）若∠B＝2∠A，则∠B＝_______°，∠C＝______°．
7
8
120
60
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴AE＝CF．
平行四边形边、角性质的应用
例2 （新BS八下P161改编）如图，在 ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB．
∴∠DAE＝∠BCF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴∠ADE＝∠CBF．
训练 2．（新BS八下P150改编）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：∠ADE＝∠CBF．
要证平行四边形内的线段或角相等，通常将其转为三角形全等，利用全等的性质进行证明．
课堂检测
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1．在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1
C．1∶1∶2∶2 D．2∶1∶2∶1
D
2．【应用意识】下图是“左侧通行”的交通标志，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠ABC＋∠ADC＝140°，则∠BAD的度数为（ ）
A．140°
B．110°
C．80°
D．70°
B
3．如图，在 ABCD中，AB＝6 cm，若AB∶BC＝2∶1，则 ABCD的周长为（ ）
A．9 cm
B．18 cm
C．27 cm
D．36 cm
B
4．（新RJ八下P67改编）如图， OABC的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（4，0），（1，3），那么顶点B的坐标为（ ）
A．（6，3）
B．（5，3）
C．（3，5）
D．（4，5）
B
5．如图，在 ABCD中，若BA＝BD，AE⊥BD，∠C＝70°，则∠DAE＝______°．
20
6．（2025河源期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．
解：OE＝OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ODE＝∠OBF．
∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF．
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（AAS）．∴OE＝OF．
证明：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠AED＝∠CDE．
∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．
7．（新BS八下P177改编）【模型发现】（1）如图1，在 ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E．求证：AD＝AE．
图1
【模型应用】（2）在（1）的条件下，若BC＝3，BE＝4，则 ABCD的周长为______．
20
平行线＋角平分线→等腰三角形．
【拓展创新】（3）如图2，在 ABCD中，点P在边CD上，连接AP，BP，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC．
①求证：PD＝PC；
图2
证明：∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠DAP＝∠PAB，∠CBP＝∠PBA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC．
∴∠PAB＝∠DPA，∠CPB＝∠PBA．
∴∠DAP＝∠DPA，∠CPB＝∠CBP．
∴AD＝PD，BC＝PC．∴PD＝PC．
②若AD＝5 cm，AP＝8 cm，则△APB的周长为______cm．
24
图2
随堂测
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1．平行四边形不一定具备的性质是( )
A．对边平行
B．对角相等
C．对边相等
D．是轴对称图形
D
2．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝3，则BC＋CD的长为( )
A．10
B．6
C．5
D．8
C
3．如图，在 ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠D＝56°，则∠BCE的度数为( )
A．26°
B．34°
C．44°
D．42°
B
4．如图，在 ABCD中，AC⊥BC.若AB＝13，AC＝12，则 ABCD的周长为__________．
36
5．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，且BE＝CF.求证：∠BAE＝∠CDF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠B＝∠DCF.
∴△ABE≌△DCF（SAS）.∴∠BAE＝∠CDF.(共11张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
二、设计美丽的镶嵌图案
综合与实践
例2 阅读下列材料，并完成相应任务．
【主题】关于同一种多边形的平面密铺．
【素材】平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，又称平面镶嵌．
任务一：探究同一种正多边形的密铺．
如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角．
（1）密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为_______°，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺．
360
解：正五边形不可以进行密铺．理由如下：
∵正五边形的每一个内角的度数为 ＝108°，360°÷108°＝3……36°，
∴正五边形不可以进行密铺．
（2）你认为正五边形可以进行密铺吗？请说明理由；
任务二：探究同一种一般多边形的密铺．
如图2，经过同学们动手试验，每小组画出了自己小组的拼接图．
（3）观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺．
三角形
四边形
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺发现，虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，由此展开了对一般五边形的密铺探究．目前可以密铺的凸五边形共有15种，图3为其中一种五边形的密铺图．
（4）图4为图3中抽象出的一个
五边形，其中∠C＝∠E＝90°，
∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数为
_________．
120°
训练 2．实践与探究
主题 探究正多边形的密铺
素材1 密铺的概念：在数学中，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌．
素材2 密铺的条件：1．拼接在同一个点的各个角的和恰好是360°；
2．相邻的多边形边长相等（以下探讨的正多边形的边长都相等）．
素材3 正n边形的每个内角度数
正n边形的边数 3 4 5 6 8 10 12 15
每个内角的度数 60° 90° 108° 120° 135° 144° 150° 156°
探究一 仅用一种正多边形密铺平面 这样的正多边形有哪几种？
探究二 同时用两种正多边形密铺平面 同一拼接点可以用x个正方形和y个正八边形密铺平面吗？如果可以，请求出x，y的值；如果不可以，请说明理由．
探究三 同时用三种正多边形密铺平面 请你根据素材3，写出两组用三种正多边形密铺平面的组合．
探究四 用方程思想解释用一种正多边形密铺平面 设正多边形的边数是n，每一个拼接点处的正多边形的数量为m，则有·m＝360．整理，得（m－2）（n－2）＝4，利用这个等式求出整数m，n的值．
解：探究一：这样的正多边形有正三角形、正方形、正六边形．
探究二：同一拼接点可以用正方形和正八边形密铺平面．
依题意，得90x＋135y＝360．整理，得x＝4－．
∵x，y均为正整数，∴
∴同一拼接点可以用1个正方形和2个正八边形密铺平面．
探究三：用三种正多边形密铺平面的组合可以是：①正三角形、正方形、正十二边形；②正三角形、正方形、正六边形；③正方形、正六边形、正十二边形．（答案不唯一）
探究四：∵m，n均为正整数，
∴或或
∴或或(共31张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第六章 章末复习
第六章 平行四边形
典例精析&变式练习
知识要点&对点训练
随堂测
平行四边形的性质
1．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
2．平行四边形的边、角、对角线的性质
边 对边平行且相等
角 对角相等
对角线 对角线互相平分
3．梯形：与平行四边形相比，只有一组对边平行的四边形叫作梯形．
1．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝BD
B．OA＝OC
C．AC⊥BD
D．∠ADC＝∠BCD
B
平行四边形的判定
边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，请添加一个条件：________________________（写出一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
AB＝CD（答案不唯一）
平行线之间的距离
1．定义：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的相等距离叫作平行线之间的距离．
2．结论：夹在两条平行线间的平行线段相等．
3．如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为_____．
2
三角形的中位线
1．定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC．
4．如图，在△ABC中，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
（1）若AB＝8，则DE＝_____；
（2）若∠DEC＝65°，∠A＝75°，则∠C＝______°．
4
40
多边形的内角和与外角和
1．n（n≥3）边形的内角和等于（n－2）·180°．
2．多边形的外角和与边数无关，都等于360°．
3．正多边形的每个内角都等于，每个外角都等于．
5．（1）七边形的内角和是_______°，外角和是_______°；
（2）若一个多边形的内角和是1 080°，则它是______边形；
（3）若一个正多边形的每一个外角都是72°，则它是正____边形．
900
360
八
五
1．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
D
2．（2025清远模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5
B．3
C．6
D．4
B
3．（2025深圳期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，连接OE．若AD＝4，CD＝8，则OE的长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
C
4．（2025深圳期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点．若AC＝4 cm，BD＝6 cm，则EF＝________cm．
5．（新BS八下P177改编）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若AD＝16，EF＝12，求 ABCD的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC．
∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF．
∴∠ABE＝∠AEB，∠DFC＝∠DCF．
∴AB＝AE，DF＝DC．
∴AE＝DF，即AF＋EF＝DE＋EF．∴AF＝DE．
（2）解：∵AD＝16，∴AF＋EF＋DE＝16．
∵AF＝DE，EF＝12，∴AF＋12＋AF＝16．
解得AF＝2．∴AB＝AE＝AF＋EF＝2＋12＝14．
∴2（AB＋AD）＝2×（14＋16）＝60，
即 ABCD的周长为60．
6．（2025揭阳期末）在△ABD中，E是AB的中点，DB，CE相交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，AF＝，求AC的长．
（1）证明：∵DF＝FB，
∴F是BD的中点．
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥AD．
∵AF∥DC，∴四边形AFCD为平行四边形．
（2）解：由（1），可知EF是△ABD的中位线，四边形AFCD为平行四边形．
∴CF＝AD＝2EF＝2，DC＝AF＝，OA＝OC，OD＝OF．
∵CE⊥DB，∴∠CFD＝90°．
∴DF＝＝＝3．
∴OF＝OD＝DF＝．
∴OC＝＝＝．
∴AC＝2OC＝5．
随堂测
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知识梳理
中心
平行
相等
相等
互相平分
平行
相等
平行且相等
互相平分
相等
平行于
一半
（n－2）·180°
360°
易错集训
易错点1 对平行四边形的判定定理记忆混乱
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝DC，AD＝BC
B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
C
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件：①AD∥BC，OB＝OD；②∠ABC＝∠ADC，AB＝CD；③AB＝DC，OA＝OC；④∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD.其中能判断四边形ABCD是平行四边形的是__________(填序号)．
①④
易错点2 数图形中平行四边形的个数
3．如图，在3×3的小正方形网格中，以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点(网格线的交点)上，这样的平行四边形有n个，则n的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C
易错点3 忽略了多种情况，分类不全
4．在平面直角坐标系中，已知以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，其中O为坐标原点．若点C的坐标是(1，3)，点A的坐标是(5，0)，则点B的坐标是_________________________________．
（6，3）或（－4，3）或（4，－3）
5．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t s．当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为__________．
2或6
易错点4 多边形内角和与外角和相关公式识记不牢
6．如果一个多边形的每个内角都是140°，那么这个多边形的边数是__________．
7．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的内角和是__________．
1 440°
9
8．如图，五边形ABCDE中，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________．
300°(共32张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
课堂检测
课堂讲练
随堂测
第一节 平行四边形的性质及判定
课时2 平行四边形的性质（2）—— 对角线
探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分．理解梯形的概念．（几何直观、推理能力、模型观念、运算能力）
课标要求
第六章 平行四边形
课堂讲练
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平行四边形对角线的性质
平行四边形的性质 几何语言 图示
对角线_________ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝______＝AC，OB＝______＝________BD
互相平分
OC
OD
1．平行四边形的面积＝底×高．
2．平行四边形是中心对称图形，两条对角线将其面积分成了相等的四部分，即S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△DOA
例1 如图，在 ABCD中，AC＝8 cm，BD＝10 cm，AD＝7 cm．
（1）OC＝_________，OB＝_________；
（2）△BOC的周长是__________．
4 cm
5 cm
16 cm
训练 1．（新RJ八下P65改编）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＋BD＝36，AB＝11，则△OCD的周长为______．
29
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DO＝BO，AD∥BC．∴∠ODE＝∠OBF．
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．∴OE＝OF．
例2 （新BS八下P152）已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
1．将直线EF绕点O旋转，结论还成立吗？
2．除此以外，还能得到哪些结论？
解：OE＝OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AD∥BC，OD＝OB．∴∠E＝∠F．
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（AAS）．
∴OE＝OF．
训练 2．如图，已知O是 ABCD的对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交边DA，BC的延长线于点E，F．猜想OE与OF的数量关系，并说明理由．
过平行四边形对角线交点的任意一条直线被平行四边形的一组对边或对边的延长线所截，得到的线段总相等，且这条直线将平行四边形分成全等的两部分．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴AO＝AC＝5，DO＝BD＝3．
∵AD⊥BD，∴∠ADO＝90°．
在Rt△AOD中，AD＝＝＝4．
∴S ABCD＝AD·BD＝4×6＝24．
平行四边形的面积计算
例3 （新BS八下P138改编）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求AD的长和 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴OA＝AC＝1，OB＝BD＝2．
又∵AB＝，∴OA2＋AB2＝4＝OB2．
∴△BAO是直角三角形，∠BAO＝90°．
∴S ABCD＝AB·AC＝×2＝2．
训练 3．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，求 ABCD的面积和AE的长．
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝．
又∵AE⊥BC，
∴S ABCD＝BC·AE＝2．
∴AE＝＝＝.
梯形
一组对边________、另一组对边__________的四边形叫作梯形．如图，平行的两边称为梯形的底，较______的底通常称为上底，较______的底通常称为下底．不平行的两边称为梯形的腰，两腰________的梯形称为等腰梯形．等腰梯形是______对称图形，且在同一底上的两个角________．
平行
不平行
短
长
相等
轴
相等
梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行．
例4 （新BS八下P153改编）如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1＝110°，∠4＝125°，则∠2＝______°，∠3＝______°．
70
55
课堂检测
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1．（新RJ八下P44改编）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AD＝12 cm，CD＝10 cm，则△AOD的周长比△COD的周长多_____cm．
2
2．如图是一块等腰梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，则∠C的度数是________．
80°
3．（新BS八下P161改编）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，则OD的长为_____，AC的长为_________．
3
2
4．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为______．
50
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．求证：BE∥DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
又∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（SAS）．
∴∠BEO＝∠DFO．∴BE∥DF．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD于
点O，交AD于点E，连接BE．若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为______．
14
7．【情境·操作·探究】（新RJ八下P67改编）探究：（1）如图1，李老师用硬纸板剪出一个 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的细直木条（可看作一条线）固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，木条交AD于点E，交BC于点F，观察几次转动的结果，S四边形ABFE______S四边形CDEF．（填“>”“<”或“＝”）
＝
图1
过平行四边形对角线交点的任意一条直线将平行四边形的面积分成相等的两部分．
应用：（2）如图2，点P在 ABCD的内部，请用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得直线PQ平分 ABCD的周长和面积．（只需画出图形，不写过程）
答图1
解：如答图1，点Q即为所求．
若点P在 ABCD的外部，假设点P在线段CD的右侧，如何找到点Q呢？
实践：（3）如图3，现有一块形状不规则的空地，它由 ABCD和
GDEF组成，王叔计划修建一条小路（直线），在被小路分成的两部分空地上分别种上月季和郁金香，若想要这两种花的种植面积相等，这条小路该如何修建？请你帮王叔画出小路的位置．（只需画出图形，不写过程）
图3
答图2
解：如答图2，直线l即为所求．
随堂测
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1．下列图形中，一定是轴对称图形的是( )
A．直角三角形
B．平行四边形
C．梯形
D．等腰梯形
D
2．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AC＝6，OB＝2，则OC＝__________，BD＝__________．
3
4
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若S△AOB＝2，则 ABCD的面积为__________．
8
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝8，BC＝6，△AOB的周长为18，则△BOC的周长为( )
A．14
B．16
C．18
D．20
B
A
6．如图，在 ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（AAS）.∴OE＝OF.(共18张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题15 平行四边形中的折叠问题
第六章 平行四边形
归纳：在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，另外注意勾股定理等知识在求折叠后图形的线段长度中的适当运用．
类型
利用折叠的性质求角的度数
1．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，AB'交CD于点E．若∠1＝48°，∠2＝32°，则∠B'CE的度数为（ ）
A．7°
B．8°
C．9°
D．10°
B
2．如图，在 ABCD中，∠BAD＝150°，E，F分别为AB，CD的中点，将 ABCD沿直线EF折叠，A'E与DC交于点G，则∠A'EB的度数为（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
3．如图，在 ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝48°，∠DAE＝20°，则∠FED'的度数为________．
44°
类型
利用折叠的性质求线段的长度
4．【方程思想】如图，将 ABCD沿AE折叠，折叠后点D恰好落在AC所在直线的点D'处，DE＝5，CE＝4，∠BAC＝90°，则线段AC的长为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
C
5．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，∠ACB＝45°，将△ABC沿AC折叠得到△AB'C，B'C交AD于点E，连接B'D．若AC＝，则B'D的长为_________．
6．【折叠角相等】（新BS八下P178）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC折叠，B'C边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．
（1）求AD的长；
（2）求重叠部分的面积．
解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴∠D＝∠DEC＝∠DCE＝60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3 cm，AD∥BC．
∴∠EAC＝∠BCA，∠BCD＝∠BAD＝180°－∠D＝120°．
根据折叠的性质，得∠BCA＝∠ECA．
∴∠EAC＝∠ECA＝30°．
∴∠ACD＝∠ECA＋∠DCE＝90°．
∴AD＝2CD＝2×3＝6（cm）．
（2）由（1），可知∠EAC＝∠ECA．∴EA＝EC．
∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝EC．∴EA＝DE．
在Rt△ACD中，AC＝＝＝3（cm）．
∴S△ACE＝S△ACD＝×AC·CD＝××3×3＝（cm2）．
∴重叠部分的面积为 cm2．
7．（新BS八下P179改编）已知：如图，将 ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF，连接CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．
类型
利用折叠的性质进行证明
证明：由折叠的性质，可知∠AFE＝∠CFE，AF＝FC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．∴∠AEF＝∠CFE．
∴∠AFE＝∠AEF．
∴AE＝AF．∴AE＝FC．
又∵AE∥FC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
8．（2025茂名期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C'处，点D的对应点为点D'，连接CC'．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC'＝15°，EC'⊥AB，BC＝
4＋2，求CE的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D'落在BA的延长线上时，求证：四边形EC'D'F为平行四边形．
（1）解：由折叠的性质，可知CE＝C'E．
∵∠BCC'＝15°，∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°．
∴∠BEC'＝∠ECC'＋∠EC'C＝30°．
∵EC'⊥AB，∴∠EC'B＝90°．∴BE＝2BC'．
∴C'E＝＝＝BC'．
∴CE＝C'E＝BC'．
∴BC＝BE＋CE＝2BC'＋BC'＝4＋2．
∴BC'＝2．∴CE＝2．
（2）证明：由折叠的性质，可知∠CEF＝∠C'EF，∠EFD＝∠EFD'，∠D＝∠D'，CE＝C'E，DF＝D'F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝∠B．
∴∠CEF＋∠EFD＝180°．
∴∠C'EF＋∠EFD'＝180°．∴C'E∥D'F．
∴∠BC'E＝∠D'＝∠D＝∠B．
∴BE＝C'E＝CE．∴C'E＝BC．
∵AD∥BC，点D'在BA的延长线上，
∴∠B＝∠D'AF＝∠D'．
∴AF＝D'F＝DF．∴D'F＝AD．
∵AD＝BC，∴C'E＝D'F．
又∵C'E∥D'F，
∴四边形EC'D'F是平行四边形．
9．如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A'处．若∠A'＝28°，∠B＝120°，则∠A'NC等于（ ）
A．124°
B．92°
C．120°
D．116°
D
类型
与中位线有关的折叠问题
10．如图，D，E分别为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若∠B＝56°，则∠BDF的度数为________．
68°
11．如图，将三角形纸片ABC第1次折叠，使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P．若BC＝12，则MP＋MN的值为_____．
6(共18张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
课堂检测
课堂讲练
随堂测
第一节 平行四边形的性质及判定
课时4 平行四边形的判定（2）—— 对角线
探索并证明平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
课堂讲练
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平行四边形的判定 几何语言 图示
判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵__________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定4——找对角线互相平分
OA＝OC，OB＝OD
例1 如图，在△ABC中，O是AC的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC．
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO．
在△DCO和△BAO中，
∴△DCO≌△BAO（ASA）．∴DO＝BO．
又∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形．
训练 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．∴OE＝OF．
∴四边形BEDF为平行四边形．
例2 （新BS八下P157改编）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．求证：四边形BEDF为平行四边形．
证明：如答图1，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
训练 2．（新BS八下P156）已知：如图，E，F是 ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
答图1
1．平行四边形的判定思路：
已知一组对边平行 已知一组对边相等 已知两条对角线
1．找另一组对边平行； 2．找这组对边相等 1．找另一组对边相等； 2．找这组对边平行 找两条对角线互相平分
2．平行四边形的性质定理与判定定理是互逆定理，条件与结论互为相反．
课堂检测
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1．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD∥BC
D．AB＝DC，AD＝BC
C
2．【生活情境】如图，小康将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以A，B，C，D为顶点的四边形始终是______________，依据是___________ ___________________________．
平行四边形
对角线互相
平分的四边形是平行四边形
3．（新BS八下P164改编）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴OE＝OA，OG＝OC，OF＝OB，OH＝OD．
∴OE＝OG，OF＝OH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
4．（新BS八下P145改编）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别为M，N．求证：四边形BMDN是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD．
∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠OMB＝∠OND＝90°．
在△OBM和△ODN中，
∴△OBM≌△ODN（AAS）．∴OM＝ON．
∴四边形BMDN是平行四边形．
5．【生活情境】小林同学在学校生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块实验用的平行四边形玻璃片，只剩下如图所示部分（A，B，C为原平行四边形的顶点），他想买一块一模一样的玻璃片赔给学校，但是带上玻璃片剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形在纸上重新画出来，然后带上图纸去．
（1）实践与操作：请用尺规作图法帮小林画出原
来的平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）应用与计算：小林拿着图纸找到一家玻璃店，售货员测量出平行四边形的一组邻边分别为4 cm，6 cm，夹角为60°．售货员说玻璃是按平方计价的，请你帮小林估计一下他要买
的玻璃片的面积．（≈1.73．结果精确到0.1）
解：（1）如答图2， ABCD即为所求．（或答图3，4，任选其一即可）
答图2
（2）如答图2，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°．
∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°．
在Rt△AEB中，AB＝4 cm，∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝2 cm．
∴AE＝＝＝2（cm）．
∴S ABCD＝BC·AE＝6×2＝12≈20.8（cm2）．
∴小林要买的玻璃片的面积大约是20.8 cm2．
答图3
答图4
随堂测
返回目录(共18张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题14 平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题
第六章 平行四边形
概述：函数背景下的动点问题是广东中考的一个高频，常出现在最后一题，根据动点的位置和几何的性质进行分类讨论．
类型
三定一动型
例1 如图，已知点A（0，2），B（3，1），C（1，－1），若平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
解：设点D（x，y）．分以下三种情况：
①如答图1，当以CA，CB为邻边时，四边形ACBD1是平行四边形．
由平移的性质，
可知
即解得
∴D1（2，4）．
答图1
②如答图1，当以BA，BC为邻边时，四边形ABCD2是平行四边形．
由平移的性质，
可知
即
解得
∴D2（－2，0）．
答图1
③如答图1，当以AB，AC为邻边时，四边形ABD3C是平行四边形．
由平移的性质，
可知
即解得
∴D3（4，－2）．
综上所述，点D的坐标为（2，4）或（－2，0）或（4，－2）．
答图1
训练 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B落在点M处．若平面内存在一点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标为__________________________________．
（－2，4）或（2，0）或（－6，0）
解决平行四边形存在性问题的一般步骤：
（1）设出平行四边形未知顶点的坐标；
（2）分类讨论动点的位置，对每种情况进行求解（三定一动型常以其中两边为邻边进行分类讨论，两定两动型常以其中两点组成的线段是边还是对角线进行分类讨论）；
（3）检验求出的点是否符合题意或能否构成平行四边形．
求解点坐标的两种：
一 利用平行四边形对边平行且相等的性质计算点坐标（平移法）
点A移动到点B与点D移动到点C的路径完全相同，
即
二 利用平行四边形对角线互相平分的性质计算点坐标（中点法）
线段AC与BD的中点重合，即
类型
两定两动型
例2 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C，D的坐标．
解：设点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，b）．
分以下三种情况：
①当AB，CD为对角线时，根据题意，得
即解得
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，3）．
②当AC，BD为对角线时，根据题意，得
即解得
∴点C的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，－1）．
③当AD，BC为对角线时，根据题意，得
即解得
∴点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，1）．
综上所述，点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）或（2，0），（0，－1）或（－2，0），（0，1）．
先设动点坐标，然后分别以线段AB，AC，AD作为对角线进行分类讨论，再利用中点坐标公式列出方程组进行求解．
训练 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），C（3，1），直线l：y＝－x＋b经过点C，则在直线l和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，说明理由．
解：存在．
将C（3，1）代入直线l：y＝－x＋b，得－×3＋b＝1．解得b＝2．
∴直线l：y＝－x＋2．
设M，N（0，n）．
当存在以M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形时，分以下三种情况：
①当AC，MN为平行四边形的对角线时，根据题意，得即解得
∴－t＋2＝．∴M，N．
②当AN，CM为平行四边形的对角线时，
根据题意，得即
解得
∴－t＋2＝．∴M，N．
③当AM，CN为平行四边形的对角线时，根据题意，
得即解得
∴－t＋2＝．∴M，N．
综上所述，点M，N的坐标分别为，或，或，．(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
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第二节 三角形的中位线
探索并证明三角形的中位线定理．（几何直观、推理能力、模型观念、运算能力、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
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三角形中位线定理的证明
文字语言 几何语言 图示
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段 ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE______BC，且DE＝_________BC ∥
例1 （新BS八下P166改编）活动课上，某学习小组对三角形的中位线定理进行了探究，请完成三角形的中位线定理的证明．
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC．
证明：如答图1，延长DE到点F，使FE＝DE，连接CF．
∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝CE．
在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（SAS）．
∴AD＝CF，∠A＝∠FCE．∴AB∥CF．
∵AD＝BD，∴CF＝BD．
∴四边形DBCF为平行四边形．∴DF∥BC，DF＝BC．
∴DE∥BC，DE＝BC．
答图1
三角形中位线定理的应用
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．
（1）若BC＝4，则DE＝_____；
（2）若∠C＝70°，则∠AED＝______°．
2
70
训练 1．（2025梅州期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，连接OE．若CD＝24 cm，则OE的长为（ ）
A．3 cm
B．6 cm
C．9 cm
D．12 cm
D
例3 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）AB＝6，AC＝8，则四边形ADEF的周长为______．
14
（1）证明：∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC．
∵E，F分别是边BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥AB．
∴四边形ADEF是平行四边形．
训练 2．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别是
边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，连接CD，EF．
（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；
（2）四边形DCFE的面积为___________．
（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥BC，DE＝BC．
∵CF＝BC，∴DE＝CF．
又∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形．
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1．（新BS八下P168改编）已知△ABC的三条中位线长分别为3 cm，4 cm，6 cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13 cm B．20 cm
C．26 cm D．30 cm
C
2．【生活情境】如图，A，B两地被池塘隔开，小明在AB外选一
点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ）
A．AC长
B．AD长
C．CD长
D．DE长
D
3．（新BS八下P168改编）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，∠ADB＝90°，BD＝4，OE＝3，则AC的长为（ ）
A．6
B．
C．2
D．4
D
4．（2025广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（ ）
A．20°
B．40°
C．70°
D．110°
C
5．【几何直观】如图，每个小正方形的边长均为1，B，C在格点上，D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为________．
6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点．探究△MEF的形状，并证明．
解：△MEF是等腰三角形．证明如下：
∵E，M分别是AB，BD的中点，∴ME是△ABD的中位线．
∴ME＝AD．同理，MF＝BC．
∵AD＝BC，∴ME＝MF．∴△MEF是等腰三角形．
7．（新BS八下P169改编、2025佛山期末）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长（ ）
A．只与AB，CD的长有关
B．只与AD，BC的长有关
C．只与AC，BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关
B
四边形EGFH是什么四边形？它的边长分别与哪些线段有关系？
8．【定义】如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，EF叫作梯形ABCD的中位线．
【定理与证明】（1）根据三角形的中位线定理，猜想EF与AB，CD有怎样的位置和数量关系，并证明．
图1
解：EF∥AB∥CD，且EF＝（AB＋CD）．证明如下：
如答图2，连接AF并延长，交DC的延长线于点G．
∵AB∥CD，∴∠B＝∠FCG．
∵F是BC的中点，∴BF＝CF．
又∵∠AFB＝∠GFC，
∴△ABF≌△GCF（ASA）．
∴AB＝GC，AF＝GF．∴F是AG的中点．
又∵E是AD的中点，∴EF是△ADG的中位线．
∴EF＝DG＝（GC＋CD）＝（AB＋CD），EF∥DG．
又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD．
答图2
【理解与应用】（2）如图2，在梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于点P，且点P在梯形中位线EF上．若梯形ABCD的周长为24 cm，则EF的长为_____cm．
6
图2
随堂测
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1．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝6，则BC的长度为( )
A．8
B．10
C．12
D．14
C
2．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若∠B＝50°，∠AED＝60°，则∠A的度数为( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
C
3．(2025河源期末)如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
C
4．如图，校园内有一块等边三角形空地ABC，已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN＝4 m．若想用围栏把四边形BCNM围成一个花园，则需要的围栏的长至少是( )
A．12 m
B．16 m
C．20 m
D．22 m
C
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，F是AB的中点．求证：EF∥BC.
证明：∵DC＝AC，CE⊥AD，∴AE＝ED.
又∵F是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BC.(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新中考·新导向—— 教材回归（人教、北师）
第六章 平行四边形
选题角度1 跨学科
1．（新RJ八下P65改编）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是72°15'，那么光线与纸板左上方所成的∠2＝__________°．
72.25
2．（新BS八下P163）如图，为了检验一块木板相对的两个边缘是否平行，木工师傅常常把两把曲尺的一边紧靠木板一个边缘，再看木板另一边缘对应曲尺上的刻度是否相等，如果刻度相等，木工师傅就判断木板相对的两个边缘平行，请解释木工师傅这样做的道理．
答图1
解：如答图1，设两条曲尺与木板上下的交点为A，B，C，D．
根据题意，得AB＝CD，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AC∥BD（平行四边形的对边平行）．
选题角度2 平行四边形性质与判定的灵活运用
3．【开放性】（新BS八下P165）如图，小刚在做作业时，发现一道题中有部分文字被污染了．请在被污染的位置补充适当条件，并完成证明．
已知：如图，在四边形ABCD中，点E，F在AC上，
∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：四边形ABCD
是平行四边形．
解：补充条件：BC＝AD．
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＋∠BCE＝180°，∠2＋∠4＋∠DAF＝180°，
∴∠BCE＝∠DAF．∴BC∥AD．
又∵BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（答案不唯一）
4．（新BS八下P164）一张平行四边形纸片ABCD，AD>AB．
（1）如图，折叠平行四边形纸片ABCD，可以得到∠BAD和∠BCD的平分线，其中∠BAD的平分线交BC于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．请证明：四边形AECF是平行四边形．
（2）你还有哪些能折出一个平行四边形？选择其中一种，说明你的的正确性．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF＝∠BAD，∠ECF＝∠BCD．
∴∠EAF＝∠ECF．
∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BEA．
∴∠BEA＝∠ECF．∴AE∥CF．
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：如答图2，将平行四边形纸片ABCD对折两次，可以得到四条边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH是平行四边形．理由如下：
连接AC，BD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴EH，FG分别为△ABD，△BCD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD．
∴EH＝FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
答图2
选题角度3 平行四边形的面积问题
5．（新RJ八下P67）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB．图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？
解：S AEPH＝S GCFP，S ABGH＝S BCFE，S AEFD＝S GCDH．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABD＝S△BCD．
∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF，CD∥GH．
∴四边形BEPG、四边形ABGH、四边形BCFE都是平行四边形．
∴四边形HPFD、四边形AEPH、四边形GCFP、四边形GCDH、四边形AEFD都是平行四边形．
∵BP是 BEPG的对角线，∴S△BEP＝S△BGP．
∵PD是 HPFD的对角线，∴S△HPD＝S△PFD．
∴S△ABD－S△BEP－S△HPD＝S△BCD－S△BGP－S△PFD，即S AEPH＝S GCFP．
∴S ABGH＝S BCFE，S AEFD＝S GCDH．
变式5.1 （1）如图1，P为 ABCD对角线BD上一点，△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，则S1和S2的大小关系为（ ）
A．S1>S2
B．S1C．S1＝S2
D．无法确定
C
图1
（2）如图2，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，则S四边形OABN______S四边形OCDM．（填“>”“<”或“＝”）
＝
图2
（3）如图3，E是 ABCD内一点，若 ABCD的面积为18，则△ADE和△BCE的面积之和（即图中阴影部分的面积）是_____．
9
图3
选题角度4 规律探究
6．（新BS八下177改编）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形△A1B1C1，再以△A1B1C1的三边中点为顶点，组成第2个三角形△A2B2C2，……
【规律探究】
（1）△A1B1C1的周长为_______________，面积为________；
（2）△A2B2C2的周长为_______________，面积为________；
【归纳总结】
（3）照上述继续做下去，△AnBnCn的周长是_____________，面积为_________；
【规律应用】
（4）当n＝20时，△A20B20C20的周长与面积之比是____________．
（a＋b＋c）
（a＋b＋c）
（a＋b＋c）
变式6.1 将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此剪成四小片，如此循环进行下去．
（1）剪n次共能得到_____________个等边三角形；
（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，则an＝_________．（用含n的式子表示）
（3n＋1）(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
课堂检测
课堂讲练
随堂测
第三节 多边形的内角和与外角和
课时1 多边形的内角和
了解多边形的内角；探索并掌握多边形内角和公式．（推理能力、运算能力、几何直观、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
课堂讲练
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多边形的边数与内角和的关系
例1 探究：如图，从多边形的一个顶点引出的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段）把多边形分为若干个三角形，探究多边形的内角和规律：
多边形的边数 3 4 5 6 … n
对角线的条数 0 1 2 3 … n－3
分成的三角形个数 1 2 _____ _____ … ________
多边形的内角和 180° 2×180° _________ _______ … _____________
3
4
n－2
3×180°
4×180°
（n－2）·180°
结论：n边形（n≥3）的内角和等于___________________．
（n－2）·180°
训练 1．（1）五边形的内角和为_________；
（2）六边形的内角和为_________；
（3）八边形的内角和为____________；
（4）十二边形的内角和为____________．
540°
720°
1 080°
1 800°
例2 （新BS八下P171）如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．
训练 2．（新RJ八下P52改编）求出下图中x的值．
解：观察图形，可知该多边形是五边形．
∴90°＋120°＋150°＋2x°＋x°＝（5－2）×180°．
解得x＝60．
∴图中x的值为60．
例3 （新BS八下P173改编）一个多边形的内角和等于900°，它是几边形？
解：设它是n边形．
由题意，得（n－2）·180°＝900°．解得n＝7．
∴它是七边形．
训练 3．一个多边形的内角和等于1 260°，求它的边数．
解：设它的边数为n．
由题意，得（n－2）·180°＝1 260°．解得n＝9．
∴它的边数为9．
正多边形的边数与内角的关系
例4 正四边形（正方形）每个内角的度数为________；
正五边形每个内角的度数为_________；
正六边形每个内角的度数为_________；
正九边形每个内角的度数为_________．
90°
108°
120°
140°
解：设这个正多边形的边数是n．
由题意，得（n－2）·180°＝n·144°．
解得n＝10．
∴这个正多边形的边数是10．
训练 4．一个正多边形的每个内角都等于144°，求这个正多边形的边数．
正多边形的各个内角都相等，各条边也都相等；正多边形每个内角的度数为．
课堂检测
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1．十一边形的内角和等于（ ）
A．1 620° B．1 800°
C．1 980° D．2 340°
A
2．下列多边形的内角和为900°的是（ ）
D
3．【跨学科】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（ ）
A．135°
B．120°
C．120°
D．60°
B
4．（2025扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为_____．
5．（新BS八下P173改编）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是_____，内角和是__________°．
8
1 080
9
6．（新BS八下P173改编）图中所示的是由三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______．
10
7．（2025揭阳一模）在某次广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
D
8．如图，A为五边形BCDEF内部的一点，连接AF，AB，∠A＝90°，∠C＝106°，∠D＝116°，∠E＝100°，则∠1＋∠2＝_______°．
128
9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）若∠ADC＝130°，则∠CBE＝______°；
（2）猜想DF与BE的位置关系，并说明理由．
25
解：DF∥BE．理由如下：
在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC．
∴∠ABE＋∠ADF＝（∠ABC＋∠ADC）＝×180°＝90°．
在Rt△ADF中，∠ADF＋∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠ABE．∴DF∥BE．
随堂测
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1．八边形的内角和为( )
A．1 440°
B．1 080°
C．1 260°
D．900°
B
2．若一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为( )
A．6
B．8
C．9
D．12
A
3．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形的每个内角为( )
A．100°
B．120°
C．140°
D．150°
C
4．从某个多边形的一个顶点出发，最多引7条对角线，则这个多边形的内角和是__________．
1 440°
5．已知一个正n边形的每个内角都为150°，则n＝__________．
12
6．如图是某直角钢材模板(AE⊥EC)，按规定，AB与CD的延长线夹角(锐角)为40°.质检员测得∠A＝115°，∠C＝117°.该模板是否合格？为什么？
解：该模板不合格．理由如下：如答图1，延长AB，CD交于点G.
答图1
∵AE⊥EC，∴∠E＝90°.
∵∠A＝115°，∠C＝117°，四边形AECG的内角和为360°，
∴∠G＝360°－（∠A＋∠E＋∠C）＝38°≠40°.∴该模板不合格．(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
课堂检测
课堂讲练
随堂测
第一节 平行四边形的性质及判定
课时4 平行四边形的判定（2）—— 对角线
探索并证明平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第六章 平行四边形
课堂讲练
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平行四边形的判定 几何语言 图示
判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵__________________， ∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定4——找对角线互相平分
OA＝OC，OB＝OD
例1 如图，在△ABC中，O是AC的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC．
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO．
在△DCO和△BAO中，
∴△DCO≌△BAO（ASA）．∴DO＝BO．
又∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形．
训练 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于
点O，AO＝CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．∴OE＝OF．
∴四边形BEDF为平行四边形．
例2 （新BS八下P157改编）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．求证：四边形BEDF为平行四边形．
证明：如答图1，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
训练 2．（新BS八下P156）已知：如图，E，F是 ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
答图1
1．平行四边形的判定思路：
已知一组对边平行 已知一组对边相等 已知两条对角线
1．找另一组对边平行； 2．找这组对边相等 1．找另一组对边相等； 2．找这组对边平行 找两条对角线互相平分
2．平行四边形的性质定理与判定定理是互逆定理，条件与结论互为相反．
课堂检测
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1．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD∥BC
D．AB＝DC，AD＝BC
C
2．【生活情境】如图，小康将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以A，B，C，D为顶点的四边形始终是______________，依据是___________ ___________________________．
平行四边形
对角线互相
平分的四边形是平行四边形
4．（新BS八下P145改编）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别为M，N．求证：四边形BMDN是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD．
∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠OMB＝∠OND＝90°．
在△OBM和△ODN中，
∴△OBM≌△ODN（AAS）．∴OM＝ON．
∴四边形BMDN是平行四边形．
5．【生活情境】小林同学在学校生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块实验用的平行四边形玻璃片，只剩下如图所示部分（A，B，C为原平行四边形的顶点），他想买一块一模一样的玻璃片赔给学校，但是带上玻璃片剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形在纸上重新画出来，然后带上图纸去．
解：如答图2， ABCD即为所求．（或答图3，4，任选其一即可）
答图2
答图3
答图4
（1）实践与操作：请用尺规作图法帮小林画出原来的平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如答图2，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°．
∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°．
在Rt△AEB中，AB＝4 cm，∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝2 cm．
（2）应用与计算：小林拿着图纸找到一家玻璃店，售货员测量出平行四边形的一组邻边分别为4 cm，6 cm，夹角为60°．售货员说玻璃是按平方计价的，请你帮小林估计一下他要买的玻璃片的面积．（≈1.73．结果精确到0.1）
答图2
∴AE＝＝＝2（cm）．
∴S ABCD＝BC·AE＝6×2＝12≈20.8（cm2）．
∴小林要买的玻璃片的面积大约是20.8 cm2．
随堂测
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1．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列条件一定能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD
B．AC⊥BD
C．AB∥CD，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
D
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，添加条件________________________，可得四边形ABCD为平行四边形(只需添加一个条件)．
OB＝OD（答案不唯一）
3．如图，在 ABCD中，O为BD的中点，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠OED＝∠OFB.
∵O为BD的中点，∴OD＝OB.
∴△OED≌△OFB（AAS）.∴OE＝OF.
又∵OD＝OB，
∴四边形BFDE是平行四边形．(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
习题课2 平行四边形的性质与判定
第六章 平行四边形
1．【尺规作图】如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为（ ）
A．41° B．49°
C．51° D．59°
类型
平行四边形性质与判定的综合应用
B
2．如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
D
3．（2025广东一模）如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形ABCD，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD
B．AD∥BC
C．AB＝BC
D．∠ABC＝∠ADC
C
4．（2025梅州期末）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠B＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，连接DE，则DE＝_________．
5．（2025佛山期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，经过________s时，PQ＝CD．
4或6
6．（2025梅州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边在AB上方作等边三角形ABD，F是线段AD的中点，连接CF．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）若AC＝3，求AD的长．
（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC＝AB，∠ABC＝60°．
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD．
∴∠ABC＝∠BAD．∴BC∥DA．
∵F是线段AD的中点，∴DF＝AD．
∴BC＝DF．∴四边形BCFD为平行四边形．
（2）解：由（1），得BC＝AB．
设BC＝x，则AB＝2x．
在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，
即x2＋32＝（2x）2．
解得x＝（负值舍去）．∴AB＝2．
∵△ABD是等边三角形，∴AD＝AB＝2．
7．如图，在 ABCD中，E是CD延长线上的一点，∠EAD＝∠DBC，连接BE交AD于点F．
（1）求证：线段AD，BE互相平分；
（2）若∠BAD＝4∠EAD，∠BDC＝50°，求∠C的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠ADB＝∠DBC．
∵∠EAD＝∠DBC，∴∠EAD＝∠ADB．
∴AE∥BD．
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．
∴线段AD，BE互相平分．
（2）解：∵∠BDC＝50°，
∴∠BDE＝180°－50°＝130°．
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BDE＝130°．
∵∠BAD＝4∠EAD，
∴∠BAE＝∠BAD＋∠EAD＝5∠EAD＝130°．
∴∠EAD＝26°．∴∠DBC＝26°．
∴∠C＝∠BDE－∠DBC＝104°．
8．【尺规作图】（2025深圳期末）已知 ABCD．
（1）如图，请你用无刻度的直尺和圆规在CD边上找一点F，使得点F到直线AD和直线AB的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BF，若BF⊥CD，AD＝5，BF＝4，请你求出 ABCD的面积．
答图1
解：（1）如答图1，点F即为所求．
（2）如答图1．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，AD＝BC＝5．∴∠DFA＝∠BAF．
由作图，可知AF平分∠DAB．∴∠DAF＝∠BAF．
∴∠DAF＝∠DFA．∴AD＝DF＝5．
∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°．
由勾股定理，得CF＝＝3．
∴CD＝DF＋CF＝8．
∴ ABCD的面积为CD·BF＝8×4＝32．
答图1
9．（2025揭阳期末）图1为折叠便携钓鱼椅，将其抽象成几何图形如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，已知BD∥CE∥GF．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离．
（1）证明：∵BD∥CE∥GF，
∴∠ACE＝∠ABD＝127°，∠DEC＝∠GFE＝53°．
∴∠ACE＋∠DEC＝180°．∴BC∥DE．
∴四边形BCED是平行四边形．
（2）解：如答图2，延长AC交GF于点H，连接AG．
由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF．
∴四边形CHFE是平行四边形．
∴CH＝EF＝50 cm，HF＝CE＝BD＝20 cm．
∴AH＝AC＋CH＝100 cm，GH＝GF－HF＝60 cm．
∵AC＝EF＝CG＝CH，
∴∠CAG＝∠CGA，∠CGH＝∠CHG．
∴∠CAG＋∠AGH＋∠CHG＝2（∠CGA＋∠CGH）＝180°．
∴∠CGA＋∠CGH＝90°，即∠AGF＝90°．
∴AG＝＝＝80（cm）．
∴椅子最高点A到地面GF的距离为80 cm．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD的中点，连接OE，OF．若OE＝2，OF＝3，则 ABCD的周长为（ ）
A．10
B．14
C．16
D．20
D
类型
三角形中位线定理的综合应用
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形．
（2）线段BF，AB，AC之间具有怎样的数量关系？证明你的结论．
（1）证明：如答图3，延长CE交AB于点G．
∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°．
∵AE平分∠BAC，∴∠GAE＝∠CAE．
在△AEG和△AEC中，
∴△AEG≌△AEC（ASA）．
∴GE＝CE，即E是CG的中点．
又∵D是BC的中点，
∴DE是△CGB的中位线．∴DE∥BF．
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
答图3
（2）解：BF＝（AB－AC）．证明如下：
由（1），得四边形BDEF是平行四边形，DE是△CGB的中位线．
∴BF＝DE，DE＝BG．∴BF＝BG．
由（1），得△AEG≌△AEC．∴AG＝AC．
∴BF＝BG＝（AB－AG）＝（AB－AC）．
答图3(共12张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新课标·新题型—— 综合实践与探究
第六章 平行四边形
1．（新BS八下P168改编、2025佛山期末）综合与实践
【项目主题】测量距离
【项目背景】如图1，A，B两点被大山阻隔（A，B两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．
【测量工具】皮尺（直接测量任意可到达的两点间的距离，这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
【实践操作】方案设计：如图2，某工程队分别以A，B两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点A'，B'．测量A'，B'两点之间的距离，即为A，B两点间的距离．
【问题解决】
（1）请你说明方案设计的合理性；
（2）请你利用上述工具设计一个与方案设计不同的方案，画出几何图形，并表示出A，B两点间的距离．
图1 图2
解：（1）由题意知AA'＝B'B，AA'∥B'B．
∴四边形AA'B'B是平行四边形．
∴AB＝A'B'．
∴测量A'，B'两点之间的距离，即为A，B两点间的距离，即方案设计合理．
图1 图2
（2）方案：如答图1，在大山外取一点C，用皮尺分别测出AC＝
a m，BC＝b m，再分别在AC，BC上用皮尺测出CM＝ m，CN＝ m，测量M，N两点间的距离，则A，B两点间的距离为M，N两点间距离的
2倍．
答图1
或方案：如答图2，在大山外取一点O，连接AO，BO，延长AO到点D，使OD＝OA，延长BO到点E，使OE＝OB，测量D，E两点间的距离，即为A，B两点间的距离．
（答案不唯一，言之有理即可）
答图2
2．（新BS八下P179改编）【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转为平行四边形的面积来求呢？
【问题解决】
下面是两位同学的转：
1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条平行线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH是平行四边形．
（1）S四边形ABCD和S EFGH之间的数量关系为____________________．
S四边形ABCD＝ S EFGH
2：如图2，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，可以得出S四边形ABCD＝2S四边形EFGH．
（2）求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如答图3，连接AC，BD．
∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．
∴EH∥BD，EH＝BD．
∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG是△BCD的中位线．
∴FG∥BD，FG＝BD．
∴EH∥FG，EH＝FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
答图3
【实践应用】
如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，对角线AC与BD相交于点O．村里准备开挖池塘建鱼塘，计划使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状．
（3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．
图3
解：能．如答图4，过点D，B作AC的平行线，过点A，C作BD的平行线，四条平行线相交形成四边形EFGH，则四边形EFGH即为所求．
答图4
（4）在（3）的条件下，若AC＝8 m，BD＝6 m，∠AOB＝60°，求四边形池塘ABCD的面积．
答图4
解：如答图4，过点H作HM⊥EF于点M，则∠HME＝90°．
∵EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，
∴四边形AOBE、四边形BDHE、四边形
AEFC、四边形EFGH都为平行四边形．
∴∠E＝∠AOB＝60°，EH＝BD＝6 m，
EF＝AC＝8 m．
∴∠EHM＝90°－∠E＝30°．
在Rt△HEM中，EM＝EH＝3 m．
由勾股定理，得HM＝＝＝3（m）．
∴S EFGH＝EF·HM＝8×3＝24（m2）．
∴S四边形ABCD＝S EFGH＝12 m2．
