第四章 因式分解 能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第四章　能力过关检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．多项式2mx－10nx2的公因式是(　　)
A．2 B．x C．2x D．2mm
2．下列因式分解正确的是(　　)
A．xy－y2＝y(x－y) B．x2－9＝(x＋9)(x－9)
C．4x2－4x＋1＝(4x－1)2 D．2x2－6x＋2＝2(x2－3x)
3．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋9 B．a2－6a＋9 C．－a2－9 D．a2－9
4．已知x－2y＝－2，x＋2y＝3，则代数式x2－4y2的值为(　　)
A．－6 B．6 C．－1 D．1
5．分解因式－9x3＋6x2－3x时，提出公因式后，另一个因式是(　　)
A．3x2－2x B．3x2－2x－1 C．－9x2＋6x D．3x2－2x＋1
6．如果多项式x2＋mx＋81是完全平方式，那么m的值是(　　)
A．18 B．36 C．±18 D．±36
7．把多项式4xy2－24xy＋36x分解因式，结果正确的是(　　)
A．x(2y＋6)2 B．2x(y－3)2 C．4x(y－6)2 D．4x(y－3)2
8．若多项式x2＋mx－10因式分解的结果为(x－5)(x＋n)，则m＋n的值为(　　)
A．5 B．－1 C．－5 D．1
9．对于任意整数n，多项式(4n＋5)2－9都能(　　)
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被6或8整除
10．已知长方体的长、宽、高分别为正整数a，b，c，且满足ab－2bc＝2，a＋c＝2b，则长方体的表面积是(　　)
A．20 B．22 C．24 D．26
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：－8x3＋6x2＝________．
12．用简便方法计算：9992＋2×999＋12＝________．
13．已知(m＋2n)2＋2m＋4n＋1＝0，则(m＋2n)2 025的值为________．
14．甲、乙两位同学在对多项式x2＋bx＋c分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是(x－4)(x＋5)，乙看错了c的值，分解的结果是(x＋3)(x－4)，那么多项式x2＋bx＋c分解因式正确的结果为________．
15．如图，某圆环形绿化带的外圆半径为6.75 m，内圆半径为3.25 m，现有一块宽为7 m的长方形绿化带的面积与该圆环形绿化带的面积相同，则这块长方形绿化带的长为________m．(结果保留π)
第15题图
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．分解因式：
(1)9x2－25; 　　　　　　(2)4＋12(x－y)＋9(x－y)2.
17．分解因式：
(1)8x2y－2y; 　　　　　　(2)x2(m－2)＋y2(2－m).
18．已知x－3y＝－3，xy＝6，求代数式x3y－6x2y2＋9xy3的值．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l，m旋转一周，可以得到立体图形①，②，图形甲是直角边分别为a，3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a，b的长方形．已知a>b，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想．(提示：V圆锥＝πr2h，V圆柱＝πr2h.)
第19题图
20．【发现】对于一个个位数字与十位数字不同的两位数，我们可以记为(a≠b)，即＝10a＋b.将这个两位数的十位数字和个位数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个两位数的平方差(用较大数的平方减较小数的平方)一定是99的倍数．
【证明】(1)请利用因式分解的知识证明该发现；
【应用】(2)根据(1)中的证明过程简便计算：432－342＋212－122.
21.阅读某同学对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解的过程，回答问题：
解：设x2－2x＝y.
原式＝y(y＋2)＋1..................................第一步
＝y2＋2y＋1...................................第二步
＝(y＋1)2........................................第三步
＝(x2－2x＋1)2. ..........................第四步
(1)该同学第二步到第三步运用了________．(填字母)
A．提取公因式　　　 B．平方差公式　　　 C．完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出该因式分解的最终结果．
(3)请你参考上述方法，对多项式(x2－2)(x2－6)＋4进行因式分解．
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实践
【知识再现】(1)在用图形验证平方差公式时，我们先在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图①)，再把余下的阴影部分剪拼成一个长方形(如图②)，根据图①、图②中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的等式：________________________．
【知识迁移】(2)在边长为a的正方体中挖去一个边长为b的小正方体后(如图③)，把余下的部分切割拼成一个几何体(如图④).根据图③、图④中几何体体积的关系，可以得到一个关于a，b的等式：a3－b3＝______________________．(结果写成整式的积的形式)
【知识运用】(3)已知a－b＝4，ab＝3，求a3－b3的值．
　
图①　　　　图②　　　　　图③　　　　　　图④
第22题图
23．【阅读理解】拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式．
【实例分析】例如：分解因式：x2＋4x－5.
解：原式＝x2＋5x－x－5.....................................拆项
＝(x2＋5x)－(x＋5)...............................分组
＝x(x＋5)－(x＋5)................................组内分解因式
＝(x＋5)(x－1). .................................最终分解结果
【问题解决】
(1)因式分解：①x2＋5x＋6；②x3－2x2＋1.
(2)已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ac＋bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【问题拓展】
(3)若多项式ax2＋bx＋c通过拆项分组法分解为(mx＋p)(nx＋q)(m，n，p，q为常数)．因为(mx＋p)(nx＋q)＝mnx2＋mqx＋pnx＋pq＝mnx2＋(mq＋pn)x＋pq，与ax2＋bx＋c对应，所以a＝mn，b＝mq＋pn，c＝pq.在拆项分组过程中，要将bx拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解．试一试，把3x2－11x＋6因式分解．
第四章　能力过关检测卷
1．C　2.A　3.D　4.A　5.D　6.C　7.D　8.B　9.C　10.B
11．－2x2（4x－3）　12.1 000 000　13.－1　14.（x＋4）（x－5）
15．5π
16．解：（1）原式＝（3x＋5）（3x－5）.
（2）原式＝22＋2·2·3（x－y）＋[3（x－y）]2
＝[2＋3（x－y）]2
＝（2＋3x－3y）2.
17．解：（1）原式＝2y（4x2－1）＝2y（2x＋1）（2x－1）.
（2）原式＝（m－2）（x2－y2）＝（m－2）（x＋y）（x－y）.
18．解：原式＝xy（x2－6xy＋9y2）＝xy（x－3y）2.
当x－3y＝－3，xy＝6时，
原式＝6×（－3）2＝6×9＝54.
19．解：图形①的体积更大．证明如下：
设图形①，②的体积分别为V1，V2.
由题意，得V1＝πa2×3b＝πa2b，V2＝πb2a.
∴V1－V2＝πa2b－πb2a＝πab（a－b）.
∵a>b>0，∴V1－V2>0，即V1＞V2.
∴图形①的体积更大．
20．（1）证明：假设a＞b，则（）2－（）2＝（10a＋b）2－（10b＋a）2＝（10a＋b＋10b＋a）（10a＋b－10b－a）＝（11a＋11b）·（9a－9b）＝99（a＋b）（a－b）.
∴这两个两位数的平方差一定是99的倍数．
（2）解：原式＝（432－342）＋（212－122）＝99×（4＋3）×（4－3）＋99×（2＋1）×（2－1）＝99×（4＋3＋2＋1）＝99×10＝990.
21．解：（1）C.
（2）不彻底．（x－1）4.
（3）设x2－2＝y.
原式＝y（y－4）＋4＝y2－4y＋4＝（y－2）2＝（x2－2－2）2＝（x2－4）2＝（x－2）2（x＋2）2.
22．解：（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）.
（2）（a－b）（a2＋ab＋b2）.
（3）∵a－b＝4，ab＝3，
∴a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝42＋2×3＝22.
∴a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）＝4×（22＋3）＝100.
23．解：（1）①原式＝x2＋2x＋3x＋6＝x（x＋2）＋3（x＋2）＝（x＋2）（x＋3）.
②原式＝x3－x2－x2＋1＝（x3－x2）－（x2－1）＝x2（x－1）－（x－1）（x＋1）＝（x－1）（x2－x－1）.
（2）△ABC是等边三角形．理由如下：
∵a2＋b2＋c2＝ac＋bc，
∴a2＋b2＋2c2＝2ac＋2bc，a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，
a2－2ac＋c2＋c2－2bc＋b2＝0，（a－c）2＋（c－b）2＝0.
又∵（a－c）2≥0，（c－b）2≥0，
∴a－c＝0，c－b＝0.∴a＝c＝b.∴△ABC是等边三角形．
（3）将多项式3x2－11x＋6通过拆项分组法分解为（mx＋p）·（nx＋q）（m，n，p，q为常数），
∵（mx＋p）（nx＋q）＝mnx2＋（mq＋pn）x＋pq，与3x2－11x＋6对应，
∴mn＝3，b＝mq＋pn＝－11，pq＝6.∴mnpq＝18，
即mq·pn＝18.
∵－2＋（－9）＝－11，－2×（－9）＝18，
∴－11x可拆分为－2x和－9x.
∴3x2－11x＋6＝3x2－2x－9x＋6＝x（3x－2）－3（3x－2）＝（3x－2）（x－3）.