人教版八年级数学下册21.3 特殊的平行四边形 同步练习（含答案）

21.3 特殊的平行四边形
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法：
①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；
②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
④矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质；
⑤对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的说法有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．已知正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（4，0），则点A的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2）
C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　）
A． B．2.5 C． D．
6．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边形EMFN一定是平行四边形
B．若AC⊥BD，则四边形EMFN是矩形
C．若AB＝CD，则四边形EMFN是菱形
D．若∠ABC+∠DCB＝90°，则四边形EMFN是矩形
7．如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若B，M之间的距离为30cm，上下两排挂钩A，C之间的距离为24cm，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（　　）
A．13cm B．39cm C．52cm D．156cm
8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD．若图中阴影部分的面积为8，则AE PF的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线AC的长为　 　 cm．
12．如图，AC是正方形ABCD的对角线，延长CD至点M，连接AM，若∠CAM＝67.5°，CM＝2，则AD的长为　 　 ．
13．如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 　 　 ．
15．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝CD，点Q为边BC上一点，联结AP、PQ，已知AP＝PQ，那么的值是　 　 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为BC边的中点，点P在AD边上运动，F为BP的中点，当△BEF为等腰三角形时，AP的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
18．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB．
19．（6分）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：
①BM＝DM；
②MN⊥BD．
20．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝6，BC＝12，请解答下列问题．
（1）用无刻度的直尺和圆规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AE，判定四边形AECD的形状，并说明理由；
（3）连接AC，求AC的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证BD＝CD；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②△ABC满足　 　 条件时，四边形AFBD是菱形（无需证明）．
22．（8分）阅读理解题．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”．
问题：
（1）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，其中是“和谐四边形”的有 　 　 ；（填序号）
（2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程）
23．（10分）综合与实践
问题情境：
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
猜想证明：
（1）求证：四边形DEFG是正方形．
解决问题：
（2）求∠DCG的度数．
（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，
故①错误；
∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，
∴一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
故②错误；
如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，
连接BD，则∠ABD＝∠CDB，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，
故③正确；
∵矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，
∴矩形、菱形并不是都具有“对角线相等”的性质，
故④错误；
如图2，在 ABCD中，对角线BD平分∠ABC、∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CB＝CD，
∴ ABCD是菱形，
∴对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，
故⑤正确，
故选：A．
2．解：连接AC交OB于点D，如图所示：
∵四边形OABC是正方形，
∴AC＝OB，AC⊥OB，OD＝BD＝1/2OB，AD＝CD＝1/2AC，
∵点B（4，0），
∴OB＝4，
∴AC＝OB＝4，
∴OD＝BDOB＝2，AD＝CDAC＝2，
∴点A的坐标为（2，﹣2）．
故选：B．
3．解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1，
∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE，
∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE，
∵∠ACE+∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝30°．
故选：C．
4．解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
32，
∴AC＝8，
∴OC4，
∴CD8，
故选C．
5．解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴，，
∴，
连接OP，
∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，
∴，
∴；
故选：C．
6．解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴，，
∴四边形EMFN一定是平行四边形，故A正确，不符合题意；
若AC⊥BD，不能得出四边形EMFN是矩形，故B不正确，符合题意；
若AB＝CD，则EN＝NF＝FM＝ME，则四边形EMFN是菱形，故C正确，不符合题意；
∵NF∥CD，
∴∠NFB＝∠BCD，
∵EN∥AB，
∴∠END＝∠ABD，
∵∠DNF＝∠DBC+∠NFB，
若∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠END+∠DNF＝∠ABD+∠DBC+∠BCD＝∠ABC+∠DCB＝90°，
即∠ENF＝90°，则四边形EMFN是矩形，故D正确，不符合题意；
故选：B．
7．解：连接BM，AC交于点O，
∴BD＝10cm，
∵ABCD是菱形，B，M之间的距离为30cm，上下两排挂钩A，C之间的距离为24cm，
∴，，∠AOB＝90°，
∴，
∴制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度是13×12＝156（cm），
故选：D．
8．解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC＝4，CE＝2，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，，，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴．
故选：A．
9．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN，四边形AEFD都是矩形，
∴AE＝DF，S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S四边形DFPM＝S四边形PEBN，
∴S△DFP＝S△PBE，
∵S阴影＝S△DFP+S△BEP＝8，
∴S△DFP＝4，即，
∴AE PF＝8．
故选：B．
10．解：如图，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，连接BD．
∴AB＝AD，∠BDA＝∠DBC＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ADE+∠EDB＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDB+∠FDB＝60°，
∴∠ADE＝∠FDB，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AB﹣AE＝BC﹣BF，
∴BE＝FC，
∴结论①正确，符合题意；
∴DE＝DF，△DEF为等边三角形，
∴结论②正确，符合题意；
∴BE+DF＝FC+DF＞CD，则BE+DF＞AD，
∴结论③不正确，不符合题意；
∵S△ADB＝S△ADE+S△EDB，
∴S△ADB＝S△BDF+S△EDB＝S△DEF+S△BEF，
可知当S△DEF取得最小值，S△BEF取得最大值，
设等边三角形边长为a，可知其高为，面积为，
∵△DEF为等边三角形，其面积会随边长变化而变化，
∴当DE⊥AB，DE取得最小值，则S△DEF取得最小值，
∵AB＝4，
∴此时，，，
∴，
∴结论④正确，符合题意，
综上，正确的结论是①②④，共3个．
故选：B．
二．填空题
11．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：ACAB＝8（cm），
故答案为：．
12．解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠M＝180°﹣∠CAM﹣∠ACD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
即AC＝CM＝2，
∵AD2+CD2＝AD2+AD2＝2AD2＝AC2＝4，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
13．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵两张纸条宽度均为2cm，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝2cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，AF＝2cm，
∴AD＝4，
四边形ABCD的周长为：4×4＝16（cm）．
故答案为：16．
14．解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是△ABC的中线，AB＝4，
∴DE是△ABE斜边上的中线，
∴，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝CE＝2，
∴CD＝4，
由勾股定理得．
故答案为：．
15．解：如图，四边形ABCD是正方形，连接CP，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝90°，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP，
∵AP＝PQ，
∴PQ＝PC，
∴∠PQC＝∠PCQ；
∵BP＝CD，
∴BP＝DA＝AB＝BC，
∴，，
∴∠PQC＝∠PCQ＝67.5°，
∴∠APD＝180°﹣∠BPA＝180°﹣67.5°＝112.5°，∠PQB＝180°﹣∠PQC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠APD＝∠BQP，
在△ADP和△PBQ中，
，
∴△ADP≌△PBQ（AAS），
∴BQ＝DP，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：．
16．解：连接CP，
∵点E为BC的中点，点F为BP的中点，
∴EF∥CP，且EFCP，
∵四边形ABCDE是矩形，AB＝4，BC＝8，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，BE＝CEBC＝4，∠A＝∠D＝90°，
如图1，△BEF为等腰三角形，且FE＝BE＝4，
∴CP＝2EF＝8，
∴PD4，
∴AP＝AD﹣PD＝8﹣4；
如图2，△BEF为等腰三角形，且EF＝BF，连接PE，
∵∠FEB＝∠PBC，∠FEB＝∠PCB，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠ABE＝∠A＝90°，
∴四边形ABEP是矩形，
∴AP＝BE＝4；
如图3，△BEF为等腰三角形，且BF＝BE，
∵∠BFE＝∠BPC，∠BEF＝∠BCP，且∠BFE＝∠BEF，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC＝8，
∴AP4，
综上所述，AP的长为8﹣4或4或4，
故答案为：8﹣4或4或4．
三．解答题
17．解：BE＝DF，且BE⊥DF，
理由：延长BE交DF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，
∴∠BGD＝∠F+∠CBE＝∠F+∠CDF＝90°，
∴BE⊥DF．
18．证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F，
∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°，
∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB＝90°﹣∠ECB，
在△CFD与△EBC中，
，
∴△CFD≌△EBC（AAS），
∴CF＝EB．
19．（1）证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DMAC，
∴BM＝DM；
（2）∵点N是BD的中点，BM＝DM，
∴MN⊥BD．
20．解：（1）如图，DE即为所求；
（2）菱形，理由如下：
如图，连接AE，
由（1）知，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE＝6，
∴AD＝CE＝6，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AD＝CD＝6，
∴平行四边形AECD是菱形；
（3）由（2）知，BE＝CE＝6，
∴BE＝AD＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE＝6＝CD＝CE，AB∥DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠C＝∠DEC＝60°，
∴∠B＝∠DEC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝120°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝6．
21．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD．
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）解：①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形，
证明如下：
∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴四边形AFBD为矩形；
②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：由①知四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形．
22．解：（1）∵平行四边形和矩形的对角线不一定平分其对角，
∴平行四边形和矩形不是“和谐四边形”；
如图，菱形ABCD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∴菱形是“和谐四边形”，
∵正方形是特殊的菱形，
∴正方形是“和谐四边形”，
故答案为：③④．
（2）如图2，AC是“和谐线”，
∵∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB＝3，
∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝30°，
∴BCAC，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴（3）2+（AC）2＝AC2，
∴AC＝22；
如图3，BD是“和谐线”，作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴BE＝DE，
∵∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
∴BE＝DEAE，
∴AEAE＝3，
∴AE，
∴BE＝DE3，
∴BD3，
综上所述，四边形ABCD“和谐线”的长是22或3．
23．（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）解：∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
（3）解：①当F在BC上时，
∵正方形EMCN，正方形ABCD，
∴BC＝DC，MC＝NC，
∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN，
∵△DEN≌△FEM，
∴FM＝DN，
∴，
∴MC＝MF+FC＝1+2＝3，
∴，，
∵△ADE≌△CDG，
∴；
②当F在BC延长线上时，如图：
同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG，
∴BM＝FM（BC+CF）＝3，
∴CM＝1，
∴CE，
∴AE＝43，
∴CG＝3；
综上所述，AE或3．