第五章 分式与分式方程 能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第五章　能力过关检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列代数式：，，，，，其中属于分式的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列分式中，一定有意义的是(　　)
A． B． C． D．
3．下列等式一定成立的是(　　)
A．＝ B．＝ C．＝－ D．＝
4．下列各式中，是最简分式的是(　　)
A． B． C． D．
5．计算 ＋ 的结果是(　　)
A． B． C．3 D．2
6．解分式方程 －＝1时，去分母后变形为(　　)
A．x2－2＝1 B．x2－2(x－1)＝1
C．x2－2(x－1)＝x(x－1) D．x2－2x－1＝x(x－1)
7．若分式 的值为0，则x的值是(　　)
A．0或3 B．3 C．－3 D．3或－3
8．(2025无锡)小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6 km，小亮骑行时间比小红少用了4 min.设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为(　　)
A．＋＝ B．＋4＝
C．－＝ D．－4＝
9．已知关于x的分式方程 －＝4的解为非负数，则a的取值范围是(　　)
A．a≥－4 B．a＞－4
C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
10．若a2＋b2－6ab＝0，且a≠0，b≠0，则 的值为(　　)
A． B． C．2 D．1
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．分式 与 的最简公分母是________．
12．请你写出一个分母中含有字母x的分式，并满足当x＝－2时，该分式的值为1：________．
13．计算：·＝________．
14．若实数A，B满足 －＝，则A－B＝________．
15．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水________吨．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：
(1)－； (2)·.
17．解方程：
(1)＝； (2)＋1＝.
18．先化简，再求值：÷，其中a＝－1.
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．已知关于x的分式方程 ＋3＝.
(1)若该方程的根为x＝3，求m的值；
(2)若该方程有增根，求m的值．
20．某乡镇政府准备对一条长为3 200 m的道路进行绿化，工人按原计划绿化800 m后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20%，共用28天完成了全部任务．
(1)原计划每天绿化道路多少米？
(2)已知承包商原计划每天支付工人工资5 000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
21．(2025佛山期末)花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙种花卉的进价比甲种花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙种花卉的数量与用102元购买的甲种花卉的数量相同，运输过程中甲种花卉的数量会损失5%，乙种花卉的数量会损失10%.
(1)求甲、乙两种花卉的进价．
(2)如果花店在进价的基础上提高10%作为售价，假设花店只购进甲、乙中的一种花m箱．
如果花店只购入甲种花卉，最终的销售额为__________元；(用含m的代数式表示，无需化简)
如果花店只购入乙种花卉，最终的销售额为__________元；(用含m的代数式表示，无需化简)
花店为了不亏本，应该选择购买________花卉．(填“甲种”或“乙种”或“任意一种”)
(3)现花店打算只购进乙种花卉，请通过计算说明乙种花卉的售价最低应在进价的基础上提高百分之几，才能使得花店获得至少15%的利润．(精确到1%)
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实践
【活动主题】探究奶茶的甜度．
【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度＝×100%.(注：所加入的糖均能完全溶解)
【问题背景】某奶茶店一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为全糖；含糖量0.7b克，称甜度为七分糖；含糖量0.5b克，称甜度为五分糖；含糖量0.3b克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．
(1)当a＝500，b＝50时，往一杯a克的七分糖奶茶中再加入多少克糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？
(2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯a克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了0.2b克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？
23．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程＋1＝b的解是x＝，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程＋1＝b的一个“关联数对”．
例如：因为a＝2，b＝－5使得关于x的分式方程＋1＝－5的解是x＝＝－，所以数对[2，－5]就是关于x的分式方程＋1＝b的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”．若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”．
①[1，1](________)；②[3，－5](________).
(2)若数对是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对[m－k，k](m≠－1且m≠0，k≠1)是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，且关于x的方程kx－m＋1＝－x有整数解，求整数m的值．
第五章　能力过关检测卷
1．B　2.A　3.D　4.A　5.D　6.C　7.B　8.A　9.C　10.C
11．2（x－1）　12.－（答案不唯一）　13.　14.2　15.　
16．解：（1）原式＝－
＝
＝－.
（2）原式＝·＝.
17．解：（1）方程的两边都乘（x－2）（2x－3），
得2x－3＝3（x－2）.
解这个方程，得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的根．
（2）方程的两边都乘2（3－x），
得1－x＋2（3－x）＝－2.
解这个方程，得x＝3.
经检验，x＝3是原分式方程的增根．
∴原分式方程无解．
18．解：原式＝·＝· ＝.
当a＝－1时，原式＝＝.
19．解：（1）将x＝3代入原分式方程，得3＋m＋3＝1.
解得m＝－5.∴m的值为－5.
（2）方程两边都乘（x－2），得x＋m＋3（x－2）＝1.
解得x＝.
∵该分式方程有增根，∴x＝2.∴ ＝2.解得m＝－1.
∴m的值为－1.
20．解：（1）设原计划每天绿化道路x m.
根据题意，得 ＋＝28.解得x＝100.
经检验，x＝100是所列方程的根，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100 m.
（2）800÷100＝8（天），28－8＝20（天）.
5 000×8＋5 000×（1＋40%）×20＝180 000（元）.
答：承包商共需支付工人工资180 000元．
21．解：（1）设乙种花卉的进价是x元/箱，则甲种花卉的进价是（x＋5）元/箱．
根据题意，得＝.解得x＝80.
经检验，x＝80是所列方程的根，且符合题意．
∴x＋5＝80＋5＝85.
答：甲种花卉的进价是85元/箱，乙种花卉的进价是80元/箱．
（2）85×（1＋10%）×（1－5%）m　80×（1＋10%）×（1－10%）m　甲种．
（3）设乙种花卉的售价应在进价的基础上提高y%.
根据题意，得（1＋y%）×（1－10%）－1≥15%.
解得y≥≈27.8.∴y的最小值为28.
答：乙种花卉的售价最低应在进价的基础上提高28%，才能使得花店获得至少15%的利润．
22．解：（1）当a＝500，b＝50时，
七分糖奶茶的含糖量为0.7b＝0.7×50＝35（克），
全糖奶茶的甜度为×100%＝10%.
设往七分糖奶茶中再加入x克糖才能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后的含糖量为 （35＋x） 克，奶茶总质量为 （500＋x）克，其甜度为×100%.
根据题意，得×100%＝10%.解得x＝.
经检验，x＝是所列方程的根，且符合题意．
答：再加入 克糖才能跟全糖奶茶的甜度一样．
（2）五分糖奶茶的甜度为.
三分糖奶茶的含糖量为0.3b克，加入0.2b 克糖后，含糖量变为0.5b克，奶茶总质量为（a＋0.2b）克，
此时奶茶的甜度为.
∵0＜a＜a＋0.2b，∴＞.
∴五分糖奶茶的甜度更大．
23．解：（1）①×　②√.
（2）∵数对是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，
∴＋1＝－－n的解为x＝＝－.
∴＋1＝－－n.解得n＝4.
经检验，n＝4是关于n的分式方程的解．∴n的值为4.
（3）∵数对[m－k，k]（m≠－1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，
∴＋1＝k的解为x＝＝.
∴＋1＝k.解得k＝.
将k＝代入kx－m＋1＝－x，
得 x－m＋1＝－x.
解得x＝＝＝1－.
∵关于x的方程kx－m＋1＝－x有整数解，
∴m＋1＝±1或m＋1＝±2.
解得m＝0或m＝－2或m＝1或m＝－3.
∵m≠－1且m≠0，k＝≠1，∴m＝－2或m＝－3.