高 2023 级第二次模拟考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A
二、多项选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选
项中 ,有多项是符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错
的得 0分.
9．BC 10．ACD 11．ACD
三、填空题: 本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 2 13. an 1 14. [
1 ,1]（2分） ； [1 2,2+ 2] （3分）
2
四、解答题: 本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解：（1）因为 2acos A+bcos C=ccos(A+C),
所以 2acos A+bcos C= ccos B ……………………………………………………2分
由正弦定理得 2sin Acos A+sin Bcos C= sin Ccos B ……………………………3分
所以 2sin Acos A= sin Ccos B sin Bcos C= sin(B+C)= sin A …………………4分
又 sin A≠0,所以 cos A= 1 …………………………………………………………5分
2
A 0 π A=2π又 ∈( , ),所以 ………………………………………………………………6分
3
（2）因为△ABC的面积为 3
S=1所以 bcsin∠BAC=1bcsin 2π= 3,解得 bc=4 ……………………………………8分
2 2 3
由余弦定理得 a2=b2+c2 2bccos∠BAC=b2+c2+bc=(b+c)2 bc,
即( 21)2=(b+c)2 4 …………………………………………………………………11分
解得 b+c=5 …………………………………………………………………………12分
所以△ABC的周长为 a+b+c=5+ 21 ……………………………………………13分
16.解：（1）证明：在四边形 中，作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ………1分
因为 // , = = = 1, = 2，
所以四边形 为等腰梯形 ……………………………………………………2分
1
1
所以 AE BF ，
2
故DE 3 ， = 2 + 2 = 3 ………………3分
2
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ………………4分
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 …………………………………6分
又因 平面 ，所以 ⊥ ………………7分
（2）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系， = 3，
则 1,0,0 , 0, 3, 0 , 0,0, 3 …………………8分
则 = 1,0, 3 , = 0, 3, 3 , = 0,0, 3 …9分
设平面 的法向量 1 = , , ，
1 AP = + 3 = 0则有 ，可取 = 3, 1,1 …11分
1 BP = 3 + 3 = 0
1
设平面 的法向量 2 = 0, 3, 0 ……………………12分
cos 1 , =
1 2 3 5
2 | | | |= = ……………………………14分1 2 5 3 5
所以平面 与平面 所成夹角的正切值为 2 ………15分
17.解：（1）因为 = 1，其中 ∈ ， ' = ……………1分
①当 ≤ 0时， ' = > 0恒成立， 在 R上单调递增……………3分
②当 > 0时，令 ' = 0，得 = ln ，
由 ' < 0可得 < ；由 ' > 0可得 x ln a……………………………5分
此时，函数 在 ∞, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增
综上所述：当 ≤ 0时， 在 R上单调递增；
当 > 0时，函数 在 ∞, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增……6分
（2）当 = 2 时， ( ) = 2 1 2 ， '( ) = 2 2 ……………7分
令 '( ) = ( )，则 '( ) = 2
由 '( ) = 0得， = 2
当 ∈ (0, 2 )时， '( ) < 0， ( )单减
当 ∈ ( 2，+∞)时， '( ) > 0， ( )单增 …………………………………9分
又因为 '(0) = (0) = 1 < 0
2
3 3 3
'( ) = ( ) = 2 5 < 0
2 2
'(2) = (2) = 2 6 > 0
3
所以存在唯一的 0 ∈ ( , 2)，使得 ( 0) = 0，即 0 = 2 0 + 2 ……………11分2
所以当 ∈ (0, 0)时， '( ) < 0， ( )单减
当 ∈ ( 0, + ∞)时， '( ) > 0， ( )单增
所以 0是 ( )在(0, + ∞)上唯一极小值点 ……………………………………13分
则 ( ) = 0 0 2 0 1 02 = 02 + 1
3
因为 0 ∈ ( , 2)，且 ( 0)在(
3 , 2)单减
2 2
所以 ( ) < ( 30 ) =
5
………………………………………………………15分
2 4
18. 1 1 3 5 1 1 1解：（1）由已知 ( = 3) = + + = , ( = 0) = + = ……4分
8 8 8 8 24 8 6
（2）（ⅰ）“ | = 3”的可能取值为 0,2,4 ……………………………………5分
因为 ( = 3) = 5 ,
8
( = 3 1且 = 0) = , ( = 3 且 = 2) = 1 , ( = 3 且 = 4) = 3 ……6分
8 8 8
1
所以 = 0| = 3 = =3, =0 = 8 1
=3 5
= ……………………………………7分
5
8
1
= 2| = 3 = =3, =2 = 85 =
1
…………………………………………8分
=3 5
8
3
= 4| = 3 = =3, =4 = 8 = 3 …………………………………………9分
=3 5 5
8
所以“ | = 3”分布列为
| = 3 0 2 4
1 1 3
………………………………………10分
5 5 5
ⅱ ( = 1) = 3 , ( = 3) = 5 ( ) = 1 × 3（ ）因为 ，所以 + 3 × 5 = 9 ………12分
8 8 8 8 4
因为 ( = 0) = 1 , ( = 2) = 5 , ( = 4) = 5，
6 24 8
( = 1| = 0) = 1 , ( = 3| = 0) = 3 | = 0 =5所以 ， ………………13分
4 4 2
( = 1| = 2) = 2， ( = 3| = 2) = 3， | = 2 =11 ……………14分
5 5 5
( = 1| = 4) = 2， ( = 3| = 4) = 3 11， | = 4 = ……………15分
5 5 5
3
所以 [P(Y yi ) E(X |Y y 1i )]= × 5+ 5 × 11 + 5 × 11 = 9 …………………16分6 2 24 5 8 5 4
i 1
3
3
所以 E(X ) [P(Y yi ) E(X |Y yi )]…………………………………………17分
i 1
19.解：（1）由 C的离心率为 5，点 1(1, 1)在 C上，
= 5
得 1 1 = 1 ， ………………………………………………………2分
2 2
2 = 2 + 2
2 = 3 2 = 3 C 4
2 2
所以 ， ，曲线 的方程为 = 1 ……………………………4分
4 3 3
（2） 由 ( , )得 1( , )
因为直线 1 1的斜率为 1，
所以 1 = 1，即 + 1 = 1 ……………………………………5分 1+
4 2 2 = 3
又因为 ，
4 2 2 1 1 = 3
两式相减得：4( + 1)( 1) = ( + 1)( 1)
所以 4 4 1 = + 1 ……………………………………………………7分
又因为 2 + 2 1 = 2 2 1，
两式相减得：2 6 1 = + 3 1 ………………………………………9分
所以 2 + = 3(2 1 + 1)，而 2 1 + 1 = 1
所以数列 2 + 是以 1为首项，3为公比的等比数列 ……………………10分
（3）由（2）得 2 + = 3n-1 ①
又因为 4 2 2 = 3，所以(2 )(2 + ) = 3
所以 2 = 32 ②
3 1+32 3 1 32
由①②得： = ， = ……………………………………12分4 2
= 3
+1 2 3 +2 4×3
直线 的斜率： +2 +1 = +2 +1 +1 +2 1 = 2， +2 +1 +2 +1 3 3
+2 1
直线 +3的斜率：
+3 3 2 +3 3 +2 4×3
2 = = = 2 +3 +3 3 3
所以 1 = 2，直线 +1 +2与 +3平行，所以 Sn Sn 1
所以△ +1 +2的面积 为定值 ……………………………………………14分
四边形 +1 +1 的面积
1 1 = +1 +2 = × 2 +1 +2 = (3 +
3
)(
3 + 1 ) …15分
2 2 3 3 3
令 = 3 3 1 1 3，则 = ( + )( + ) = 2 + 2 + 2 = ( ) ………………………16分 3 3
当 > 3时 ， ( )单调递增，
所以当 n=1时， ( )取得最小值，即 取得最小值 ……………………………17分
4
