第八章 实数单元过关测试题（含解析） 2026年人教版七年级数学下册

第八章 实数单元过关测试题
（时间：100分钟 总分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．古代数学文化：在《九章算术》一书中，给开方开不尽的数起了一个名字，叫作“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A． B． C． D．
2．9的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应
C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0
5．若实数m，n满足，则的立方根为（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．
6．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律：
… …
… 25 250 …
若，则（ ）
A．153 B．485 C． D．
7．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（ ）
A．7 B．3 C．49 D．49或
10．在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，，则满足方程的x的值是（ ）．
A． B．1或49 C．1或16 D．16或49
二、填空题（共15分）
11．的平方根是________．
12．若整数满足，则的值是______．
13．若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
14．若，为有理数且，则的平方根为_____．
15．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 _____(用含 的代数式表示)．
三、解答题（共75分）
16．（本题9分）计算：
(1)． (2)
17．（本题9分）解方程
(1) (2)
18．（本题9分）看数轴，按要求回答下列问题：
(1)在数轴上，点A所表示的数是 ，点 所表示的数是 ．
(2)在数轴上画出下列各数所对应的点：点 所表示的数是 ；点 所表示的数是 ．
(3)将第（），（）小题的这四个数用“”连接起来（用数表示）．
19．（本题9分）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．
(1)求a，x，的值；
(2)求的算术平方根．
20．（本题9分）根据下图所示的对话内容回答下列问题：
(1)求魔方的棱长．
(2)求长方体纸盒的长．
21．（本题9分）如图是一个数值转换器，原理如图所示．
输入x取算术平方根结果是无理数输出y
(1)当输入x值为16时，求输出的y值．
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)输入x是一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出y，请写出两个符合要求的x值．
22．（本题10分）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答：
(1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由；
(2)点表示的实数是______；
(3)求三角形的面积．
23．（本题11分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
根据以上提示回答下列问题：
(1)如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在__________．
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
(2)如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的立方根；
(3)若，其中x是整数，且，求的平方根．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C A D A D C B
1．B
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质化简求解即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B ．
2．B
【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 9的平方根是．
故选：B
3．C
【分析】本题考查平方根和立方根的计算，根据算术平方根和立方根的定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选C．
4．C
【分析】本题主要考查实数的概念、算术平方根、平方根及立方根，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据实数的概念、算术平方根、平方根及立方根进行排除选项．
【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，说法正确，故不符合题意；
B、实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故不符合题意；
C、，4的算术平方根是2，原说法错误，故符合题意；
D、平方根和立方根相等的数是0，原说法正确，故不符合题意；
故选C．
5．A
【分析】利用平方及绝对值的非负性，可求出，，代入即可进行求解．
【详解】解：由题意可知，
∵，，且，
∴，，
即，，
解得：，，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位，即可得出结果．
【详解】解：，
．
7．A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解．
【详解】解：，
，
即，
为正整数，
，
是正整数，
，
，
，
与最接近的整数是1，
即与实数最接近的整数是1，
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数．
【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ．
圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ，
故选D．
9．C
【分析】利用正数的两个平方根互为相反数这一性质，先求出的值，再计算这个正数．本题主要考查平方根的性质，熟练掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是解题的关键．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴与互为相反数，
互为相反数的两数和为，
，
，
，
解得，
∴，，
这个正数就是．
故选：C ．
10．B
【分析】此题主要考查了新定义运算，实数的运算．分当时，当时，两种情况，分别得出等式，进而得出答案．
【详解】解：，
当时，
，
故，
解得：，
当时，
，
，
故，
解得：，
综上所述：或．
故选：B．
11．
【详解】，
3的平方根是．
12．3
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．
利用夹逼法可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
即，
∵整数满足，
∴，
故答案为：3．
13．4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值．
【详解】解：∵
∴
∵为正整数
∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵为整数
∴为4或7或8
故答案为：4或7或8．
14．
【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，规律探索，掌握二次根式的性质和化简方法，发现代数式所呈现的规律是正确解答的关键．先计算出四个代数式的值，发现规律后进行求解即可．
【详解】解：①，
②，
③，
④，
．
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，立方根，求一个数的绝对值等法则进行计算即可；
（2）利用有理数的乘方，算术平方根，立方根等法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)或
(2)或
【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项再利用平方根解方程，即可作答．
（2）先方程同时除以27，再利用平方根解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得或．
18．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点A在0与-1之间，距离原点个单位处，即可得出点A表示的数，点B在3与4之间，距离3这个点个单位处，即可得出点B表示的数；
（2）根据点C、D表示的数在数轴上表示出点C、D即可；
（3）根据数轴上点的特点比较大小即可．
【详解】（1）解：点A表示的数为，点 所表示的数是．
故答案为：；．
（2）解：在数轴上表示出点C、D，如图所示：
（3）解：根据数轴上点的特点，将这四个数用“”连接起来为：
．
【点睛】本题主要考查了数轴与有理数，有理数大小的比较，熟练掌握数轴上有理数的特点，是解题的关键．
19．(1)
(2)6
【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得：，
解得：，
，，
，
即a，x的值分别为，25，
负数y的立方根与它本身相同，
．
（2）解：当，时，，
的算术平方根为．
20．(1)魔方的棱长为
(2)
【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
（1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答；
（2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答．
【详解】（1）设魔方的棱长为．
由题意，得，
解得，
所以魔方的棱长为．
（2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，
由题意，得，
解得，
所以长方体纸盒的长为．
21．(1)
(2)存在．或1或负数
(3)见解析
【分析】本题为程序图计算问题，考查了算术平方根，无理数等知识．
（1）根据数值转换器进行计算即可求解；
（2）根据0，1的算术平方根是本身，负数没有平方根即可得到或1或负数时，始终输不出y值；
（3）根据算术平方根的定义，即可确定这个两位数（答案为不唯一）．
【详解】（1）解：，为有理数，
，为有理数，
为无理数，
∴；
（2）解：当或或负数时，始终输不出y值．
∵0，1的算术平方根是本身，一定是有理数，
当或1时，始终输不出值，
∵负数没有算术平方根，
∴若输入负数，同样始终输不出值．
综上所述，或1或负数；
（3）解：答案不唯一．
如或或或．
22．(1)的长度为，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等．
（1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解；
（2）根据题意可得，即可得出点表示的数；
（3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：的长度为．
理由：根据题意，得，
．
（2）解：∵，
∴，
故点表示的实数是．
故答案为：．
（3）解：，三角形中边上的高为，
．
23．(1)B
(2)
(3)
【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，平方根和立方根，实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据无理数的估算，得到，再结合不等式的性质，得到，即可求解；
（2）先估算出，，进而得到，，进而求出，即可得到立方根；
（3）先估算出，进而得出，，再求出，即可得到平方根．
【详解】（1）解：，
，
，
，
表示数的点P应落在线段上，
故选：B；
（2）解：，，
，，
的整数部分为，的小数部分为，
，
的立方根是；
（3）解：，
，
，且x是整数，且，
，，
，
的平方根为．