(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 分式及其基本性质
课时2 分式的基本性质
了解最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分．（符号意识、运算能力）
课标要求
第五章 分式与分式方程
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知识导学
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随堂测
知识导学
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基本性质 用字母表示 约分 最简形式
分 数 一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变 ＝，＝（c≠0）， 其中a，b，c是数 把一个分数的分子与分母的最大公因数约去 最简分数：分子与分母只有公因数1的分数
分 式 分式的分子与分母都乘（或除以）_______________的整式，分式的值________ ＝，＝（C≠0），其中A，B，C是整式 把一个分式的分子和分母的________约去 最简分式：分子与分母______________的分式
同一个不等于0
不变
公因式
没有公
因式
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分式的基本性质
例1 （新BS八下P125改编）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）＝（y≠0）； （2）＝．
解：（1）因为y≠0，所以 ＝＝．
（2）因为x≠0，所以 ＝＝．
训练 1．下列对于分式的变形，一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
D
已知的分式都是有意义的，即分母的值都不等于零．
分式的约分
例2 简下列分式：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝1．
（3）原式＝－＝－1．
训练 2．简下列分式：
（1）； （2）； （3）
解：（1）原式＝－＝－．
（2）原式＝1．
（3）原式＝－＝－1．
例3 简下列分式：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝＝．
（3）原式＝＝．
训练 3．简下列分式：
（1）；（2）；（3） .
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝＝．
（3）原式＝＝＝．
1．变号法则：a－b＝－（b－a），－a－b＝－（a＋b）；＝＝－＝－．
2．分式的约分：
所有
最大公因数
最低次幂
分解因式
所有公因式
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1．根据分式的基本性质填空：
（1）＝，＝（a≠0）；
（2）＝，＝．
2．（2025佛山期中）下列选项中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中，与分式 的值相等的是（ ）
A．－ B．
C．－ D．
D
D
C
4．【推理能力】若将分式 中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．保持不变 D．无法确定
变式4.1 若将分式 中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则该分式的值的变情况为___________________．
5．【开放性】写出一个能够约分的分式，并进行约分：_______________________．
扩大为原来的2倍
＝2
（答案不唯一）
6．简下列分式：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝＝．
（3）原式＝＝＝．
7．若m＝3，则 的值为________．
8．【整体代入】当m＋2n＝2时，求分式 的值．
－
解：原式＝＝．
当m＋2n＝2时，原式＝＝1．
9．已知a>3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2－6a，C＝a3－4a2＋4a．
（1）对B进行因式分解；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母组成一个分式，并简该分式．
解：（1）B＝3a2－6a＝3a（a－2）．
（2）选择A，B，则所得分式为 ＝＝ 或 ＝＝．
[或选择A，C则所得分式为或
或选择B，C，则所得分式为或
]
随堂测
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B
C
A
A(共14张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题12 分式的简及求值
第五章 分式与分式方程
类型1 分式的混合运算
例1 计算：
（1）÷；
解：原式＝·＝·＝．
（2）－÷．
解：原式＝－·＝－＝
＝－．
训练 1．计算：
（1）－；
解：原式＝－＝
＝＝－．
（2）÷．
解：原式＝÷＝·＝．
类型2 直接代入求值
例2 （2025佛山期中）先简，再求值：·，其中x＝3．
解：原式＝·＝·＝x＋1．
当x＝3时，原式＝3＋1＝4．
训练 2．先简，再求值：÷，其中a＝＋1．
解：原式＝÷＝·＝．
当a＝＋1时，原式＝＝＝．
类型3 选择合适的值代入求值
例3 先简：÷，再从－2，－1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
解：原式＝÷
＝·＝．
∵分式要有意义，∴
∴x≠±2且x≠0且x≠－1．∴x＝1．
当x＝1时，原式＝＝2．
在代入求值时，要确保代入的值使分式有意义．
训练 3．先简，再求值：÷，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝·＝·＝a2＋2a．
解不等式组得－1
∴该不等式组的整数解为0，1，2．
∵a≠0且a－2≠0，∴a≠0且a≠2．∴a＝1．
当a＝1时，原式＝12＋2×1＝3．
类型4 整体代入求值
例4 【整体思想】（2025北京）已知a＋b－3＝0，求代数式 的值．
解：原式＝＝＝．
∵a＋b－3＝0，∴a＋b＝3．
∴原式＝＝．
训练 4．（2025深圳期中）先简，再求值：·÷，其中a2＋a＝1．
解：原式＝··（a＋1）（a－1）
＝·（a＋1）（a－1）
＝（a＋2）（a－1）
＝a2＋a－2．
∵a2＋a＝1，∴原式＝1－2＝－1．
类型5 利用分式的基本性质变形求值
例5 已知 －＝3，求分式 的值．
解：∵－＝3，即 ＝3，
∴y－x＝3xy，即x－y＝－3xy．
∴＝＝＝＝．
训练 5．（2025梅州期末）先简，再求值：已知 ＝3，求 － 的值．
解：原式＝
＝
＝－．
∵＝3，∴x＝3y．
∴原式＝－＝－＝－＝－．
类型6 引入参数法求值
例6 已知 ＝＝≠0，求代数式 的值．
解：设 ＝＝＝t（t≠0），
则x＝2t，y＝3t，z＝4t．
∴＝＝．
训练 6．已知a∶b∶c＝2∶3∶5，求 的值．
解：∵a∶b∶c＝2∶3∶5，
∴可设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0）．
∴＝＝．(共9张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
微专题13 分式方程的含参问题
第五章 分式与分式方程
1．已知关于x的分式方程 －＝1，请完成下列问题．
（1）①若该分式方程的根为x＝1，则a的值为_____；
②若该分式方程与分式方程 ＝ 的根相同，求a的值．
2
解：方程 ＝ 两边同乘2x（x－1），
得3（x－1）＝2x．解得x＝3．
经检验，x＝3是 ＝ 的根．
将x＝3代入 －＝1，得 －＝1．
解得a＝．
（2）①若该分式方程有增根，求a的值；
②若该分式方程无解，求a的值．
解：将方程 －＝1两边同乘x－2，
得ax－5＋2＝x－2，整理得（a－1）x＝1．解得x＝．
①∵该分式方程有增根，∴x－2＝0，即x＝2．
令 ＝2，解得a＝．
②∵该分式方程无解，∴分以下两种情况讨论：
情况一：该分式方程转为整式方程后，整式方程无解，即a－1＝0．∴a＝1．
情况二：该分式方程有增根，由（2）①可知，此时a＝．
综上，若该分式方程无解，则a的值为1或 ．
（3）①若该分式方程的根是非负数，求a的取值范围；
②若该分式方程的根是整数，求整数a的值．
解：①由（2），得x＝．
∵分式方程的根是非负数，∴≥0且a≠1．解得a>1．
由（2），得a＝ 时，方程无解．∴a>1且a≠．
②由（2），得x＝．
∵分式方程的根是整数，且a也是整数，
∴a－1＝±1．解得a＝2或a＝0．
已知分式方程的根的情况求参的一般步骤：
（1）已知分式方程的根：
（2）已知分式方程无解：
情况一：分式方程有增根
情况二：去分母后整式方程无解
（3）已知分式方程根的情况：(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 分式的运算
课时1 分式的乘除法
能对简单的分式进行乘、除运算．（运算能力、推理能力、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
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知识导学
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知识导学
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举例 乘法法则 除法法则
分 数 ×＝＝_____； ÷＝×＝____ 分数乘分数，用分子的积作为积的_____，分母的积作为积的______ 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数
分 式 ·＝＝____； ÷＝·＝______ 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的____，把分母相乘的积作为积的_____．用式子表示为：·＝ 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．用式子表示为：÷＝·＝
分子
分母
y
分子
分母
课堂讲练
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分式的乘除法
例1 计算：（1）·； （2）3xy2÷．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝3xy2·＝＝．
训练 1．计算：（1）·； （2）÷．
解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝·＝＝．
例2 计算：
（1）·； （2）÷．
解：（1）原式＝·＝3x－3y．
（2）原式＝·＝＝．
训练 2．计算：
（1）·；（2）÷．
解：（1）原式＝·
＝＝．
（2）原式＝·＝
＝＝．
1．若分子或分母中含有多项式，能因式分解的先因式分解，再约分．
2．分式运算的结果通常要成最简分式或整式，至于最后结果中的分母，既可以是乘积的形式，也可以是多项式．
分式的乘方
分式的乘方要把分子、分母分别________．用式子可以表示为 ＝_________．
例3 计算：
（1）＝＝_______；
（2）＝＝__________．
乘方
－
例4 计算：·．
解：原式＝·＝＝＝．
解：原式＝÷＝·＝．
训练 3．计算：÷．
运算顺序：先乘方，再乘除，同级运算按从左到右的顺序依次进行．
课堂检测
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1．列分式运算中，结果正确的是（ ）
A．÷＝ B．＝
C．÷＝x D．·＝
2．（2025广州模拟）计算（－m2）3· 的结果是（ ）
A．－2m4 B．2m4
C．－2m5 D．2m5
D
C
3．计算：（1）－·＝_________；
（2）÷＝_________；
（3）【易错】a2÷b·＝_________．
－
4．计算：
（1）·；
解：原式＝·＝．
（2）÷（4x2－y2）；
解：原式＝·＝．
（3）·．
解：原式＝·＝＝．
5．（新BS八下P138改编）由甲地到乙地的一条铁路全程为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为b h，则火车的速度是汽车速度的_______倍．
6．（新RJ八上P147改编）如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a>1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦．
（1）“丰收1号”小麦的单位面积产量是_____kg/m2，“丰收2号”小麦的单位面积产量是________kg/m2，_________小麦的单位面积产量更高（填“丰收1号”或“丰收2号”）；
丰收2号
（2）“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍？
解：÷＝·＝＝．
答：“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的 倍．
随堂测
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A
a＋1(共36张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第五章 章末复习
第五章 分式与分式方程
典例精析&变式训练
知识要点&对点训练
随堂测
分式的概念
1．概念：一般地，形如 （其中A，B表示两个整式，并且B中含有字母）的式子是分式．
2．分式
1．（2025梅州期末）下列选项中是分式的是（ ）
A． B．
C． D．＋x
2．（1）当x_________时，分式 的值为0；
（2）当y______________时，分式 有意义．
C
＝－1
取任意实数
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质可以用式子表示为 ＝，＝（m≠0）．
注：分式的基本性质是分式约分、通分的依据．
3．填空：
（1）＝；（2）＝；
（3）＝；（4）＝．
分式的运算
分式的乘除法 ·＝；÷＝·＝
分式的乘方 ＝
分式的加减法 ±＝；±＝±＝
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的 4．下列运算正确的是（ ）
A．·＝ B．÷＝
C．（－m2）3·＝2m5 D．－＝a－1
D
5．（2025江西）简：÷．
解：原式＝·
＝·
＝．
分式方程的概念及解法
1．概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
2．解分式方程的一般步骤：
6．（2025宜宾改编）解方程：＋＝0．
解：方程两边都乘x（x－2），
得x＋x－2＝0．
解这个方程，得x＝1．
经检验，x＝1是原分式方程的根．
分式方程的应用
1．一般步骤：
2．常见等量关系：路程＝速度×时间；工作总量＝工作效率×工作时间；总价＝单价×数量
7．某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，已知用880元购进甲礼盒的数量是用400元购进乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则根据题意可列方程为___________．
＝2×
1．已知分式 ．
（1）当x取什么值时，分式有意义？
（2）当x取什么值时，分式值为0？
解：（1）由分母x－3≠0，得x≠3．
所以当x≠3时，分式 有意义．
（2）由题意，得2x＋1＝0，且x－3≠0．
解得x＝－．
所以当x＝－ 时，分式 的值为0．
2．（新BS八下P145）当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；（2）；（3）．
解：（1）由分母1－x≠0，得x≠1，
所以当x≠1时，分式 有意义．
（2）由分母（1－x）2≠0，得x≠1，
所以当x≠1时，分式 有意义．
（3）当x≠0时，分式 有意义．
3．简：·＋．
解：原式＝·＋＝＋
＝＋＝＝＝．
4．简：÷．
解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝．
5．先简，再求值：÷，其中x＝－1．
解：原式＝÷＝÷
＝·＝．
当x＝－1时，原式＝＝．
6．先简，再求值：÷－，其中a，b满足b－2a＝0．
解：原式＝·－＝－＝．
∵b－2a＝0，∴b＝2a．
∴原式＝＝＝．
7．（2025威海）解方程：－1＝．
解：方程两边都乘2x－1，
得x－2－（2x－1）＝－1，
解这个方程，得x＝0．
经检验，x＝0是原方程的根．
8．解方程：－1＝．
解：方程两边都乘（x＋3）（x－3），
得x（x－3）－（x＋3）（x－3）＝18．
解这个方程，得x＝－3．
经检验，x＝－3是原分式方程的增根．
所以，原分式方程无解．
9．某商场预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，上市后果然供不应求．商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．
（1）求两次所购数量分别是多少．
（2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，最后剩下150件按8折销售，很快全部售完．商场销售这两批衬衫共盈利多少元？
解：（1）设第一批购进x件这种衬衫，则第二批购进2x件这种衬衫．
根据题意，得 －＝4．
解得x＝2 000．
经检验，x＝2 000是原方程的根，且符合题意．
∴2x＝2×2 000＝4 000．
答：第一批购进2 000件衬衫，第二批购进4 000件衬衫．
（2）设商场销售这两批衬衫共盈利y元．
根据题意，得y＋80 000＋176 000＝58×（2 000＋4 000－150）＋80%×58×150．
解得y＝90 260．
答：商场销售这两批衬衫共盈利90 260元．
10．在某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3 600 m2的区域进行绿，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲、乙两工程队每天能完成绿的面积之比是3∶2，如果两工程队各自独立完成600 m2的绿面积，那么甲工程队比乙工程队少用4天．
（1）甲、乙两个工程队每天能完成绿的面积分别是多少？
（2）若甲工程队每天绿费用为1.2万元，乙工程队每天绿费用为0.5万元，社区要使这次绿的总费用不超过40万元，且乙工程队施工时间不超过63天，则一共有多少种安排方案？请直接写出总费用最少的方案（工作天数为整数）．
解：（1）设甲工程队每天能完成绿的面积是3x m2，则乙工程队每天能完成绿的面积是2x m2．
根据题意，得 －＝4．解得x＝25．
经检验，x＝25是原方程的根，且符合题意．
∴2x＝25×2＝50，3x＝25×3＝75．
答：甲、乙两个工程队每天能完成绿的面积分别是75 m2，50 m2．
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿任务．
根据题意，得75a＋50b＝3 600．∴a＝．
根据题意，得1.2×＋0.5b≤40．
解得b≥＝58．
又∵b≤63，且b是整数，a＝ 也是整数，
∴b的值可取60或63．
答：共有2种方案，安排甲工程队施工18天，乙工程队施工63天时施工总费用最少．
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知识梳理
B
B≠0
A＝0且B≠0
1
∵1－x≠0，且（x＋2）（x－2）≠0，
∴x≠1，且x≠±2.∴x可取3.
C
D
解：方程的两边都乘（x－2）（x＋2），
得（x＋k）（x－2）－k（x＋2）＝x2－4.
整理，得x＝2－2k.
∵x为非负数，且x＋2≠0，2－x≠0，
∴2－2k≥0，且2－2k≠±2.∴k≤1且k≠0.
又∵k是非负整数，∴k＝1.(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 分式的运算
课时2 分式的加减法（1）—— 同分母分式相加减
能对简单的分式进行加、减运算．（运算能力、推理能力、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
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运算法则 结果 举例
分数 同分母的分数相加减，分母________，把分子__________ 最简分数 ＋＝______；－＝________
分式 同分母的分式相加减，分母______，把分子_________．用式子表示为：±＝ 最简分式 ＋＝______；－＝______
不变
相加减
－
不变
相加减
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同分母分式相加减
例1 计算：
（1）－＝_______； （2）＋＝________．
训练 1．计算：
（1）＋＝________； （2）－＝_______．
1
－1
例2 计算：
（1）＋； （2）－．
解：（1）原式＝＝＝2．
（2）原式＝＝＝x＋3．
训练 2．计算：
（1）－； （2）＋．
解：（1）原式＝＝＝3．
（2）原式＝＝＝．
例3 计算：
（1）－； （2）－．
解：（1）原式＝＝＝．
（2）原式＝＝＝＝－3．
训练 3．计算：
（1）－； （2）－．
解：（1）原式＝＝－．
（2）原式＝＝＝．
同分母分式相减，减式的分子若为多项式，要把分子加上括号，否则容易出现符号错误．
分母互为相反数的分式相加减
例4 计算：
（1）＋； （2）＋．
解：（1）原式＝－＝＝1．
（2）原式＝－＝＝＝2x＋1．
训练 4．计算：
（1）－； （2）－．
解：（1）原式＝＋＝＝＝2．
（2）原式＝－＝＝＝＝x－2．
分母互为相反数的分式相加减时，可以按照分式的变号法则，为同分母后再相加减．
课堂检测
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1．（新BS八下P132改编）下列运算正确的是（ ）
A．＋＝ B．＋＝1
C．1＋＝ D．－＝0
2．计算：（1）＋＝_____；
（2）－＝__________；
（3）－＝____________．
B
1
3．计算：
（1）＋；
解：原式＝＝＝a＋b．
（2）－；
解：原式＝＋＝＋＝＝．
（3）－．
解：原式＝＝＝＝－．
4．已知P＝－－．
（1）简P；
（2）若P＋x2＋kx＋7是完全平方式，求k的值．
解：（1）P＝－＋＝＝＝x＋2．
（2）由（1），得P＋x2＋kx＋7＝x＋2＋x2＋kx＋7＝x2＋（k＋1）x＋9＝x2＋（k＋1）x＋32，
则k＋1＝±6．解得k＝5或k＝－7．
5．【应用意识】面对日益严重的土地沙问题，某县决定在一定期限内固沙造林2 400 hm2．但在实际执行过程中，每个月固沙造林的面积只有原计划的 ，在完成800 hm2的造林任务后，该县增加人力投入完成了剩余1 600 hm2的造林任务，增加人力后每个月固沙造林的面积达到原计划的2倍，那么实际上完成固沙造林任务是否超过了原定期限？
解：设原计划每个月固沙造林的面积为x hm2．
根据题意，得原定期限为 月，
实际完成时间为 ＋＝＋＝（月）．
∵＝，
∴没有超过原定期限．
答：实际上完成固沙造林任务没有超过原定期限．
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A
1(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节 分式及其基本性质
课时1 分式的概念
了解分式的概念．（符号意识、运算能力、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
课堂检测
知识导学
课堂讲练
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1．列代数式：（1）某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为____hm2．
（2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他在平地滑行的平均速度为____km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他在上坡滑行的平均速度为_______ km/h．
这些代数式有什么共同特征？
课堂讲练
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分式的概念
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式．如果B中含有________，那么称 为分式，其中A称为分式的________，B称为分式的________．
字母
分子
分母
例1 下列式子中，属于分式的是______，属于整式的是_________．
①；②；③；④；⑤；⑥．
②⑥
①③④⑤
B
训练 1．代数式 x，，x2－， 中，属于分式的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
分式 有意义的条件：B≠0
对于任意一个分式，分母都不能为零．当分母的值等于______时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义．
零
例2 下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
（1）； （2）； （3）．
解：（1）由分母x＋2＝0，得x＝－2．
所以，当x≠－2时，分式 有意义．
（2）由分母a－b＝0，得a＝b．
所以，当a≠b时，分式 有意义．
（3）由分母x2－1＝0，得x＝±1．
所以，当x≠±1时，分式 有意义．
训练 2．（1）当x_______时，分式 有意义；
（2）当x______时，分式 无意义；
（3）当x的取值满足_________时，分式 有意义．
≠4
＝
x≠3且x≠4
分式 ＝0的条件：A＝0且B≠0
例3 当x满足什么条件时，下列分式的值为0？
（1）； （2）； （3）．
解：（1）由题意，得x＋5＝0，且x≠0，即x＝－5．
（2）由题意，得1－3x＝0，且3x－6≠0，即x＝．
（3）由题意，得x2－9＝0，且x－3≠0，即x＝－3．
训练 3．当x满足什么条件时，下列分式的值为0？
（1）； （2）； （3）．
解：（1）由题意，得2x＋1＝0，且2－x≠0，即x＝－．
（2）由题意，得x2－4＝0，且x＋2≠0，即x＝2．
（3）由题意，得4－|x|＝0，且x＋4≠0，即x＝4．
课堂检测
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1．（2025河源期末）下列式子是分式的是（ ）
A． B．
C． D．x＋y
2．（2025深圳期末）若分式 的值为0，则a的值是（ ）
A．－2 B．－1
C．1 D．2
B
A
3．若分式 有意义，则y的取值范围为__________；若分式 有意义，则x的取值范围为____________．
4．【开放性】已知四张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，π＋1，从中任选两张卡片，将卡片上的式子分别作为分子和分母组成一个分式，则这个分式可以是_________________．（写出一个即可）
5．（新BS八下P124改编）把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，则调制1 kg这种混合饮料需要甲种饮料______kg．
y≠±1
全体实数
（答案不唯一）
6．（新BS八下P127）当a＝－1，b＝ 时，求分式 的值．
解：当a＝－1，b＝ 时，
＝＝．
7．【推理能力】已知分式 （a，b为常数）满足下表中的信息，则a＋b＝_______．
1
x的取值 1 4
分式 无意义 值为0
8．（新BS八下P128改编）（1）完成下表：
x 0.01 1 100 －0.01 －1 －100
（2）归纳：当x>0时， 的值随着x值的增大而________；当x<0时， 的值随着x值的增大而________．
100
1
0.01
－100
－1
－0.01
减小
减小
9．【易错】已知分式 ．
（1）若分式的值是非负数，则m的取值范围为_______；
（2）若分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的值为_____．
m>
0或1
随堂测
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B
C
A
1
x≠5
－5
6．某水果店购进一箱橘子花费了a元，已知橘子与箱子的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，为了不亏本，这箱橘子的售价至少应定为每千克__________元．(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 分式的运算
课时3 分式的加减法（2）—— 异分母分式相加减
能利用分式的基本性质进行通分；能对简单的分式进行加、减运算．（运算能力、推理能力、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
课堂检测
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课堂讲练
随堂测
知识导学
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运算法则 举例
分数 异分母分数相加减，先______，为同分母的分数，再加减 ＋＝______＋______＝_____；
－＝______－______＝______
分式 异分母分式相加减，先______，为同分母的分式，再加减．用式子表示为：±＝______± _____＝______ ＋＝______＋______＝______；
－＝______－______＝______
通分
通分
课堂讲练
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分式的通分与最简公分母
例1 填空：
（1） 与 的最简公分母是_____，通分为______和_______；
（2） 与 的最简公分母是________，通分为__________和__________．
6x2
（x＋1）2
训练 1．填空：
（1） 与 的最简公分母是______________________，通分为________________和_______________；
（2） 与 的最简公分母是_____________________，通分为__________________和____________________．
（x＋2）（x－3）
2（x＋2）（x－2）
最简公分母与最大公因式
数字系数 字母、因式及其指数
最简公分母（通分） 最小公倍数 相同字母、因式的最高次幂
最大公因式（约分） 最大公因数 相同字母、因式的最低次幂
异分母分式相加减
例2 计算：（1）＋； （2）－．
解：（1）原式＝＋＝．
（2）原式＝－＝＝＝．
训练 2．计算：（1）－； （2）＋．
解：（1）原式＝－＝．
（2）原式＝＋＝＝＝．
例3 计算：
（1）－； （2）＋．
解：（1）原式＝－
＝＝．
（2）原式＝＋＝＝．
训练 3．计算：
（1）－； （2）－．
解：（1）原式＝－＝＝．
（2）原式＝－＝＝＝．
分母为多项式时，若能因式分解，则先因式分解找到最简公分母，再通分，转为同分母分式的加减运算．
课堂检测
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1．分式 与 的最简公分母是__________；分式 与 的最简公分母是____________________．
6x2y2z
（a＋1）（a－2）
2．计算：
（1）＋；
解：原式＝＋＝．
（2）－；
解：原式＝－＝
＝．
（3）－．
解：原式＝＋＝＋＝＝．
3．已知分式A＝，B＝－，其中x≠±2，则A与B一定满足（ ）
A．A＝B B．A＋B＝0
C．A·B＝1 D．A·B＝－1
A
4．（新BS八下P134）小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽骑车走的是平路，速度是2v km/h．小刚骑车需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的速度是v km/h，在下坡路上的速度是3v km/h．
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
解：（1）由题意，得＋＝．
∴小刚从家到学校需要 h．
（2）由题意，得小丽从家到学校花费的时间为 h．
－＝－＝－．
∵－<0，
∴小丽在路上花费的时间少，少用 h．
随堂测
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C
6x2(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 分式方程
课时4 分式方程的应用（2）—— 行程问题
第五章 分式与分式方程
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1．行程问题中常用的关系式：①时间＝，速度＝；
②顺水船速＝静水船速＋水流速度，逆水船速＝静水船速－水流速度．
课堂讲练
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例1 甲、乙两车沿同一公路匀速行驶，已知甲车每小时比乙车多走20 km，且甲车行驶350 km所用的时间与乙车行驶250 km所用的时间相同．求甲车的速度．
解：设甲车的速度是x km/h，则乙车的速度是（x－20）km/h．
根据题意，得 ＝．解得x＝70．
经检验，x＝70是原方程的根，且符合题意．
答：甲车的速度是70 km/h．
训练 1．（新RJ八上P167改编）某次列车平均提速80 km/h，在相同的时间内，列车提速前行驶100 km，提速后比提速前多行驶40 km．求该列车提速后的平均速度．
解：设该列车提速前的平均速度为x km/h，则该列车提速后的平均速度为（x＋80）km/h．
根据题意，得 ＝．解得x＝200．
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意．
∴x＋80＝200＋80＝280．
答：该列车提速后的平均速度为280 km/h．
例2 （2023广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度．
解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h．
由题意，得 －＝．解得x＝12．
经检验，x＝12是原方程的根，且符合题意．
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h．
训练 2．（新BS八下P146）甲、乙两地相距360 km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2 h．试确定原来的平均车速．
解：设原来的平均车速为x km/h，则开通高速公路后的平均车速为x（1＋50%）km/h．
根据题意，得 －＝2．
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根，且符合题意．
答：原来的平均车速为60 km/h．
例3 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同．求江水的流速．
解：设江水的流速为x km/h．
根据题意，得 ＝．解得x＝10．
经检验，x＝10是原方程的根，且符合题意．
答：江水的流速为10 km/h．
训练 3．一艘轮船在同一航道中先顺水航行50 km，再逆水航行30 km，这两段航行共用的时间正好等于该轮船在静水中航行80 km所用的时间，已知水流的速度是3 km/h，求该轮船顺水航行时的速度．
解：设该轮船在静水中航行的速度为x km/h，则逆水航行时的速度为（x－3） km/h，顺水航行时的速度为（x＋3） km/h．
由题意，得 ＋＝．解得x＝12．
经检验，x＝12是原方程的根，且符合题意．
∴x＋3＝12＋3＝15．
答：该轮船顺水航行时的速度为15 km/h．
课堂检测
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1．一架飞机在无风时的速度是250 km/h，由甲地飞往乙地是顺风，全程900 km，返回时风向不变，但用同样的时间只飞行了600 km．设风速是x km/h，根据题意可列方程为_______________．
＝
2．（新RJ八上P169）甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达目的地．求甲、乙的平均速度．
解：设甲的平均速度为3x km/h，乙的平均速度为4x km/h．
根据题意，得 －＝．解得x＝1.5．
经检验，x＝1.5是原方程的根，且符合题意．
∴3x＝3×1.5＝4.5，4x＝4×1.5＝6．
答：甲的平均速度为4.5 km/h，乙的平均速度为6 km/h．
3．【应用意识】小刚家到学校的距离是1 800 m．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20 min，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后又骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车的时间比跑步的时间少4.5 min，且骑自行车的平均速度是跑步平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）若小刚到家后取作业本用了3 min，请结合计算说明他能否在上课前赶回学校．
解：（1）设小刚跑步的平均速度为x m/min，则骑自行车的平均速度为1.6x m/min．
由题意，得 ＋4.5＝．解得x＝150．
经检验，x＝150是原方程的根，且符合题意．
答：小刚跑步的平均速度为150 m/min．
（2）由题意，得小刚跑步所用时间为1 800÷150＝12（min）；骑自行车所用时间为12－4.5＝7.5（min）．
∴小刚从跑步回家到赶回学校需要12＋7.5＋3＝22.5（min）．
∵22.5>20，∴小刚不能在上课前赶回学校．
随堂测
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C
2．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12 m，在绿灯亮时，小敏共用20 s通过斑马线，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.5倍，则小敏通过AB路段时的速度是( )
A．0.5 m/s
B．1 m/s
C．1.5 m/s
D．2 m/s
B
3．(新RJ八上P168)八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度．
解：设大巴的平均速度为x km/h，则中巴的平均速度是 1.2x km/h.
经检验，x＝60是所列方程的根，且符合题意．
答：大巴的平均速度为60 km/h.(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节 分式的运算
课时4 分式的混合运算
第五章 分式与分式方程
课堂检测
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随堂测
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整式与分式相加减
例1 计算：
（1）1－； （2）＋a－2．
解：（1）原式＝－＝＝．
（2）原式＝＋＝＝．
训练 1．计算：
（1）＋x； （2）－x＋1．
解：（1）原式＝＋＝＝．
（2）原式＝－（x－1）＝－
＝＝．
整式与分式相加减时，先将整式成与分式同分母的分式，然后按同分母分式的加减法则进行运算．
分式的混合运算
例2 计算：·－．
解：原式＝·－＝－＝－．
训练 2．计算：÷－．
解：原式＝·－＝－
＝＝＝x＋1．
例3 计算÷．
解：原式＝÷
＝·
＝2x＋8．
训练 3．计算：·．
解：原式＝·
＝·
＝．
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序依次进行．
分式的简求值
例4 （新BS八下P137）已知r＝100，求 ＋＋r的值．
解：原式＝＋＋r＝＋＋r＝＋r＝1＋r．
当r＝100时，原式＝1＋100＝101．
训练 4．（新BS八下P135）已知 ＝2，求 －－的值．
解：原式＝＝．
由＝2，得x＝2y，
所以，原式＝＝＝．
分式运算的实际应用
例5 （新BS八下P135）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1 120 m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m．从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
解：－＝－＝
＝（天）．
答：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了 天．
训练 5．（新BS八下P138）某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a m3，b m3．若单独开放A进水管，p h可将该蓄水池注满．如果同时开放A，B两个进水管，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
解：根据题意，得该蓄水池可容纳ap m3的水，所以同时开放A，B两个进水管需要 h可将该蓄水池注满．
p－＝－＝＝（h）．
答：同时开放A，B两个进水管能提前 h将该蓄水池注满．
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1．计算：
（1）＋；
解：原式＝＋
＝＋
＝
＝．
（2）－a－1；
解：原式＝－
＝
＝．
（3）·－÷．
解：原式＝·－·
＝－
＝－
＝．
2．一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成，甲、乙两人一起完成这项工程需要_________h．
3．先简，再求值：÷，其中－2解：原式＝÷＝·＝．
由题意，得x可取－1，0，1，2．
又∵∴x≠0且x≠±1．∴x＝2．
当x＝2时，原式＝＝．
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C(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 分式方程
课时3 分式方程的应用（1）—— 工程问题
能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．（抽象能力、运算能力、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
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1．工程问题中常用的关系式：工作时间＝．
2．列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：找出题目中的已知量和未知量，并找出它们之间的等量关系；（2）设：设未知数；（3）列：根据题中等量关系列分式方程；（4）解：解分式方程；（5）验：检验是否为增根，且是否符合题意；（6）答．
工作量
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类型1 已知工作总量
例1 为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种型号的机器，A型机器比B型机器每天多处理40 t垃圾，A型机器处理500 t垃圾所用天数与B型机器处理300 t垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
解：设B型机器每天处理x t垃圾，则A型机器每天处理（x＋40）t垃圾．
由题意，得 ＝．
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根，且符合题意．
答：B型机器每天处理60 t垃圾．
训练 1．宣纸分为生宣和熟宣．某造纸厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的3倍，生产1 000张熟宣比生产600张生宣多用2天．求该造纸厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张．
解：设该造纸厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该造纸厂的工人平均每天生产生宣3x张．
由题意，得 －＝2．解得x＝400．
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意．
∴3x＝3×400＝1 200．
答：该造纸厂的工人平均每天生产生宣1 200张，平均每天生产熟宣400张．
例2 某服装厂接到加工380套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天完成的工作量是原来的1.1倍，结果共用了18天完成任务．原来每天加工校服多少套？
解：设原来每天加工校服x套，则采用新技术后每天加工校服1.1x套．
根据题意，得 ＋＝18．
解得x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天加工校服20套．
训练 2．某城市需要铺设一条长2 000 m的污水排放管道，在铺设600 m后，为了尽量不影响交通，工程队加快了铺设速度，每天铺设管道的长度比原来增加20%，结果共用20天完成了任务．求该工程队原来每天铺设管道多少米．
解：设该工程队原来每天铺设管道x m，则加快铺设速度后每天铺设（1＋20%）x m．
由题意，得 ＋＝20．
解得x＝80．
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
答：该工程队原来每天铺设管道80 m．
类型2 设工作总量为1
例3 现有一项工程，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍；如果甲、乙两工程队合作，那么10天即可完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需多少天？
解：设甲工程队单独完成此项工程需x天．
由题意，得×10＝1．解得x＝15．
经检验，x＝15是原方程的根，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项工程需15天．
训练 3．（新RJ八上P169）王芳3 h清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2 h清点完另一半图书．刘伟单独清点这批图书需要几小时？
解：设刘伟单独清点这批图书需要x小时．
根据题意，得1.2＝．解得x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意．
答：刘伟单独清点这批图书需要4 h．
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1．（2025绥改编）用A，B两货车运输工原料，A货车和B货车每小时共运输75吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输工原料x吨，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
C
2．（2025广州改编）为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘，该机器人的广告宣传语如下：
效率更高！
一台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍．
速度更快！
采摘4 000千克水果，一台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的时间还少1天．
求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
解：设一个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克．
根据题意，得 －＝1．解得x＝200．
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意．
∴5x＝5×200＝1 000．
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1 000千克．
3．【情境·科学技术】DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热潮，某单位利用两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理这批数据所需的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理这批数据需要x小时，则可列方程为____________．
＋＝
4．（2025揭阳期末）甲、乙两支工程队修一条公路，已知甲工程队每天修路的长度比乙工程队每天修路的长度多20 m，甲工程队修路500 m与乙工程队修路300 m用的天数相同．
（1）甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）甲、乙两支工程队计划合作修建一条长2 400 m的公路，若甲工程队每天所需费用为1.2万元，乙工程队每天所需费用为0.6万元，在总费用不超过54万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
解：（1）设乙工程队每天修路x m．
根据题意，得 ＝．解得x＝30．
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意．
∴x＋20＝30＋20＝50．
答：甲工程队每天修路50 m，乙工程队每天修路30 m．
（2）设安排乙工程队施工m天．
根据题意，得0.6m＋1.2×≤54．
∴m≥30．
∵m为整数，∴m的最小值为30．
答：至少安排乙工程队施工30天．
随堂测
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1．(2025自贡改编)去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？设小李平均每小时掰玉米x筐，根据题意可列方程为__________．
3．某工程队承担了18 000 m长的地铁建造任务，工程队在建造完 7 200 m后，引进了先进设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用270天完成了该任务，求引进先进设备前该工程队每天建造地铁多少米．
解：设引进先进设备前该工程队每天建造地铁x m.
经检验，x＝60是所列方程的根，且符合题意．
答：引进先进设备前该工程队每天建造地铁60 m.(共13张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新课标·新题型—— 综合实践与探究
第五章 分式与分式方程
1．综合与实践
【项目主题】城市绿带建设工程
【工程信息】工程部门招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书．以下是两工程队的工作效率参考表：
工程队 每日完成工作量（占总量比例） 每日工程款（万元）
甲队 未知 1.5
乙队 未知 1.1
【方案设计】若工程延迟，每天需支付违约金0.3万元，现有以下三种方案：
方案A：甲队单独施工，恰好如期完成；
方案B：乙队单独施工，延期5天完成；
方案C：甲、乙两队先合作施工4天，余下工程由乙队单独施工，正好如期完成．
【方案优与决策】
（1）根据已知信息求规定工期．
（2）比较各方案的成本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【风险评估】施工期间可能遇降雨，导致效率下降．
解：（1）设规定的工期为x天，即甲队单独完成这一工程需x天，则乙队单独完成这一工程需（x＋5）天．
根据方案C，可列方程 ＋＝1．解这个方程，得x＝20．
经检验，x＝20是所列方程的根，且符合题意．
答：规定的工期为20天．
（2）会选择方案C．理由如下：
由（1）可得，甲队单独完成这一工程需20天，乙队单独完成这一工程需25天．
所以方案A的工程款为1.5×20＝30（万元）；
方案B的工程款为1.1×25＋0.3×（25－20）＝29（万元）；
方案C的工程款为1.5×4＋1.1×20＝28（万元）．
∴方案C成本最低且不延误工期．∴选择方案C．
2．综合与实践
依据以下素材，运用所学数学知识，完成探究任务（三项任务）．
设计奖品购买及兑换方案 素材1 某文具店销售某种钢笔和笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校计划花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
设计奖品购买及兑换方案 素材3
学校花费400元后，文具店赠送m（2问题解决 任务1 探求商品单价 求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探求奖品的购买方案 设计购买奖品的方案．
任务3 探索并确定兑换方式 确定符合条件的兑换方式．
解：任务1：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为2x元．
根据题意，得 －＝8．解得x＝5．
经检验，x＝5是所列方程的根，且符合题意．∴2x＝2×5＝10．
答：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元．
任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本．
根据题意，得解得
答：购买30支钢笔，20本笔记本．
任务3：设用y张兑换券兑换钢笔，则用（m－y）张兑换券兑换笔记本．
根据题意，得30＋10y＝20＋20（m－y）．∴m＝．
∵2∵m，y均为非负整数，且3y＋1是偶数，∴∴m－y＝2．
答：文具店赠送5张兑换券，其中用3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本．
3．（2025佛山期中）对于形如x＋＝n（m，n为常数）的关于x的分式方程，若m＝ab，n＝a＋b，容易验证x1＝a，x2＝b是关于x的分式方程x＋＝n的解．例如：x＋＝3可为x＋＝1＋2，所以x1＝1，x2＝2是方程x＋＝3的解；又如x＋＝－5可为x＋＝（－2）＋（－3），所以x1＝－2，x2＝－3是方程x＋＝－5的解．
根据上面材料解答下列问题：
【材料理解】（1）方程x＋＝6的两个解分别为x1＝_____，x2＝_____（x12
4
【类比引申】（2）若x1＝a，x2＝b分别是方程x＋＝2的两个解，求 ＋ 的值；
解：∵x1＝a，x2＝b分别是方程x＋＝2的两个解，
∴a＋b＝2，ab＝－1．
∴＋＝＝＝－2．
【拓展提升】（3）若关于x的方程x＋＝2k＋5的两个解分别为x1，x2（x1解：x＋＝2k＋5可为x－2＋＝2k＋3．
设y＝x－2，则原方程可为y＋＝k＋k＋3．易知k和k＋3是这个方程的解．
∵k为自然数，∴k∴x1＝k＋2，x2＝k＋5．∴＝＝．(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 分式方程
课时5 分式方程的应用（3）—— 销售问题
第五章 分式与分式方程
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1．销售问题中常用的关系式：数量＝；售价＝；利润率＝×100%．
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例1 广东醒狮是国家第一批非物质文遗产之一．祖庙文创店计划采购甲、乙两种醒狮摆件，已知甲种醒狮摆件的单价比乙种醒狮摆件的单价多10元，且用3 000元购进甲种醒狮摆件的数量和用2 500元购进乙种醒狮摆件的数量相同，求甲、乙两种醒狮摆件的单价．
解：设乙种醒狮摆件的单价为x元，则甲种醒狮摆件的单价为（x＋10）元．
根据题意，得 ＝．解得x＝50．
经检验，x＝50是原方程的根，且符合题意．
∴x＋10＝50＋10＝60．
答：甲种醒狮摆件的单价为60元，乙种醒狮摆件的单价为50元．
训练 1．某中学在开展的课后服务项目中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队．根据无人机表演队需要，学校计划购买A，B两种型号的无人机，且A型无人机的单价比B型无人机的单价贵132元，已知用23 400元购买B型无人机的数量是用15 000元购买A型无人机数量的2倍．求A型无人机和B型无人机的单价．
解：设B型无人机的单价是x元，则A型无人机的单价为（x＋132）元．
根据题意，得 ＝×2．解得x＝468．
经检验，x＝468是原方程的根，且符合题意．
∴x＋132＝468＋132＝600．
答：A型无人机的单价是600元，B型无人机的单价是468元．
例2 根据物理兴趣小组的实验需要，某中学决定购入A，B两款物理实验套装，其中A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9 900元购买A款套装的数量比用7 500元购买的B款套装多5套．求A，B两款套装的单价．
解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元．
根据题意，得 －＝5．解得x＝150．
经检验，x＝150是原方程的根，且符合题意．
∴1.2x＝1.2×150＝180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
训练 2．某商店用20 000元购进A，B两种品牌的茶叶共150 kg，已知购买A种品牌茶叶的费用与购买B种品牌茶叶的费用相同，且A种品牌茶叶的单价是B种品牌茶叶单价的2倍，求A，B两种品牌茶叶的单价．
解：设B种品牌茶叶的单价为x元/kg，则A种品牌茶叶的单价为2x 元/kg．
根据题意，得 ＋＝150．
解得x＝100．
经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意．
∴2x＝2×100＝200．
答：A种品牌茶叶的单价为200元/kg，B种品牌茶叶的单价为100 元/kg．
课堂检测
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1．（新BS八下P143改编）意大利数学家斐波那契曾提出这样一个问题：若干人平分10第纳尔（货币单位），每人得若干；若再增加6人，平分40第纳尔，则每人所得与前面相同．设第一次分钱的人数为x，则根据题意可列方程为_____________．
＝
2．为了培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知某品牌的航空模型的单价是航海模型的单价的1.5倍，用1 800元购买航空模型的数量比用1 500元购买航海模型的数量少10个，求航空模型和航海模型的单价．
解：设航海模型的单价为x元，则航空模型的单价为1.5x元．
根据题意，得 －＝10．解得x＝30．
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意．
∴1.5x＝1.5×30＝45．
答：航空模型的单价为45元，航海模型的单价为30元．
3．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某中学书法社团计划购买A，B两种型号的“文房四宝”共40套．已知某文用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比每套B型号的“文房四宝”的标价高30%．若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4 300元，其中购买B型号的“文房四宝”需花费3 000元．
（1）求每套B型号的“文房四宝”的标价．
（2）若该文用品店每套A，B型号的“文房四宝”的进价分别为100元、90元，则该店售出这40套“文房四宝”的盈利是多少？
解：（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为（1＋30%）x元．
根据题意，得 ＋＝40．
解得x＝100．
经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意．
答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元．
（2）由（1）可知，每套A型号的“文房四宝”的标价为（1＋30%）×100＝130（元），购买B型号的“文房四宝”的套数为 ＝30（套），则购买A型号的“文房四宝”套数为40－30＝10（套）．
∴该店的盈利为（130－100）×10＋（100－90）×30＝600（元）．
答：该店售出这40套“文房四宝”的盈利是600元．
4．某商店销售一批服装，每件售价120元，可获利25%，则这种服装的成本价为______元．
96
5．（2025佛山期中）某商场准备购进A，B两种产品进行销售．有关信息如下表：
进价（元） 售价（元）
A产品 a 500
B产品 a－320 120
已知用2 000元购进A产品的数量与用400元购进B产品的数量相等．
（1）求表中a的值．
（2）该商场准备购进A，B两种产品共50件，若要使这些产品售完后利润不低于3 200元，A种产品至少要购进多少件？
解：（1）根据题意，得 ＝．
解得a＝400．
经检验，a＝400是原方程的根，且符合题意．
∴表中a的值为400．
（2）由（1），知a－320＝400－320＝80．
设A种产品要购进x件．
根据题意，得（500－400）x＋（120－80）（50－x）≥3 200．
解得x≥20．
答：A种产品至少要购进20件．
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A
排球的单价
3．为响应节能减排号召，某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，用3 000万元购进A型汽车的数量比用2 400万元购进B型汽车的数量少20辆，则A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元．
经检验，x＝20是所列方程的根，且符合题意．
∴1.5x＝1.5×20＝30.
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元．(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 分式方程
课时2 分式方程的解法
能解可为一元一次方程的分式方程．（抽象能力、运算能力、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
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1．利用去分母解一元一次方程：
－＝1．
解：去分母，得____________________________．
去括号，得___________________．
移项，得___________________．
合并同类项，得________．
2（2x＋1）－3（x－1）＝6
4x＋2－3x＋3＝6
4x－3x＝6－2－3
x＝1
2．类比左边解方程的步骤，解分式方程：
－＝1．
解：方程两边都乘______，得_____________________________．
去括号，得____________________．
移项、合并同类项，得_____________．
系数为1，得x＝_____．
检验：将x＝_____代入原方程，得左边＝1，右边＝1，左边＝右边．
所以，x＝_____是原方程的根．
6x
2（2x＋1）－3（x－1）＝6x
4x＋2－3x＋3＝6x
－5x＝－5
1
1
1
解分式方程的一般步骤：
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例1 （2025连云港）解方程：＝．
解：方程两边都乘x（x＋1），得2x＝3（x＋1）．
解这个方程，得x＝－3．
经检验，x＝－3是原方程的根．
训练 1．解方程：＋1＝．
解：方程两边都乘（x＋2）（x－2），
得3（x－2）＋（x＋2）（x－2）＝x（x＋2）．
解这个方程，得x＝10．
经检验，x＝10是原方程的根．
例2 解方程：＝2－．
解：方程两边都乘y－3，
得y－2＝2（y－3）＋1．
解这个方程，得y＝3．
经检验，y＝3是原方程的增根．
所以，原分式方程无解．
训练 2．解方程：＋1＝．
解：方程两边都乘2x－1，
得x－2＋2x－1＝－1.5．
解这个方程，得x＝0.5．
经检验，x＝0.5是原方程的增根．
所以，原分式方程无解．
例3 解方程：＝－1．
解：方程两边都乘2x－6，
得x＋3＝2x－（2x－6）．
解这个方程，得x＝3．
经检验，x＝3是原方程的增根．
所以，原分式方程无解
训练 3．解方程：＋＝1．
解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），
得2＋x（x＋1）＝（x＋1）（x－1）．
解这个方程，得x＝－3．
经检验，x＝－3是原方程的根．
去分母时，若分母是多项式，可以先将分母因式分解后再确定最简公分母．
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1．把分式方程 ＝ 成一元一次方程时，方程两边需都乘（ ）
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．x2＋x
C
2．已知x＝1是关于x的分式方程 －＝3的根，那么实数m的值为（ ）
A．－2 B．2
C．－4 D．4
B
3．解方程：
（1）＝；
解：方程两边都乘（x－2）2，
得4（x－2）＝－4x．
解这个方程，得x＝1．
经检验，x＝1是原方程的根．
（2）＋＝2；
解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），
得3（x＋1）＋2x（x－1）＝2（x＋1）（x－1）．
解这个方程，得x＝－5．
经检验，x＝－5是原方程的根．
（3）－＝1．
解：方程两边都乘x（x－3），
得x（x－1）－6＝x（x－3）．
解这个方程，得x＝3．
经检验，x＝3是原方程的增根．
所以，原分式方程无解．
4．若关于x的分式方程 ＝5与 ＝3的解相同，求m的值．
解：解方程 ＝3，得x＝4．
经检验，x＝4是方程 ＝3的解．
∵关于x的分式方程 ＝5与方程 ＝3的解相同，
∴将x＝4代入 ＝5，得 ＝5．
解得m＝－．∴m的值为－．
5．【数学理解】已知关于x的分式方程 －＝3．
（1）当a＝1时，该分式方程的根为________；
（2）如果该分式方程有增根，求a的值；
（3）如果该分式方程的根为正数，求a的取值范围．
x＝3
解：（2）方程两边都乘x－1，得2x－a＋1＝3（x－1）．
整理，得x＝4－a．
∵该分式方程有增根，
∴最简公分母x－1＝0，即增根为x＝1．
将x＝1代入x＝4－a，得a＝3．∴a的值为3．
（3）由（2），得x＝4－a．
∵该分式方程的根为正数，∴x>0且x－1≠0．
∴4－a>0且4－a≠1．解得a<4且a≠3．
∴a的取值范围为a<4且a≠3．
随堂测
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A
1
解：（1）方程的两边都乘（x－1）（x＋2），
得5（x＋2）＝2（x－1）.
解这个方程，得x＝－4.
经检验，x＝－4是原分式方程的根．
（2）方程的两边都乘x－2，得1＋x＝－2（x－2）.
解这个方程，得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的根．
解：（3）方程的两边都乘3（x－2），得9＝2x＋3（x－2）.
解这个方程，得x＝3.
经检验，x＝3是原分式方程的根．
（4）方程的两边都乘（x＋3）（x－3），
得（x＋1）（x－3）－12＝（x＋3）（x－3）.
解这个方程，得x＝－3.
经检验，x＝－3是原分式方程的增根．
所以，原分式方程无解．(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节 分式方程
课时1 分式方程
能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程．（抽象能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第五章 分式与分式方程
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分式方程的概念
分母中含有__________的方程叫作分式方程．
例1 下列方程：①2x＝1；②＝；③＋＝2；④－3＝；⑤＝．其中是整式方程的有_________，是分式方程的有__________．
（填序号）
未知数
①⑤
②③④
训练 1．判断下列各式是否是分式方程，若是，在括号内打“√”；若不是，打“×”．
（1）＝5；（ ） （2）＝x；（ ）
（3）＝；（ ） （4）＝．（ ）
×
√
√
√
列分式方程
例2 （新BS八下P139改编）京张高速铁路正线全长174 km，①高速列车的平均行驶速度是快速列车的3倍，②高速列车从北京市到张家口市的行驶时间比快速列车少2 h．
（1）写出题干中画波浪线的内容对应的两组等量关系：①___________________________________________；②__________________________________________________．
高速列
车的平均速度＝3×快速列车的平均速度
乘高速列车所用的时间
＋2 h＝乘快速列车所用的时间
（2）设快速列车的平均行驶速度为x km/h，填写下表，并写出x满足的方程．
时间/h 平均速度/(km/h） 路程/km
高速列车 174
快速列车 x 174
关系式 方程
3x
乘高速列车用时＋2＝乘快速列车用时
＋2＝
时间/h 平均速度/（km/h） 路程/km
高速列车 y 174
快速列车 174
关系式 方程 （3）设小明乘高速列车从北京到张家口需y h，填写下表，并写出y满足的方程．
y＋2
高速列车的平均速度＝3×快速列车的平均速度
＝3×
训练 2．（新BS八下P139改编）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召学生自愿捐款．已知七年级同学的捐款总额为4 800元，八年级同学的捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，且两个年级的人均捐款额恰好相等．设七年级捐款人数为x，填写下表，并写出x满足的方程．
捐款人数 捐款总额/元 人均捐款/元
七年级 x
八年级
关系式 方程 4 800
x＋20
5 000
七年级的人均捐款额＝八年级的人均捐款额
＝
3．某文旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，已知面包车的租金为360元，准备出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了15元车费．设实际参加游览的同学共x人，求x满足的方程．
解：由题意，得 －＝15．
题中一般会包含两个等量关系，作答时可用其中一个等量关系设未知数，用另一个等量关系列方程．
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1．下列方程中，是分式方程的为（ ）
A．－3＝ B．－
C．＝3 D．＝
C
2．（2025广州二模）为弘扬广府饮食文，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做15个虾饺，甲组制作180个虾饺所用的时间与乙组制作150个虾饺所用的时间相同．若设乙组每小时做x个虾饺，可列出关于x的方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
A
3．数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ）
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝ D．－＝
D
4．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．
（1）设该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为x h，请写出x满足的方程；
解： －＝45．
（2）设该客车在高速公路上行驶的平均速度为y km/h，请写出y满足的方程．
解：2×＝．
5．【跨学科】（2025河源期末）在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即ρ＝．已知A，B两个物体的密度之比为2∶1，当物体A的质量是100 g，物体B的质量是200 g时，物体B的体积比物体A的体积大27 cm3．如果设物体A的体积是x cm3，那么根据题意可列方程为（ ）
A．＝2× B．2×＝
C．＝2× D．2×＝
A
6．某图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知用3 000元购买《什么是数学》的数量比购买《古今数学思想》多40套，且每套《古今数学思想》的价格是每套《什么是数学》价格的1.5倍．求每套《什么是数学》的价格．
根据题意，小刚、小明分别列出如下方程：
小刚：－＝40；
小明：1.5×＝．
小刚所列的方程中，未知数x表示的意义是：____________________________；
小明所列的方程中，未知数x表示的意义是：______________________________________．
每套《什么是数学》
用3 000元购买《什么
的价格
是数学》的数量
7．（新BS八下P143改编）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%．设这种服装的成本价为x元，请写出x满足的方程．其中哪些是分式方程？
解：x满足的方程有：x＝，150－25%x＝x，150－x＝25%x，（1＋25%）x＝150，＝25%，＝1＋25%．
其中是分式方程的有 ＝25%，＝1＋25%．
随堂测
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D
D
3．学校为组织八年级720名师生去观看“党的历史”主题演出，准备租用甲、乙两种大巴车，其中甲种大巴车比乙种大巴车每辆少载15人．学校只租甲种大巴车所需的辆数是只租乙种大巴车的2倍，且都刚好可以把师生全部载完，没有多余座位．设甲种大巴车每辆可载x人，那么x应满足怎样的分式方程？(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
新中考·新导向—— 教材回归（人教、北师）
第五章 分式与分式方程
选题角度1 分式的变形求值
1．（新BS八下P145节选）已知x＋＝2，求x2＋ 的值．
解：∵x＋＝2，
∴＝x2＋＋2＝4．
∴x2＋＝2．
变式1.1 （2021广东）若x＋＝，且0变式1.2 已知a2＋8a＝1，求a2＋ 的值．
解：∵a2＋8a＝1，
∴a≠0，且a＋8＝．∴a－＝－8．
∴a2＋＝＋2＝（－8）2＋2＝64＋2＝66．
－
变式1.3 已知a－＝1，且 ＝1，求x的值．
解：∵＝1，a－＝1，
∴＝＝2a2－3x＋＝1．
∵a－＝1，∴＝a2＋－2＝1．
∴a2＋＝3．
∴2a2－3x＋＝2－3x＝6－3x＝1．
解得x＝．
选题角度2 分式运算中的规律探究
2．（新BS八下P137）按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题：
输入x 3 2 －2 …
输出答案 …
1
1
1
1
（1）由上述计算你发现了什么规律？
（2）请说明（1）中规律的正确性．
解：（1）x取任意非零数，输出的答案都为1．
（2）－＝＝＝1．
x －3 －2 －1 － －
x2＋
x 1 2 3
x2＋
3．（新RJ八上P170改编）填写下表，分别求出当x＝－3，－2，－1，－，－，，，1，2，3时， x2＋ 的值．
9
4
2
4
9
9
4
2
4
9
【猜想】（1）根据填写完成的表，请你提出一个关于x2＋ 的值的猜想；
【证明】（2）请证明你的猜想；
【应用】（3）已知分式x2＋2x＋，则x取__________时，该分式有最小值，最小值是_____．
（1）解：x2＋≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．
（2）证明：∵x2＋－2＝＝≥0，
∴x2＋≥2，当且仅当x2－1＝0，即x＝±1时，等号成立．
0或－2
1
选题角度3 分式的大小比较（数形结合、应用意识）
4．（新RJ八上P151）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种m颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（撒播密度＝）？
解：甲花坛的撒播密度为 ，乙花坛的撒播密度为 ＝．
∵a2－b2>（a2－b2），
∴<，即乙花坛的撒播密度大．
5．（新BS八下P138改编）小明某天遇到了这样一个数学问题：如何比较分数 和 之间的大小关系？根据已有的经验，小明选择将两个分数通分并作差，从而解决了这个问题．
王老师看见了小明的计算过程，意味深长地说：“往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．”
小明快速想到了这个生活问题的数学本质：把a g糖放入水中，得到b g糖水，此时糖水的含糖量可以记为 （b>a>0），再往杯中加入m（m>0） g糖，此时糖水的含糖量比原来高了．并从中得到了比较上述两个分数大小的简便．
【数学思考】（1）王老师说的“糖水问题”用数学关系式可以表示为______（填序号）．
① >；② ＝；③ <．
【证明探究】（2）请你证明（1）中你选择的数学关系式的正确性．
①
证明：－＝＝＝．
∵m>0，b>a>0，
∴（b－a）m>0，b（b＋m）>0．
∴>0，即 －>0．
∴>．
【迁移应用】（3）比较大小：______，______ ．（填“>”“<”或“＝”）
（4）在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，求证：＋＋<2．
<
<
证明：在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，且a>0，b>0，c>0，
由（2），得 <，<，<．
∴＋＋<＋＋＝＝2．
∴＋＋<2．
