人教版八年级数学下册20.1 勾股定理及其应用 同步练习（含答案）

20.1勾股定理及其应用
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．无法计算
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　）
A．2 B．1 C．2 D．1
4.如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角△ABE，△BCF，△ACD，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S3﹣S2＝10，则阴影部分面积为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　）
A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm
7．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
8．如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝10，则BC的长是（　　）
A．13 B．12 C．14 D．
10．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为（　　）
A．52 B．104 C．48 D．96
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解，该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为　 　 ．
12．在△ABC中，AB＝13，AC＝20，AD是BC边上的高，AD＝12，则BC＝　 　 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、点C（4，1），连接AC，点D是x轴上一点，若△ACD是以AC为底边的等腰三角形，则D点的坐标为　 　 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ．
15．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　 　 尺．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AF平分∠CAB，点D为边BC上一点，连接AD．若AD＝BD＝5，则BF的长是　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，求AC的长．
18．（6分）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题．
例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC，点A，B，C都在格点上，比较与的大小．
解：由勾股定理，得，，BC＝1．
在△ABC中，AB+BC＞AC，∴．
请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小．
19．（6分）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米．现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？
20．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE．
（1）试说明：BE2﹣AE2＝AC2；
（2）若AC＝6，BD＝4，求△ACE的周长．
22．（8分）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．
（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当a＝3，b＝4时，求图2中空白部分的面积．
23．（10分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【问题探究】如图（a），已知四边形ABCD是垂美四边形，AC⊥BD，垂足为O．
（1）发现：由勾股定理得DO2+AO2＝　 　 ，BO2+CO2＝　 　 ．
（2）猜想：AB2+CD2　 　 AD2+BC2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【学以致用】如图（b），在△ABE中，∠ABE＝90°，分别以AE和BE为边向外作等腰直角△AED和等腰直角△BEC，∠AED＝∠BEC＝90°，BD与AC相交于点O．
（3）①判断四边形ABCD是不是垂美四边形？请说明理由；
②若，，直接写出DC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
∵AC＝2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AC2＝2×22＝8，则AB2+BC2+AC2的值为8，
故选：B．
2．解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
B、∵，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴整理得：a2+b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴整理得：a2+b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD1，
∵AE＝AD，
∴AE1，
∴点E表示的实数是1．
故选：D．
4．解：由题可知AE＝AB＝3，
在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3，
∴，
∴，
故选：C．
5．解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∴AB2BC2AC2，
即S1+S2＝S3，
∵S1+S3﹣S2＝10，
∴2S1＝10，
∴S1＝5，
∴S阴影AE AB＝S1＝5，
故选：A．
6．解：设铅笔长度为xcm，
已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，
∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122，
解得x＝22，
故铅笔的长为22cm，
故选：A．
7．解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2，
OA3，
…，
∴OAn，
∴OA82．
故选：D．
8．解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接BC，过点B作BD⊥AD于D，
由已知得：，AD＝16﹣4﹣3＝9（cm），CD＝9+6＝15（cm），
在Rt△CDB中，由勾股定理得：，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm．
故选：B．
9．解：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝10，作CD⊥AB交BA的延长线于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC﹣∠D＝120°﹣90°＝30°，
∴，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：，
∵AB＝6，
∴BD＝AD+AB＝5+6＝11，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
故选：C．
10．解：设BD＝BE＝x，
∵AC＝6，CD＝2，
∴AF＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，BC＝x+2，
则AE＝AF＝4，
∴AB＝x+4，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（x+4）2＝62+（x+2）2，
解得：x＝6，
∴BC＝6+2＝8，
∴长方形的面积为：6×8＝48，
故选：C．
二．填空题
11．解：由题意得，，（b﹣a）2＝3，
∴ab＝8，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝3+16＝19，
∴直角三角形的斜边长为．
故答案为：．
12．解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
分两种情况：
①如图1，△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，
由勾股定理得：BD5，
在Rt△ADC中，AC＝20，AD＝12，
由勾股定理得：CD16，
∴BC＝BD+DC＝5+16＝21；
②如图2，同①得：BD＝5，CD＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11；
综上所述，BC的长为21或11．
故答案为：21或11．
13．解：设D（m，0），
∵点A（0，4）、点C（4，1），
∴AD2＝m2+42＝m2+16，
CD2＝（4﹣m）2+1，
由题意可知：AD＝CD，
∴AD2＝CD2，
∴m2+16＝（4﹣m）2+1，
∴，
故答案为：．
14．解：如图，连接AC，
∵S1＝8，S2＝11，S3＝15，
∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AB2+BC2＝26，
∴CD2＝AC2﹣AD2，
∴CD2＝26﹣8＝18，
∴S4＝18，
故答案为：18．
15．解：设木柱长为x尺，根据题意得：
AB2+BC2＝AC2，
则x2+82＝（x+3）2，
解得：x，
答：木柱长为尺．
故答案为：．
16．解：如图，过点F作FE⊥AB于E，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2﹣CD2＝25﹣CD2，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣CB2＝64﹣（5+CD）2，
则25﹣CD2＝64﹣（5+CD）2，
解得：CD＝1.4，
∴AC4.8，BC＝CD+BD＝6.4，
∵AF平分∠CAB，∠C＝90°，FE⊥AB，
∴FC＝FE，
在Rt△ACF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF（HL），
∴AE＝AC＝4.8，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣4.8＝3.2，
在Rt△BEF中，BE2＝BF2﹣EF2，即3.22＝BF2﹣（6.4﹣BF）2，
解得：BF＝4，
故答案为：4．
三．解答题
17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，
根据勾股定理得：．
18．解：构造△DEF，如图2所示；
由勾股定理，得：，，．
在△DEF中，DE+EF＞DF，
∴．
19．解：如图，AM为5千米，BN为10千米，MN的长度为12千米，
设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米，
∵PA＝PB，
由勾股定理得：AM2+PM2＝PA2＝PB2＝PN2+BN2，
∴52+x2＝（12﹣x）2+102，
解得，
∴中转站P应修建在离点M相距千米处．
20．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC＝1，
由勾股定理得，AD2，
∴AD＝BC，
即△ABC是“梦想三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
BC3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，
即BC2﹣（BC）2＝62，
解得，BC4，
综上所述，BC＝3或BC＝4．
21．（1）证明：∵在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
在直角三角形ACE中，∠A＝90°，
由勾股定理得：CE2﹣AE2＝AC2，
∴BE2﹣AE2＝AC2；
（2）解：∵D是斜边BC的中点，BD＝4，
∴BC＝2BD＝8，
在Rt△ABC中，AC＝6，
由勾股定理得：，
∴，
∴△ACE的周长．
22．（1）证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2．
（2）解：当a＝3，b＝4时，c2＝a2+b2＝25，
由图可知，空白部分面积＝以c为边的正方形的面积﹣两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
23．解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴DO2+AO2＝AD2，BO2+CO2＝BC2．
故答案为：AD2，BC2．
（2）在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得：AO2+BO2＝AB2，CO2+DO2＝CD2，
∴AO2+BO2+CO2+DO2＝CD2+AB2，AO2+DO2+CO2+BO2＝CB2+AD2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2．
故答案为：＝．
（3）①如图：四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：
∵△AEB和△DEC是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠AED＝∠DEC+∠AED，即∠AEC＝∠BED，
∴△DEB≌△AEC（SAS）；
∴∠BDE＝∠EAC，
∵∠BFE＝∠AFO，
∠BFE+∠EBF+∠DEF＝∠AFO+∠EAC+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝∠AEB＝90°，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂美四边形．
②∵，，∠AEB＝90°，
∴，
∵△AEB和△DEC是等腰直角三角形，
∴，，
∴DC＝8．