期末一 能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

期末一　能力过关检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列代数式中，是分式的是(　　)
A．x＋y B． C．－ D．
2．人工智能与5G时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能APP图标中，是中心对称图形的是(　　)
3．若a＞b，则下列各式一定成立的是(　　)
A．a－b＜0 B．－＞－
C．a(c2＋1)＞b(c2＋1) D．2a－1＜2b－1
4．如图，某社会实践学习小组为测量学校A与河对岸江景房B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝300 m，由此可求得学校A与江景房B之间的距离为(　　)
A．150 m B．600 m C．800 m D．1 200 m
　　　　　
第4题图 第5题图
5．如图，在 ABCD中，BE⊥AB，交对角线AC于点E.若∠2＝130°，则∠1的度数为(　　)
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．下列命题正确的是(　　)
A．周长相等的两个直角三角形全等
B．如果a2＝b2，那么a＝b
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．将分式 中x，y的值都扩大10倍，分式的值不变
7．(2025凉山州)已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引(▲)条对角线(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规作出射线AE，交BC于点D，CD＝5，P为AB上一动点，则PD的最小值为(　　)
第8题图
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象相交于点P(－2，－5)，则根据图象，不等式3x＋b＞ax－3的解集是(　　)
第9题图
A．x＞－5 B．x＞－2 C．x＞－3 D．x＜－2
10．已知a，b，c分别为△ABC的三条边的边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：xy－x＝________．
12．将点P(－2，－3)向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则其平移后的坐标为________．
13．将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________ cm.
　　　　　
第13题图
14．已知关于x的不等式(a－2)x＞4－2a的解集为x＜－2，则a的取值范围是________．
15．如图，在 ABCD中，AB＝10 cm，动点P从点A出发，以4 cm/s的速度沿射线AE方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以2 cm/s的速度沿线段CD匀速运动，点Q运动到点D时两点同时停止运动．设运动的时间为t s, 当以P，B，C，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是________．
第15题图
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解不等式组并在数轴上表示其解集．
(1)解不等式①，得________．
(2)解不等式②，得________．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
第16题图
(4)原不等式组的解集为________．
17．先化简，再求值：÷，其中x为满足－1＜x＜3的整数．
18．如图，在△ABC中，已知ND＝ME，且ND⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，BM＝CN.求证：∠B＝∠C.
第18题图
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4).
(1)请画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标为________．
第19题图
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△ADE，连接BD，BE.
(1)判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求证：BE平分∠ABD.
第20题图
21．【观察】(2＋3)2－22＝(2＋3＋2)×(2＋3－2)＝7×3；
(4＋3)2－42＝(4＋3＋4)×(4＋3－4)＝11×3；
(6＋3)2－62＝(6＋3＋6)×(6＋3－6)＝15×3；
……
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除．
【验证】(1)若这个偶数是10，通过计算判断13和10的平方差能否被3整除？
(2)若设这个偶数为2n(n为整数)，试判断比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除？并说明理由．
【延伸】(3)试判断比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除？并说明理由．
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．综合与实践
如何分配工作，使公司支付的总费用最少
素材1 某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2 160个传统艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 第22题图
素材2 经调查，安排甲部门生产的费用为4 800元/天，安排乙部门生产的费用为3 000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不能超过乙部门工作天数的一半．
问题解决：
任务1：确定工作效率
求甲、乙两部门每天分别生产多少个传统艺术织品．
任务2：拟订分配方案
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品________个，乙部门工作________ 天．
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使完成任务时该公司支付的总费用最少？最少需要多少元？
23．综合探究
综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
问题初探
(1)如图1，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点C的对应点为点C′，点B与点D′重合，猜想AE和CF之间的数量关系，并说明理由；
迁移探究
(2)如图2，连接AC′，与BD交于点P，猜想AC′和EF之间的位置关系，并说明理由；
拓展探索
(3)如图3，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与点D′重合，连接AC′，请直接写出AC′和EF之间的位置关系．
第23题图
期末一　能力过关检测卷
1．C　2.A　3.C　4.B　5.B　6.C　7.B　8.D　9.B　10.B
11．x（y－1）　12.（1，－1）　13.2　14.a＜2　15.或5　16.解：（1）x≥.
（2）x＜4.
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如答图1所示．
答图1
（4）≤x＜4.
17．解：原式＝÷＝·＝.　
∵x（x－1）≠0，x＋1≠0，且x为满足－1＜x＜3的整数，
∴x＝2.
当x＝2时，原式＝＝3.
18．证明：∵BM＝CN，∴BM－MN＝CN－MN，即BN＝CM.
∵ND⊥AB，ME⊥AC，∴∠BDN＝∠CEM＝90°.
又∵ND＝ME，
∴Rt△BND≌Rt△CME（HL）.∴∠B＝∠C.
19．解：（1）如答图2，△A1B1C1即为所求．
答图2
（2）（2，0）.
20．（1）解：△ABD为等边三角形．理由如下：
由旋转的性质，得AB＝AD，∠BAD＝60°.
∴△ABD为等边三角形．
（2）证明：由旋转的性质，得AE＝AC，DE＝BC.
∵AC＝BC，∴AE＝DE.
由（1），得△ABD为等边三角形，∴AB＝DB.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△DBE（SSS）.
∴∠ABE＝∠DBE.∴BE平分∠ABD.
21．解：（1）132－102＝（13＋10）×（13－10）＝23×3.
∴13和10的平方差能被3整除．
（2）能被3整除．理由如下：
（2n＋3）2－（2n）2＝（2n＋3＋2n）（2n＋3－2n）＝3（4n＋3）.
∵n为整数，∴比2n大3的数与2n的平方差能被3整除．
（3）能被9整除．理由如下：
设这个整数为m，则比m大9的数为m＋9.
（m＋9）2－m2＝（m＋9＋m）（m＋9－m）＝9（2m＋9）.
∵m为整数，∴比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能被9整除．
22．解：任务1：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品．
根据题意，得－＝18.解得x＝60.
经检验，x＝60是所列方程的根，且符合题意．
∴2x＝2×60＝120.
答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品．
任务2：①120m　（36－2m）.
②根据题意，得m≤（36－2m）.解得m≤9.
设支付的总费用为w元．
根据题意，得w＝4 800m＋3 000（36－2m）＝－1 200m＋108 000.
∵－1 200＜0，∴w随m值的增大而减小．
∴当m＝9时，w取得最小值，最小值为－1 200×9＋108 000＝97 200，此时36－2m＝36－2×9＝18.
答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使完成任务时该公司支付的总费用最少，最少需要97 200元．
23．解：（1）AE＝CF.理由如下：
∵O是 ABCD对角线的交点，
∴DO＝BO，AD∥BC，AD＝BC.
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO.
在△DEO和△BFO中，
∴△DEO≌△BFO（AAS）.∴DE＝BF.
∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF.
（2）AC′∥EF.理由如下：
由折叠的性质，得C′F＝CF，C′B＝CD，∠BC′F＝∠C，∠EOB＝∠EOD＝90°.
由（1），得AE＝CF.∴AE＝C′F.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠C.
∴AB＝C′B，∠BAE＝∠BC′F.
在△ABE和△C′BF中，
∴△ABE≌△C′BF（SAS）.
∴∠ABE＝∠C′BF，BE＝BF.∴△BEF是等腰三角形．
由（1），得△DEO≌△BFO.
∴EO＝FO.∴∠EBO＝∠FBO.
∴∠EBO＋∠ABE＝∠FBO＋∠C′BF，即∠ABO＝∠C′BO.
∵AB＝C′B，∴AC′⊥BP.∴∠APB＝90°＝∠EOB.
∴AC′∥EF.
（3）AC′∥EF.
【提示】如答图3，分别延长ED′，FB相交于点I，连接AI，C′I，连接IO交AC′于点J.
答图3
易得∠D′EF＝∠DEF＝∠EFB.
∴IE＝IF.
∴△IEF为等腰三角形．
又∵EO＝FO，
∴IO⊥EF，∠EIO＝∠FIO.
∴∠EOI＝∠FOI＝90°.
设∠D′EF＝∠DEF＝∠EFB＝x，
则∠AEI＝180°－2x，∠EFC′＝∠EFC＝180°－x.
∴∠C′FI＝2（180°－x）－180°＝180°－2x.
∴∠AEI＝∠C′FI.
又∵AE＝C′F，IE＝IF，∴△AEI≌△C′FI（SAS）.
∴AI＝C′I，∠AIE＝∠C′IF.
∴∠AIE＋∠EIO＝∠C′IF＋∠FIO，
即∠AIO＝∠C′IO.∴IJ⊥AC′.∴AC′∥EF.