(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 图形的旋转
课时1 图形的旋转（1）
通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．（几何直观、空间观念、模型观念、应用意识）
课标要求
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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旋转的概念 （1）在平面内，将一个图形绕____________按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为____________，转动的角称为____________； （2）旋转不改变图形的形状和大小
旋转三要素 （1）旋转中心；（2）旋转方向（包括______时针和______时针）； （3）____________ 一个定点
旋转中心
旋转角
顺
逆
旋转角度
旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离________； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于________； （3）旋转前后的图形全等，即对应线段________，对应角________
相等
旋转角
相等
相等
课堂讲练
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旋转的相关概念
例1 如图，将点A绕点O沿箭头方向旋转60°到点A′的位置，则：
（1）旋转中心是点________；
（2）旋转方向是________；
（3）旋转角是∠________＝________°.
O
逆时针
AOA′
60
训练 1.如图，经过3小时，时针OA旋转到OA′的位置，则：
（1）旋转中心是点________，
旋转方向是________；
（2）旋转角是∠________＝________°.
O
顺时针
AOA′
90
训练 2.（新BS八下P94改编）如图，在Rt△ABC中，∠A＝50°，点D在斜边AB上，若将△ABC绕点B旋转得到△EBD，则：
（1）旋转中心为点________，旋转角的度数为________°，旋转方向是________；
（2）线段BC的对应线段为线段________，
线段________的对应线段为线段ED；
（3）∠A的对应角为________，
∠CBA的对应角为________．
B
40
顺时针
BD
AC
∠E
∠DBE
旋转的性质及应用
例2 如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，将△BCD绕点C按顺时针方向旋转后得到△ACE，则：
（1）旋转角是∠________和∠________，它们的度数均为________°；
（2）∠CAE的度数是________；
（3）若M是边CD的中点，经过上述旋转后得到点N，则点N的位置是____________，线段CM和线段CN的数量关系是_________；
（4）AE与BC的位置关系是__________．
BCA
DCE
60
60°
边CE的中点
CM＝CN
AE∥BC
训练 3.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转后得到△DCF，则：
（1）旋转角是∠________和∠________，它们的度数均为________°；
（2）若∠AED＝65°，则∠F的度数为________；
（3）若AE＝1，AD＝3，则DF的长为________；
（4）连接EF，△DEF是____________三角形．
ADC
EDF
90
65°
等腰直角
例3 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°，得到△ADE，点D在AC上．已知∠BAC＝45°，AB＝3，AC＝4，则：
（1）∠EAB＝________°；
90
（2）连接BE，求△ABE的周长．
解：由旋转的性质，得AE＝AC＝4.
由（1），得△ABE是直角三角形．
∴△ABE的周长为AB＋AE＋BE＝3＋4＋5＝12.
课堂检测
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1．下列运动中，属于旋转的是（ ）
A. 树叶从树枝上飘落
B．汽车在笔直的道路上行驶
C．水龙头开关的转动
D．纸片沿直线翻折
C
2．下列各图中，能由其中一个三角形绕某一点旋转得到另一个三角形的是（ ）
D
3．如图，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转后得到△A′B′C′，且∠AOB＝30°，∠AOB′＝20°，则：
（1）旋转中心是点________，旋转角是∠________，∠________和∠________，它们的度数均为________°；
（2）点C的对应点是________，线段AB的对应线段是________，∠A的对应角是________，与线段OB′长度相等的线段
是________；
（3）连接CC′，则∠OCC′的度数是________．
O
AOA′
COC′
BOB′
50
点C′
线段A′B′
∠A′
65°
OB
4．【生活情境】图1是门锁的局部图，图2是其示意图，其中门把手OA的长为10 cm，点O到门框l的距离为2 cm，且OA⊥l.当握住门把手绕点O顺时针旋转60°时，点A到达点B的位置，此时点B到门框的距离为________cm.
7
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为________．
6．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6 cm，PB＝8 cm，PC＝10 cm，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB.
（1）AP′＝________cm，BP′＝________cm，∠PAP′＝________°；
6
10
60
（2）连接PP′，判断△APP′和△BPP′的形状，并求∠APB的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.
由旋转的性质，得PA＝P′A，CP＝BP′＝10，∠PAP′＝∠BAC＝60°.
∴△APP′是等边三角形．
∴PP′＝PA＝6，∠APP′＝60°.
在△BPP′中，BP2＋PP′2＝82＋62＝102＝BP′2，
∴△BPP′是直角三角形，∠BPP′＝90°.
∴∠APB＝∠BPP′＋∠APP′＝150°.
随堂测
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1．下列运动中，属于旋转的是( )
A．火箭升空
B．汽车飞驰
C．时钟上钟摆摆动
D．运动员投掷标枪
C
2．(新BS八下P88改编)如图，线段AB绕点O旋转后__________与线段CD重合．(填“能”或“不能”)
不能
3．如图，在△ABC中，AC＝3，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，连接CC′，则CC′的长为__________．
4．如图，在△ABC中，∠B＝18°，∠ACB＝38°，AB＝6，将△ABC按逆时针方向旋转一定角度(小于180°)后与△ADE重合，且点C恰好为AD的中点．
(1)旋转中心为点__________，旋转角的度数为__________；
A
124°
(2)求∠BAE的度数及AE的长．
解：由旋转的性质可知，∠EAD＝∠CAB＝124°，AE＝AC，AD＝AB＝6.
∴∠BAE＝360°－∠EAD－∠CAB＝112°.
∵C为AD的中点，(共10张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题8 旋转中的手拉手模型
第三章 图形的平移与旋转
例1 如图1，△OAB和△OCD都是等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，且∠AOB＝∠COD＝α，连接AC，BD，AC与BD相交于点E.
1
α
（2）将△OCD旋转到如图2所示的位置时，延长AC，交BD的延长线于点E，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
解：成立．理由如下：
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD（SAS）.∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD.
在△EAB中，∠AEB＋∠EAB＋∠OBA＋∠OBD＝180°.
∴∠AEB＋∠EAB＋∠OBA＋∠OAC＝180°，
即∠AEB＋∠OAB＋∠OBA＝180°.
又∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
∴∠AEB＝∠AOB＝α.
训练 1.如图，已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°，将△MON绕点O按顺时针方向旋转，使点M恰好落在边AB上．求证：AM2＋BM2＝2OM2.
证明：如答图1，连接BN.
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB－∠BOM＝∠MON－∠BOM，
即∠AOM＝∠BON.
又∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，∠ABO＝∠A＝45°.
答图1
∴△AMO≌△BNO（SAS）.∴∠A＝∠OBN＝45°，AM＝BN.
∴∠ABN＝∠ABO＋∠OBN＝45°＋45°＝90°.
在Rt△BMN中，由勾股定理，
∴AM2＋BM2＝2OM2.
答图1
特征：AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF.
解题关键：连接BE，CF，构造△ABE≌△ACF.
特殊手拉手模型：
1．两等边三角形手拉手
结论：
①△ABE≌△ACF，BE＝CF；
②∠BOC＝∠EOF＝60°；
③连接OA，则OA平分∠BOF.
2．两等腰直角三角形手拉手
结论：
①△ABE≌△ACF，BE＝CF；
②∠BOC＝∠EOF＝90°（即BE⊥CF）；
③连接OA，则OA平分∠COE.
3．（推广）两正方形手拉手
结论：
①△ABE≌△ACF，BE＝CF；
②∠BOC＝∠EOF＝90°（即BE⊥CF）；
③连接OA，则OA平分∠COE.(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 简单的图案设计
运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计．
课标要求
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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分析图案的形成过程
例1 下列图形可以看成由图形“ ”经过怎样的图形变换得到呢？
____________
_______________
____________
____________
平移
旋转
轴对称
先平移，再对称
训练 1.下列选项中经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是（ ）
C
训练 2.下列四个图案中，可以由一个基本图形（阴影部分）连续旋转45°得到的是（ ）
C
简单的图案设计
例2 如图1，2，任意选择一种基本图形，借助轴对称、旋转或平移设计两幅不同的图案．
图1 图2
解：选择图1.设计的图案如答图1所示．（答案不唯一）
答图1
课堂检测
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1．下列图形，图1经过________变换成图2，图2经过________变换成图3，图3经过________变换成图4.（填“平移”“旋转”或“轴对称”）
轴对称
平移
旋转
2．如图，该图形可以看成是由一片“叶子”旋转3次（旋转度数<180°）得到的，则“叶子”每次旋转的度数是________°.
90
3．如图，认真观察阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）这三个图案的共同特征是：
①__________________________________，
②__________________________________；
都是中心对称图形
都是轴对称图形（答案不唯一）
（2）请在空白的网格中分别设计出一个图案（用阴影表示），使其也具备上述两个特征．
解：如答图2，阴影部分构成的图案即为所求．（答案不唯一）
答图2
随堂测
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1．下列图案中，不能由一个基本图形通过旋转得到的是( )
C
2．“小小竹排江中游，巍巍青山两岸走”，这句诗所描绘的图形变换主要是( )
A．平移变换
B．轴对称变换
C．旋转变换
D．以上都不对
A
3．如图，小明用所学的知识设计了一幅图案，该图案可以看成是由基本图形△ABC绕点__________按顺时针方向依次旋转至少__________°得到的．
C
40
4．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，像这样的三角形叫作格点三角形．请按下列要求进行画图．
(1)在图1中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形．
答图1
答图2
解：（1）如答图1，△A1B1C即为所求．
（2）如答图2，△AB2C即为所求．（答案不唯一）(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三章 章末复习
第三章 图形的平移与旋转
典例精析&变式训练
知识要点&对点训练
随堂测
图形的平移
1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变物体的形状和大小．
注：平移要素：平移方向、平移距离．
2．平移的性质：①对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；②对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等
3．坐标系中的平移
①左右平移时，纵坐标不变，横坐标“左－右＋”；
②上下平移时，横坐标不变，纵坐标“上＋下－”；
③一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来图形经过一次平移得到的．
1.如图，将△ABC平移到△DEF的位置，下列说法错误的是（ ）
A.∠ACB＝∠DFE
B.AD∥BE且AD＝BE
C.AB＝DE
D.平移方向是由点B到点D的方向
D
2．在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是__________，若将其看作是一次平移，则平移的距离为__________．
（3，1）
图形的旋转
1．旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
2．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；③对应线段相等，对应角相等．
3．旋转作图：旋转中心、旋转方向、旋转角．
3.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，且∠CAE＝20°.
（1）旋转中心是________；
（2）旋转角α的度数是________；
（3）∠B的度数是________．
点A
20°
80°
中心对称与中心对称图形
1．中心对称的概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称．
2．中心对称的性质：①对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；②中心对称的两个图形是全等图形．
3．中心对称图形的概念：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形．
4.（2025茂名期中）下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A
5．点（－5，4）关于原点对称的点的坐标是__________．
（5，－4）
1.如图，将边长为2的等边三角形ABC沿BC向右平移1个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为________．
8
2.（2025揭阳期末）如图，在一块长14 m、宽6 m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿区，道路的左边线向右平移3 m就是它的右边线，则绿区的面积是________m2.
66
3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，点A′恰好落在BC边上，若∠ACB＝42°，则∠ABB′的度数为________°.
117
4.如图，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，那么点A（－2，5）的对应点A′的坐标是________．
（5，2）
5.（2025佛山期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到
△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
解：（1）如答图1，△A1B1C1即为所求．
（2）画出△A1B1C1关于点O对称的△A2B2C2；
（2）如答图1，△A2B2C2即为所求．
答图1
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为__________．
答图1
（－2，0）
6.如图，△ABC的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格的格点上．
（1）将△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
画出旋转后得到的△AB2C2；
答图2
解：（1）如答图2，△A1B1C1即为所求．
（2）如答图2，△AB2C2即为所求．
（3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为________．
答图2
随堂测
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知识梳理
成
易错集训
易错点1 混淆坐标平移的规律
1．在平面直角坐标系中，将点A(3，－2)先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是__________．
2．在平面直角坐标系中，把点A(m，m－2)先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B.若点B在y轴上，则m的值为__________．
（5，－5）
1
易错点2 忽略旋转问题中的旋转方向
3．在平面直角坐标系中，把点P(3，3)绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是_______________________．
（3，－3）或（－3，3）
4．将两块直角三角板按如图所示的方式放置在一起，其中∠B＝60°，∠E＝45°，∠BCD＝13°.若三角板ABC不动，将三角板CDE绕直角顶点C旋转α，当DE与三角板ABC某一边平行时，α的最小值为__________．
28°
易错点3 混淆关于坐标轴和原点对称
5．在平面直角坐标中，点(3，4)关于x轴对称的点的坐标是__________，关于y轴对称的点的坐标是__________，关于原点对称的点的坐标是__________．
6．(2025广州三模)若点A(a，－3)与点B(－2，b＋2)关于原点对称，则a－b＝__________．
（3，－4）
（－3，4）
（－3，－4）
1(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 图形的平移
课时1 图形的平移（1）
通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用．（几何直观、空间观念、模型观念、应用意识）
课标要求
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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平移的概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的________和________
平移的要素 1.平移方向：射线___________________的方向； 2.平移距离：线段___________________的长度 形状
大小
AA′（或BB′或CC′）
AA′（或BB′或CC′）
平移的性质 1.平移前后对应线段平行（或在一条直线上）且相等， 例如，AB∥________，且AB＝________； 2．平移前后对应角相等，如∠BAC＝∠________； 3．平移前后对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等， 例如，AA′∥________∥________，且AA′＝________＝________
A′B′
A′B′
B′A′C′
BB′
CC′
BB′
CC′
课堂讲练
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平移的概念
例1 下列现象中，属于平移的是（ ）
A.树叶随风自由飘落
B.直升电梯的升降
C.电扇风叶的转动
D.足球在球场上滚动
B
训练 1.下列图案中，不能用其中一部分平移得到的图案是（ ）
A
平移的性质
例2 如图，△ABC经过平移得到△DEF，则下列结论错误的是（ ）
A.BE∥CF
B.AD＝CF
C.∠A＝∠EDF
D.AB＝DF
D
训练 2.如图，将△ABC沿直线AB的方向向右平移后到达△BDE的位置．
（1）若AD＝6 cm，则平移的距离为________cm；
（2）若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，则∠CBE的度数为________°.
3
30
简单平移作图
例3 （新BS八下P77改编）如图，经过平移，△ABC的顶点A平移到了点D，画出平移后的三角形．
答图1
解：如答图1，△DEF即为所求．
训练 3.（新BS八下P82改编）如图，经过平移，△ABC的边AB移到了DE，画出平移后的三角形．
答图2
解：如答图2，△DEF即为所求．
平移作图的一般步骤：①确定平移方向和平移距离；②找关键点（一般为图形顶点或线段端点）；③根据平移方向和平移距离作出这些关键点经过平移后的对应点；④将平移后的各对应点按原图形的连接方式连接起来，所得新图形即为所求．
课堂检测
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1．下列现象属于平移的是（ ）
C
2．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
D
3．（2025梅州期中）如图，将四边形沿着对角线所在的直线平移，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A. 20°
B．25°
C．30°
D．35°
B
4．【实际操作】如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，使其中一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离为________．
5
5．（2025河源期中）如图，将△ABC沿BC向右平移3 cm得到△DEF，若△ABC的周长为20 cm，则四边形ABFD的周长为________cm.
26
6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，△ABC经过平移得到△A1B1C1，其中点B1是点B的对应点．
（1）画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）连接AA1，BB1，则线段AA1，BB1的位置和数量关系为____________；
（3）四边形AA1C1C的面积为________．
解：（1）如答图3，△A1B1C1即为所求．
答图3
平行且相等
12
7．（2025佛山期中）如图，在一块长为a m，宽为b m的草地上有两条小路．其中路 Ⅰ 是弯曲的，路 Ⅱ 是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1 m得到的．记两条小路的面积分别为SⅠ，SⅡ，则下列判断正确的是（ ）
A. SⅠ>SⅡ
B．SⅠ＝SⅡ
C．SⅠD．无法比较SⅠ与SⅡ的大小
B
8．（2025茂名期中）如图，将Rt△ABC沿CB向右平移后，得△DEF.已知AG＝3，BE＝6，四边形ACFG的面积为39，求DE的长．
解：由平移的性质可知AB＝DE.
∵AB＝AG＋BG，AG＝3，∴BG＝DE－3.
∵S四边形ACFG＝S△ABC－S△GBF，
S梯形BEDG＝S△DEF－S△GBF，S△ABC＝S△DEF，
∴DE＝8.
随堂测
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1．(新BS八下P78改编)如图，线段b经过平移可以得到线段( )
A．a
B．c
C．d
D．f
B
2．如图，将△ABC沿BC向右平移得到△A′B′C′，AB＝4，BB′＝2，则下列说法中错误的是( )
A．AB∥A′B′
B．BC＝6
C．∠ACB＝∠C′
D．CC′＝2
B
B
4．(新BS八下P82)如图，将字母A按箭头所指的方向平移3 cm，画出平移后的图形．
解：画出字母A平移后的图形如答图1所示．
答图1(共13张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题10 旋转中的对角互补模型
第三章 图形的平移与旋转
例1 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°.
（1）求证：BD平分∠ABC；
答图1
证明：如答图1，将△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△CED.
由旋转的性质，得DB＝DE，∠ABD＝∠CED，∠DAB＝∠DCE.
在△ABD中，∠DAB＋∠ABD＋∠ADB＝180°.
在△CBD中，∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°.
∴∠DAB＋∠ABD＋∠ADB＋∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠DCB＝360°.
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＋∠DCB＝180°.
∴∠DCE＋∠DCB＝180°.∴B，C，E三点共线．
∵DB＝DE，∴△BDE是等腰三角形．∴∠DBE＝∠DEB.
∴∠ABD＝∠DBE，即BD平分∠ABC.
答图1
（2）探究AB，BC和BD之间的数量关系，并证明；
如答图1，由旋转的性质，
得∠BDE＝90°，BD＝ED，CE＝AB.
∴BE＝CE＋BC＝AB＋BC，△BDE是等腰直角三角形．
答图1
（3）若BD的长为1，则四边形ABCD的面积为________．
（思考：参考右侧的模型归纳，你还有其他的解题吗？）
答图1
训练 1.如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，连接BD.
（1）求∠ABD的度数；
解：如答图2，将△ABD绕点D逆时针旋转60°，得到△CED.
由旋转的性质，得BD＝ED，∠ABD＝∠CED，∠DAB＝∠DCE.
在△ABD中，∠DAB＋∠ABD＋∠ADB＝180°.
在△CBD中，∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°.
∴∠DAB＋∠ABD＋∠ADB＋∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠DCB＝360°.
∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∴∠DAB＋∠DCB＝180°.
∴∠DCE＋∠DCB＝180°.∴B，C，E三点共线．
∵BD＝ED，∴△DBE是等腰三角形．∴∠DBE＝∠DEB.
（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
解：由（1）可得，∠DBE＝∠ABD＝60°，△DBE是等腰三角形．
∴△BDE是等边三角形．∴BE＝BD.
由旋转的性质，得AB＝CE.
∴BE＝BC＋CE＝BC＋AB＝3.∴BD＝3.
由旋转的性质，
得S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝S△CED＋S△BCD＝S△BDE.
特征：AD＝CD，∠ABC＋∠ADC＝180°（互补）.
解题关键：
一：将△ABD绕点D旋转，使边AD与边CD重合，得到△CED，构造等腰三角形BDE.
二：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，构造△ADE≌△CDF.
特殊对角互补模型：
1．90°和90°型
结论：①△BDE是等腰直角三角形，BD平分∠ABC；
2．120°和60°型
结论：①△BDE是等边三角形，BD平分∠ABC；
②AB＋BC＝BD；(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 图形的旋转
课时2 图形的旋转（2）
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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旋转作图
例1 如图，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△EDC，画出△EDC.
答图1
解：如答图1，△EDC即为所求．
训练 1.如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转30°，得到Rt△DEC，画出Rt△DEC.
答图2
解：如答图2，Rt△DEC即为所求．
例2 如图，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转120°，得到△DEF，画出△DEF.
答图3
解：如答图3，△DEF即为所求．
训练 2.如图，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°，得到△DEF，画出△DEF.
答图4
解：如答图4，△DEF即为所求．
例3 如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，画出△A1B1C.
答图5
解：如答图5，△A1B1C即为所求．
训练 3.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，画出△AB1C1.
解：如答图6，△AB1C1即为所求．
答图6
例4 如图，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′.
答图7
解：如答图7，△A′B′C′即为所求．
训练 4.如图，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′.
答图8
解：如答图8，△A′B′C′即为所求．
旋转作图的一般步骤：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）作出关键点（一般为图形顶点）经旋转后的对应点；（3）按照原图形的连接顺序依次连接这些点．
确定旋转中心
例5 如图，△A′B′C′是由△ABC旋转得到的，请你在网格图中画出旋转中心．
答图9
解：如答图9，点O即为所求．
训练 5.如图，△DEF是由△ABC旋转180°得到的，则其旋转中心为（ ）
A. 点P
B. 点Q
C. 点M
D. 点N
C
确定旋转中心的：旋转前后图形对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
课堂检测
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1．在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°，得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（ ）
D
2．（新BS八下P89改编）△ABC绕点C旋转后得到△DEC，顶点A旋转到了点D.
（1）这一旋转的旋转角是___________________．
（2）画出旋转后的△DEC.
∠ACD（或∠BCE）
解：如答图10，△DEC即为所求．
答图10
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，3），B（1，3），C（4，1）.
（1）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°
得到△A′B′C′，画出△A′B′C′；
（2）若△DEF是由△ABC经过一次旋转变
换得到的，请直接写出其旋转中心的坐标．
答图11
解：（1）如答图11，△A′B′C′即为所求．
（2）旋转中心的坐标为（1，1）.
4．（2025宿迁）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线段OA′，则点A′的坐标为（ ）
A. （－3，2）
B．（－2，3）
C．（3，－2）
D．（2，－3）
B
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，O为AC的中点．
（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；
答图12
解：如答图12，△CB′A即为所求．
（2）求出点B到其对应点B′的距离（线段BB′的长）.
解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2.
答图12
随堂测
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1．将如图所示的小鱼图案绕着头部的端点逆时针旋转90°后可以得到的图案是( )
D
2．(新BS八下P94改编)如图，△ABC是等边三角形，点O是△ABC角平分线的交点．将△ABC绕点O按逆时针方向旋转60°得到△A′B′C′，画出△A′B′C′.
解：如答图1，△A′B′C′即为所求．
答图1
3．在如图所示的方格纸中，△DEF是由△ABC通过一次旋转后得到的图形．
(1)在图中直接画出旋转中心点O；
(2)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A′B′C′.
答图2
解：（1）如答图2，点O即为所求．
（2）如答图2，△A′B′C′即为所求．(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 图形的旋转
课时3 中心对称
了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．（几何直观、空间观念、模型观念、应用意识）
课标要求
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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中心对称的概念与性质
1．概念：如果把一个图形绕着某一点旋转________，它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的____________．
2．性质：①成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过____________，且被对称中心________；②成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
180°
重合
对称中心
对称中心
平分
例1 如图，如果△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，那么：
（1）△ABC绕点O旋转________°后能与△A′B′C′重合；
（2）线段AA′，BB′，CC′都经过点________；
（3）OA＝________，AB＝________，AC∥________，∠ACB＝________．
180
O
OA′
A′B′
A′C′
∠A′C′B′
训练 1.如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABC＝∠A′B′C′
B. BC∥B′C′
C. AB＝A′B′
D. OC＝OB′
D
画与原图形成中心对称的图形
例2 如图，以点O为对称中心，画出与四边形ABCD成中心对称的图形．
答图1
解：如答图1，四边形A′B′C′D′即为所求．
训练 2.（新BS八下P91改编）如图，O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形．
答图2
解：如答图2，五边形EB′C′D′A即为所求．
画与原图形成中心对称的图形的一般步骤：（1）连接关键点（一般为图形顶点）和对称中心，并延长至其长度的一倍确定关键点的对称点；（2）将对称点按照原图形的连接顺序依次连接．
中心对称图形的概念
把一个图形绕某个点旋转________，如果旋转后的图形能与原来的图形________，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心．
注：中心对称图形是指一个单独的图形．
180°
重合
例3 下列各图形中，是中心对称图形的在“（ ）”打“√”，否则打“×”．
√
×
×
×
√
训练 3.下列各图形中，为中心对称图形的是________（填序号），并画出中心对称图形的对称中心O.
（思考：上述图形中，哪些图形既是中心对称图形又是轴对称图形？）
②④⑤
解：画出对称中心O如答图3所示．
答图3
对于正n（n≥3）边形，当n为奇数时，不是中心对称图形；当n为偶数时，是中心对称图形．
中心对称与中心对称图形的联系与区别
中心对称 中心对称图形
概念 把一个图形绕着某一点旋转180°能够与另一个图形重合，则这两个图形成中心对称 把一个图形绕着某个点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形叫作中心对称图形
联系 关键词：旋转180°，重合 区别 △ABC与 △A′B′C′成中心 对称（两个图形 之间的对称关系） 长方形ABCD是
中心对称图形
（一个图形本身
的对称性质）
课堂检测
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1．（2025烟台）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
D
2．（2025佛山三模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A
3．如图，长方形的长为10，宽为4，点O是对称中心，则阴影部分的面积为________.
20
4．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点P成中心对称．
答图4
解：如答图4，四边形A′B′C′D′即为所求．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（－1，2）.
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于点P（2，3）成中心对称；
答图5
解：如答图5，△A1B1C1即为所求．
（2）已知以点A，B，C，D（4，2）为顶点的四边形是中心对称图形，则该图形的对称中心的坐标为________．
随堂测
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1．(2025齐齐哈尔)社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是( )
D
2．纹样作为中国传统文的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
D
3．(2025佛山期中)如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是( )
A．点A与点D是对称点
B．OA＝OD
C．AB∥DE
D．∠BAC＝∠DFE
D
4．如图，在方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上．
(1)画出△ABC关于点P中心对称的△A′B′C′．
(2)△A′B′C′与△DEF是否关于方格纸中的某个点中心对称？若是，请画出对称中心点O；若不是，请说明理由．
答图1
解：（1）如答图1，△A′B′C′即为所求．
（2）是．如答图1，点O即为所求．(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 图形的平移
课时3 图形的平移（3）
在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变．（几何直观、空间观念、推理能力、应用意识）
课标要求
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
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课堂检测
课堂讲练
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根据两次平移确定点的坐标
例1 （衔接回顾）在平面直角坐标系中，将点P（2，1）向右平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为________；再将点B向下平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为__________．
（4，1）
（4，－2）
变式 （2025佛山期中）在平面直角坐标系中，将点P（2，1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点P′的坐标是_________．
（4，－2）
训练 1.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（－3，－2），B（1，2），将线段AB平移得到线段A′B′，且点A′的坐标为（－4，2）.
（1）线段AB的平移方式是先向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度；
（2）点B′的坐标为________．
左（上）
1（4）
上（左）
4（1）
（0，6）
点沿两个坐标轴方向平移的坐标变规律
已知点P（x，y） 平移方向和平移距离（a＞0，b＞0） 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 ____________
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 ____________
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 ____________
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 ____________
（x＋a，y＋b）
（x＋a，y－b）
（x－a，y＋b）
（x－a，y－b）
图形依次沿两个坐标轴方向平移
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过________次平移得到的．
一
例2 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（2，5），B（－1，2），C（4，1），将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′.
（1）在图中画出△A′B′C′，并写出
点A′，B′，C′的坐标；
解：画出△A′B′C′如答图1所示．
A′（－1，1），B′（－4，－2），C′（1，－3）.
答图1
（2）如果把△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出平移的方向和平移的距离．
答图1
训练 2.如图，△ABC内的任意一点P（x，y）经平移后得到的对应点为P′（x－3，y－2），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.
（1）写出点A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1；
解：A1（－1，－3），B1（1，1），C1（－2，0）.
如答图2，△A1B1C1即为所求．
答图2
（2）如果将△A1B1C1看成是△ABC经过两次平移得到的，请写出一种平移方式；
解：先将△ABC向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度（或先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度）．
答图2
（3）如果将△A1B1C1看成是△ABC经过一次平移得到的，请说明这一平移的平移方向和平移距离．
答图2
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1．将点A（1，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得点的坐标为（ ）
A. （－1，1）
B．（－1，－2）
C．（－1，2）
D．（1，2）
C
2．将点P先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到点P′（3，1），则点P的坐标为（ ）
A．（0，6）
B．（8，－2）
C．（6，6）
D．（－2，4）
D
3．【抽象能力】如图，阅兵仪式上三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在平面直角坐标系中的坐标分别为（－1，1），（－3，1），（－1，－2），30 s后，飞机P飞到P′（4，3）的位置，则此时飞机Q飞到的位置为（ ）
A. （2，3）
B．（2，－3）
C．（2，2）
D．（3，3）
A
4．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（－4，3），B（－4，1），C（－1，1），D（－2，4）.平移四边形ABCD得到四边形A1B1C1D1，其中B1（1，－2）.
（1）画出四边形A1B1C1D1，并分别写出
点A1，C1，D1的坐标．
解：画出四边形A1B1C1D1如答图3所示．
A1（1，0），C1（4，－2），D1（3，1）.
答图3
（2）如果将四边形A1B1C1D1看成是由四边形ABCD经过两次平移得到的，请写出一种平移方式；如果将其看成经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
解：两次平移方式为先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度（或先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度）.
答图3
（3）连接AA1，DD1，则四边形AA1D1D的面积为________．
11
答图3
随堂测
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1．(2025清远期中)在平面直角坐标系中，将点A(1，4)先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标为( )
A．(3，1)
B．(3，3)
C．(－1，1)
D．(－1，3)
B
2．在平面直角坐标系中，将线段MN平移至M′N′，已知点M(3，2)的对应点是点M′(1，5)，则线段MN平移的方式可以是( )
A．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B
3．如图，在平面直角坐标系中，小旗甲通过平移得到了小旗乙(不完整).
(1)分别写出下列各点的坐标：
A(______，______)，C(______，______)，D(______，______)，C′(______，______)；
4
3
2
－1
2
1
－3
－3
(2)小旗甲先向左平移__________个单位长度，再向__________平移__________个单位长度可以得到小旗乙；
(3)点A的对应点A′的坐标为__________，点D的对应点D′的坐标为__________，请在图中将小旗乙补充完整；
5
下
2
（－1，1）
（－3，－1）
解：补全小旗乙如答图1所示．
答图1
(4)若将小旗乙看成是由小旗甲经过一次平移得到的，则这一平移的平移方向为____________________________，平移距离为__________．
射线BB′的方向（答案不唯一）
答图1(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
☆问题解决活动：最短距离
1.能利用平移变换解决造桥选址问题，理解的合理性．
2 .体会图形的变在解决最值问题中的作用，感悟转思想．
学习目标
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
衔接回顾
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两定一动 图形 在直线l上找一点C，使得AC＋BC的值最小 在直线l上找一点C，使得AC＋BC的值最小
依据 两点之间，线段最短 作法 连线段，得交点 作对称，连线段，得交点
课堂讲练
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造桥选址问题
例1 （新BS八下P100改编）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班．已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）.
【理解问题】将实际问题抽象成数学问题：
解：如答图1，记居民区为A，工厂为B，把地铁线路看成一条水平直线l，M，N为水平直线l上的两个动点，点M，N之间的距离始终为a，由此问题可以转为：当点M，N在水平直线l上的什么位置时，AM＋MN＋BN的值最小．
答图1
【问题转】你能通过图形的变换（对称、平移、旋转等），将问题转为我们研究过的问题吗？怎么转？
如答图2.∵MN＝a，
∴要使AM＋MN＋BN的值最小，只需使AM＋BN的值最小即可．
将线段AM向右平移，使点M与点N重合，点A移动到点A′的位置，此时A′N＝AM，AM＋BN＝A′N＋BN.这样，问题就转为：当点N在水平直线l上的什么位置时，A′N＋BN的值最小．
答图2
【问题解决】利用已学知识，确定地下通道MN的位置，并说明理由．
解：如答图3，将点A向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B，交水平直线l于点N，将线段A′N向左平移a个单位长度得到线段AM，此时点M，N的位置即为所求．
理由：由答图3可知，当A′，N，B三点共线时，A′N＋BN＝AM＋BN的值最小，即AM＋MN＋NB的值最小．
答图3
解决“造桥选址”问题，一般用平移的，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转移到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题．
训练 1.（新BS八下P101）如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直．那么，天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？
解：如答图4，记甲单位为A，乙单位为B，道路的两边沿分别为水平直线a和b，且a∥b，a，b之间的距离为m，将点A向下平移m个单位长度得到点A′，连接A′B，交直线b于点N，将线段A′N向上平移m个单位长度得到线段AM，此时线段MN所在的位置即为所求．
理由：由答图4可知，当A′，N，B三点共线时，A′N＋BN＝AM＋BN的值最小，即AM＋MN＋BN的值最小．
答图4
2．（新BS八下P101）如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间．请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短．
解：如答图5，记大门为A，车间为B，道路为水平直线l，甲储物点为M，乙储物点为N，两个储物点的间距始终为m.将点A向右平移m个单位长度得到点A′，连接A′B，交直线l于点N，将线段A′N向左平移m个单位长度得到线段AM，则点M为甲储物间的位置，点N为乙储物间的位置，此时工作人员所走的路程最短．
答图5
变式2.1 如图，若大门与车间在道路的同侧，其他条件不变，请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短．
解：如答图6，记大门为A，车间为B，道路为水平直线l，甲储物点为M，乙储物点为N，两个储物点的间距始终为m.作点B关于水平直线l的对称点B′，将点A向右平移m个单位长度得到点A′，连接A′B′交直线l于点N，将线段A′N向左平移m个单位长度得到线段AM，则点M，N的位置即为所求．
答图6
随堂测
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1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线(虚线)l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段(实线)表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是( )
C
2．如图，从A地到B地要经过一条小河(河的两岸平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
解：如答图1，过点A向河岸EF作AC⊥EF，且使AC的长等于河宽，连接BC，与河岸GH相交于点N，过点N作NM⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置．
答图1(共12张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题9 旋转中的半角模型
第三章 图形的平移与旋转
例1 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D，E是边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACG，连接EG.
求证：（1）△DAE≌△GAE；
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°.
∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACG，
∴∠BAD＝∠CAG，∠B＝∠GCA＝45°，AD＝AG.
∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.
∴∠CAG＋∠EAC＝∠GAE＝45°.∴∠DAE＝∠GAE.
∴△DAE≌△GAE（SAS）.
求证： （2）∠ECG＝90°；
证明：由（1）可知∠B＝∠ACB＝∠GCA＝45°.
∴∠ECG＝∠ACB＋∠GCA＝90°.
求证： （3）DE2＝BD2＋EC2.
证明：由（2），得△ECG是直角三角形，∠ECG＝90°.
∴GE2＝GC2＋EC2.
由旋转的性质，得BD＝CG.
由（1），得△DAE≌△GAE，∴DE＝GE.
∴DE2＝BD2＋EC2.
训练 1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，连接EF.
（1）求证：EF＝MF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°.
由旋转的性质，
得DE＝DM，∠EDM＝∠ADC＝90°，∠DCM＝∠A＝90°.
∴∠DCM＋∠BCD＝180°.
∴点F，C，M在同一条直线上．
又∵∠EDF＝45°，
∴∠MDF＝∠EDM－∠EDF＝45°＝∠EDF.
∴△DEF≌△DMF（SAS）.∴EF＝MF.
（2）若AB的长为9，求△EBF的周长．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝9.
由旋转的性质，得EA＝MC.
∵EF＝MF＝MC＋CF，∴EF＝EA＋CF.
∴△EBF的周长为EB＋BF＋EF＝EB＋BF＋EA＋CF＝AB＋BC＝18.
解题关键：将△ACE绕点A旋转，使边AC与AB重合，得到△ABF，构造△ADE≌△ADF.
特殊半角模型：
1．等边三角形（含30°）
结论：①△AED≌△AFD；
②CE＝BF，DE＝DF；
③∠DBF＝120°.
2．等腰直角三角形（含45°）
结论：①△AED≌△AFD；
②CE＝BF，DE＝DF；
③BF⊥BD，DE2＝BD2＋CE2.
3．正方形（含45°）
结论：①△AED≌△AFD；
②ED＝FD＝CE＋BD.(共8张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新课标·新题型—— 综合实践与探究
第三章 图形的平移与旋转
1．（素材来源：新BS八下P93阅读·思考、RJ九上P73阅读与思考）综合与实践
图1
图1
【初步感知】（1）下列与数学文有关的图形中，是旋转对称图形的是______________．（填字母）
A，B，D，F
【深入思考】（2）下面是两个旋转对称图形，其中图2是由等边三角形ABC绕其对称中心旋转180°后得到的△DEF与△ABC构成的，图3是由4个全等的等边三角形拼成的（拼接时不重叠且没有空隙）.点O分别是他们的对称中心，其旋转角α的最小值分别为：图2：________°；图3：________°.
图2 图3
60
120
【拓展应用】（3）如图4所示的图案是旋转对称图形，由三个叶片组成，有一个旋转角为120°.若三个叶片的总面积为12 cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm2.
图4
4
【综合运用】
（4）为了美环境，某中学需要在一块正八边形空地上分别种植八种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成八块：
①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；
②分成的八块图形的面积相同．
图5
请按上述两个要求，分别在图5的两个正八边形中画出两种不同的分割（只要求画图正确，不写作法）.
解：两种不同的分割如答图1所示．
答图1(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 图形的平移
课时2 图形的平移（2）
在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．（几何直观、空间观念、推理能力、应用意识）
课标要求
第三章 图形的平移与旋转
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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点沿坐标轴方向的一次平移
点的平移与坐标变换的规律：
左右移动改变点的________坐标，左减右加，________坐标不变（如图）；
上下移动改变点的________坐标，上加下减，________坐标不变（如图）.
横
纵
纵
横
x
y＋a
x
y－a
例1 已知点M（2，－3）.
（1）将其向上平移3个单位长度，得到的点的坐标为__________；
（2）将其向下平移1个单位长度，得到的点的坐标为__________；
（3）将其向左平移4个单位长度，得到的点的坐标为__________；
（4）将其向右平移2个单位长度，得到的点的坐标为__________．
（2，0）
（2，－4）
（－2，－3）
（4，－3）
训练 1.点A′（－2，1）是由点A（3，1）向________平移________个单位长度得到的；点B（4，2）向________平移________个单位长度可以得到点B′（4，5）.
2．若将点M向左平移4个单位长度可以得到点N（1，3），则点M的坐标为________．
已知平移方式和平移后的点坐标，可将平移后的点进行逆向平移（平移方向相反，平移距离不变）得到原来的点坐标．
左
5
上
3
（5，3）
图形沿坐标轴方向的一次平移
在平面直角坐标系中，将一个图形上各点的横坐标均加上或减去a（a＞0），所对应图形为将原图形沿________轴向________或向________平移a个单位长度；
在平面直角坐标系中，将一个图形上各点的纵坐标均加上或减去a（a＞0），所对应图形为将原图形沿________轴向________或向________平移a个单位长度．
x
右
左
y
上
下
例2 如图，在平面直角坐标系中，“房子”的各个顶点均在格点上．
（1）若将该图形上的点的纵坐标均减去2，横坐标不变，试说明得到的新图形与原图形相比有什么变，并画出新图形；
解：新图形与原图形相比，形状、大小相同，位置发生了变，新图形是由原图形向下平移2个单位长度后得到的．
画出新图形如答图1所示．
答图1
（2）若将该图形向右平移3个单位长度，则所得新图形与原图形的对应点坐标之间有什么关系？
解：新图形与原图形相比，每组对应点的纵坐标不变，横坐标均加3.
训练 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，－2），C（5，1），D（4，4）.
（1）将四边形ABCD向左平移3个单位长度，得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1，并写出其各个顶点的坐标；
答图2
解：如答图2，四边形A1B1C1D1即为所求．
A1（－2，2），B1（0，－2），C1（2，1），D1（1，4）.
（2）将四边形A1B1C1D1各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别减4，得到四边形A2B2C2D2，它与四边形A1B1C1D1相比有什么变？
解：形状、大小相同，只是位置发生了变：向下平移了4个单位长度．
答图2
课堂检测
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1．在平面直角坐标系中，点 P（1，－1）平移后得到点 P′（0，－1），则点 P 的平移方式为（ ）
A. 向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
A
2．如图，将线段OA向上平移4个单位长度得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （4，1）
B．（－4，1）
C．（2，5）
D．（2，－3）
C
3．在平面直角坐标系中，将四边形向右平移2个单位长度，其对应顶点的坐标变为（ ）
A．纵坐标不变，横坐标都加2
B．横坐标不变，纵坐标都加2
C．纵坐标不变，横坐标都减2
D．横坐标不变，纵坐标都减2
A
4．【方程思想】将点A（3，m）向下平移5个单位长度得到点B（3，1－m），则点A的坐标为________．
（3，3）
5．（新BS八下P84改编）四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（0，3），B（－1，0），C（1，0），D（3，2），小明把四边形ABCD平移后得到了四边形A′B′C′D′，并写出了它的四个顶点坐标分别为A′（0，0），B′（－1，－3），C′（1，－3），D′（0，2），则小明所写的四个顶点坐标不正确的是（ ）
A．点A′ B．点B′
C．点C′ D．点D′
D
6．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（－2，4），B（－3，0），C（－1，－1）.将△ABC平移后得到△A′B′C′，且点A的对应点A′的横坐标是2，点B的对应点B′的纵坐标是0.
（1）点A，A′之间的距离为________；
（2）请在图中画出△A′B′C′，并直接写出
点A′，B′，C′的坐标．
4
答图3
解：画出△A′B′C′如答图3所示．
A′（2，4），B′（1，0），C′（3，－1）.
随堂测
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1．(2025湖南)在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为( )
A．(－6，2)
B．(0，2)
C．(－3，5)
D．(－3，－1)
B
2．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都加上2，则得到的新三角形与原三角形相比向__________平移了2个单位长度．(填“上”“下”“左”或“右”)
上
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1，3)，将线段OA平移后得到线段O′A′，已知点O′的坐标为(－2，0).
(1)线段O′A′是由线段OA向____________平移__________个单位长度得到的；
(2)点A的对应点A′的坐标为__________．
左
（－1，3）
2
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－1，－1)，B(－3，－3)，C(0，－4).
(1)将△ABC向上平移3个单位长度得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
(2)求△ABC的面积．
答图1
解：（1）如答图1，△A′B′C′即为所求．B′（－3，0）.(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新中考·新导向—— 教材回归（人教、北师）
第三章 图形的平移与旋转
选题角度1 平移、旋转、对称在生活中的应用
1．【跨学科】（RJ九上P59）如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？
解：杠杆的旋转中心为点O，旋转角是∠AOA′（或∠BOB′）.
2．（新RJ七下P30）如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．
解：这块草地青草覆盖的面积为b（a－1）m2.
变式2.1 （2025佛山期中）政府准备在一块长为a m，宽为b m的长方形空地上铺草地并修建小路，小路的宽均为1 m，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3所示．
（1）设方案一和方案二的草地面积分别为S1 m2，S2 m2，则S1＝________（用含a，b的式子表示），S1________S2（填“＞”“＝”或“＜”）；
b（a－1）
＝
（2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽为1 m的小路，求草地的面积S3（用含a，b的式子表示）；
解：如答图1，题图3中的四块草地可以通过平移得长为（a－1）m，宽为（b－1）m的长方形，则S3＝（a－1）（b－1）.
答图1
（3）经讨论，决定选用方案三进行草地铺设，若a＝30，b＝20，且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
解：当a＝30，b＝20时，S3＝（a－1）（b－1）＝（30－1）×（20－1）＝551（m2）.
∵铺草地平均每平方米需要花费50元，
∴铺设这块草地一共需要花费551×50＝27 550（元）.
选题角度2 平移、旋转与对称中的坐标问题
3．（RJ九上P70改编）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a＝______，b＝______．
－5
－1
4．（RJ九上P63）以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得到点B，求点B的坐标．
解：如答图2，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F.
∵A（4，5），∴OE＝4，AE＝5.
由旋转的性质，得OA＝OB，∠AOB＝90°.
∴∠AOE＋∠BOF＝90°.
∵∠AOE＋∠A＝90°，
∴∠BOF＝∠A.
答图2
∴△AOE≌△OBF（AAS）.∴AE＝OF＝5，OE＝BF＝4.
∴点B的坐标为（－5，4）.
答图2
5.（新BS八下P85）△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（－1，0），C（1，0）.小红把△ABC平移后得到了△A′B′C′，并写出了它的三个顶点的坐标A′（0，0），B′（－2，－3），C′（2，－3）.
（1）你认为小红所写的三个顶点的坐标正确吗？请说明理由．
解：小红所写的三个顶点的坐标不正确．理由如下：
因为由A（0，3）到A′（0，0），向下平移3个单位长度，
由B（－1，0）到B′（－2，－3），向下平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，
由C（1，0）到C′（2，－3），向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，
所以A，B，C三点平移的距离和方向各不相同．
所以小红所写的三个顶点的坐标不正确．
（2）如果小红所写的三个顶点的纵坐标都正确，三个顶点的横坐标中只有一个正确，那么请你帮小红正确写出三个顶点的坐标．
解：当点A′的横坐标正确时，则对应点的坐标分别为A′（0，0），B′（－1，－3），C′（1，－3）；
当点B′的横坐标正确时，则对应点的坐标分别为A′（－1，0），B′（－2，－3），C′（0，－3）；
当点C′的横坐标正确时，则对应点的坐标分别为A′（1，0），B′（0，－3），C′（2，－3）.
选题角度3 平移、旋转、对称与全等三角形
6．（新BS八下P104）如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC和DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
解：∵△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC和DE分别是底边，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.
∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴△ABD和△ACE可以看作是以点A为旋转中心，
按逆时针或顺时针方向旋转42°相互得到．
7．（RJ九上P63）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
解：DC＝BE.理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°.
∴∠DAC＝∠BAC＋60°＝∠BAE.
∴△DAC≌△BAE（SAS）.∴DC＝BE.
故可看作△ADC绕着点A按逆时针方向旋转60°与△ABE重合或△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°与△ADC重合．
8．（新BS八下P104）如图1，点D在正三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C.
（1）在图1中画出旋转后的图形．
解：如答图3，△ACD′即为所求．
答图3
（2）小明是这样做的：如图2，过点C画BA的平行线l，在l上取CE＝BD，连接AE，则△ACE即为旋转后的图形，请说明小明这样做的道理．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AC＝AB.
∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝60°.
∴∠B＝∠ACE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠BAC＝60°.
∴△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE.
