河北省邢台市第二中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段测评数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 河北省邢台市第二中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段测评数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 758.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-05 00:00:00 | ||
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文档简介
河北邢台市第二中学等校2025-2026学年高一下学期3月阶段测评数学试题
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．的内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设为所在平面内一点，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，均为单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
8．在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若非零向量，满足，则，，三点共线
C．若，则向量与的夹角为钝角
D．若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使
10．已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，，则（ ）
A．为直角三角形 B．
C． D．
三、填空题
12．已知正方形的边长为1，为正方形所在平面上的一点，则________．
13．已知，关于的方程的一个根为，为虚数单位，另一个根为，则________；若复数满足，则的最小值为________.
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，是的外心，，则________，的最小值为________．
四、解答题
15．已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若为实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
17．已知四边形为平行四边形，，，．
(1)求的坐标；
(2)若是直线上一点，且，求．
18．在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点．
(1)设，，试用，表示；
(2)若，求；
(3)若，，求的最小值．
19．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，，求最大角的余弦值；
(2)若，求的最大值；
(3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值．
参考答案
1．B
【详解】因为，
所以其虚部为1．
2．A
【详解】因为，所以，解得．
3．D
【详解】由正弦定理，可得，所以．
4．B
【详解】因为，
所以，即．
5．B
【详解】由题意和图形可得，复数，，
所以．
6．D
【详解】因，，均为单位向量，
则，解得，
所以向量在向量上的投影向量为．
7．A
【详解】因为，，
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由余弦定理可得，则．
8．A
【详解】在中，由，所以，则，
设，所以，
所以的最小值为点到直线的距离，
因为的最小值为1，所以.
9．BD
【详解】对于A，当时，满足，，但不一定得到，A错误；
对于B，由，得与为平行向量，又向量与有公共点，因此三点共线，B正确；
对于C，当两个非零向量与反向时，满足，C错误；
对于D，向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，使，D正确.
10．BC
【详解】对于A，取，且，则，，显然，故A错误；
对于B，设，则，故B正确；
对于C，由可得，因为是非零复数，所以，即，故C正确；
对于D，取，，则，，故D错误.
11．BD
【详解】由题可知，
故，
故，，当且仅当时，等号成立．
又，当且仅当时，等号成立，
所以，故，，，A错误．
由正弦定理可得，解得，B正确．
，，C错误．
易知，D正确．
12．
【详解】．
13．
【详解】因为和是实系数一元二次方程的两个根，所以，是共轭复数，故．
设，则，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示在复平面内到圆上对应的点的距离，
点到圆心的距离为，所以的最小值为．
14． /0.25
【详解】，可得．
(为外接圆的半径)，
，，，故．
又，且，
，，
．
，，，
（，）．
令，，则，在上单调递增，
∴当时，取得最小值，，
．
15．(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．
（2）由复数为实数，可得，
解得或．
（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
16．(1)
(2)．
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，
即，即，
因为，所以，即．
（2）．
利用正弦定理得．
而，
故的面积．
17．(1)
(2)．
【详解】（1）设的坐标为，因为，，，所以，．
因为四边形为平行四边形，所以，
所以解得，，故的坐标为．
（2）因为是直线上一点，所以设，
所以，
则，
解得，所以．
18．(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）延长，与交于点，则为的中点，
所以．
（2）因为，，
所以，．
，
，
．
（3）因为，，三点共线，所以设，
由（1）可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
19．(1)；
(2)2；
(3)．
【详解】（1）由，可得，
因为，所以．
因为，，所以最大角的余弦值为．
（2）由，及正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理得，所以，所以．
又因为，所以．
，
又，所以，当，即时，取得最大值2．
（3）由题得，则，
在中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立．
设的内切圆分别交，，于点，，，内切圆的圆心为，
则，，，，
所以
，
内切圆的半径，
外接圆的半径，
则
，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为．
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．的内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设为所在平面内一点，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，均为单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
8．在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若非零向量，满足，则，，三点共线
C．若，则向量与的夹角为钝角
D．若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使
10．已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，，则（ ）
A．为直角三角形 B．
C． D．
三、填空题
12．已知正方形的边长为1，为正方形所在平面上的一点，则________．
13．已知，关于的方程的一个根为，为虚数单位，另一个根为，则________；若复数满足，则的最小值为________.
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，是的外心，，则________，的最小值为________．
四、解答题
15．已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若为实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
17．已知四边形为平行四边形，，，．
(1)求的坐标；
(2)若是直线上一点，且，求．
18．在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点．
(1)设，，试用，表示；
(2)若，求；
(3)若，，求的最小值．
19．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，，求最大角的余弦值；
(2)若，求的最大值；
(3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值．
参考答案
1．B
【详解】因为，
所以其虚部为1．
2．A
【详解】因为，所以，解得．
3．D
【详解】由正弦定理，可得，所以．
4．B
【详解】因为，
所以，即．
5．B
【详解】由题意和图形可得，复数，，
所以．
6．D
【详解】因，，均为单位向量，
则，解得，
所以向量在向量上的投影向量为．
7．A
【详解】因为，，
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由余弦定理可得，则．
8．A
【详解】在中，由，所以，则，
设，所以，
所以的最小值为点到直线的距离，
因为的最小值为1，所以.
9．BD
【详解】对于A，当时，满足，，但不一定得到，A错误；
对于B，由，得与为平行向量，又向量与有公共点，因此三点共线，B正确；
对于C，当两个非零向量与反向时，满足，C错误；
对于D，向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，使，D正确.
10．BC
【详解】对于A，取，且，则，，显然，故A错误；
对于B，设，则，故B正确；
对于C，由可得，因为是非零复数，所以，即，故C正确；
对于D，取，，则，，故D错误.
11．BD
【详解】由题可知，
故，
故，，当且仅当时，等号成立．
又，当且仅当时，等号成立，
所以，故，，，A错误．
由正弦定理可得，解得，B正确．
，，C错误．
易知，D正确．
12．
【详解】．
13．
【详解】因为和是实系数一元二次方程的两个根，所以，是共轭复数，故．
设，则，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示在复平面内到圆上对应的点的距离，
点到圆心的距离为，所以的最小值为．
14． /0.25
【详解】，可得．
(为外接圆的半径)，
，，，故．
又，且，
，，
．
，，，
（，）．
令，，则，在上单调递增，
∴当时，取得最小值，，
．
15．(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．
（2）由复数为实数，可得，
解得或．
（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
16．(1)
(2)．
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，
即，即，
因为，所以，即．
（2）．
利用正弦定理得．
而，
故的面积．
17．(1)
(2)．
【详解】（1）设的坐标为，因为，，，所以，．
因为四边形为平行四边形，所以，
所以解得，，故的坐标为．
（2）因为是直线上一点，所以设，
所以，
则，
解得，所以．
18．(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）延长，与交于点，则为的中点，
所以．
（2）因为，，
所以，．
，
，
．
（3）因为，，三点共线，所以设，
由（1）可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
19．(1)；
(2)2；
(3)．
【详解】（1）由，可得，
因为，所以．
因为，，所以最大角的余弦值为．
（2）由，及正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理得，所以，所以．
又因为，所以．
，
又，所以，当，即时，取得最大值2．
（3）由题得，则，
在中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立．
设的内切圆分别交，，于点，，，内切圆的圆心为，
则，，，，
所以
，
内切圆的半径，
外接圆的半径，
则
，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为．
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