第三章 图形的平移与旋转 能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第三章　能力过关检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．脸谱是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是(　　)
第1题图
　
2．在平面直角坐标系中，将点A(－1，－5)向上平移10个单位长度得到点B，则点B的坐标是(　　)
A．(－11，－5) B．(9，－5) C．(－1，5) D．(－1，－15)
3．下列图形中，是中心对称图形的有(　　)
第3题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，小明将阴影部分的图形绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个美丽的图案，则α的度数可以为(　　)
第4题图
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．如图，将△ABC沿着直线MN平移得到△DEF.若∠ABM＝35°，∠FEN＝45°，则∠DEF的度数为(　　)
第5题图
A．100° B．115° C．125° D．130°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，且A′B恰好经过点C，则A′C的长度为(　　)
第6题图
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，将△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′，则旋转中心是(　　)
第7题图
A．点Q B．点P C．点N D．点M
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是(　　)
第8题图　　
A．80° B．75° C．70° D．50°
9．如图，将Rt△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF.若AB＝10，DH＝4，平移距离为6，则阴影部分的面积为(　　)
第9题图
A．40 B．42 C．45 D．48
10．如图，在△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为(6，0)，将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，其中O的对应点C恰好落在OB上，则点D的坐标为(　　)
第10题图
A．(7，5) B．(7，3) C．(5，5) D．(5，3)
　　
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．在日常生活中，我们经常会见到以下现象：①公园里小朋友荡秋千；②篮球赛中队员之间进行传球；③汽车方向盘的转动；④游乐场摩天轮转动；⑤在传送带上运输货物．其中可以看作旋转的是________．(填序号)
12．如图，△AOB和△COD关于点O中心对称．若∠B＝40°，则∠D的度数为________．
第12题图
13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，连接BD.若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝________．
第13题图
14．如图，一块长95 m、宽55 m的长方形土地上面修了两条宽均为5 m的小路，在这块长方形土地除去小路的部分都种上草坪(图中阴影部分)，则草坪的面积是________m2.
第14题图
15．如图，将两张完全相同的等边三角形硬纸片重合放置，点O是它们的中心，按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O顺时针旋转α(0°<α<360°)，当α的度数为________时，两张硬纸片构成的图形为中心对称图形．
第15题图
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．如图，在△ABC中，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将△ABC沿AB方向平移得到△DEF.若AE＝8 cm，BD＝2 cm，求四边形AEFC的周长．
第16题图
17．如图，△ABC与△DEC关于点C中心对称，连接AE.若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，求AE的长．
第17题图
18．用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形．
(1)要求拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，并在图2中画出来；
(2)要求拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，并在图3中画出来．
第18题图
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．请按以下要求用无刻度直尺作图(保留作图痕迹，不写作法)：
(1)如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)如图2，将△EFG绕点Q逆时针旋转得△E′F′G′，画出点Q.
第19题图
20．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，使边DE恰好经过点B，AB，DC相交于点G，延长AC交DE于点F.
求证：(1)AB⊥DE；
(2)BG＋FB＝BC.
第20题图
21．在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，若点Q的坐标为(ax＋y，x＋ay)，则称点Q是点P的“a阶派生点”(a为常数，且a≠0)．例如：点P(1，4)的“2阶派生点”为点Q(2×1＋4，1＋2×4)，即点Q(6，9).
(1)若点P的坐标为(－1，5)，则它的“3阶派生点”的坐标为________；
(2)若点P(c＋1，2c－1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点P1，点P1的“－4阶派生点”点P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．综合与实践
【信息背景】某校积极开展“校园绿化实践活动”，实践小组的同学们设计在校园中栽种三棵杏树和三棵桃树以及甲、乙两种花卉．
【设计方案】如图，已知三棵杏树的位置用坐标表示分别为点A1(1，2)，A2(3，1)，A3(4，5)，连接A1A2，A2A3，A3A1，将△A1A2A3向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△B1B2B3，在点B1，B2，B3处栽种三棵桃树．
(1)请你根据点A1，A2，A3的坐标建立平面直角坐标系．
(2)画出平移后的△B1B2B3，并直接写出点B1，B2，B3的坐标．
【解决问题】
(3)现将甲、乙两种花卉栽种在△A1A2A3，△B1B2B3内部，每平方单位面积需栽种30棵花卉，则共栽种花卉________棵．
(4)在(3)的条件下，实践小组的同学在采购花卉时，甲种花卉每棵价格为0.7元，乙种花卉每棵价格为0.5元，原价购买这些花卉共需173元．由于购买的数量较多，商家提供给实践小组两种方案进行采购：
方案一：所有花卉采购打八折；
方案二：乙种花卉按原价采购，甲种花卉对不超过60棵数量的部分不打折，对超过60棵数量的部分打五折．
请你帮助计算哪种采购方案更合算？
第22题图
23．【问题情境】如图1，P是等边三角形ABC内一点，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，为求PB的长，小明将△ACP绕点A顺时针旋转60°，使AC与AB重合，得到△ABD，连接DP.由旋转的性质，得∠DAP＝60°，△ACP≌△ABD.∴AD＝AP.∴△ADP是等边三角形．由∠APC＝150°可知，∠PDB的大小，进而可求得PB的长．
【问题解决】(1)∠PDB＝________°，PB的长为________．
(2)若△ABC的面积是 ＋9，求△BCP的面积．
【问题延伸】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
(3)如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且AP＝1，BP＝，CP＝2，求∠APC的度数以及AC的长．
第23题图
第三章　能力过关检测卷
1．D　2.C　3.C　4.B　5.A　6.D　7.C　8.D　9.D　10.B
11．①③④　12.40°　13.　14.4 500　15.60°或180°或300°
16．解：由平移的性质可知，AD＝BE＝CF，EF＝BC＝3.
∵AE＝8，BD＝2，∴AD＋BE＝8－2＝6.
∴AD＝BE＝CF＝＝3.
∴四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18（cm）.
17．解：∵△ABC与△DEC关于点C中心对称，
∴△ABC≌△DEC，A，C，D三点在同一条直线上．
∴∠BAC＝∠D＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1.
∴AD＝AC＋DC＝2.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝＝2.
18．解：（1）按要求拼成的图案如答图1所示．（答案不唯一）
答图1
（2）按要求拼成的图案如答图2所示．（答案不唯一）
答图2
19．解：（1）如答图3，△A1B1C1即为所求．
答图3　　　　 　　　　答图4
（2）如答图4，点Q即为所求．
20．证明：（1）由旋转的性质可知，∠A＝∠D，∠ACD＝90°.
又∵∠DGB＝∠AGC，∴∠DBG＝∠ACD＝90°.∴AB⊥DE.
（2）由旋转的性质可知，∠ABC＝∠E，BC＝EC，∠BCE＝90°.
∵∠ACD＝90°，∴∠DCF＝90°.
∴∠DCF－∠BCF＝∠BCE－∠BCF，即∠BCG＝∠ECF.
又∵BC＝EC，∠GBC＝∠E，∴△CBG≌△CEF（ASA）.
∴BG＝EF.∴BG＋FB＝EF＋FB＝EB.
在Rt△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝EC，
∴EB＝＝BC.∴BG＋FB＝BC.
21．解：（1）（2，14）.
（2）由平移的性质，得点P1的坐标为（c－1，2c）.
∴点P1的“－4阶派生点”点P2的坐标为（－2c＋4，－7c－1）.
①当点P2在x轴上时，－7c－1＝0.解得c＝－.
∴点P2的坐标为.
②当点P2在y轴上时，－2c＋4＝0.解得c＝2.
∴点P2的坐标为（0，－15）.
综上所述，点P2的坐标为或（0，－15）.
22．解：（1）建立平面直角坐标系如答图5所示．
答图5
（2）如答图5，△B1B2B3即为所求．点B1（4，4），B2（6，3），B3（7，7）.
（3）270.
（4）设采购甲种花卉x棵，采购乙种花卉y棵．
由题意，得解得
∴采购甲种花卉190棵，采购乙种花卉80棵．
方案一：总费用为173×0.8＝138.4（元）.
方案二：甲种花卉费用为60×0.7＋（190－60）×0.7×0.5＝87.5（元）.
乙种花卉费用为80×0.5＝40（元），总费用为87.5＋40＝127.5（元）.
∵138.4＞127.5，∴方案二更合算．
23．解：（1）90　5.
（2）如答图6，过点P作PQ⊥AD于点Q.
答图6
∵△ADP是等边三角形，∴AD＝PD＝AP＝3，Q是AD的中点．
∴AQ＝AD＝.
在Rt△APQ中，PQ＝＝＝.
∴S△ADP＝AD·PQ＝×3×＝.
由（1）可知，△BPD是直角三角形．
∴S△BDP＝PD·BD＝×3×4＝6.
∴S△BCP＝S△ABC－（S△ACP＋S△ABP）＝S△ABC－（S△ABD＋S△ABP）＝S△ABC－（S△ADP＋S△BDP）＝＋9－＝4＋3.
（3）如答图7，将△CPA绕点C逆时针旋转90°得到△CGB，连接PG.
答图7
由旋转的性质，得CG＝CP＝2，BG＝AP＝1，∠PCG＝90°，∠BGC＝∠APC.
∴∠CPG＝∠CGP＝＝45°.
在Rt△PCG中，由勾股定理，得PG＝＝4.
∵BG＝1，BP＝，∴PG2＋BG2＝BP2.
∴△PBG是直角三角形，且∠PGB＝90°.
∴∠BGC＝∠CGP＋∠PGB＝135°.
∴∠APC＝∠BGC＝135°.
此时∠APC＋∠CPG＝180°，即A，P，G三点共线．
∴AG＝AP＋PG＝5.
在Rt△ABG中，由勾股定理，得AB＝＝.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2.
又∵AC＝BC，∴2AC2＝AB2＝26.∴AC＝.