第5单元数学广角——鸽巢问题 单元复习同步练习（含答案）2025-2026学年六年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 第5单元数学广角——鸽巢问题 单元复习同步练习（含答案）2025-2026学年六年级下册数学人教版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-03 00:00:00 | ||
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文档简介
第5单元数学广角——鸽巢问题
单元复习——精练培优
易错题梳理
1.学校做完心理健康问卷调查后，从25个班中筛选出了60名同学需要做进一步的心理辅导，由28位老师完成这个工作，那么总有一个班至少有( )名同学需要做进一步的心理辅导，也总有一位老师至少要辅导( )名同学。
2.选择题。
(1)给正方体的6个面涂上3种不同的颜色(每个面只涂1种颜色)，不论怎么涂，至少有( )个面的颜色相同。
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)下面说法中，正确的有( )个。
①任意给出5个连续的非零自然数，其中至少有一个是5的倍数。
②有黑、白两种颜色的鸽子各5只，飞回4个鸽笼，一定有一个鸽笼里至少有2只黑鸽。
③全班有50名同学，至少有2名同学的生日是2月1日。
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)李叔叔参加投飞镖比赛，投了4镖，成绩是33环，李叔叔至少有一镖不低于( )环。
A.7 B.8 C.9 D.10
3.50名同学答2道题，规定答对一题得3分，不答得0分，答错一题扣1分，至少有几名同学的成绩相同 为什么
新题型集训
4.填空题。
(1)“二十四节气”是通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，被誉为“中国的第五大发明”。其中的“惊蛰”是指春雷乍动，惊醒了冬眠的动物。若有33只“刺猬”冬眠从8个洞穴里走出来，必有1个洞穴里至少出来( )只“刺猬”。
(2)单词“剪刀: scissors”中字母“s”重复率很高。要从这个单词中抽取字母，至少要抽取( )个字母才能保证抽到2个不同的字母。
5.一个布袋内有黑、白两种颜色且大小相同的手套，其中白手套有m只,黑手套有n只(m>n,且m、n为大于1的自然数)，最少取( )只手套，两种手套可以各配成一双。(相同颜色的2 只手套为一双)
A.3 B.4 C. m+2 D. n+2
6.某旅行团一行50人自主选择峨眉山、九寨沟、黄龙这三个景点中的一个或两个进行游览，至少有多少人游览的景点完全相同
7.小明在课外遇到了一个有趣的问题：在一个边长为1 的正三角形内，任给5个点，如何证明其中必有2个点之间的距离不大于 在老师的帮助下，他将三角形三边中点相连，平均分成了四个小三角形。聪明的你能帮他把接下来的过程写完吗
8.ETC(电子不停车收费系统)被广泛应用于高速公路、停车场等场景，在提高效率的同时也降低了成本费用。有290辆车通过某高速路口的3处ETC收费口，总有一处收费口至少会通过多少辆车
9.食堂中午的菜谱如图。每名同学只能买两种菜和一种主食，在食堂买饭的124名同学中，至少有7名同学所买的菜和主食是相同的。为什么
重难题突破
10.有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。清点后，发现鲜花有39枝，那花瓶应该有多少个
11.实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队去借球的最多有多少名队员
12.密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出多少粒
13.美术、体育、外语、诗歌等4个课外学习小组共有51位同学，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同
单元复习——突破冲刺
专项1 用鸽巢原理求最不利情况
1.一个盒子里有红、白、蓝三种颜色的袜子各5只(袜子不分左右，除颜色外均相同)。
(1)从中至少拿几只才能保证一定有一双同色的袜子
(2)从中至少拿多少只才能保证三种颜色的袜子各有一双
2.将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5 顶放入一个盒子里。(帽子除颜色外均相同)
(1)要保证取出的帽子有两种颜色，至少应取出多少顶
(2)要保证三种颜色都有，至少应取出多少顶
(3)要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，至少应取出多少顶
3.将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球
专项2 用排列组合求“鸽巢”问题
4.7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同
5.一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准：基准分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛
6.“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、橘子和香蕉。
(1)如果每个小朋友可以任意选择两个不同的水果，那么至少要有多少个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的
(2)如果每个小朋友选的两个水果可以是同一种，也可以是不同种，那么至少要有多少个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的
参考答案：
精练培优
1.3 3
提示:根据题意,构造抽屉,60÷25=2(名) 10(名)，因此总有一个班至少有2+1=3(名)同学需要做进一步的心理辅导。60÷28=2(名) 4(名)，因此总有一位老师至少要辅导2+1=3(名)同学。
2.(1)A
提示：6÷3=2(个)，至少有2个面的颜色相同。
(2)C
提示：①任意给出5个连续的非零自然数，其中至少有一个是5的倍数，说法正确。②黑鸽有5只，飞回4个鸽笼，至少有一个鸽笼里有2只黑鸽，说法正确。③要想保证2名同学的生日是 2月1日,至少有366+1=367(人),原题干说法错误。所以正确的有①②，共2个。
(3)C
提示:将4镖看成4个抽屉,33÷4=8(环)……1(环)，即每镖投8环时还差1环。根据抽屉原理可知,至少有1镖不低于8+1=9(环)。
3.根据题意,成绩有-2、-1、0、2、3、6六种情况,50÷6=8(名)……2(名),8+1=9(名),所以至少有9名同学成绩相同。
提示：根据题意算出答两道题所有可能的得分情况,一共有6种,有50名同学,则50÷6=8(名)……2(名),8+1=9(名),至少有9名同学成绩相同。
易错警示 仔细确定抽屉数
在确定分数情况时，不要直接用分数范围确定情况数，虽然最高分6分到最低分-2分一共有9种分数情况，但因为一道题正误的分数差距不是1分，所以并不能取到所有情况。
4.(1)5
提示:已知共有33 只“刺猬”,8个洞穴,33÷8=4(只)……1(只)(其中4是商,1是余数),这说明如果平均分配，每个洞穴能分到4只“刺猬”，还剩余1只“刺猬”，因为剩余1只“刺猬”，这只“刺猬”无论进入哪个洞穴，都会使得那个洞穴里的“刺猬”数量至少为4+1=5(只)，所以33只“刺猬”冬眠从8个洞穴里走出来，总有1个洞穴里至少出来5只“刺猬”。
(2)5
提示：根据题目要求运用抽屉原理，单词“scissors”共有8个字母,包含4个“s”和4个不同字母c、i、o、r，为确保抽到2个不同字母，需考虑最坏情况，即先抽完所有重复的“s”字母(4个)，此时再抽1个必定是其他字母，因此最少需要抽取5个字母才能保证有2个不同字母。
5. C
提示：要保证一定能各配成一双手套，考虑最不利的情况，拿完m只白手套之后再拿2只黑手套。
6.三选一或三选二一共有 6 种情况，50÷6=8(人)……2(人),8+1=9(人),所以至少有9人游览的景点完全相同。
提示：根据题意，可以选择峨眉山、九寨沟、黄龙这三个景点中的一个，有3种情况。选择其中的两个也有3种情况：峨眉山、九寨沟；峨眉山、黄龙；九寨沟、黄龙。一共有 6种情况。50÷6 =8(人)……2(人),8+1=9(人),所以50人中至少有9人游览的景点完全相同。
7.根据老师的提示，将边长为1的正三角形通过连接三边中点，分割成四个完全相同的小三角形，每个小三角形的边长为 。现在考虑5个点分布在大三角形内。由于大三角形被平均分成4个小三角形，根据鸽巢原理(抽屉原理)，将5个点放入4个小三角形中，至少有一个小三角形内包含至少2个点。对于每个小三角形，其边长都为 由于小三角形是等边三角形，其内部任意两点之间的最大距离不超过小三角形的边长，即不超过 (当两点为小三角形的两个顶点时，距离恰好等于 )，因此，至少在同一个小三角形内，2个点之间的距离不大于 。所以可以证明在一个边长为1的正三角形内，任给5个点，其中必有2个点之间的距离不大于。
8.290÷3=96(辆)……2(辆) 96+1=97(辆)
答：总有一处收费口至少会通过97辆车。
提示：将收费口视作鸽巢，车辆视作鸽子，应用鸽巢原理解决问题即可。
9.4种菜每人买两种，有6种买法，搭配3种主食，有18种搭配方式。124÷18=6(名)……16(名),所以至少有6+1=7(名)同学所买的菜和主食是相同的。
提示：将菜与主食的组合视作鸽巢，同学视作鸽子，应用鸽巢原理解决问题即可。
10.39÷(8-1)=5(个)……4(枝)
答：花瓶应有5个。
提示：根据题意可知，先将每瓶都插(8-1)枝，用39÷(8-1)即可求出有多少个花瓶，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个花瓶，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。39÷(8-1)=5(个)……4(枝)，应有5个花瓶。
11.30÷3=10(人) 30÷9=3(个)……3(个)
3+1=4(个)答：篮球队去借球的最多有9名队员。
提示：一定有一个人至少拿4个，那么其他人最多每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10人少。当篮球队有9名队员时，30÷9=3(个)……3(个),此时需要有队员拿3+1=4(个)，所以篮球队去借球的最多有9名队员。
12.60÷15=4(种) (3-1)×4+1=9(粒)
答：至少要取出9粒。
提示：先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子。把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢(同种颜色就是同一个鸽巢)，把要取出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，(至少数-1)×鸽巢数+1=物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要取出的珠子的粒数，(3-1)×4+1=9(粒)。
13.参加课外学习小组的情况一共有15种。
51÷15=3(位)……6(位) 3+1=4(位)
答：至少有4位同学参加的学习小组相同。
提示：美术、体育、外语、诗歌等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①美术，②体育，③外语，④诗歌4种；参加2个课外学习小组的情况数为①美术、体育，②美术、外语，③美术、诗歌，④体育、外语，⑤体育、诗歌，⑥外语、诗歌6种；参加3个课外学习小组的情况数为①美术、体育、外语，②美术、外语、诗歌，③美术、体育、诗歌，④体育、外语、诗歌4种；参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15,求出商,用商+1 就是至少数,51÷15=3(位)……6(位),3+1=4(位)。
突破冲刺
1.(1)3+1=4(只)答:从中至少拿4只才能保证一定有一双同色的袜子。
提示：拿出袜子的只数应比袜子颜色的种数多1才能保证一定有一双同色的袜子。
(2)5×2+2=12(只)答:从中至少拿12只才能保证三种颜色的袜子各有一双。
提示：从最不利的情况考虑，其中两种颜色的袜子拿完了，再拿2只即可保证三种颜色的袜子各有一双。
2.(1)5+1=6(顶)答:至少应取出6顶。
提示：已知有红、黄、蓝3种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，考虑最不利的情况，把一种颜色的帽子5顶全部取完，再任意取一顶，一定有两种颜色的帽子。
(2)5×2+1=11(顶)答:至少应取出11顶。
提示：考虑最不利的情况，把两种颜色的帽子各5顶全部取完，再任意取一顶，一定有三种颜色的帽子。
(3)3+1=4(顶)答:至少应取出4顶。
提示：考虑最不利的情况，把三种颜色的帽子各取1顶，再任意取1 顶，则至少有两顶帽子是同色的。
知识速记 最不利问题
解决最不利问题需要构造最不利情况，算出最不利的情况数，再加1，即至少数=最不利情况数+1。
3. 1+2+3+…+9=45(个) 60-45=15(个)
15-9=6(个) 9+1+1=11(个)
答：放球最多的盒子里最少放11个乒乓球。
提示：要求放球最多的盒子里最少放几个，应该使每个盒子的球数尽量接近。因为每个盒子放乒乓球数不同，先在9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，此时共用去45个乒乓球，还剩下15个乒乓球，再在每个盒子里放入1个球，此时还剩6个乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入乒乓球数量较多的6个盒子中，则放球最多的盒子里最少放9+1+1=11(个)乒乓球。
4.有6种不同的借书方式。
7÷6=1(名)……1(名) 1+1=2(名)
答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。
提示：根据题意可知，有6种不同的借书方式(A、B、C、AB、AC、BC),将借书方式视作鸽巢,学生视作鸽子，运用鸽巢原理即可知至少有2名学生所借书的种类完全相同。
5.3×10+10+1-3=38(种) 38×3+1=115(人)
答：至少需要115人参赛。
提示：如下表分析答题与得分情况，得分一共有38种情况,注意0~40的得分中“38”“39”“35”三个分数无法通过任何答题组合得到。若每种得分都有3人,则总人数为38×3=114(人),再加1人,无论得分如何，必然有4人得分相同，因此至少需要115人。
答对 10 9 9 8 8 8 0
不答 0 1 0 2 1 0 0
答错 0 0 1 0 1 2 10
得分 40 37 36 34 33 32 0
6.(1)有6种水果组合方式。 6+1=7(个)
答：至少有7个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
(2)6+4=10(种) 10+1=11(个)
答：至少有11个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
提示：(1)水果有苹果、桃子、橘子、香蕉共4种，选两个不同的水果，组合方式有苹果和桃子、苹果和橘子、苹果和香蕉、桃子和橘子、桃子和香蕉、橘子和香蕉，共3+2+1=6(种)不同选择。要保证有两个小朋友选的水果相同，最不利的情况是前6个小朋友各选一种不同的组合，第7个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一个小朋友相同。因此，至少需要6+1=7(个)小朋友。(2)除了上述6种不同水果的组合，还需加上选同一种水果的情况(苹果和苹果、桃子和桃子、橘子和橘子、香蕉和香蕉)，共6+4=10(种)不同选择。最不利的情况是前10个小朋友各选一种不同的组合，第11个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一个小朋友相同。因此，至少需要10+1=11(个)小朋友。
单元复习——精练培优
易错题梳理
1.学校做完心理健康问卷调查后，从25个班中筛选出了60名同学需要做进一步的心理辅导，由28位老师完成这个工作，那么总有一个班至少有( )名同学需要做进一步的心理辅导，也总有一位老师至少要辅导( )名同学。
2.选择题。
(1)给正方体的6个面涂上3种不同的颜色(每个面只涂1种颜色)，不论怎么涂，至少有( )个面的颜色相同。
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)下面说法中，正确的有( )个。
①任意给出5个连续的非零自然数，其中至少有一个是5的倍数。
②有黑、白两种颜色的鸽子各5只，飞回4个鸽笼，一定有一个鸽笼里至少有2只黑鸽。
③全班有50名同学，至少有2名同学的生日是2月1日。
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)李叔叔参加投飞镖比赛，投了4镖，成绩是33环，李叔叔至少有一镖不低于( )环。
A.7 B.8 C.9 D.10
3.50名同学答2道题，规定答对一题得3分，不答得0分，答错一题扣1分，至少有几名同学的成绩相同 为什么
新题型集训
4.填空题。
(1)“二十四节气”是通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，被誉为“中国的第五大发明”。其中的“惊蛰”是指春雷乍动，惊醒了冬眠的动物。若有33只“刺猬”冬眠从8个洞穴里走出来，必有1个洞穴里至少出来( )只“刺猬”。
(2)单词“剪刀: scissors”中字母“s”重复率很高。要从这个单词中抽取字母，至少要抽取( )个字母才能保证抽到2个不同的字母。
5.一个布袋内有黑、白两种颜色且大小相同的手套，其中白手套有m只,黑手套有n只(m>n,且m、n为大于1的自然数)，最少取( )只手套，两种手套可以各配成一双。(相同颜色的2 只手套为一双)
A.3 B.4 C. m+2 D. n+2
6.某旅行团一行50人自主选择峨眉山、九寨沟、黄龙这三个景点中的一个或两个进行游览，至少有多少人游览的景点完全相同
7.小明在课外遇到了一个有趣的问题：在一个边长为1 的正三角形内，任给5个点，如何证明其中必有2个点之间的距离不大于 在老师的帮助下，他将三角形三边中点相连，平均分成了四个小三角形。聪明的你能帮他把接下来的过程写完吗
8.ETC(电子不停车收费系统)被广泛应用于高速公路、停车场等场景，在提高效率的同时也降低了成本费用。有290辆车通过某高速路口的3处ETC收费口，总有一处收费口至少会通过多少辆车
9.食堂中午的菜谱如图。每名同学只能买两种菜和一种主食，在食堂买饭的124名同学中，至少有7名同学所买的菜和主食是相同的。为什么
重难题突破
10.有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。清点后，发现鲜花有39枝，那花瓶应该有多少个
11.实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队去借球的最多有多少名队员
12.密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出多少粒
13.美术、体育、外语、诗歌等4个课外学习小组共有51位同学，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同
单元复习——突破冲刺
专项1 用鸽巢原理求最不利情况
1.一个盒子里有红、白、蓝三种颜色的袜子各5只(袜子不分左右，除颜色外均相同)。
(1)从中至少拿几只才能保证一定有一双同色的袜子
(2)从中至少拿多少只才能保证三种颜色的袜子各有一双
2.将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5 顶放入一个盒子里。(帽子除颜色外均相同)
(1)要保证取出的帽子有两种颜色，至少应取出多少顶
(2)要保证三种颜色都有，至少应取出多少顶
(3)要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，至少应取出多少顶
3.将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球
专项2 用排列组合求“鸽巢”问题
4.7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同
5.一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准：基准分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛
6.“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、橘子和香蕉。
(1)如果每个小朋友可以任意选择两个不同的水果，那么至少要有多少个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的
(2)如果每个小朋友选的两个水果可以是同一种，也可以是不同种，那么至少要有多少个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的
参考答案：
精练培优
1.3 3
提示:根据题意,构造抽屉,60÷25=2(名) 10(名)，因此总有一个班至少有2+1=3(名)同学需要做进一步的心理辅导。60÷28=2(名) 4(名)，因此总有一位老师至少要辅导2+1=3(名)同学。
2.(1)A
提示：6÷3=2(个)，至少有2个面的颜色相同。
(2)C
提示：①任意给出5个连续的非零自然数，其中至少有一个是5的倍数，说法正确。②黑鸽有5只，飞回4个鸽笼，至少有一个鸽笼里有2只黑鸽，说法正确。③要想保证2名同学的生日是 2月1日,至少有366+1=367(人),原题干说法错误。所以正确的有①②，共2个。
(3)C
提示:将4镖看成4个抽屉,33÷4=8(环)……1(环)，即每镖投8环时还差1环。根据抽屉原理可知,至少有1镖不低于8+1=9(环)。
3.根据题意,成绩有-2、-1、0、2、3、6六种情况,50÷6=8(名)……2(名),8+1=9(名),所以至少有9名同学成绩相同。
提示：根据题意算出答两道题所有可能的得分情况,一共有6种,有50名同学,则50÷6=8(名)……2(名),8+1=9(名),至少有9名同学成绩相同。
易错警示 仔细确定抽屉数
在确定分数情况时，不要直接用分数范围确定情况数，虽然最高分6分到最低分-2分一共有9种分数情况，但因为一道题正误的分数差距不是1分，所以并不能取到所有情况。
4.(1)5
提示:已知共有33 只“刺猬”,8个洞穴,33÷8=4(只)……1(只)(其中4是商,1是余数),这说明如果平均分配，每个洞穴能分到4只“刺猬”，还剩余1只“刺猬”，因为剩余1只“刺猬”，这只“刺猬”无论进入哪个洞穴，都会使得那个洞穴里的“刺猬”数量至少为4+1=5(只)，所以33只“刺猬”冬眠从8个洞穴里走出来，总有1个洞穴里至少出来5只“刺猬”。
(2)5
提示：根据题目要求运用抽屉原理，单词“scissors”共有8个字母,包含4个“s”和4个不同字母c、i、o、r，为确保抽到2个不同字母，需考虑最坏情况，即先抽完所有重复的“s”字母(4个)，此时再抽1个必定是其他字母，因此最少需要抽取5个字母才能保证有2个不同字母。
5. C
提示：要保证一定能各配成一双手套，考虑最不利的情况，拿完m只白手套之后再拿2只黑手套。
6.三选一或三选二一共有 6 种情况，50÷6=8(人)……2(人),8+1=9(人),所以至少有9人游览的景点完全相同。
提示：根据题意，可以选择峨眉山、九寨沟、黄龙这三个景点中的一个，有3种情况。选择其中的两个也有3种情况：峨眉山、九寨沟；峨眉山、黄龙；九寨沟、黄龙。一共有 6种情况。50÷6 =8(人)……2(人),8+1=9(人),所以50人中至少有9人游览的景点完全相同。
7.根据老师的提示，将边长为1的正三角形通过连接三边中点，分割成四个完全相同的小三角形，每个小三角形的边长为 。现在考虑5个点分布在大三角形内。由于大三角形被平均分成4个小三角形，根据鸽巢原理(抽屉原理)，将5个点放入4个小三角形中，至少有一个小三角形内包含至少2个点。对于每个小三角形，其边长都为 由于小三角形是等边三角形，其内部任意两点之间的最大距离不超过小三角形的边长，即不超过 (当两点为小三角形的两个顶点时，距离恰好等于 )，因此，至少在同一个小三角形内，2个点之间的距离不大于 。所以可以证明在一个边长为1的正三角形内，任给5个点，其中必有2个点之间的距离不大于。
8.290÷3=96(辆)……2(辆) 96+1=97(辆)
答：总有一处收费口至少会通过97辆车。
提示：将收费口视作鸽巢，车辆视作鸽子，应用鸽巢原理解决问题即可。
9.4种菜每人买两种，有6种买法，搭配3种主食，有18种搭配方式。124÷18=6(名)……16(名),所以至少有6+1=7(名)同学所买的菜和主食是相同的。
提示：将菜与主食的组合视作鸽巢，同学视作鸽子，应用鸽巢原理解决问题即可。
10.39÷(8-1)=5(个)……4(枝)
答：花瓶应有5个。
提示：根据题意可知，先将每瓶都插(8-1)枝，用39÷(8-1)即可求出有多少个花瓶，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个花瓶，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。39÷(8-1)=5(个)……4(枝)，应有5个花瓶。
11.30÷3=10(人) 30÷9=3(个)……3(个)
3+1=4(个)答：篮球队去借球的最多有9名队员。
提示：一定有一个人至少拿4个，那么其他人最多每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10人少。当篮球队有9名队员时，30÷9=3(个)……3(个),此时需要有队员拿3+1=4(个)，所以篮球队去借球的最多有9名队员。
12.60÷15=4(种) (3-1)×4+1=9(粒)
答：至少要取出9粒。
提示：先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子。把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢(同种颜色就是同一个鸽巢)，把要取出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，(至少数-1)×鸽巢数+1=物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要取出的珠子的粒数，(3-1)×4+1=9(粒)。
13.参加课外学习小组的情况一共有15种。
51÷15=3(位)……6(位) 3+1=4(位)
答：至少有4位同学参加的学习小组相同。
提示：美术、体育、外语、诗歌等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①美术，②体育，③外语，④诗歌4种；参加2个课外学习小组的情况数为①美术、体育，②美术、外语，③美术、诗歌，④体育、外语，⑤体育、诗歌，⑥外语、诗歌6种；参加3个课外学习小组的情况数为①美术、体育、外语，②美术、外语、诗歌，③美术、体育、诗歌，④体育、外语、诗歌4种；参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15,求出商,用商+1 就是至少数,51÷15=3(位)……6(位),3+1=4(位)。
突破冲刺
1.(1)3+1=4(只)答:从中至少拿4只才能保证一定有一双同色的袜子。
提示：拿出袜子的只数应比袜子颜色的种数多1才能保证一定有一双同色的袜子。
(2)5×2+2=12(只)答:从中至少拿12只才能保证三种颜色的袜子各有一双。
提示：从最不利的情况考虑，其中两种颜色的袜子拿完了，再拿2只即可保证三种颜色的袜子各有一双。
2.(1)5+1=6(顶)答:至少应取出6顶。
提示：已知有红、黄、蓝3种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，考虑最不利的情况，把一种颜色的帽子5顶全部取完，再任意取一顶，一定有两种颜色的帽子。
(2)5×2+1=11(顶)答:至少应取出11顶。
提示：考虑最不利的情况，把两种颜色的帽子各5顶全部取完，再任意取一顶，一定有三种颜色的帽子。
(3)3+1=4(顶)答:至少应取出4顶。
提示：考虑最不利的情况，把三种颜色的帽子各取1顶，再任意取1 顶，则至少有两顶帽子是同色的。
知识速记 最不利问题
解决最不利问题需要构造最不利情况，算出最不利的情况数，再加1，即至少数=最不利情况数+1。
3. 1+2+3+…+9=45(个) 60-45=15(个)
15-9=6(个) 9+1+1=11(个)
答：放球最多的盒子里最少放11个乒乓球。
提示：要求放球最多的盒子里最少放几个，应该使每个盒子的球数尽量接近。因为每个盒子放乒乓球数不同，先在9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，此时共用去45个乒乓球，还剩下15个乒乓球，再在每个盒子里放入1个球，此时还剩6个乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入乒乓球数量较多的6个盒子中，则放球最多的盒子里最少放9+1+1=11(个)乒乓球。
4.有6种不同的借书方式。
7÷6=1(名)……1(名) 1+1=2(名)
答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。
提示：根据题意可知，有6种不同的借书方式(A、B、C、AB、AC、BC),将借书方式视作鸽巢,学生视作鸽子，运用鸽巢原理即可知至少有2名学生所借书的种类完全相同。
5.3×10+10+1-3=38(种) 38×3+1=115(人)
答：至少需要115人参赛。
提示：如下表分析答题与得分情况，得分一共有38种情况,注意0~40的得分中“38”“39”“35”三个分数无法通过任何答题组合得到。若每种得分都有3人,则总人数为38×3=114(人),再加1人,无论得分如何，必然有4人得分相同，因此至少需要115人。
答对 10 9 9 8 8 8 0
不答 0 1 0 2 1 0 0
答错 0 0 1 0 1 2 10
得分 40 37 36 34 33 32 0
6.(1)有6种水果组合方式。 6+1=7(个)
答：至少有7个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
(2)6+4=10(种) 10+1=11(个)
答：至少有11个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
提示：(1)水果有苹果、桃子、橘子、香蕉共4种，选两个不同的水果，组合方式有苹果和桃子、苹果和橘子、苹果和香蕉、桃子和橘子、桃子和香蕉、橘子和香蕉，共3+2+1=6(种)不同选择。要保证有两个小朋友选的水果相同，最不利的情况是前6个小朋友各选一种不同的组合，第7个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一个小朋友相同。因此，至少需要6+1=7(个)小朋友。(2)除了上述6种不同水果的组合，还需加上选同一种水果的情况(苹果和苹果、桃子和桃子、橘子和橘子、香蕉和香蕉)，共6+4=10(种)不同选择。最不利的情况是前10个小朋友各选一种不同的组合，第11个小朋友无论选哪种组合，都会与前面某一个小朋友相同。因此，至少需要10+1=11(个)小朋友。