(共31张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 公式法
课时1 公式法（1）—— 平方差公式
能用公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.（几何直观、运算能力、推理能力、应用意识）
课标要求
第四章 因式分解
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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1．整式乘法：（a＋b）（a－b）＝____________；
因式分解：a2－b2＝_______________．
a2－b2
（a＋b）（a－b）
4x
ab
0.2x3
课堂讲练
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直接用平方差公式因式分解
例1 （新BS八下P116改编）下列多项式：①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2.其中能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
D
训练 1.下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A.－x2＋16
B．x2＋9
C.－x2－4
D．x2－2y
A
能用平方差公式因式分解的条件：①多项式为二项式；②能写成两个数或式的平方相减的形式．
例2 把下列各式因式分解：
（1）x2－16＝x2－42＝________________；
（2）81－x2＝__________＝_________________．
（x＋4）（x－4）
92－x2
（9＋x）（9－x）
训练 2.把下列各式因式分解：
（1）x2－4＝________________；
（2）25－m2＝_________________．
（x＋2）（x－2）
（5＋m）（5－m）
例3 请把下列各式因式分解：
（1）64－9x2；
解：原式＝82－（3x）2
＝（8＋3x）（8－3x）.
训练 3.请把下列各式因式分解：
（1）36x2－1；
解：原式＝（6x）2－12
＝（6x＋1）（6x－1）.
综合运用提公因式法和平方差公式因式分解
例4 把下列各式因式分解：
（1）m3－4m；
（2）2x3－18x.
解：原式＝m（m2－4）
＝m（m2－22）
＝m（m＋2）（m－2）.
解：原式＝2x（x2－9）
＝2x（x2－32）
＝2x（x＋3）（x－3）.
训练 4.把下列各式因式分解：
（1）2a2－2；
（2）2ax2－8ay2.
解：原式＝2（a2－1）
＝2（a＋1）（a－1）.
解：原式＝2a（x2－4y2）
＝2a[x2－（2y）2]
＝2a（x＋2y）（x－2y）.
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再利用公式因式分解．
运用整体思想和平方差公式因式分解
例5 因式分解：（2x＋y）2－（x＋2y）2.
解：原式＝（2x＋y＋x＋2y）[2x＋y－（x＋2y）]
＝（3x＋3y）（x－y）
＝3（x＋y）（x－y）.
训练 5.因式分解：9（x－y）2－（x＋y）2.
解：原式＝[3（x－y）]2－（x＋y）2
＝[3（x－y）＋（x＋y）][3（x－y）－（x＋y）]
＝（4x－2y）（2x－4y）
＝4（2x－y）（x－2y）.
运用两次平方差公式因式分解
例6 因式分解：x4－1.
解：原式＝（x2）2－12
＝（x2＋1）（x2－1）
＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）.
训练 6.因式分解：n4－16m4.
解：原式＝（n2）2－（4m2）2
＝（n2＋4m2）（n2－4m2）
＝（n2＋4m2）（n＋2m）（n－2m）.
课堂检测
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1．多项式36－a2因式分解的结果是（ ）
A．（a＋6）（a－6）
B．（a－6）2
C．（a＋4）（a－4）
D．（6＋a）（6－a）
D
2．因式分解：
（1）x2－25y2＝__________________；
（2）49a2－16b2＝____________________．
3．（2025梅州期末）已知x＋y＝1，x－y＝－3，则x2－y2的值为________．
（x＋5y）（x－5y）
（7a＋4b）（7a－4b）
－3
（2）（x2＋y2）2－x2y2.
解：原式＝（x2＋y2）2－（xy）2
＝（x2＋y2＋xy）（x2＋y2－xy）.
5．【易错】把下列各式因式分解：
（1）x2（x－y）＋（y－x）；
（2）－16x4＋81y4.
解：原式＝x2（x－y）－（x－y）
＝（x－y）（x2－1）
＝（x－y）（x＋1）（x－1）.
解：原式＝（9y2）2－（4x2）2
＝（9y2＋4x2）（9y2－4x2）
＝（9y2＋4x2）（3y＋2x）（3y－2x）.
解：根据题意，得草坪的面积为（a2－4b2）m2.
（2）利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．
解：当a＝13.6，b＝1.8时，
a2－4b2＝（a＋2b）（a－2b）＝（13.6＋2×1.8）×（13.6－2×1.8）＝172（m2）.
答：当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积为172 m2.
7．（新BS八下P118改编）观察下列各等式，并回答问题．
12－32＝－4×2，22－42＝－4×3，
32－52＝－4×4，42－62＝－4×5，
……
（1）第n个等式可表示为___________________________；
n2－（n＋2）2＝－4（n＋1）
（2）请用因式分解说明（1）中等式的正确性．
解：∵左边＝（n＋n＋2）（n－n－2）＝－2（2n＋2）＝－4（n＋1）＝右边，
∴此等式成立．
随堂测
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1．多项式x2－16因式分解的结果正确的是( )
A．(4－x)(4＋x)
B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x)
D．(4－x)2
B
C
3．利用因式分解计算：52.82－47.22＝__________．
4．把下列各式因式分解：
(1)25－4x2； (2)x2y－4y；
560
解：（1）原式＝52－（2x）2
＝（5＋2x）（5－2x）.
（2）原式＝y（x2－4）
＝y（x2－22）
＝y（x＋2）（x－2）.
(3)a2(x－y)＋b2(y－x)； (4)(x＋y＋1)2－(x－y＋1)2.
解：（3）原式＝a2（x－y）－b2（x－y）
＝（x－y）（a2－b2）
＝（x－y）（a＋b）（a－b）.
（4）原式＝[（x＋y＋1）＋（x－y＋1）][（x＋y＋1）－（x－y＋1）]
＝（x＋y＋1＋x－y＋1）（x＋y＋1－x＋y－1）
＝2y（2x＋2）
＝4y（x＋1）.(共33张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 公式法
课时2 公式法（2）—— 完全平方公式
能用公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.（几何直观、运算能力、应用意识、代数推理）
课标要求
第四章 因式分解
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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1．整式乘法：（1）（a＋b）2＝____________；
（2）（a－b）2＝____________．
2．因式分解：（1）a2＋2ab＋b2＝____________；
（2）a2－2ab＋b2＝____________．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
（a＋b）2
（a－b）2
课堂讲练
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完全平方式
例1 下列各式：①x2＋2x＋1；②1＋4b2；③a2－4ab＋4b2；④x2＋2xy－y2；⑤a2－ab＋b2.其中是完全平方式的有________．（填序号）
①③
训练 1.填空，使下列各式成为完全平方式．
（1）x2＋（________）＋y2；
（2）（________）＋4ab＋4b2；
（3）a2－12a＋（________）；
（4）4a2－（________）＋9b2.
±2xy
a2
36
±12ab
完全平方式的特点：①多项式有三项；②首尾为两数或式的平方，中间项是首尾底数积的2倍．简记为：首平方，尾平方，首尾2倍在中央．
直接运用完全平方公式因式分解
例2 补全下列各式因式分解的结果：
（1）m2＋4m＋4＝m2＋2·m·2＋22
＝_____________；
（2）x2－10x＋25＝x2－2·x·5＋52
＝_____________．
（m＋2）2
（x－5）2
训练 2.将下列各式因式分解：
（1）x2＋14x＋49＝__________________
＝____________；
x2＋2·x·7＋72
（x＋7）2
例3 把下列各式因式分解：
（1）x2－6xy＋9y2；
（2）25m2－30mn＋9n2.
解：原式＝x2－2·x·3y＋（3y）2
＝（x－3y）2.
解：原式＝（5m）2－2·5m·3n＋（3n）2
＝（5m－3n）2.
训练 3.把下列各式因式分解：
（1）4x2－4xy＋y2；
（2）9a2＋24ab＋16b2.
解：原式＝（2x）2－2·2x·y＋y2
＝（2x－y）2.
解：原式＝（3a）2＋2·3a·4b＋（4b）2
＝（3a＋4b）2.
能用完全平方公式分解因式的条件：多项式为完全平方式．
综合运用提公因式法和完全平方公式因式分解
例4 把下列各式因式分解：
（1）3x2－6x＋3；
（2）2mx2＋4mxy＋2my2.
解：原式＝3（x2－2x＋1）
＝3（x－1）2.
解：原式＝2m（x2＋2xy＋y2）
＝2m（x＋y）2.
训练 4.把下列各式因式分解：
（1）ax2－12ax＋36a；
（2）5x3－10x2＋5x.
解：原式＝a（x2－12x＋36）
＝a（x－6）2.
解：原式＝5x（x2－2x＋1）
＝5x（x－1）2.
例5 因式分解：－x2＋18xy－81y2.
解：原式＝－（x2－18xy＋81y2）
＝－[x2－18xy＋（9y）2]
＝－（x－9y）2.
训练 5.因式分解：－ax2＋2axy－ay2.
解：原式＝－a（x2－2xy＋y2）
＝－a（x－y）2.
因式分解的一般步骤：1.提：提公因式；2.套：套平方差公式或完全平方公式；3.查：检查是否漏项，分解是否彻底．
运用整体思想和完全平方公式因式分解
例6 因式分解：（a＋b）2－2（a＋b）＋1.
解：原式＝（a＋b）2－2·（a＋b）·1＋12
＝（a＋b－1）2.
课堂检测
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C
2．因式分解：（1）x2－2xy＋y2＝__________；
（2）4－4y＋y2＝__________；
（3）x6＋4x3＋4＝__________；
（4）a2b2－6ab＋9＝__________．
（x－y）2
（2－y）2
（x3＋2）2
（ab－3）2
3．【易错】（2025佛山期中）若x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值为________．
4．用简便计算：2 0252－2 025×50＋252＝________（结果用科学记数法表示）.
±8
4×106
5．把下列各式因式分解：
（1）4p2－20pq＋25q2；
（2）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2；
解：原式＝（2p）2－2·2p·5q＋（5q）2
＝（2p－5q）2.
解：原式＝[a＋（b＋c）]2
＝（a＋b＋c）2.
（3）－3ax2＋18axy－27ay2.
解：原式＝－3a（x2－6xy＋9y2）
＝－3a（x－3y）2.
6．【阅读理解】定义：任意两个数a，b，按规则c＝a＋b－ab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若a＝2，b＝x2－2x＋2，试比较b，c的大小．
解：由题意，得c＝a＋b－ab＝2＋x2－2x＋2－2（x2－2x＋2）＝－x2＋2x.
∴b－c＝x2－2x＋2－（－x2＋2x）＝2x2－4x＋2＝2（x2－2x＋1）＝2（x－1）2≥0.
∴b≥c.
可以用作差法比较大小．
7．【数形结合】已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），∴a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0.
∴（a2－2ab＋b2）＋（b2－2bc＋c2）＝0.
∴（a－b）2＋（b－c）2＝0.
∵（a－b）2≥0，（b－c）2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0.
∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
随堂测
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D
2．多项式x2－6x＋9因式分解的结果正确的是( )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
A
3．(2025兰州)因式分解：2x2＋4x＋2＝__________．
4．如果4x2＋ax＋9＝(2x＋3)2，那么a的值为__________．
2（x＋1）2
12
（2）原式＝a2＋2·a·2b＋（2b）2＝（a＋2b）2.
(3)2x3－4x2＋2x； (4)(x2－4x)2＋8(x2－4x)＋16.
解：（3）原式＝2x（x2－2x＋1）
＝2x（x－1）2.
（4）原式＝（x2－4x）2＋2·（x2－4x）·4＋42
＝（x2－4x＋4）2
＝[（x－2）2]2
＝（x－2）4.(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第四章 章末复习
第四章 因式分解
随堂测
知识要点&对点训练
典例精析&变式训练
知识要点&对点训练
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因式分解的基本概念
把一个多项式成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解．
注：因式分解与整式乘法互为逆变形过程，因此可以利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确．
1.（2025梅州期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．4x2y3＝4xy2·xy
B．x2＋x－5＝x（x＋1）－5
C．（a＋3）（a－3）＝a2－9
D．2a2＋4a＝2a（a＋2）
D
提公因式法因式分解
1.公因式：多项式各项都含有的相同因式．
2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式成两个因式乘积的形式．
符号语言：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）.
2.多项式6ab2－3ab的公因式是（ ）
A．b2
B．3ab
C．3ab2
D．6ab
B
3.因式分解：
（1）（2025佛山期中）xy＋2x＝__________；
（2）（2025梅州期末）12m2－4m＝_____________；
（3）2a（m＋n）－b（m＋n）＝_________________．
x（y＋2）
4m（3m－1）
（m＋n）（2a－b）
公式法因式分解
注：平方差公式和完全平方公式中的字母a，b不仅可以表示具体的数，还可以表示其他代数式，如一个单项式或一个多项式等．
4.因式分解：
（1）（2025河源期末）m2－4＝________________；
（2）16m2－n2＝___________________；
（3）a2＋12a＋36＝____________；
（4）9a2－12ab＋4b2＝____________；
（5）（a－b）2－c2＝______________________．
（m＋2）（m－2）
（4m＋n）（4m－n）
（a＋6）2
（3a－2b）2
（a－b＋c）（a－b－c）
因式分解的综合
1.步骤：
（1）提：提公因式；
（2）套：套平方差公式或完全平方公式；
（3）检查是否漏项，分解是否彻底．
2.注意事项：
（1）因式分解要分解到每个因式都不能分解为止；
（2）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数，再进行因式分解．
5.因式分解：
（1）a3－2a2＋a；
（2）－3x2＋27y2.
解：原式＝a（a2－2a＋1）
＝a（a－1）2.
解：原式＝－3（x2－9y2）
＝－3（x＋3y）（x－3y）.
典例精析&变式训练
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1.把下列各式因式分解：
（1）（3x＋y）2－4（x－y）2；
（2）－3ab2＋18ab－27a.
解：原式＝（3x＋y）2－[2（x－y）]2
＝（3x＋y＋2x－2y）（3x＋y－2x＋2y）
＝（5x－y）（x＋3y）.
解：原式＝－3a（b2－6b＋9）
＝－3a（b－3）2.
2.把下列各式因式分解：
（1）2x3y－2xy3；
（2）a4－8a2b2＋16b4.
解：原式＝2xy（x2－y2）
＝2xy（x＋y）（x－y）.
解：原式＝（a2）2－2·a2·4b2＋（4b2）2
＝（a2－4b2）2
＝（a＋2b）2（a－2b）2.
3.先分解因式，再求值：（x＋y）（x2＋3xy＋y2）－5xy（x＋y），其中x＝6，y＝－4.
解：原式＝（x＋y）（x2＋3xy＋y2－5xy）
＝（x＋y）（x2－2xy＋y2）
＝（x＋y）（x－y）2.
当x＝6，y＝－4时，
原式＝[6＋（－4）]×[6－（－4）]2＝2×100＝200.
解：原式＝a2b2（a2－4ab＋4b2）
＝a2b2（a－2b）2.
5.【应用意识】某小组同学布置教室时，准备为一幅边长为a的正方形书法作品镶边（如图），要求四边的宽都为b.为此，需要准备一张镶边用的长方形花纸．当这张花纸的长与宽分别为多少时，恰好可以完成镶边任务而又没有任何剩余（接缝忽略不计）？请至少给三种方案．
解：用于镶边的花纸面积＝（a＋2b）2－a2＝（a＋2b－a）（a＋2b＋a）＝2b（2a＋2b）＝4b（a＋b）.
∴当这张花纸的长与宽分别为a＋b，4b或者2（a＋b），2b或者4（a＋b），b时，恰好可以完成镶边任务而又没有任何剩余．
6.【创新题】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a4－b4＝a2c2－b2c2，试判断△ABC的形状．下面是小明同学的解答过程：
解：∵a4－b4＝a2c2－b2c2，第一步
∴（a2＋b2）（a2－b2）＝c2（a2－b2）.第二步
∴a2＋b2＝c2.第三步
∴△ABC是直角三角形．第四步
请认真阅读，完成下列任务：
（1）任务一：
①第二步等号左边的变形使用的公式是___________________________________________；
②第________步开始出现错误，错误的原因是____________________________；
（2）任务二：请直接写出△ABC的形状是__________________________________________．
平方差公式[或a2－b2＝
（a＋b）（a－b）]
三
忽略了a2－b2＝0的
情况
直角三角形或等腰三角形
或等腰直角三角形
随堂测
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知识梳理
相同
m（x＋y＋z）
（a＋b）（a－b）
（a±b）2
易错集训
易错点1 公因式没有提尽
1．小红和小华在用提公因式法对多项式2x2－4x进行因式分解的过程中，出现了分歧，下列四个选项中提取的公因式正确的是( )
A．2
B．x
C．2x
D．2x2
C
易错点2 提取“－”号后忘记变号
2．把多项式－9x3＋6x2－3x因式分解，提出公因式－3x后，另一个因式是( )
A．3x2－2x B．3x2－2x－1
C．－9x2＋6x D．3x2－2x＋1
3．因式分解：－10a3b2＋15a2b2＝________________．
D
－5a2b2（2a－3）
易错点3 错用公式
4．把下列各式因式分解：
(1)y2－4(x＋y)2； (2)9(x－y)2－12(x－y)＋4.
解：（1）原式＝y2－[2（x＋y）]2
＝[y＋2（x＋y）][y－2（x＋y）]
＝（2x＋3y）（－2x－y）
＝－（2x＋3y）（2x＋y）.
（2）原式＝[3（x－y）]2－2·3（x－y）·2＋22
＝[3（x－y）－2]2
＝（3x－3y－2）2.
易错点4 因式分解不彻底
5．因式分解：
(1)m4－1; (2)(x2＋1)2－4x2.
解：（1）原式＝（m2＋1）（m2－1）
＝（m2＋1）（m＋1）（m－1）.
（2）原式＝（x2＋1）2－（2x）2
＝（x2＋1－2x）（x2＋1＋2x）
＝（x－1）2（x＋1）2.(共11张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
习题课1 因式分解的考法综合
第四章 因式分解
类型 一次分解
1．因式分解：
（1）3x2－6x3＝_____________；
（2）（m＋n）2－2（m＋n）＝____________________；
（3）4x2－9y2＝___________________；
（4）4a2－4a＋1＝____________．
3x2（1－2x）
（m＋n）（m＋n－2）
（2x＋3y）（2x－3y）
（2a－1）2
2．把下列各式因式分解：
（1）6x2y3＋15xy2z；
（2）（3m－1）2－（2m－3）2；
解：原式＝3xy2·2xy＋3xy2·5z
＝3xy2（2xy＋5z）.
解：原式＝[（3m－1）＋（2m－3）][（3m－1）－（2m－3）]
＝（5m－4）（m＋2）.
（3）y（x－1）－y2（1－x）2.
解：原式＝y（x－1）－y2（x－1）2
＝y（x－1）[1－y（x－1）]
＝y（x－1）（1－xy＋y）.
3．（2025茂名月考）甲、乙两位同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为（x－2）·（x－4），乙看错了a，分解结果为（x＋1）（x＋9），请写出多项式x2＋ax＋b正确的分解结果．
解：∵甲看错了b，分解结果为（x－2）（x－4）＝x2－6x＋8，
∴a＝－6.
∵乙看错了a，分解结果为（x＋1）（x＋9）＝x2＋10x＋9，
∴b＝9.
∴x2＋ax＋b＝x2－6x＋9＝（x－3）2，
即正确的分解结果为（x－3）2.
类型 两次分解
4．因式分解：（1）a3－4a＝__________________；
（2）x2y＋4xy＋4y＝____________；
（3）a4－2a2＋1＝__________________．
a（a＋2）（a－2）
y（x＋2）2
（a＋1）2（a－1）2
5．把下列各式因式分解：
（1）2m3n－32mn；
（2）－3x3＋6x2y－3xy2；
解：原式＝2mn（m2－16）
＝2mn（m＋4）（m－4）.
解：原式＝－3x（x2－2xy＋y2）
＝－3x（x－y）2.
（3）x2（x－y）－y2（x－y）；
（4）（x2＋y2）2－4x2y2.
解：原式＝（x－y）（x2－y2）
＝（x－y）（x＋y）（x－y）
＝（x－y）2（x＋y）.
解：原式＝（x2＋y2）2－（2xy）2
＝（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2－2xy）
＝（x＋y）2（x－y）2.
（拓展）类型 分组分解
6．补全下面的解题步骤：
因式分解：a3＋a2b－ab2－b3.
解：原式＝a3＋a2b－（__________）
＝a2·（__________）－b2·（__________）
＝（__________）·（__________）
＝__________________．
ab2＋b3
a＋b
a＋b
a＋b
a2－b2
（a－b）（a＋b）2
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法、公式法或十字相乘法的多项式，其分解的关键在于适当分组，分组原则：①分组后能直接提取公因式；②分组后能直接运用公式．
7．分解因式：
（1）m2－2mn＋n2－1；
（2）x2－4y2－2x＋4y.
解：原式＝（m2－2mn＋n2）－1
＝（m－n）2－1
＝（m－n＋1）（m－n－1）.
解：原式＝x2－4y2－（2x－4y）
＝（x＋2y）（x－2y）－2（x－2y）
＝（x－2y）（x＋2y－2）.(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 提公因式法
课时2 提公因式法（2）—— 提多项式
能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）.（几何直观、运算能力、应用意识）
课标要求
第四章 因式分解
随堂测
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知识导学
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1．（衔接回顾）因式分解：
（1）4x2＋2x＝_____________；
（2）－2a2＋4a＝_____________．
2x（2x＋1）
－2a（a－2）
2．请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立：
（1）x＋y＝______（y＋x）；
（2）－x－y＝______（x＋y）；
（3）－x2＋y2＝______（x2－y2）；
（4）m－n＝______（n－m）;
（5）（m－n）2＝______（n－m）2;
（6）（m－n）3＝______（n－m）3.
注：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
＋
－
－
－
－
＋
课堂讲练
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公因式为多项式的因式分解
例1 把下列各式因式分解：
（1）x（m＋2）－3（m＋2）；
（2）y（x2＋1）＋y2（x2＋1）.
解：原式＝（m＋2）（x－3）.
解：原式＝y（x2＋1）·1＋y（x2＋1）·y
＝y（x2＋1）（1＋y）.
训练 1.把下列各式因式分解：
（1）m（x－y）＋2n（x－y）；
（2）4（m＋n）2－12（m＋n）.
解：原式＝（x－y）（m＋2n）.
解：原式＝4（m＋n）·（m＋n）－4（m＋n）·3
＝4（m＋n）（m＋n－3）.
例2 把下列各式因式分解：
（1）a（m－2）＋b（2－m）；
（2）3（x－y）3－6（y－x）2.
解：原式＝a（m－2）－b（m－2）
＝（m－2）（a－b）.
解：原式＝3（x－y）3－6（x－y）2
＝3（x－y）2·（x－y）－3（x－y）2·2
＝3（x－y）2（x－y－2）.
训练 2.把下列各式因式分解：
（1）7（a－1）＋x（1－a）；
（2）mn（m－n）－m（n－m）2.
解：原式＝7（a－1）－x（a－1）
＝（a－1）（7－x）.
解：原式＝mn（m－n）－m（m－n）2
＝m（m－n）·n－m（m－n）·（m－n）
＝m（m－n）[n－（m－n）]
＝m（m－n）（2n－m）.
提公因式法的应用
例3 先因式分解，再计算求值：（x－1）2－（x＋1）（x－1），其中x＝2 026.
解：原式＝（x－1）[x－1－（x＋1）]
＝（x－1）（x－1－x－1）
＝－2（x－1）.
当x＝2 026时，
原式＝－2×（2 026－1）＝－2×2 025＝－4 050.
训练 3.（新BS八下P113改编）先因式分解，再计算求值：4x（m－2）＋3x（2－m），其中x＝1.5，m＝6.
解：原式＝4x（m－2）－3x（m－2）
＝（m－2）（4x－3x）
＝x（m－2）.
当x＝1.5，m＝6时，原式＝1.5×（6－2）＝6.
课堂检测
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1．多项式b（x－3）＋（x－3）因式分解的结果是（ ）
A．b（x－3）
B．（x－3）（b＋1）
C．（x－3）（b－3）
D．b（x－3）（b－1）
B
2．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后其中一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m
B．5＋m
C．m－5
D．－m－5
A
3．把下列各式因式分解：
（1）7（x2＋y）＋（x＋1）（x2＋y）；
（2）6p（p2＋1）－4q（p2＋1）；
解：原式＝（x2＋y）（7＋x＋1）
＝（x2＋y）（x＋8）.
解：原式＝2（p2＋1）·3p－2（p2＋1）·2q
＝2（p2＋1）（3p－2q）.
（3）10x（x－y）2＋5（y－x）3.
解：原式＝10x（x－y）2－5（x－y）3
＝5（x－y）2·2x－5（x－y）2·（x－y）
＝5（x－y）2[2x－（x－y）]
＝5（x－y）2（x＋y）.
4．【创新题】已知一次函数y＝x＋5的图象经过点A（a，b），B（c，d），则a（c－d）＋b（d－c）的值为（ ）
A．0
B．20
C．25
D．－25
C
解：原式＝x（x＋y）[x－y－（x＋y）]
＝x（x＋y）（x－y－x－y）
＝－2xy（x＋y）.
6．（新BS八下P112改编）【情境探究】如图，有三张不同型号的长方形卡片①②③.
（1）卡片________和________可以拼成一个长方形，并据此写出一个多项式的因式分解：__________________________；
①
②
an＋bn＝n（a＋b）
（2）将卡片①②③拼成一个长方形，画出图形，并依据拼图的过程及结果，写出一个多项式的因式分解．
解：拼成的长方形如答图1所示．
答图1
因式分解：an＋bn＋m（a＋b）＝（a＋b）（n＋m）.
【经验总结】将一个多项式进行因式分解时，若所有项不具有公因式，可以考虑先将其中几项因式分解，再将因式分解后的结果与剩余项进行因式分解．
【拓展应用】（3）利用上述经验将下列各式因式分解：
①a＋2ab＋c＋2bc；
②a2＋ac－ab－bc.
解：①原式＝a（1＋2b）＋c（1＋2b）
＝（1＋2b）（a＋c）.
②原式＝a（a＋c）－b（a＋c）
＝（a＋c）（a－b）.
随堂测
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1．多项式a(x2＋y2)－b(x2＋y2)中各项的公因式是( )
A．a(x2＋y2)
B．b(x2＋y2)
C．x2＋y2
D．ab(x2＋y2)
C
2．多项式b2(x－3)＋b(x－3)因式分解的结果正确的是( )
A．(x－3)(b2＋b)
B．b(x－3)(b＋1)
C．(x－3)(b2－b)
D．b(x－3)(b－1)
B
3．因式分解：3x(x－2)＋2(x－2)＝________________．
（x－2）（3x＋2）
4．把下列各式因式分解：
(1)(a＋b)－(a＋b)2; (2)a(x－y2)－b(y2－x).
解：（1）原式＝（a＋b）[1－（a＋b）]
＝（a＋b）（1－a－b）.
（2）原式＝a（x－y2）＋b（x－y2）
＝（x－y2）（a＋b）.
5．先因式分解，再计算求值：2m(m＋n)－(m＋n)2＋n(m＋n)，其中m＝－1，n＝2.
解：原式＝（m＋n）[2m－（m＋n）＋n]
＝（m＋n）（2m－m－n＋n）
＝m（m＋n）.
当m＝－1，n＝2时，原式＝－1×（－1＋2）＝－1.(共11张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新课标·新题型—— 综合实践与探究
第四章 因式分解
1．（新BS八下P120改编）先阅读下面的材料，再按要求解答下列问题：
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题叫作配．配在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有着广泛的应用．
例如，对于多项式x2＋4x＋3：
①利用配因式分解：
x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－4＋3＝（x＋2）2－12＝（x＋2＋1）（x＋2－1）＝（x＋3）（x＋1）.
②利用配求最值：
x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－4＋3＝（x＋2）2－1.
∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2－1≥－1.
∴x2＋4x＋3有最小值，最小值是－1.
【问题解决】
（1）用配因式分解：x2－4x－5＝_______________．
（x＋1）（x－5）
（2）当x取何值时，代数式x2－4x－5有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？
解：x2－4x－5＝x2－4x＋4－9＝（x－2）2－9.
∵（x－2）2≥0，∴（x－2）2－9≥－9.
∴当x－2＝0，即x＝2时，式子有最小值，最小值为（2－2）2－9＝－9.
∴当x＝2时，代数式x2－4x－5有最小值，最小值为－9.
【知识迁移】
（3）如图，学校打算用长20 m的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x m，请用配求围成的生物园的最大面积．
解：生物园的面积S＝x（20－2x）＝－2x2＋20x＝－2（x2－10x）＝－2（x2－10x＋25）＋50＝－2（x－5）2＋50.
∵（x－5）2≥0，∴－2（x－5）2≤0.
∴－2（x－5）2＋50≤50.
∴围成的生物园的最大面积是50 m2.
2.（新BS八下121改编）综合与实践
【实践操作】
小刚同学在学习因式分解时，发现其中蕴含着丰富的数形结合思想．为了更好地探究其中的奥秘，小刚同学在课下进行了实践操作，裁剪了如图1所示的卡片若干张，其中A类、B类卡片分别是边长为a，b的正方形，C类卡片是长为a、宽为b的长方形．
【问题探究】
（1）他用1张A类、1张B类和2张C类卡片拼出一个新的图形（如图2），根据这个图形的面积表示可以写出一个等式：_____________________________．
（2）如果小刚要拼成一个长为（a＋2b）、宽为（a＋b）的大长方形，那么他需要A类卡片________张，B类卡片
________张，C类卡片________张．
a2＋2ab＋b2＝
（a＋b）2
1
2
3
（3）如果小刚用8张卡片拼成如图3所示的长方形，根据卡片的面积之和等于长方形的面积可以把多项式a2＋4ab＋3b2因式分解，那么其结果是________________．
（a＋3b）（a＋b）
（4）请依照小刚的思路，利用数形结合的，分解因式a2＋5ab＋6b2.
解：如答图1，a2＋5ab＋6b2＝（a＋2b）·（a＋3b）.
答图1
【类比迁移】
（5）小刚在家里找到了若干块如图4所示的编号为①②③④的四种立方体，取其中两个拼成一个大长方体（如图5），据此可以写出一个多项式的因式分解：_________________．
x3＋x2＝x2（x＋1）
【问题解决】
（6）如果小刚要用如图4所示的编号为①②③④的四种立方体拼成一个棱长为（x＋1）的正方体，那么他需要②号长方体________个，③号长方体________个，据此可以写出一个多项式的因式分解：____________________________．
3
3
x3＋3x2＋
3x＋1＝（x＋1）3(共18张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 因式分解
第四章 因式分解
随堂测
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课堂讲练
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因式分解的概念
把一个____________成几个______________的形式，这种变形叫作因式分解．
多项式
整式乘积
×
×
√
×
训练 1.（2025茂名期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.6a2b＝3a·2ab
B.（x＋4）（x－4）＝x2－16
C.2ax－2ay＝2a（x－y）
D.4x2＋8x－1＝4x（x＋2）－1
C
因式分解与整式乘法的关系
例2 （新BS八下P108 改编）（1）计算下列各式：
x（x＋1）＝____________；
m（a＋b＋c） ＝______________；
（x＋2）（x－2） ＝____________；
（a－b）2＝____________．
x2＋x
ma＋mb＋mc
x2－4
a2－2ab＋b2
（2）根据上述算式进行因式分解：
x2＋x＝________（________）；
ma＋mb＋mc＝________（________）；
x2－4＝（________）（________）；
a2－2ab＋b2＝（________）2.
x
x＋1
m
a＋b＋c
x＋2
x－2
a－b
训练 2.（新BS八下P108改编）把左、右两边相等的代数式用线连起来．
3．填空：
（1）3x2－________＝3x（x－1）；
（2）已知（x＋1）（x＋2）＝x2＋3x＋2，那么x2＋3x＋2因式分解的结果为_________________；
（3）若关于y的二次三项式y2－my＋n因式分解的结果为（y－2）2，则m＝______，n＝______．
3x
（x＋1）（x＋2）
4
4
多项式的因式分解与整式乘法互为逆变形过程，因此可以利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确，即m（a＋b＋c） ma＋mb＋mc；（a±b）2 a2±2ab＋b2；（a＋b）（a－b）
a2－b2.
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A
2．【几何直观】（新BS八下P107改编）观察下面的拼图过程，写出相应的关系式．
ma＋mb＋m2
m（a＋b＋m）
随堂测
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1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1
B．a2＋a＋1＝a(a＋1)＋1
C．m(a＋b)＝am＋bm
D．10x2－5x＝5x(2x－1)
D
2．下列等式：①(3a－1)(3a＋1)＝9a2－1；②9a2－1＝(3a－1)(3a＋1)，由左边到右边的变形，其中__________是整式乘法，__________是因式分解．(填“①”或“②”)
①
②
3．下列多项式中，可因式分解成(x＋2)2的是( )
A．x2＋2
B．x2＋4
C．x2＋4x＋2
D．x2＋4x＋4
D
4．(2025茂名期中)若x－2和x＋5是x2＋px＋q的两个因式，则p的值为( )
A．－7
B．－3
C．7
D．3
D
5．(2025深圳期末)如图，将图1沿虚线剪开后，可以拼成如图2所示的长方形，据此写出的多项式的因式分解为( )
A．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
B．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
C．(x＋y)(x－y)＝x2－y2
D．(x＋y)(x－y)＝x2＋y2
A(共10张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题11 十字相乘法
第四章 因式分解
1.（新RJ八上P133阅读与思考改编）x2＋（p＋q）x＋pq型式子的因式分解．
（1）整式乘法：（x＋p）（x＋q）＝____________________．
因式分解：x2＋（p＋q）x＋pq＝_________________．
（2）用十字相乘法分解因式的步骤：
x2＋（p＋q）x＋pq
（x＋p）（x＋q）
类型1 二次项系数为1
例1 分解因式：
（1）x2＋3x＋2; （2）x2－5x＋6.
解：分析如下： 解：分析如下：
（1）原式＝_______________．
（2）原式＝_______________．
1
2
2
1
3
（x＋1）（x＋2）
－2
－3
（－3）
（－2）
－5
（x－2）（x－3）
训练 1.分解因式：
（1）a2＋4a＋3; （2）x2－7x＋12.
解：分析如下：
解：分析如下：
原式＝（a＋1）（a＋3）.
原式＝（x－3）（x－4）.
当常数项是正数时，可以分解成两个正数或两个负数的积，符号与一次项的符号相同；分解常数项所得的两个因数的绝对值之和等于一次项系数的绝对值．
例2 分解因式：
（1）x2＋x－2; （2）x2－2x－15.
解：分析如下：
解：分析如下：
原式＝（x－1）（x＋2）.
原式＝（x＋3）（x－5）.
训练 2.分解因式：
（1）x2－2x－3; （2）x2＋4x－12.
解：分析如下：
解：分析如下：
原式＝（x－3）（x＋1）.
原式＝（x－2）（x＋6）.
当常数项是负数时，可以分解成一个正数和一个负数的积，绝对值大的因数的符号与一次项的符号相同；分解常数项所得的两个因数的绝对值之差等于一次项系数的绝对值．
类型2 二次项系数不为1
例3 分解因式：
（1）2x2＋5x－3; （2）4x2－4xy－15y2.
解：分析如下：
解：分析如下：
原式＝（2x－1）（x＋3）.
原式＝（2x－5y）（2x＋3y）.
训练 3.分解因式：
（1）3x2－8x＋4; （2）－4x2－7x－3.
解：分析如下：
解：分析如下：
原式＝（3x－2）（x－2）.
原式＝（－4x－3）（x＋1）
＝－（4x＋3）（x＋1）.(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 提公因式法
课时1 提公因式法（1）—— 提单项式
能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）.（几何直观、运算能力、应用意识）
课标要求
第四章 因式分解
随堂测
课堂讲练
课堂检测
知识导学
知识导学
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1．公因式：多项式各项都含有的____________．
2．提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式成两个因式________的形式．这种因式分解的叫作提公因式法．
相同因式
乘积
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确定公因式
例1 （新BS八下P110改编）填空：
（1）多项式8m＋4n中各项的公因式是______；
（2）多项式2ax－4ay中各项的公因式是______；
（3）多项式9x2y－3xy2中各项的公因式是______．
4
2a
3xy
训练 1.（新BS八下P110改编）填空：
（1）多项式m2＋3m中各项的公因式是______；
（2）多项式7x3－21x2中各项的公因式是______；
（3）多项式4a2b2c－12ab3c＋2abc2中各项的公因式是______．
m
7x2
2abc
确定多项式中各项的公因式（一般为最大公因式）的，可总结为三“定”：①定系数，确定各项系数的最大公约数；②定字母，确定各项的相同字母；③定指数，确定各项相同字母的最低次幂．
公因式为单项式的因式分解
例2 把下列各式因式分解：
（1）x2－2 026x；
解：原式＝x·________－x·________
＝x（________）.
（2）7x3＋28x2；
x
2 026
x－2 026
解：原式＝7x2·x＋7x2·4
＝7x2（x＋4）.
（3）2a2b－4ab2＋2ab；
（4）－9x3＋12x2－18x.
解：原式＝2ab·a－2ab·2b＋2ab·1
＝2ab（a－2b＋1）.
解：原式＝－（9x3－12x2＋18x）
＝－（3x·3x2－3x·4x＋3x·6）
＝－3x（3x2－4x＋6）.
训练 2.把下列各式因式分解：
（1）4b2＋3b；
（2）35a3－10a2；
解：原式＝b·4b＋b·3
＝b（4b＋3）.
解：原式＝5a2·7a－5a2·2
＝5a2（7a－2）.
（3）6m3n2＋15m2n－3mn；
（4）－4x2－12xy2＋6xy3.
解：原式＝3mn·2m2n＋3mn·5m－3mn·1
＝3mn（2m2n＋5m－1）.
解：原式＝－（4x2＋12xy2－6xy3）
＝－（2x·2x＋2x·6y2－2x·3y3）
＝－2x（2x＋6y2－3y3）.
1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．
2．在因式分解完成后，按照整式的乘法把因式再乘回去，检查结果是否与原式相等．
课堂检测
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1．（2025深圳期末）多项式ma2＋mb2中各项的公因式是（ ）
A．m
B．m2
C．ma
D．mb
A
2．（2025佛山期中）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．5xy和xy5
B．5x－y和x＋5y
C．5x－5y和6x－6y
D．5x和15y
B
3．因式分解：
（1）（2025广东）a2b＋ab2＝___________；
（2）（2025梅州期末）3m2－12m＝____________．
4．【开放性】写出一个含有公因式2x的多项式：_______________
__________．
ab（a＋b）
3m（m－4）
2x2＋2xy（答案
不唯一）
5．把下列各式因式分解：
（1）x2y3＋5xy2；
（2）4x3－6x2＋2x；
解：原式＝xy2·xy＋xy2·5
＝xy2（xy＋5）.
解：原式＝2x·2x2－2x·3x＋2x·1
＝2x（2x2－3x＋1）.
（3）－24x2y－12xy2－27y3.
解：原式＝－（24x2y＋12xy2＋27y3）
＝－（3y·8x2＋3y·4xy＋3y·9y2）
＝－3y（8x2＋4xy＋9y2）.
6．用提公因式法对多项式4xn＋1－12xn＋32xn－1（n≥2，且n为整数）进行因式分解，应提取的公因式是（ ）
A．4xn＋1
B．4xn
C．4xn－1
D．4
C
8．【跨学科】（新BS八下P109改编）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I（单位：A），电压为U（单位：V），则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝19.7 Ω，R2＝32.4 Ω，R3＝35.9 Ω，I＝2.5 A时，求U的值．
解：U＝IR1＋IR2＋IR3＝I（R1＋R2＋R3）.
当R1＝19.7 Ω，R2＝32.4 Ω，R3＝35.9 Ω，I＝2.5 A时，
U＝2.5×（19.7＋32.4＋35.9）＝2.5×88＝220（V）.
9．【整体思想】如图是长为a，宽为b的长方形，它的周长为14，面积为10，求3a2b＋3ab2的值．
解：∵长方形的长为a，宽为b，周长为14，面积为10，
∴3a2b＋3ab2＝3ab·a＋3ab·b＝3ab（a＋b）＝3×10×7＝210.
随堂测
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1．用提公因式法因式分解2x2－xy时，应提取的公因式是( )
A．x
B．xy
C．x2
D．2y
A
2．从多项式8x2－4x中提取公因式4x后，剩余的因式是( )
A．2x
B．2x－1
C．4x－1
D．4x
B
3．把下列各式因式分解：
(1)3x2－2x； (2)6a2b＋3ac；
解：原式＝x·3x－x·2
＝x（3x－2）.
解：原式＝3a·2ab＋3a·c
＝3a（2ab＋c）.
(3)x2y3＋x2y2； (4)－3a＋12a2－a3.
解：原式＝x2y2·y＋x2y2·1
＝x2y2（y＋1）.
解：原式＝－（3a－12a2＋a3）
＝－（a·3－a·12a＋a·a2）
＝－a（3－12a＋a2）.
4．先因式分解，再计算求值：3ax2＋3ay2－3az2，其中a＝－111，x＝15，y＝20，z＝25.
解：原式＝3a·x2＋3a·y2－3a·z2
＝3a（x2＋y2－z2）.
当a＝－111，x＝15，y＝20，z＝25时，
原式＝3×（－111）×（152＋202－252）＝3×（－111）×0＝0.(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新中考·新导向—— 教材回归（人教、北师）
第四章 因式分解
选题角度1 利用因式分解简运算（运算能力）
1．（新RJ八上P132）利用因式分解计算：
（1）1032＋103×194＋972；
解：原式＝1032＋2×103×97＋972
＝（103＋97）2
＝2002
＝40 000.
（2）2 0212－2 0202＋2 0102－2 0092.
解：原式＝（2 0212－2 0202）＋（2 0102－2 0092）
＝（2 021＋2 020）×（2 021－2 020）＋（2 010＋2 009）×（2 010－2 009）
＝4 041×1＋4 019×1
＝8 060.
2．（新BS八下P120）利用因式分解计算：
（1）32 024－32 023；
解：原式＝32 023×3－32 023×1
＝32 023（3－1）
＝2×32 023.
（2）（－2）101＋（－2）100＋299.
解：原式＝－2101＋2100＋299
＝－22×299＋2×299＋299
＝299×（－22＋2＋1）
＝－299.
选题角度2 利用平方差公式解决整除问题（代数推理）
3．（新BS八下P119）利用因式分解说明：257－512能被120整除．
解：257－512＝（52）7－512＝514－512＝52×512－512＝512×（52－1）
＝512×24＝511×5×24
＝511×120.
∴257－512能被120整除．
4．（新BS八下P120）248－1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数．
解：原式＝（224）2－12
＝（224－1）（224＋1）
＝（212－1）·（212＋1）（224＋1）
＝（26－1）（26＋1）（212＋1）（224＋1）
＝63×65×（212＋1）（224＋1）.
∴这两个数为63与65.
5．（新RJ八上P132改编）已知n为正整数，则（4n＋3）2－（2n＋3）2能被24整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．
解：能．理由如下：
（4n＋3）2－（2n＋3）2
＝（4n＋3＋2n＋3）（4n＋3－2n－3）
＝（6n＋6）×2n＝6（n＋1）×2n
＝12n（n＋1）.
∵n为正整数，∴n，n＋1中必有一个数是偶数．
∴（4n＋3）2－（2n＋3）2能被24整除．
选题角度3 利用因式分解判断三角形的形状
6．（新BS八下P120）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2－b2＋ac－bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a2－b2＋ac－bc＝0，∴（a＋b）（a－b）＋c（a－b）＝0.
∴（a－b）（a＋b＋c）＝0.
∵a，b，c是△ABC的三边，∴a＋b＋c≠0.
∴a－b＝0.∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形．
7．（新RJ八上P136改编）阅读下面的分解因式的过程：
p2－1＋q2＋2pq＝（p2＋2pq＋q2）－1＝（p＋q）2－1＝（p＋q＋1）（p＋q－1）.
利用上述分解因式的解决下列问题：
（1）如果a，b，c是△ABC的三条边的长，求证：a2－b2＋c2－2ac＜0；
证明：a2－b2＋c2－2ac＝（a2－2ac＋c2）－b2＝（a－c）2－b2＝（a－c＋b）（a－c－b）.
∵a，b，c是△ABC的三条边的长，∴a＋b＞c，b＋c＞a.
∴a＋b－c＞0，a－c－b＜0.
∴（a－c＋b）（a－c－b）＜0，即a2－b2＋c2－2ac＜0.
（2）已知a，b，c是△ABC三条边的长，且满足a2＋c2－2b（a－b＋c）＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a2＋c2－2b（a－b＋c）＝0，
∴a2＋c2－2ab＋2b2－2bc＝0.
∴（a2－2ab＋b2）＋（b2－2bc＋c2）＝0.
∴（a－b）2＋（b－c）2＝0.
∵（a－b）2≥0，（b－c）2≥0，∴（a－b）2＝0，（b－c）2＝0.
∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
选题角度4 规律探索
9．（新RJ八上P132改编）观察下列式子：
12＋12×22＋22＝（1＋1＋1）2，
22＋22×32＋32＝（4＋2＋1）2，
32＋32×42＋42＝（9＋3＋1）2，
……
【规律探究】（1）用含n的代数式表示第n个式子：______________________________________________；
n2＋n2×（n＋
1）2＋（n＋1）2＝（n2＋n＋1）2
【规律验证】（2）请证明（1）中的式子成立．
证明：左边＝n2＋n2（n2＋2n＋1）＋n2＋2n＋1＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1，
右边＝[（n2＋（n＋1）]2＝n4＋2n2（n＋1）＋（n＋1）2＝n4＋2n3＋2n2＋n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.
∴左边＝右边．
∴（1）中的式子成立．
