人教版八年级数学下册第二十章《勾股定理》单元综合习题（含答案）

第二十章《勾股定理》单元综合习题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．7，24，25 D．
2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③a2+b2＝c2，④，⑤a：b：c＝3：4：5．能确定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C．6 D．
5．如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝20，BC边的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接CD，若△ACD的周长为28，则AD的长为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　）
A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm
7．意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　）
A． B．
C． D．S1＝S2
8．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，以AC为直角边向外作Rt△ACD（∠CAD＝90°），分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4为（　　）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　）
A．80° B．60° C．45° D．30°
10．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝2，a2+b2＝28，则图2中的阴影部分面积为（　　）
A．20 B．22 C．23 D．24
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为　 　 ．
12．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，那么边AB上的高是　 　 ．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AB＝5，，则BC2+AD2＝　 　 ．
14．已知，在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则边BC的长为　 　 ．
15．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　 　 m．
16．如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则BC＝　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝AD＝4，DC＝6，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．
18．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）线段AB的长为 　 　 ；
（2）若三角形ABC是直角三角形，且边BC的长度为5，请在图中确定点C的位置，并补全三角形ABC．
19．（6分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
20．（8分）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”．
（1）①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形　 　 奇异三角形（填“是”或“不是”）；
②若三角形的三边长分别为，则该三角形　 　 （填“是”或“不是”）奇异三角形．
（2）若Rt△ABC是奇异三角形，∠C＝90°，AC＝5，求AB的长．
21．（8分）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB＝4m．
（1）求旗杆折断处点C距离地面的高度AC；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断处C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的B处，形成一个Rt△ADB1，请求出AB1的长．
22．（8分）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类果穴80m，观测点B距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B相距100m，大货车行驶时会对周围52m范围造成噪声污染．
（1）求点C到公路AB的距离；
（2）一辆大货车以10m/s的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是直线BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．
（1）如图2，当α＝60°，且点D在线段BC上时，证明：BD＝CE；
（2）如图3，当α＝90°，且点D在线段BC上时，猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系，并加以证明；
（3）当α＝90°，AB＝6，时，画出图形并求出DE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数，
∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；
B、∵，，都不是正整数，
∴，，不是勾股数，不符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴正整数7，24，25是勾股数，符合题意；
D、∵，，都不是正整数，
∴，，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
2．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°，即∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
所以结论①正确；
设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝180°，
∴k＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形．
所以结论②错误；
∵a2+b2＝c2，
∴由勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形．
所以结论③正确；
∵，即∠B＝2∠A，∠C＝2∠A，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°，
∴△ABC不是直角三角形．
所以结论④错误；
设a＝3k，b＝4k，c＝5k，则a2+b2＝9k2+16k2＝25k2，c2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
所以结论⑤正确；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有①、③、⑤，共3个，所以只有选项C正确，符合题意．
故选：C．
3．解：∵面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，
∴AD＝DC＝1，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，（点E在点A的左侧），
∴，
∵点A表示的数是1，
∴点E所表示的数为．
故选：D．
4．解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积．
故选：A．
5．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ACD的周长为28，
∴AC+AD+DC＝28，
∴AC+AD+DB＝AC+AB＝28，又AC＝12，
∴AB＝28﹣12＝16，
设AD＝x，DB＝DC＝16﹣x，
∵AC＝12，BC＝20，AB＝16，162+122＝400＝202，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝12，AD＝x，DC＝16﹣x，
由勾股定理得AD2+AC2＝CD2，即x2+122＝（16﹣x）2，
解得x＝3.5，
即AD＝3.5，
故选：A．
6．解：根据题意，可得AB＝15cm，AC＝2cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝221（cm2），
令OB＝xcm，则OC＝（x﹣2）cm，
由勾股定理得OB2＝BC2+OC2，
得方程x2＝221+（x﹣2）2，
解得，
故选：B．
7．解：由勾股定理可得a2+b2＝c2，
由题意，可得，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
8．解：由题意得：，
，
，
，
∴，，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，CD2﹣AD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝CD2﹣AD2，
∴，
∴S1+S2＝S3﹣S4，
∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，
∴3+1＝7﹣S4，
∴S4＝3，
故选：B．
9．解：过B作BM∥AC，如图，连接DM，
由勾股定理得：DM，BM，BD，AC，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故选：C．
10．解：如图2，
∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI，
∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG，
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b，
∵青出与青入的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，
∴JC＝AM＝b﹣a，
∴BM＝a，
∴CM＝CG，
∵b﹣a＝3，a2+b2＝29，
∴ab12，
∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG
＝a2+b2ab
＝28﹣6
＝22，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵直角三角形的斜边长为，两条直角边长分别为1，a，
∴，
a2＝17﹣1，
∴a＝4 （负值舍去，不符合题意），
故答案为：4．
12．解：由勾股定理及各点可得AC2，BC，AB5，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴hAB2，
故答案为：2；
13．解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2；
在Rt△OAD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+OD2；
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB2+OA2＝AB2＝25；
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝13；
∴BC2+AD2＝OB2+OC2+AO2+OD2＝（OB2+AO2）+（OC2+OD2）＝AB2+CD2＝25+13＝38．
故答案为：38．
14．解：如图，若点D在BC上，
∵AD⊥BC，
∴BD2＝122﹣62，CD2＝102﹣62，
∴BD＝6，CD＝8，
∴BC＝8+6．
同理若点D在BC的延长线上，
BC＝68．
故答案为：8+6或68．
15．解：∵立柱AD垂直平分横梁BC，
∴AB＝AC＝4m，∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴，
∵斜梁增加部分AE的长为1.2m，点E在BA的延长线上，
∴BE＝BA+AE＝5.2m，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∵∠B＝30°，
∴，
∵2.6﹣2＝0.6m，
∴立柱EF相比AD增高了0.6m，
故答案为：0.6．
16．解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴AE，
∴AD＝DE＝2，
∴BD，
∴BC＝2BD＝2，
故答案为：2．
三．解答题
17．解：如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴，
∵AD＝4，DC＝6，
∴（2）2+42＝62，即AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
，
∴四边形ABCD的面积为．
18．解：（1）AB，
故答案为：．
（2）如图所示：
19．解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x，
即ADcm；
（2）AB＝AC12（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
20．解：（1）①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是“奇异三角形”，
故答案为：是；
②∵22＝4，52＝25，，
∴，，，
∴该三角形不是“奇异三角形”，
故答案为：是；
（2）由勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2，即BC2＝AB2﹣AC2．
∵Rt△ABC是奇异三角形，AC＝5，
①AB2+AC2＝2BC2，即AB2+AC2＝2（AB2﹣AC2）．
∴AB2＝3AC2＝3×52＝75．
∴AB＝5（负值已舍去）；
②AB2+BC2＝2AC2，即AB2+AB2﹣AC2＝2AC2．
∴．
∴AB（负值已舍去）；
③AC2+BC2＝AB2≠2AB2，此种情况不成立．
综上，AB的长为5或．
21．解：（1）由题意可知：AC+BC＝8m，
设AC＝xm，则BC＝（8﹣x）m，
∵∠A＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
答：旗杆折断处点C距离地面的高度AC为3m；
（2）∵D点距地面AD＝AC﹣CD＝3﹣1.25＝1.75（m），
∴B1D＝8﹣1.75＝6.25（m），
∴AB16（m），
答：AB1的长为6m．
22．解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于D，
由题意得：AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m．
∵802+602＝1002，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
∴．
答：点C到铁路AB的距离为48m；
（2）对鸟类巢穴造成噪声污染；理由如下：
如图2，CD⊥AB，在AB上取不同的两点E、F，连接CE、CF，使得CE＝CF＝52m．
∴DE＝DF．
在Rt△CDE中，由勾股定理，得：，
∴EF＝2DE＝2×20＝40（m），
∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：．
答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为4s．
23．（1）证明：BD＝CE，理由如下：如图2：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：线段BD、CD、DE之间的数量关系为BD2+CD2＝DE2，
证明如下：如图3：
∵AB＝AC，α＝90°，
∴∠B＝∠BCA＝45°，
同（1）可证△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2；
（3）解：∵α＝90°，AB＝AC＝6，
∴，
①当D在线段BC上时，如图3：
∵，
∴，
由（2）知BD2+CD2＝DE2，
∴，
②当D在CB延长线上时，如图4：
∵，
∴，
∴．
综上所述，DE的长度为或．