陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高一数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 在平行四边形中，，，，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知点是的重心，若，则（ ）
A. -1 B. C. 0 D. 1
4. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ）
A B. C. D.
5. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量．若，则（ ）
A. B. C. D. 2
7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则向量与夹角为钝角
B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为
C 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若为的外心，，则为的垂心
10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的实数与的和为定值4
D.
11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________．
13. 已知的面积为，，，则__________.
14. 若___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）
15. 已知平面内三点，，.
（1）若三点共线，求的值.
（2）当时，线段上点满足，求的值.
16. 设是两个不共线的向量，．
（1）若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求；
（2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？
17. 已知平面内一三角形，点为其外心.
（1）点为边的中点，，，求的值；
（2）若过点的直线分别交边、于点，证明：
.
18. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
（1）若复数是实数，求实数的值；
（2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围；
（3）已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值.
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.
（1）若，，求的值；
（2）当时，求的最小值.陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高一数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）
1. B
2. B
3. C
4. C
5. D
6. A
7. A
8. C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. BCD
10. BCD
11. ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
13.
14.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）
15. （1）因为，，，则，，
由三点共线得，则，解得.
(2)当时，点，
设，则，，
因为，则，解得，即，
则，且，所以.
16. （1）由已知可得，
∵不共线，∴，
解得．∴当时，向量终点在同一直线上.
（2），
故当时，最小.
17. （1），
由数量积几何意义可得：，
同理得
则；
（2）证明：设三角形外接圆半径为R，
，.
因，所以.
同理，所以，
又，，.
则.
故 ①
∵点O为三角形ABC的外心，，
，，
同理，.
则.
代入上式①中，结合，可得：
，
所以，原命题得证
18. （1）
由可得，
所以，
若复数是实数，可得，
解得；
（2）
，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，
解得，
即实数的取值范围为.
（3）若方程的两根为实数根，则，
解得，
若方程的两根为虚数根，则设，，可得，
则，，，所以，所以，
由韦达定理可得，所以，
此时，满足题意，
综上，或.
19. （1）由正弦定理，将化为，
整理得：
因为，所以，即.
由于，，得，则.
设，在中，由正弦定理，
代入、，得：.
因为是角平分线，，由二倍角公式：.
（2）因为是角平分线，，.
由面积关系，得：
化简可得：即.
在中，由余弦定理，代入和，
得：
将代入上式：
整理得：
由基本不等式，得，
代入上式：
当且仅当时取等号，故的最小值为.
