21.1 四边形及多边形课件(共39张PPT)2025-2026学年人教版数学八年级下册

(共39张PPT)
21.1 四边形及多边形
2.探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题．
1.了解多边形的概念及多边形的边、顶点、内角、外角与对角线
学习目标
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
情境导入
合作探究
四边形的定义
在平面内，由 的四条线段 组成的图形叫作四边形.
不在同一直线上
首尾顺次相接
如图：线段 ， ， ， .
是四边形的边；点 ， ， ，
是四边形的顶点.
合作探究
四边形的组成元素
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
AB
BC
CD
A
B
C
DA
D
记作“四边形ABCD”
如图： ， ， ， .
是四边形ABCD的内角.
合作探究
四边形的组成元素
四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
∠A
∠B
∠C
∠D
请在右图中分别画出四边形ABCD
顶点A，C处的外角.
如图：线段 ， 是四边形ABCD的两条对角线.
合作探究
四边形的相关元素
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
AC
BD
合作探究
四边形的分类
画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
合作探究
四边形的分类
画出四边形ABCD的某一条边所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凹四边形.
今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
合作探究
思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
对角线
转化
四边形
三角形
合作探究
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理 ∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
典例分析
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
典例分析
解：∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°，
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+
∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°，
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
这样，我们就证明了：
四边形的外角和等于360°.
合作探究
探究 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
合作探究
探究 如左图，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如右图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
形状会改变
形状不会改变
四边形具有不稳定性.
合作探究
应用 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
克服四边形的不稳定性
你还能举出其他例子吗？
利用四边形的不稳定性
新知探究
多边形及其有关概念
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n ( n ≥ 3 ) 条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形。
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形定义的要素：
①在同一平面内；
②若干条线段；
③首尾顺次连接；
④封闭图形.
22051
多边形有几条边就叫作几边形.
……
三角形
四边形
五边形
六边形
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n边形
新知探究
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义。
22051
边
顶点
内角
外角
对角线
组成多边形的各条线段
每相邻两条线段的公共端点
多边形相邻两边组成的角
多边形角的一边与另一边的延长线组成的角
连接多边形不相邻的两个顶点的线段
边
顶点
内角
外角
对角线
多边形的相关元素
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形。
今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。
22051
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
各个角都相等、各条边都相等
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
它们的内角和是多少度，你会求吗？
以下这两个图形有什么特点？
思考：
观察图，可以发现：
　　从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为________个三角形，五边形的内角和等于________ × 180°；
2
3
3
多边形的内角和问题
探究
从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于________ × 180°。
3
4
4
探究
多边形的内角和问题
22051
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=180°
2
3
3×180°=180°
3
4
4×180°=180°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
n边形的内角和公式：
(n-2)×180°
一般地，从多边形的一条边上的点出发，将n边形分为 ( n - 1 ) 个三角形，
n边形的内角和等于
( n - 1 ) × 180° - 180° = ( n - 2 ) × 180°。
A1
A2
A3
A4
A5
An
An-1
思考：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
课堂练习
1.求出下列图形中x的值：
解：（1）∵四边形的内角和是360°，
∴x+x+140+90=360，
解得：x=65.
1.求出下列图形中x的值：
解：（2）∵四边形的内角和是360°，
∴3x+3x+4x+2x=360，
解得：x=30.
1.求出下列图形中x的值：
解：（3）∵四边形的内角和是360°，
∴180 x+75+120+80=360，
解得：x=95.
2.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系
解：它的另一组对角也互补.理由如下：
已知：∠A，∠B，∠C，∠D是四边形ABCD的四个内角，
∠A+∠C=180°.
求证：∠B+∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∠A+∠C=180°，
∴∠B+∠D=360° (∠A+∠C)
=360° 180°=180°.
3.下列图形中哪些具有稳定性
具有
稳定性
不具有
稳定性
不具有
稳定性
具有
稳定性
不具有
稳定性
巩固练习P52练习1
1.求出下列图形中 的值.
巩固练习P52练习2
2.（1）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？
22051
在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.
四边形的外角和等于 360°.
A
B
C
D
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的外角和等于 ？
探究：与四边形的外角和类似，你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的外角和？
22051
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
n 边形的外角和的总等于
邻补角
n × 180°
(n－2)×180°
n×180°－(n－2)×180°= 360°
多边形的外角和等于360°
也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°。
A
22051
例题讲解
例2 一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为 n.
因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，
所以
(n－2)× 180° = 2 × 360°.
解得 n = 6.
因此这个多边形是六边形.
巩固练习P52练习2
2.（3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？
课堂小结
①多边形及其正多边形的有关概念
②多边形的内角和等于 ( n - 2 ) × 180°
③多边形的外角和等于360°
这节课有什么收获呢？
布置作业
课本习题21.1 P52第2题，P53 第3、4题.
同步学习P46--48页.