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第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
（第1课时）
1．掌握“两组对边分别相等”、“两组对角分别相等”、“对角线互相平”的四边形是平行四边形的判定定理；
2．能通过全等三角形证明判定定理；
3．能运用判定定理判断四边形是否为平行四边形．
1．说一说平行四边形的概念？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2．说一说平行四边形的性质？
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的对角线互相平分．
讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满足怎样的位置关系和数量关系时，它是平行四边形．
根据平行四边形的定义，可以从边的位置关系的角度来判定．
还有其他判定平行四边形的方法吗？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
思考：我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
你能说出平行四边形性质的逆命题吗？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
性质
逆命题
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AB = DC，AD = BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：如图所示，连接 AC.
∵AB=DC，AD=BC，
又∵AC=CA，
∴△ABC ≌ △CDA(SSS)，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴AB//CD，AD//CB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
又∵∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴AD//BC，AB//CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD．
∴∠OAB＝∠OCD．
∴AB//CD．
同理AD//BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理.
定义
性质
判定
逆向思维
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.
例：如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO．
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO．
又BO＝DO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
你还有其他证明方法吗？
【知识技能类练习】必做题：
D
【知识技能类练习】必做题：
3
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
C
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练行四边形的判定
对角线互相平分的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【知识技能类作业】必做题：
D
【知识技能类作业】必做题：
4
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 21.2.2 平行四边形的判定 （第1课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握“两组对边分别相等”、“两组对角分别相等”、“对角线互相平”的四边形是平行四边形的判定定理； 2．能通过全等三角形证明判定定理； 3．能运用判定定理判断四边形是否为平行四边形．
重点 掌握“两组对边分别相等”“两组对角分别相等”“对角线互相平分”的平行四边形判定定理，并能运用定理判定四边形为平行四边形．
难点 通过全等三角形证明平行四边形的判定定理，灵活选择合适的判定定理解决几何证明问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说平行四边形的概念？ 2．说一说平行四边形的性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平行四边形的定义和性质，研究平行四边形的判定。 根据平行四边形的定义，可以从边的位置关系的角度来判定． 即：两组对边分别平行的四边形是____________． 思考：我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 平行四边形的性质1：平行四边形的对边相等. 逆命题：____________________________________. 平行四边形的性质2：平行四边形的对角相等. 逆命题：____________________________________. 平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分. 逆命题：____________________________________. 请证明你的猜想: 猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AB = DC，AD = BC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 归纳：平行四边形判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是____________. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵AB=____，AD=____， ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 归纳：平行四边形判定定理2： 两组对角分别________的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A = ______，∠B =______D， ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 归纳：平行四边形判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵OA=____，OB=____， ∴四边形ABCD是平行四边形. 注意：平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理. 这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路. 例：如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 2．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 3．如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 选做题： 4．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A． B．， C．， D．， 【综合拓展类练习】 5．如图，、相交于点，，，、分别是、的中点，求证： (1)； (2)四边形是平行四边形．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．现有长为5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明： (1)，； (2)四边形AECF是平行四边形； (3)如果E、F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足，上述结论仍然成立吗？请说明理由． 选做题： 4．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，分别以，为边向内作等边三角形和等边三角形，连接，．求证：四边形是平行四边形．
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分课时教学设计
第六课时《21.2.2 平行四边形的判定（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级下册四边形章节中平行四边形判定的起始课时，承接平行四边形的定义与性质，是平面几何中四边形部分的核心内容．本节课从平行四边形性质的逆命题出发，探究并证明“两组对边分别相等”“两组对角分别相等”“对角线互相平分”的四边形是平行四边形的判定定理，既是对平行四边形性质的逆向延伸，也是对全等三角形、平行线判定等知识的综合运用，更是后续学习特殊平行四边形判定的重要基础．通过本节课的学习，学生能进一步掌握“性质—逆命题—证明—判定”的几何探究方法，深化对平行四边形的理解，提升逻辑推理与几何证明能力，体会互逆命题的数学思想，为后续几何知识的学习搭建方法框架，在整个平面几何知识体系中起到承上启下、巩固提升的关键作用．
学习者分析 学生已熟练掌握平行四边形的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，具备一定的几何推理、逻辑证明能力，对互逆命题有初步认知．但学生对“从性质推导判定”的逆向思维不够熟练，在将判定定理的文字语言转化为几何语言、规范书写证明过程时容易出现疏漏，部分学生难以灵活选择合适的判定定理解决问题，对判定定理与性质定理的区别与联系理解不够透彻，需要教师通过引导探究、例题示范，帮助学生梳理思路，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．掌握“两组对边分别相等”、“两组对角分别相等”、“对角线互相平”的四边形是平行四边形的判定定理； 2．能通过全等三角形证明判定定理； 3．能运用判定定理判断四边形是否为平行四边形．
教学重点 掌握“两组对边分别相等”“两组对角分别相等”“对角线互相平分”的平行四边形判定定理，并能运用定理判定四边形为平行四边形．
教学难点 通过全等三角形证明平行四边形的判定定理，灵活选择合适的判定定理解决几何证明问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握“两组对边分别相等”、“两组对角分别相等”、“对角线互相平”的四边形是平行四边形的判定定理； 2．能通过全等三角形证明判定定理； 3．能运用判定定理判断四边形是否为平行四边形．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说平行四边形的概念？ 答案：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2．说一说平行四边形的性质？ 答案：平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的对角线互相平分． 指出：讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满足怎样的位置关系和数量关系时，它是平行四边形． 根据平行四边形的定义，可以从边的位置关系的角度来判定． 即：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 引问：还有其他判定平行四边形的方法吗？学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平行四边形的定义和性质，为探究平行四边形的判定做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 思考：我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 追问1：你能说出平行四边形性质的逆命题吗？ 平行四边形的性质1：平行四边形的对边相等. 逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的性质2：平行四边形的对角相等. 逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分. 逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 追问2：请证明你的猜想. 猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AB = DC，AD = BC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 证明：如图所示，连接 AC. ∵AB=DC，AD=BC， 又∵AC=CA， ∴△ABC ≌ △CDA(SSS)， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， ∴AB//CD，AD//CB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 归纳：平行四边形判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°， 又∵∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°. ∴AD//BC，AB//CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 归纳：平行四边形判定定理2： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形. 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD． ∴∠OAB＝∠OCD． ∴AB//CD． 同理AD//BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 归纳：平行四边形判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 指出：平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理. 这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路. 例：如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO． ∵AE＝CF， ∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO． 又BO＝DO， ∴四边形BFDE是平行四边形．学生活动3： 学生小组合作探究、班内汇报交流，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 以平行四边形性质的逆命题为切入点，引导学生经历“猜想—证明—应用”的完整探究过程，推导并掌握平行四边形的三个判定定理. 通过几何证明及例题的应用，强化几何推理能力，帮助学生厘清性质与判定的互逆关系，学会灵活选择定理解决问题，落实逻辑推理核心素养，提高学生的应用意识.环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.2.2平行四边形的判定（第1课时）一、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 二、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 三、对角线互相平分的四边形是平行四边形教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 答案：D 2．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 答案：3 3．如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 选做题： 4．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A． B．， C．， D．， 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，、相交于点，，，、分别是、的中点，求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 解：（1）， ， 在和中， ， ； （2） ， ， 、分别是、的中点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．现有长为5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：D 2．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 答案：4 3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明： (1)，； (2)四边形AECF是平行四边形； (3)如果E、F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足，上述结论仍然成立吗？请说明理由． 证明：（1），是平行四边形中的对角线，O是交点， ，． （2），点E、F分别为、的中点， ， ， 四边形AECF是平行四边形． （3）结论仍然成立． 理由：，， ， ， 四边形是平行四边形， 所以结论仍然成立． 选做题： 4．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，分别以，为边向内作等边三角形和等边三角形，连接，．求证：四边形是平行四边形． 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵和都是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形．
教学反思 本节课通过逆命题探究、定理证明与例题应用，多数学生能掌握平行四边形的三个判定定理．但部分学生对定理的证明逻辑理解不透彻，几何证明步骤不规范，且在复杂图形中难以快速选择合适的判定定理．后续教学中，需加强定理推导的过程引导，强化几何语言规范训练，增加变式练习，帮助学生厘清判定与性质的区别，提升逻辑推理与知识应用能力．
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