2025-2026学年人教版八年级数学下学第一次月考测试卷（19-20章）（含答案）

2026学年八年级数学下学第一次月考测试卷（19-20章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式：①，②，③，④，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．△ABC三条边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．、、
C． D．a2：b2：c2＝5：4：3
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是（　　）
A． B．（3，0） C． D．
5．估算的值（　　）
A．在0与1之间 B．在0与2之间
C．在2与3之间 D．在3与4之间
6．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝5，CD＝4，AC＝AD，则AB2﹣AC2＝（　　）
A．25 B．29 C．41 D．45
7．如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，圆柱形玻璃杯高为17cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底6.5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm．（杯壁厚度不计）
A． B．10 C．15 D．17
10．如图，∠ABC＝90°，BA＝BC，BM是∠ABC内部的射线且∠CBM＜45°，过点A作AD⊥BM于点D，过点C作CE⊥BM于点E，在DA上取点F，使得DF＝DE，连接EF．设CE＝a，BE＝b，EF＝c，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
12．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　 　 ．
13.已知x、y满足，则﹣16y+4x＝ 　 　 ．
14．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝10，点M为BC上一点，将△CDM沿DM翻至△EDM，EM交AB于点G，ED交AB于点F，且BG＝EG，则CM的长度是 　 　 ．
15．在△ABC中，AB，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 　 　 ．
16．如图，OB＝BA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝...＝A2024A2025＝1，∠OBA1＝∠OA1A2＝∠OA2A3＝...＝∠OA2024A2025＝90°，则线段OB，OA1，OA2，OA3，OA4，…OA2023，OA2024，OA2025中，长度为无理数的线段有 　 　 条．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算下列各式：
（1）； （2）．
18．（6分）已知a，求的值．
19．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．
（1）请判断图1中△ABC的形状，并说明理由；
（2）从数据中选三个数据作为三角形的三边长，在图2中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上，并求此三角形的面积．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝135°，AB＝2，，求BC长．
21．（8分）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度CE的长，他俩合作进行了如下操作：
①用皮尺测得AE的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC）的长为25米；
③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度（线段CE的长）；
（2）如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？
22．（8分）先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
（1）根据上面三个等式提供的信息，计算：；
（2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；
（3）请利用上述规律来计算：．
23．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB．
（1）如图1，△CDE是等腰直角三角形，点D在AB的延长线上，CD＝CE，连接BD，求证：BE⊥AB；
（2）如图2，点M在△ABC外，MA＝3，，∠AMC＝75°，求MB．
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝10，AC＝15，点P是三角形内一点，连PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是　 　 ．
参考答案
一．选择题
1．解：①，不是最简二次根式；
②，是最简二次根式；
③3，不是最简二次根式；
④，不是最简二次根式，
最简二次根式有②；
故选：A．
2．解：A．32，故此选项符合题意；
B．2，故此选项不合题意；
C．8，故此选项不合题意；
D．7，故此选项不合题意；
故选：A．
3．解：A．根据选项，设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15°，
则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
B．∵，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
C．∵，
∴设，则，，
则a＝x2，b＝4x2，c＝9x2，
∵x2+4x2＝5x2＜9x2，
∴a+b＜c，
∴此时三边不能组成三角形，更不可能组成直角三角形，不符合题意；
D．∵a2：b2：c2＝5：4：3，
∴设a2＝5x，则b2＝4x，c2＝3x，
∴b2+c2＝4x+3x＝7x＞a2，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
4．解：∵O（0，0），A（1，3），
∴OA，
∴OB＝OA，
∴点B的坐标是（，0）．
故选：A．
5．解：2
＝5，
∵23，
∴﹣23，
∴5﹣2＞55﹣3，
即2＜53，
∴23，
故选：C．
6．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，
∴DE＝CE，
∴BE＝5+2＝7，
∴AB2＝AE2+BE2＝AE2+72，
AC2＝AE2+CE2＝AE2+22，
∴AB2﹣AC2＝AE2+72﹣AE2﹣22＝45，
故选：D．
7．解：由题意可得：AB′＝AB＝6m，BC＝2m，
则AC4（m），
AC′3（m），
故CC′的长为：AC﹣AC′＝43（m）．
故选：A．
8．解：∵，
∴，
∴
．
故选：C．
9．解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长AD到点E，使ED＝AD＝4.5cm，连接BE交CD于点F，连接AF，
∵DF垂直平分AE，
∴AF＝EF，
∴AF+BF＝EF+BF＝BE，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段BE的长，
作BG⊥DL于点G，则∠BGE＝∠BGL＝90°，
∵∠L＝∠BHL＝∠BGL＝90°，
∴四边形BGLH是矩形，
∴GL＝BH＝6.5cm，BG＝HL16＝8（cm），
∵DL＝17cm，
∴EG＝ED+DL﹣GL＝4.5+17﹣6.5＝15（cm），
∴BE17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为17cm，
故选：D．
10．解：∵AD⊥BM，CE⊥BM，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠CBE+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
在△ADB和△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴BD＝EC＝a，BE＝AD＝b，
∴DE＝DF＝b﹣a，
∵EF＝c，
∴c（b﹣a），故①正确，
连接AE，则AE，
∵BE＝AD，DE＝DF，
∴AF＝BD＝CE＝a，
∵AF+EF＞AE，
∴a+c，故②错误，
∵BM是∠ABC内部的射线且∠CBM＜45°，
∴b＞a，
∴b2＞a2，
∴2b2＞a2+b2，
∴b，故③正确．
故选：B．
二．填空题
11．解：根据题意得：x﹣1＞0，
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
12．解：由图可知，SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，
∴正方形B的面积+6＝24﹣8，
∴正方形B的面积＝10．
故答案为：10
13．解：依题意得：，
∴x＝±4；
当x＝﹣4时，
；
∴﹣16y+4x
﹣16×（）+4×（﹣4）
＝18﹣16
＝2；
当x＝4时，
；
∴﹣16y+4x
＝﹣16×（）+4×4
＝18+16
＝34；
∴﹣16y+4x的值为2或34，
故答案为：2或34．
14．解：设CM＝x，则BM＝8﹣x，
由题意得：DE＝CD＝AB＝10，
在△GMB和△GFE中，
，
∴△GMB≌△GFE（AAS），
∴MG＝GF，
∵BG＝EG，
∴MG+GE＝GF+BG，
∴EM＝BF，
∴ME＝BF＝CM＝x，EF＝BM＝8﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
即：82+（10﹣x）2＝[10﹣（8﹣x）]2，
解得：x．
故答案为：．
15．解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由勾股定理得：BD5，
CD4，
∴BC＝BD+CD＝5+4＝9；
②如图2，同理得：CD＝4，BD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣4＝1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
16．解：由题知，
在Rt△AOB中，
，
同理可得，，…，
所以（n为正整数）．
当n＝2025时，．
又因为，
则2026﹣45＝1981，
即无理数的线段有1981条．
故答案为：1981．
三．解答题
17．解：（1）原式＝412
＝﹣9；
（2）原式＝233
＝693
＝612．
18．解：先将a分母有理化可得：
，
∴，
，
∴原式
．
19．解：（1）△ABC为等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，
∴AC2＝BC2且AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC为等腰直角三角形．
（2）选择，
如图，△DEF为所求；
∵，
∴△DEF为直角三角形
∴．
20．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，则∠D＝90°，
∵∠BAC＝135°，
∴∠BAD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，
∴BD2+AD2＝2BD2＝AB2，
∴2BD2＝22，
∴，
∴，
∴．
21．解：（1）在Rt△CDB中，BC＝25米，BD＝AE＝15米，
由勾股定理得：CD20（米），
∴CE＝CD+DE＝20+1.5＝21.5（米），
答：风筝的垂直高度CE为21.5米；
（2）如图，由题意可知，CF＝12米，
∴DF＝CD﹣CF＝20﹣12＝8（米），
∴BF17（米），
∴BC﹣BF＝25﹣17＝8（米），
答：他应该往回收线8米．
22．解：（1）由题意知，，
∴；
（2）由题意知，，
∴用n（n为正整数）表示的等式为；
（3）由题意知，，
∴．
23．（1）证明：设BE、CD交于O，
∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，CD＝CE，CA＝CB，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
又∵∠COE＝∠BOD，
∴∠OBD＝∠OCE＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）解：作CH⊥CM，且CH＝CM，连接MH，AH，
∴△CMH为等腰直角三角形，
∴∠CMH＝45°，
∴△CBM≌△CAH（SAS），
∴BM＝AH，
∵∠AMC＝75°，
∴∠AMH＝∠AMC+∠CMH＝75°+45°＝120°，
∵CM＝3，
∴MHCM＝6，
过A作AG⊥MH于G，
∴∠AMG＝60°，
∵AM＝3，
∴GMAM，AGAM，
∴AH3，
∴BM＝AH＝3；
（3）解：如图3中，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，
∴AP＝AF，∠BAF＝∠CAE＝60°，AE＝AC，
∴△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，
在Rt△EAB中，BE5，
∵PA+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，
∴PA+PB+PC≥5，
∴PA+PB+PC的最小值为5．
故答案为：5．