第四单元长方体（二）（情境化试题专练）——2025-2026学年北师大版数学五年级下册

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第四单元长方体（二）（情境化试题专练）——2025-2026学年北师大版数学五年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共14分）
1．在一个长15cm、宽10cm、高8cm的长方体容器中注满水，然后将水全部倒入一个棱长为20cm的空的正方体容器中，这时水面高（ ）cm。
A．3 B．0.3 C．1.5 D．0.15
2．魔方是一种受学生欢迎的智力游戏玩具，它不仅可以带来乐趣，还可以锻炼大脑，三阶魔方的形状和大小如下图所示，它的体积大约是125（ ）。
A．cm2 B．cm3 C．dm2 D．dm3
3．学校开展“艺术节”橡皮泥手工制作活动，田田用一块长方体橡皮泥捏出了一个哈尔滨亚冬会的吉祥物“滨滨”，长方体橡皮泥和捏出的“滨滨”相比，（ ）。
A．体积不相等，表面积相等 B．体积相等，表面积不相等
C．体积和表面积都相等 D．无法比较
4．张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21cm、宽18cm、高12cm的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是（ ）cm3。
A．64 B．27 C．54 D．96
5．一个正方体容器，从里面量棱长为5dm，先注入60L的水，又投入6dm3的石块（完全浸没），这时水面距离容器口（ ）dm。
A．2.4 B．2.36 C．2.64 D．0.24
6．一个长8分米、宽8分米、高10分米的长方体容器中，水面高5分米。把一个正方体铁块浸没在这个容器中，水面上升了2分米。这个正方体铁块的体积是（ ）立方分米。
A．640 B．320 C．128 D．160
7．一个长方体水箱，从里面量长是8厘米，宽是9厘米，高是8厘米，水深4厘米。在水箱里放入一个西红柿，西红柿完全浸没在水中时水深6厘米。这个西红柿的体积是（ ）。
A．288立方厘米 B．144立方厘米 C．432立方厘米 D．576立方厘米
二、填空题（共42分）
8．下面长方体中，涂色部分的面积之和是200平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。
9．如图是一个长方体水箱，如果在水箱已经有水的情况下，再放入一个棱长为10cm的正方体实心铁块，且该铁块完全被水淹没，那么水箱中原来水的高度至少是( )cm。
10．用棱长为2cm的小正方体在墙角处拼成下面的图形，露在外面的面积是( )cm2，这个图形的体积是( )cm3。
11．一个长方体，如果长减少2cm，就变成了一个正方体（如图），这时体积比原来减少了40cm3。这个正方体的表面积是( )cm2。
12．图中，每个小正方体的棱长都是10厘米，则大长方体的容积是( )立方分米；如果要把大长方体填满，需要再添加( )个这样的小正方体。
13．一个长方体木块，长6厘米、宽4厘米、高5厘米，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。如果将它切成两个长方体，表面积至少增加( )平方厘米。
14．2个西红柿浸没在盛了200毫升水的量杯后（水未溢出），水位上升至556毫升，平均每个西红柿的体积是( )立方厘米。
15．小明用一根铁丝做了一个长方体框架，一个顶点引出的三条棱分别是10cm、8cm、6cm，用这根铁丝做成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，体积是( )cm3。
16．一个长方体容器长10cm、宽8cm、高12cm。将这个容器装满水，然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，这时水面高( )cm。
17．一个长方体长6厘米、宽4厘米、高3厘米。它的右面的面积是( )平方厘米，前面的面积是( )平方厘米，它的体积是( )立方厘米。
18．一个长方体木料的棱长总和是52分米，它的宽是4分米，长是6分米，则它的高是( )分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
19．如图，王阿姨将白萝卜削皮切成了一个长18厘米的长方体，平均分成3段后，表面积增加了36平方厘米，原来这根长方体白萝卜的体积是( )立方厘米。
三、判断题（共6分）
20．体积相等的两个容器，它们的容积不一定相等。( )
21．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的表面积和体积都扩大到原来的4倍。( )
22．如图是由若干个棱长为1厘米的小正方体组成的，再添上12个这样的小正方体，就可以组成一个棱长为3厘米的大正方体。( )
23．多祝益和隆酱油的标签上印有“净含量500毫升”的字样，“500毫升”指的是酱油的体积。( )
24．棱长为1厘米的正方体的体积是1平方厘米。( )
25．把长方体形状的橡皮泥捏成一个正方体，它的形状变了，但体积不变。( )
四、计算题（共5分）
26．求西红柿的体积。
五、解答题（共33分）
27．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖紧后竖放，这时里面的水深是多少厘米？
28．一个长方体，如果宽和高不变，长增加3厘米，那么体积增加6立方厘米；如果长和高不变，宽增加4厘米，那么体积增加32立方厘米；如果长和宽不变，高增加5厘米，那么体积增加20立方厘米。这个长方体原来的表面积是多少平方厘米？
29．苹苹买了一个永不翻船的轮船摆件作为生日礼物送给壮壮，这份礼物无论怎样翻转晃动，轮船都漂在蓝色水面上，象征他们的友谊将一起乘风破浪，勇往直前（如图）。如果以长14.5cm，宽5cm的面为底面，轮船的底面距离水箱底面2.6cm；如果以长5.2cm，宽5cm的面为底面，此时轮船底面距离水箱底面多少厘米？
30．如下图，把这个长方体左面沿长的方向截去5厘米之后，表面积减少40平方厘米，并且剩下部分是一个正方体。求原来长方体的体积是多少立方厘米？
31．蛋黄酥是现下糕点界的网红，每一颗蛋黄酥金黄诱人的酥皮下都包着一颗细腻绵沙的咸蛋黄，其口口酥心，层层松软的特点让人难忘。某食品商家为参加“五一”大促，推出一款包装为长方体形状食品盒的蛋黄酥，长5厘米，宽4厘米，高0.8分米。
（1）如果沿食品盒的四周贴一圈商标纸（上、下面不贴），商标纸的面积至少是多少平方厘米？
（2）这个食品盒的体积是多少立方厘米？（食品盒厚度忽略不计）
32．某室内游泳池长50米，宽25米，最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米（如图所示）。两位同学就“游泳池的容积是多少立方米？”展开了讨论，请根据他们的思考过程解决问题。
(1)安安：它不是长方体，但可以通过割去图（1）中箭头所指的部分，变成一个较小的长方体，或补上图（2）中箭头所指的部分，变成一个较大的长方体，所以它的容积大小范围就在较小的长方体和较大的长方体之间，也就是( )立方米和( )立方米之间。
(2)溪溪：根据多边形面积计算的经验，我们也可以用“转化”的方法推算某个立体图形的容积（如图）。请根据溪溪的方法计算出泳池的容积。
参考答案
1．A
【分析】长方体体积（水的体积）＝长×宽×高；正方体中水面高＝水的体积÷正方体底面积。
【详解】
这时水面高3cm。
2．B
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。
【详解】5×5×5
＝25×5
＝125（cm3）
它的体积大约是125cm3。
3．B
【分析】体积是指物体所占空间的大小；表面积是指物体所有面的面积总和。
【详解】同一块橡皮泥只是改变形状捏成新的造型，橡皮泥的总量没有变化，因此它所占空间的大小（也就是体积）是不变的，即体积相等；形状改变后，物体表面所有面的面积和发生了改变，因此表面积不相等。
4．B
【分析】要使锯成的正方体尽可能大且木料无剩余，正方体的棱长需是长方体木料长、宽、高的公因数，即21、18、12的公因数，最大棱长即为这三个数的最大公因数。求最大公因数可通过列举各数的因数，找出共有的最大因数。
21的因数有：1、3、7、21；18的因数有：1、2、3、6、9、18；12的因数有：1、2、3、4、6、12；因此它们的最大公因数：3，所以正方体的棱长为3厘米，根据正方体的体积公式求出正方体的体积，即立方厘米，据此解答。
【详解】由分析可知，张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21厘米、宽18厘米、高12厘米的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是27立方厘米。
故答案为：B
5．B
【分析】因为1L＝1dm3，所以60L＝60dm3。水的体积是60dm3，石块的体积是6dm3，则总体积为60＋6＝66dm3。此时水形成的是长方体，长方体的体积公式为：体积＝底面积×高，则高＝体积÷底面积，正方体容器的底面积为5×5＝25dm2。用66除以25计算后，再用5减去66除以25的结果。
【详解】1L＝1dm3
60L＝60dm3
60＋6＝66（dm3）
5×5＝25（dm2）
66÷25＝2.64（dm）
5－2.64＝2.36（dm）
所以水面距离容器口2.36dm。
故答案为：B
6．C
【分析】当正方体铁块浸没在容器中时，水面上升部分的水的体积就等于正方体铁块的体积。长方体体积公式为：V＝a×b×h（a是长，b是宽，h是高）。已知长方体容器长为8分米，宽为8分米，水面上升的高度为2分米，把数据代入公式计算即可。
【详解】8×8×2＝128（立方分米）
这个正方体铁块的体积是128立方分米。
故答案为：C
7．B
【分析】在长方体水箱中，西红柿的体积等于它放入水箱后水上升的体积，而水上升的体积可根据来计算，这里的高就是水上升的高度。
【详解】6－4＝2（厘米）
8×9×2＝144（立方厘米）
这个西红柿的体积是144立方厘米。
故答案为：B
8．960
【分析】①左涂色面：高×宽
底涂色面：长×宽
所以，涂色总面积＝（高＋长）×宽。
②算“高＋长”的和：（厘米）
③求长方体的宽：
用总面积除以“高＋长”的和，就得到宽。
④计算长方体体积：体积＝长×宽×高
【详解】（厘米）
（厘米）
（立方厘米）
因此，这个长方体的体积是960立方厘米。
9．8
【分析】由题可知，铁块完全被淹没，表明放入铁块后水的高度至少与铁块的高度相同，即10cm。首先求出放入铁块后铁块与水的总体积和正方体铁块的体积；然后用铁块与水的总体积减去正方体铁块的体积，求出水的体积；最后用水的体积除以水箱的底面积，即可求出水箱中原来水的高度。
【详解】铁块与水的总体积：
铁块的体积：
水的体积：
水箱中原来水的高度至少是：
10． 56 64
【分析】①先确定前面、上面、右面露在外面的总面数；再根据正方形的面积＝边长×边长求出每个小正方形的面积；露在外面的面积＝每个小正方形的面积×露在外面的总面数。
②先确定小正方体数量；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出每个小正方体的体积；总体积＝每个小正方体的体积×小正方体数量。
【详解】根据图示：
前面有5个面露在外面，上面有5个面露在外面，右面有4个面露在外面；这个图形共有8个小正方体。
露在外面的面积是：
2×2×（5＋5＋4）
＝2×2×（10＋4）
＝2×2×14
＝4×14
＝56（cm2）
这个图形的体积是：
2×2×2×8
＝4×2×8
＝8×8
＝64（cm3）
11．120
【分析】一个长方体，如果长减少2cm，体积比原来减少了40cm3，用40÷2可算出原来长方体的右侧面积，也就是现在正方体的1个面面积，然后用1个面面积×6可算出正方体的表面积。
【详解】40÷2×6
＝20×6
＝120（cm2）
所以这个正方体的表面积是120cm2。
12． 36 28
【分析】先求出大长方体的长、宽、高，再利用“”求出大长方体的容积，最后根据“1立方分米＝1000立方厘米”把单位转化为“立方分米”；先根据大长方体的长、宽、高上面小正方体的数量利用“”求出把大长方体填满需要小正方体的总数量，再减去已有小正方体的数量，就可以求出需要添加小正方体的数量。
【详解】长：10×4＝40（厘米）
宽：10×3＝30（厘米）
高：10×3＝30（厘米）
容积：40×30×30
＝1200×30
＝36000（立方厘米）
36000立方厘米＝36立方分米
4×3×3－8
＝12×3－8
＝36－8
＝28（个）
13． 120 148 40
【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出长方体的体积；再根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体的表面积；把一个长方体切成两个长方体，其表面积增加两个切面的面积，前后两个面面积最大，左右两个面面积最小，要使表面积增加最少，可以平行于最小面切割，据此回答。
【详解】体积：6×4×5＝120（立方厘米）
表面积：（6×4＋4×5＋6×5）×2
＝（24＋20＋30）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
表面积最少增加：4×5×2＝40（平方厘米）
所以一个长方体木块，长6厘米、宽4厘米、高5厘米，它的体积是120立方厘米，表面积是148平方厘米。如果将它切成两个长方体，表面积至少增加40平方厘米。
14．178
【分析】量杯初始水的体积为200毫升，放入2个西红柿后总体积为556毫升。因为西红柿浸没在水中且水未溢出，所以2个西红柿的总体积＝水位上升后的总体积－初始水的体积，即：556－200＝356（毫升）。1毫升＝1立方厘米，因此356毫升＝356立方厘米。用2个西红柿的总体积除以数量2即可得单个西红柿体积。
【详解】556－200＝356（毫升）
356毫升＝356立方厘米
356÷2＝178（立方厘米）
平均每个西红柿的体积是178立方厘米。
15． 8 512
【分析】长方体有12条棱，且从一个顶点引出的三条棱分别是长方体的长、宽、高，棱长总和公式为：长方体棱长总和＝4×（长＋宽＋高）。已知长方体长10cm、宽8cm、高6cm，代入公式可得：4×（10＋8＋6）＝4×24＝96cm。
这根铁丝的总长度为96cm，即做成的正方体的棱长总和为96cm。正方体有12条棱，且所有棱长度相等，其棱长公式为：正方体棱长＝正方体棱长总和÷12。将棱长总和96cm代入公式，可得正方体棱长为：96÷12＝8cm，正方体体积公式为：正方体体积＝棱长×棱长×棱长。将棱长8cm代入公式计算即可。
【详解】4×（10＋8＋6）
＝4×（18＋6）
＝4×24
＝96（cm）
96÷12＝8（cm）
8×8×8＝512（cm3）
这个正方体的棱长是8cm，体积是512cm3。
16．9.6
【分析】已知长方体容器装满水，根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积。
然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，水的体积不变，根据h＝V÷S，用水的体积除以正方体容器的底面积“10×10”，即可求出正方体容器中水面的高度。
【详解】水的体积：
10×8×12
＝80×12
＝960（cm3）
水面高：
960÷（10×10）
＝960÷100
＝9.6（cm）
这时水面高（9.6）cm。
17． 12 18 72
【分析】长方体的右面是一个长方形，即为（宽×高）的面积，长方体的宽是4厘米，高是3厘米，所以右面的面积就是用4乘3计算即可。
长方体的前面是一个长方形，即为（长×高）的面积，长方体的长是6厘米，高是3厘米，所以前面的面积就是用6乘3计算即可。
长方体体积公式为V＝a×b×h（a是长，b是宽，h是高）。已知长为6厘米，宽为4厘米，高为3厘米，把数据代入公式计算即可。
【详解】右面：4×3＝12（平方厘米）
前面：6×3＝18（平方厘米）
体积：6×4×3＝72（立方厘米）
这个长方体的右面的面积是12平方厘米，前面的面积是18平方厘米，它的体积是72立方厘米。
18． 3 108 72
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4的逆运算，用棱长总和除以4，再减去宽，再减去长即可得高，然后根据，，代入数据计算即可。
【详解】
（分米）
（平方分米）
（立方分米）
一个长方体木料的棱长总和是52分米，它的宽是4分米，长是6分米，则它的高是3分米，表面积是108平方分米，体积是72立方分米。
19．162
【分析】把长方体平均分成3段后，要切2下，切1下会增加2个长方体的底面积，切2下则增加4个底面积，所以用36除以4可得1个长方体的底面积，再根据，代入数据计算即可。
【详解】
（立方厘米）
王阿姨将白萝卜削皮切成了一个长18厘米的长方体，平均分成3段后，表面积增加了36平方厘米，原来这根长方体白萝卜的体积是162立方厘米。
20．√
【分析】体积是从物体的外面量数据，而容积是从物体的里面量数据，据此判断即可。
【详解】体积相等的两个容器，它们内部的材质的厚度不一定相等，所以它们的容积也不一定相等。原题干说法正确。
故答案为：√
21．×
【分析】假设正方体的棱长为大于0的任意一个具体的自然数（比如棱长为1），按照正方体的表面积公式和体积公式分别计算出扩大前和扩大后的表面积和体积，再依据“求一个数是另一个数的几倍”用除法计算，用扩大后的数值除以扩大前的数值就得到扩大的倍数。
【详解】假设原正方体的棱长为1，扩大2倍后棱长是2。
＝24÷6＝4
＝8÷1＝8
因此这个正方体的表面积扩大到4倍，体积扩大到8倍。
故答案为：×
22．×
【分析】一个棱长为 3厘米的大正方体的体积为：3×3×3＝27（立方厘米），小正方体的体积＝1×1×1＝1（立方厘米）；已知立体图形里有7个这样的小正方体，现有的体积：1×7＝7（立方厘米），还需要多少立方厘米才能组成大正方体：27－7＝20（立方厘米）即为20个这样的小正方体。
【详解】（3×3×3）－（1×1×1×7）
＝27－7
＝20（立方厘米）
再添上20个这样的小正方体才能组成棱长为3厘米的大正方体。
故答案为：×
23．√
【分析】体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积，据此分析。
【详解】多祝益和隆酱油的标签上印有“净含量500毫升”的字样，“500毫升”指的是瓶子或包装袋所含物质的体积，即酱油的体积，选项说法正确。
故答案为：√
24．×
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入即可求解，体积单位是用立方表示，据此即可判断。
【详解】1×1×1＝1（立方厘米）
所以棱长为1厘米的正方体的体积是1立方厘米。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查正方体的体积，同时要注意面积单位和体积单位的区别。
25．√
【详解】把一个长方体的橡皮泥捏成正方体，长方体和正方体的体积都是这块橡皮泥的体积，但是六个面的形状发生了变化，表面积变了。比如：将一个长10厘米，宽5厘米、高5厘米的长方体橡皮泥捏成一个正方体，橡皮泥的体积都是10×5×5＝250立方厘米，形状由长方体变为正方体，所以把长方体形状的橡皮泥捏成一个正方体，它的形状变了，但体积不变。原说法正确。
故答案为：√
26．300cm3
【分析】把西红柿放在长方体容器中，长方体容器中的水面从10厘米上升到12厘米，上升部分水的体积就是西红柿的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高解决。
【详解】15×10×（12－10）
＝15×10×2
＝300（cm3）
27．12.5厘米
【分析】把长方体的容器竖放后，容器中水的体积没有变，先根据长方体体积＝长×宽×高（水深），求出竖放前水的体积，再除以竖放后容器的底面积即可。
【详解】20×10×5÷（10×8）
＝200×5÷80
＝1000÷80
＝12.5（厘米）
答：这时里面的水深是12.5厘米。
28．28平方厘米
【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，当宽和高不变、长增加3厘米时，用增加的体积除以增加的长，得到宽×高的面积；当长和高不变、宽增加4厘米时，用增加的体积除以增加的宽，得到长×高的面积；当长和宽不变、高增加5厘米时，用增加的体积除以增加的高，得到长×宽的面积；最后将这三组面的面积代入长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求出原长方体的表面积。
【详解】宽×高：6÷3＝2（平方厘米）
长×高：32÷4＝8（平方厘米）
长×宽：20÷5＝4（平方厘米）
表面积：（4＋8＋2）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
答：这个长方体原来的表面积是28平方厘米。
29．7.25厘米
【分析】先用长乘宽乘高算出原先的容积，再除以现在的底面积，求出现在的高。
【详解】
（厘米）
答：此时轮船底面距离水箱底面厘米。
30．28立方厘米
【分析】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，剩下部分是一个正方体，说明长方体的宽和高相等，所以表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和，每个长方形的长是5厘米，宽是正方体的棱长。
已知表面积减少了40平方厘米，那么一个这样的长方形的面积是40÷4＝10平方厘米。又因为长方形的长是5厘米，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得长方形的宽（即正方体的棱长）为10÷5＝2厘米。原来长方体的长比正方体的棱长多5厘米，所以原来长方体的长为2＋5＝7厘米。原来长方体的宽和高都等于正方体的棱长，即2厘米，根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。
【详解】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和。
40÷4＝10（平方厘米）
10÷5＝2（厘米）
2＋5＝7（厘米）
7×2×2＝28（立方厘米）
答：原来长方体的体积是28立方厘米。
31．（1）144平方厘米
（2）160立方厘米
【分析】（1）根据1分米＝10厘米，可得0.8分米＝8厘米。求商标纸的面积就是求长方体的侧面面积，即前后、左右四个面的面积之和，根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出商标纸的面积。
（2）根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个食品盒的体积。
【详解】（1）0.8分米＝8厘米
5×8×2＋4×8×2
＝80＋64
＝144（平方厘米）
答：商标纸的面积至少是144平方厘米。
（2）5×4×8＝160（立方厘米）
答：这个食品盒的体积是160立方厘米。
32．(1) 1500 2000
(2)1750立方米
【分析】（1）这个游泳池的形状不是规则长方体，水深从1.2米到1.6米逐渐变化。长方体体积（容积）＝长×宽×高，把它看成全部是最浅水深（1.2 米）的长方体，得到的体积是最小值；把它看成全部是最深处水深（1.6 米）的长方体，得到的体积是最大值。游泳池的实际容积，一定在这两个长方体体积之间。
（2）将两个完全一样的这样的泳池，拼成一个规则的长方体，这个长方体的高就是最浅水深和最深水深的和，长方体体积（容积）＝长×宽×高，求出两个泳池的容积，再除以2即可求出一个泳池的容积。
【详解】（1）50×25×1.2
＝1250×1.2
＝1500（立方米）
50×25×1.6
＝1250×1.6
＝2000（立方米）
游泳池的容积在1500立方米和2000立方米之间。
（2）50×25×（1.6＋1.2）÷2
＝50×25×2.8÷2
＝1250×2.8÷2
＝3500÷2
＝1750（立方米）
答：泳池的容积是1750立方米。
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