第一章 三角形的证明 能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第一章　能力过关检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC的长为(　　)
A.4 B．6 C．8 D．10
2．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，AC＝AD，则∠2的度数是(　　)
第2题图
A．115° B．120° C．125° D．130°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝6，AC＝5，则AD长为(　　)
第3题图
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若∠B＝22.5°，AC＝3，则CE的长为(　　)
第4题图
A．6 B．3 C．6 D．3
5．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE.若添加一个条件后，能直接用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，则添加的条件可以是(　　)
第5题图
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AC＝DF
　 　　　
6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE的度数是(　　)
第6题图
A．10° B．15° C．20° D．25°
7．下列命题的逆命题是假命题的是(　　)
A．直角三角形的两个锐角互余 B．等边三角形的三个内角都相等
C．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0 D．等边对等角
8．如图，地面上的三个洞口A，B，C恰好分别位于一个三角形的三个顶点处，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为了能同时顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在(　　)
第8题图
A．△ABC的三条角平分线的交点处
B．△ABC的三条中线的交点处
C．△ABC的三条高所在直线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
9．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为(　　)
第9题图
A．10 B．12 C．14 D．15
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D.下列结论：①EF＝BE＋CF；②∠BOC＝90°＋∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.其中正确的结论有(　　)
第10题图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，则∠A的度数是________．
12．用反证法证明命题“在一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设：________________________________．
13．如图，等边三角形ABC的边长为6，以点B为原点，边BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为________．
第13题图
14．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为________．
第14题图
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使点B落在边AC上的点F处．若∠CFD＝63°，且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为________．
第15题图
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E为边BC上两点，且AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．
第16题图
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点A作AD⊥AB，交BE的延长线于点D.求证：点A在线段DE的垂直平分线上．
第17题图
18．图1是某市地铁入口的双闸门，图2是其示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝55 cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度．
第18题图
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且点D到A，B两点的距离相等．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AD，若AC＝3，BC＝9，求CD的长．
第19题图
20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝50°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF＝25°，连接DE.求证：DE平分∠ADC.
第20题图
21．如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，且BE＝AD，△CDE是等边三角形．
第21题图
(1)求证：BE⊥AC；
(2)若AD＝6，求BF的长．
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．【问题情境】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60 cm，动点P，Q分别同时从A，B两点出发，在AB，BC边上匀速移动，点P的运动速度为2 cm/s，点Q的运动速度为1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s.
【问题初探】(1)用含t的代数式分别表示线段BQ和CQ的长．
【问题解决】(2)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(3)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
第22题图
23．综合与探究
在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，连接BD并延长至点E，连接AE，CE，∠BEC＝∠BAC.
【初步探究】(1)如图1，当∠BAC＝60°时，求证：BE＝AE＋CE.
为了解决这一问题，八年级2班数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“如图2，在BE上截取BH＝CE，连接AH”，请你按照该思路写出证明过程．
【深入领会】(2)如图3，当∠BAC＝90°时，(1)中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出AE，BE，CE之间的数量关系．
【问题解决】(3)如图4，在(2)的条件下，在BE上截取BF＝CE，连接CF，点G在EF上，连接AG.若∠EAG＝75°，∠BAG＝∠ACF，CF＝4，求AG的长．
第23题图
第一章　能力过关检测卷
1．B　2.A　3.D　4.D　5.D　6.C　7.C　8.D　9.C　10.A
11．22.5°　12.在一个三角形中有两个角是钝角　13.（3，3）
14．2　15.42°或51°　
16．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝30°.
∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠CAD＝∠BAE＝90°.
∴∠ADE＝∠AED＝60°.
∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝60°＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
17．证明：∵AD⊥AB，∴∠D＋∠ABD＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠CEB＋∠CBE＝90°.
又∵∠CEB＝∠AED，∴∠AED＋∠CBE＝90°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBE.
∴∠D＝∠AED.∴AD＝AE.
∴点A在线段DE的垂直平分线上．
18．解：如答图1，过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F.
答图1
∵AC＝BD＝55 cm，∠ACP＝∠BDQ＝30°，
∴AE＝AC＝ cm，BF＝BD＝ cm.　
∴两机箱之间的最大宽度为AE＋BF＋AB＝×2＋10＝65（cm）.
19．解：（1）如答图2，点D即为所求．
答图2
（2）如答图2.∵点D到A，B两点的距离相等，∴AD＝BD.
设CD＝x，则AD＝BD＝BC－CD＝9－x.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，
即32＋x2＝（9－x）2.解得x＝4.∴CD＝4.
20．证明：如答图3，过点E分别作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H.
答图3
∵EF⊥AB，∠AEF＝25°，
∴∠FAE＝90°－∠AEF＝65°.
∵∠BAD＝50°，
∴∠CAD＝180°－∠BAD－∠FAE＝65°.
∴∠FAE＝∠CAD，即AC平分∠DAF.
又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF＝EG.
∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AF，EH⊥BC，
∴EF＝EH.∴EG＝EH.∴DE平分∠ADC.
21．（1）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD，∠D＝∠ECD＝60°.
∵△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°.
∴∠ACD－∠ACE＝∠BCE－∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD＝60°，∠CAD＝90°－∠D＝30°.
又∵AD＝BE，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）.
∴∠CAD＝∠CBE＝30°.
∴∠CFB＝180°－∠CBE－∠ACB＝90°.∴BE⊥AC.
（2）解：∵∠CBE＝30°，∠BCE＝90°，
∴CE＝BE＝AD＝3.
∵∠ECF＝∠ACD－∠ECD＝30°，BE⊥AC，
∴EF＝CE＝.∴BF＝BE－EF＝AD－EF＝6－＝.
22．解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60 cm，
∴BC＝AB＝30 cm.
由题意，得BQ＝t cm.∴CQ＝BC－BQ＝（30－t）cm.
（2）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30° ，∴∠B＝60°.
由题意，得AP＝2t cm，0≤t≤30.
∴BP＝（60－2t） cm.
∵△PBQ为等边三角形，∴BP＝BQ，即60－2t＝t.
解得t＝20.∴当t＝20时，△PBQ为等边三角形．
（3）若△PBQ为直角三角形，分以下两种情况：
①当∠BQP＝90°时，
∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°.
∴BP＝2BQ，即60－2t＝2t.解得t＝15.
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°.
∴BQ＝2BP，即t＝2（60－2t）.
解得t＝24.
综上所述，当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．
23．（1）证明：∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°－∠BAC－∠ADB＝180°－∠BEC－∠CDE，
即∠ABH＝∠ACE.
在△ABH和△ACE中，
∴△ABH≌△ACE（SAS）.∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE.
∴∠HAE＝∠HAC＋∠CAE＝∠HAC＋∠BAH＝∠BAC＝60°.
∴△HAE为等边三角形．∴AE＝HE.
∴BE＝HE＋BH＝AE＋CE.
（2）解：不成立．BE＝AE＋CE.
【提示】如答图4，在BE上截取BH＝CE，连接AH.
答图4
同理可证，△ABH≌△ACE（SAS）.
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE.
∴∠HAE＝∠HAC＋∠CAE＝∠HAC＋∠BAH＝∠BAC＝90°.
∴△HAE为等腰直角三角形．∴HE＝AE.
∴BE＝HE＋BH＝AE＋CE.
（3）解：如答图5，连接AF，过点A作AM⊥EF于点M.
答图5
∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°－∠BAC－∠ADB＝180°－∠BEC－∠CDE，
即∠ABF＝∠ACE.
在△ABF和△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS）.∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE.
∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠FAC＋∠BAF＝∠BAC＝90°.
∴△FAE为等腰直角三角形．∴∠AEF＝∠AFE＝45°.
∵∠EAG＝75°，
∴∠AGE＝180°－∠EAG－∠AEG＝180°－75°－45°＝60°.
∵∠ABG＝∠ACE，∠BAG＝∠ACF，
∴∠ABG＋∠BAG＝∠ACE＋∠ACF，即∠ABG＋∠BAG＝∠FCE.　
∵∠ABG＋∠BAG＝∠AGE＝60°，∴∠FCE＝60°.
∵∠BEC＝∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°－∠FCE＝30°.
∴CE＝CF＝2.
∴EF＝＝＝6.
∵△FAE为等腰直角三角形，AM⊥EF，
∴AM＝EM＝FM＝EF＝3.
∵∠AGM＝60°，AM⊥EF，
∴∠GAM＝90°－∠AGM＝30°.∴GM＝AG.
∵AG2＝AM2＋GM2，∴AG2＝32＋.
解得AG＝2.