1.考前必挖教材内容 学案
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文档简介
一、考前必挖教材内容
一．挖掘教材的阅读与思考
1.集合中元素的个数
通过阅读《阅读与思考--集合中元素的个数》(人教A版必修第一册 P15)和《阅读材料--康托尔与集合论》(北师大版必修第一册P13),可以从中提炼出如下结论:
(1)把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数
(2)一般地,对任意两个有限集合A，B，有
(3)对于有限集合A，B，C，有
(4)有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
,
我们无法数出集合中元素的个数，但可通过构建正整数和正偶数之间的一个数关系，而且还是“一一对应”的函数关系，得到集合A和集合B元素个数一样多.
【对点训练】（2020·新高考1卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【解析】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
狄利克雷函数与高斯函数
通过阅读《阅读与思考--函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册 P75)和《数学文化--函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论:
(1)狄利克雷函数，具有如下性质
①定义域R，值域(0,1}.
②奇偶性:偶函数
③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期.
④无法画出函数的图象,但其图象客观存在
高斯函数:不超过实数的最大整数称为的整数部分,记作,例如，，这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数称为高斯函数,又称取整函数,
具有如下性质
①定义域R，值域为Z.
②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为:
【对点训练】1.狄里克雷~）是德国数学家，对数论 数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是与之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数，下列叙述中错误的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．是周期函数
【答案】B
【解析】由题意，函数，
对于A中，当为有理数，则也为有理数，满足；
当为无理数，则也为无理数，满足，
所以函数为偶函数，所以A正确；
对于B中，例如：当时，则也为无理数，满足；
可得，所以B不正确；
对于C中，当为有理数，可得，则，
当为无理数，可得，则，
所以，所以C正确.
对于D中，当为有理数，则也为有理数，满足；
当为无理数，则也为无理数，满足，
所以成立，所以D正确；
故选：B.
2.对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的值域为
C．函数最小正周期为1
D．不等式的解集为
【答案】C
【解析】对于A，因为当时，，当时，，
即，即函数不是奇函数，故A错误；
对于B，由取整函数的定义可知，，则，
即函数的值域为，故B错误；
对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且，
取，即得，即，则为整数，
又因，，
故函数的最小正周期为1，故C正确；
对于D，由可得：，解得，
而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误.故选：C.
声音的传播
通过阅读《阅读与思考--振幅、周期、频率、相位》人教A版必修第一册P250),可从中提炼出函数的如下结论
【对点训练】声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】A.，，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，
，当时，即时，取得最大值，
所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，，
所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D. ，即，
即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D.
4.积化和差、和差化积公式
【对点训练】若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故选C.
5.海伦公式与秦九韶公式
通过阅读《阅读与思考一-海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读--秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论:
秦九韶公式：;
海伦公式：.
【对点训练】1.（2021新高考Ⅱ卷T18节选）在中，角、、所对的边长分别为、、，，，若，求的面积；
【解】【常规解法】因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，
【海伦公式解法】因为，则，则，故，
，
2.在中，设分别为角所对的边，记的面积为，且满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】依题可得：，代入秦九韶公式可得：
，其中，故当时，取得最大值.
6.投影向量
【对点训练】（2020新高考Ⅰ卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选A.
7.祖暅原理
通过阅读《探究与发现--祖原理与柱体、锥体的体积》(人教A版必修第二册P121)和《阅读材料一--祖原理》(北师大版必修第二册P258),可从中提炼出如下结论:
（1）用祖晅原理证明球的体积公式
证明：取一个底面半径和高都等于的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面上，如图,因为圆柱的高等于，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间.
（2）椭圆的方程为，将椭圆面绕轴旋转半周得到椭球，则该椭球的体积为
【证明】构造底面半径为和高为的圆柱体，则用一个平行于底面的平面截半椭球和圆柱，得到两个等高度的截面，可证明等高处半椭球截面面积和圆柱截面圆环面积相等，即，则根据祖原理，左边半椭球体的体积等于右边圆柱的体积减去倒立圆锥的体积.
【对点训练】《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两个等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等.该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是 cm；卧足杯的容积是 （杯的厚度忽略不计）
【答案】
【解析】如下图：设球体的半径为，，由，
得，解得，所以；
作一个高与球的半径相等，底面半径也与球的半径相等的圆柱，可得过的两截面的面积相等，
由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，
设圆台上表面半径为，则，
下表面半径为，所以，
， .
6.圆锥曲线的光学性质及其应用
通过阅读《阅读与思考---圆锥曲线的光学性质及其应用》(人教 A版选择性必修第一册 P140)《拓展阅读--圆锥曲线的光学性质》(人教B版选择性必修第一册 P172)、《阅读教材二--圆锥曲线的光学性质》(北师大版选择性必修第一册P86)和《数学实验--用计算机探究圆锥曲线的光学性质》(湘教版选择性必修第一册P166)、《阅读题--圆锥曲线的光学性质》(苏教版选择性必修第一册P126T17),可从中提炼出如下结论:
从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
(2)从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于对称轴
【对点训练】已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．.
【答案】C
【解析】令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，
即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为：
，，联立消去得：，
整理得，令直线的方程为，
于是，即点的横坐标为，
因此，所以双曲线的离心率，故选C
二．挖掘教材的例题与练习
1.糖水不等式
【对点训练】（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
2.函数凹凸性
【对点训练】（205·河北邢台·开学考试）函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数定义域为，则，
令，则，依题意恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即的最小值为，故选B
3.正切恒等式
【对点训练】（2025·浙江宁波二模）在锐角三角形中，若.
则的最小值 .
【答案】8
【解析】锐角三角形中，
由可得 可得
又，
可得
所以，当且仅当时，等号成立
所以的最小值为8.
4.角平分线定理
【对点训练】（2025·湖南永州期中）在中的平分线交边于点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，为的平分线，得，即，
则，
即，故选B.
5.片段和性质
【对点训练】1.（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】因为是等差数列，所以成等差数列，
又，所以成等差数列，
则，则.故选：A.
2．（2025·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】设正项等比数列的公比为，
则是首项为，公比为的等比数列，
若，，则，
所以，即，
解得或（舍去）.故选：C.
6.三余弦定理和三正弦定理
【对点训练】如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；
取中点为，连接，，，，易知，
，．
又，，，平面，平面，
平面，
平面平面，
直线在平面上的射影必在交线上，
直线与底面所成角为，
，，
由三余弦定理得，得，
，
即直线与底面所成角的正弦值为．
7.圆的参数方程
【对点训练】（2025·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设圆的圆心为，则，
，令，，，
则，其中，
所以的最大值为，故选D.
8.方差与均值的关系
【对点训练】（2025·广东珠海·模拟）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据分布列方差的性质得：，
依题意知，满足二项分布，
所以，，
所以，解得，或（舍去）.故选：D.
三．挖掘教材的探究与发现
1.探究不等关系
(人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标:会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
【证明】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，
则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，
所以所以a2＋b2≥2ab.
【对点训练】三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立
D．如果，那么
【答案】C
【解析】选项ABD是不等式的性质，不能由给定的图形解释；
对于C，设小直角三角形的直角边长分别为，大正方形的边长为，
大正方形的面积为，个小直角三角形的面积之和为，
由图知，当且仅当时等号成立，故选C
2.探究互为反函数图象性质
(人教A版必修第一册P135页探索)
反函数的主要性质有：
①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域．
【对点训练】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，
又在函数的图象上，故，解得，故选.
3.探究三角形中四心性质
人教A版《必修第二册》P63“数学探究”主题为“用向量法研究三角形的性质”，探究活动中用向量法证明了平面几何中的勾股定理，用向量法证明了“三角形的三条中线交于一点”及“三角形的重心分每条中线为1∶2的两条线段”，探究如下结论：
1.三角形重心的向量表示
已知点为的重心（中线交点）,则点满足
（1）；
（2）.（是平面上的一点）
2.三角形垂心的向量表示
已知点为的垂心（高线的交点），点满足：
（1）
（2）若不是直角三角形，则
3.三角形内心的向量表示
已知点为内心（角平分线交点），点满足：
（2），其中；
4.三角形外心的向量表示
已知点为的外心（垂直平分线交点），点满足：
（1）；
（2）
【对点训练】[2023全国甲卷T4]已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图,设，因为，为的重心
又，则，,
,，故选D.
2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解析】，故选C.
3.（2025·福建省福州第一中学三模）在中，已知是重心，三内角、、的对边分别为、、，且.则______.
【解析】由四心结论可得56a＝40b＝35c，所以b＝a，c＝a，
所以，因此，.
等差数列判定方法
(人教A版选择性必修第二册P22页探索)
【解】∵，
∴当时，，
当时，．
当时，适合，
．
∴数列是等差数列，通项公式是，首项，公差．
当时，不适合，
∴数列不是等差数列，通项公式是
【对点训练】（23-24高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【解析】数列为等差数列，首项，公差，
所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项，故选C
圆锥曲线的定义
人教A版《选择性必修第一册》P105“探究”
【解】画出的轨迹是椭圆，移动的笔尖满足的几何条件是，笔尖到两个定点的距离的和等于常数，这个常数大于两个定点的距离．
【对点训练】（2025浙江省金丽衢十二校联考）已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．(x≤－1)
【答案】D
【思维导引】设动圆圆心M坐标为（x，y）→由圆与圆相切得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|→点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支→由a，c求b→点M的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，
由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，
相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，
【提醒】注意是否满足：0<2a<|F1F2|
故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．
由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝，
故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1），故选D.
椭圆、双曲线的第三定义
【解】设，则直线的斜率，
直线的斜率,
由题意得，，化简，整理得，
所以点的轨迹方程为：.与例3比较发现
定义：平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=.
【对点训练】（22-23高二下·广东·阶段练习）已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为1的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由探究可得M的轨迹为
设直线，联立可得
点O到直线的距离
故选：D.
用导数的方法求近似解
【对点训练】（2023高三·全国·专题练习）牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【答案】B
【解析】由，求导得，而，则，又，
于是函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，
令，得，则，，
因此函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，
令，得，所以约为1.417，故选B
杨辉三角
通过阅读《数学探究--杨辉三角的性质与应用》(人教A版选择性必修第三册P39),可从中提炼出如下结论
【对点训练】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】由杨辉三角知：
第1行：，，
第2行：，，，
第3行：，，，，
第4行：，，，，，
由此可得第行，第个数为，
所以第15行第15个数是．故选B
一．挖掘教材的阅读与思考
1.集合中元素的个数
通过阅读《阅读与思考--集合中元素的个数》(人教A版必修第一册 P15)和《阅读材料--康托尔与集合论》(北师大版必修第一册P13),可以从中提炼出如下结论:
(1)把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数
(2)一般地,对任意两个有限集合A，B，有
(3)对于有限集合A，B，C，有
(4)有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
,
我们无法数出集合中元素的个数，但可通过构建正整数和正偶数之间的一个数关系，而且还是“一一对应”的函数关系，得到集合A和集合B元素个数一样多.
【对点训练】（2020·新高考1卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【解析】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
狄利克雷函数与高斯函数
通过阅读《阅读与思考--函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册 P75)和《数学文化--函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论:
(1)狄利克雷函数，具有如下性质
①定义域R，值域(0,1}.
②奇偶性:偶函数
③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期.
④无法画出函数的图象,但其图象客观存在
高斯函数:不超过实数的最大整数称为的整数部分,记作,例如，，这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数称为高斯函数,又称取整函数,
具有如下性质
①定义域R，值域为Z.
②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为:
【对点训练】1.狄里克雷~）是德国数学家，对数论 数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是与之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数，下列叙述中错误的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．是周期函数
【答案】B
【解析】由题意，函数，
对于A中，当为有理数，则也为有理数，满足；
当为无理数，则也为无理数，满足，
所以函数为偶函数，所以A正确；
对于B中，例如：当时，则也为无理数，满足；
可得，所以B不正确；
对于C中，当为有理数，可得，则，
当为无理数，可得，则，
所以，所以C正确.
对于D中，当为有理数，则也为有理数，满足；
当为无理数，则也为无理数，满足，
所以成立，所以D正确；
故选：B.
2.对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的值域为
C．函数最小正周期为1
D．不等式的解集为
【答案】C
【解析】对于A，因为当时，，当时，，
即，即函数不是奇函数，故A错误；
对于B，由取整函数的定义可知，，则，
即函数的值域为，故B错误；
对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且，
取，即得，即，则为整数，
又因，，
故函数的最小正周期为1，故C正确；
对于D，由可得：，解得，
而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误.故选：C.
声音的传播
通过阅读《阅读与思考--振幅、周期、频率、相位》人教A版必修第一册P250),可从中提炼出函数的如下结论
【对点训练】声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】A.，，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，
，当时，即时，取得最大值，
所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，，
所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D. ，即，
即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D.
4.积化和差、和差化积公式
【对点训练】若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故选C.
5.海伦公式与秦九韶公式
通过阅读《阅读与思考一-海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读--秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论:
秦九韶公式：;
海伦公式：.
【对点训练】1.（2021新高考Ⅱ卷T18节选）在中，角、、所对的边长分别为、、，，，若，求的面积；
【解】【常规解法】因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，
【海伦公式解法】因为，则，则，故，
，
2.在中，设分别为角所对的边，记的面积为，且满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】依题可得：，代入秦九韶公式可得：
，其中，故当时，取得最大值.
6.投影向量
【对点训练】（2020新高考Ⅰ卷T7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选A.
7.祖暅原理
通过阅读《探究与发现--祖原理与柱体、锥体的体积》(人教A版必修第二册P121)和《阅读材料一--祖原理》(北师大版必修第二册P258),可从中提炼出如下结论:
（1）用祖晅原理证明球的体积公式
证明：取一个底面半径和高都等于的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面上，如图,因为圆柱的高等于，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间.
（2）椭圆的方程为，将椭圆面绕轴旋转半周得到椭球，则该椭球的体积为
【证明】构造底面半径为和高为的圆柱体，则用一个平行于底面的平面截半椭球和圆柱，得到两个等高度的截面，可证明等高处半椭球截面面积和圆柱截面圆环面积相等，即，则根据祖原理，左边半椭球体的体积等于右边圆柱的体积减去倒立圆锥的体积.
【对点训练】《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两个等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等.该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是 cm；卧足杯的容积是 （杯的厚度忽略不计）
【答案】
【解析】如下图：设球体的半径为，，由，
得，解得，所以；
作一个高与球的半径相等，底面半径也与球的半径相等的圆柱，可得过的两截面的面积相等，
由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，
设圆台上表面半径为，则，
下表面半径为，所以，
， .
6.圆锥曲线的光学性质及其应用
通过阅读《阅读与思考---圆锥曲线的光学性质及其应用》(人教 A版选择性必修第一册 P140)《拓展阅读--圆锥曲线的光学性质》(人教B版选择性必修第一册 P172)、《阅读教材二--圆锥曲线的光学性质》(北师大版选择性必修第一册P86)和《数学实验--用计算机探究圆锥曲线的光学性质》(湘教版选择性必修第一册P166)、《阅读题--圆锥曲线的光学性质》(苏教版选择性必修第一册P126T17),可从中提炼出如下结论:
从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
(2)从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于对称轴
【对点训练】已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．.
【答案】C
【解析】令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，
即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为：
，，联立消去得：，
整理得，令直线的方程为，
于是，即点的横坐标为，
因此，所以双曲线的离心率，故选C
二．挖掘教材的例题与练习
1.糖水不等式
【对点训练】（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
2.函数凹凸性
【对点训练】（205·河北邢台·开学考试）函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数定义域为，则，
令，则，依题意恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即的最小值为，故选B
3.正切恒等式
【对点训练】（2025·浙江宁波二模）在锐角三角形中，若.
则的最小值 .
【答案】8
【解析】锐角三角形中，
由可得 可得
又，
可得
所以，当且仅当时，等号成立
所以的最小值为8.
4.角平分线定理
【对点训练】（2025·湖南永州期中）在中的平分线交边于点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，为的平分线，得，即，
则，
即，故选B.
5.片段和性质
【对点训练】1.（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】因为是等差数列，所以成等差数列，
又，所以成等差数列，
则，则.故选：A.
2．（2025·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】设正项等比数列的公比为，
则是首项为，公比为的等比数列，
若，，则，
所以，即，
解得或（舍去）.故选：C.
6.三余弦定理和三正弦定理
【对点训练】如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；
取中点为，连接，，，，易知，
，．
又，，，平面，平面，
平面，
平面平面，
直线在平面上的射影必在交线上，
直线与底面所成角为，
，，
由三余弦定理得，得，
，
即直线与底面所成角的正弦值为．
7.圆的参数方程
【对点训练】（2025·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设圆的圆心为，则，
，令，，，
则，其中，
所以的最大值为，故选D.
8.方差与均值的关系
【对点训练】（2025·广东珠海·模拟）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据分布列方差的性质得：，
依题意知，满足二项分布，
所以，，
所以，解得，或（舍去）.故选：D.
三．挖掘教材的探究与发现
1.探究不等关系
(人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标:会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
【证明】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，
则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，
所以所以a2＋b2≥2ab.
【对点训练】三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立
D．如果，那么
【答案】C
【解析】选项ABD是不等式的性质，不能由给定的图形解释；
对于C，设小直角三角形的直角边长分别为，大正方形的边长为，
大正方形的面积为，个小直角三角形的面积之和为，
由图知，当且仅当时等号成立，故选C
2.探究互为反函数图象性质
(人教A版必修第一册P135页探索)
反函数的主要性质有：
①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域．
【对点训练】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，
又在函数的图象上，故，解得，故选.
3.探究三角形中四心性质
人教A版《必修第二册》P63“数学探究”主题为“用向量法研究三角形的性质”，探究活动中用向量法证明了平面几何中的勾股定理，用向量法证明了“三角形的三条中线交于一点”及“三角形的重心分每条中线为1∶2的两条线段”，探究如下结论：
1.三角形重心的向量表示
已知点为的重心（中线交点）,则点满足
（1）；
（2）.（是平面上的一点）
2.三角形垂心的向量表示
已知点为的垂心（高线的交点），点满足：
（1）
（2）若不是直角三角形，则
3.三角形内心的向量表示
已知点为内心（角平分线交点），点满足：
（2），其中；
4.三角形外心的向量表示
已知点为的外心（垂直平分线交点），点满足：
（1）；
（2）
【对点训练】[2023全国甲卷T4]已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图,设，因为，为的重心
又，则，,
,，故选D.
2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解析】，故选C.
3.（2025·福建省福州第一中学三模）在中，已知是重心，三内角、、的对边分别为、、，且.则______.
【解析】由四心结论可得56a＝40b＝35c，所以b＝a，c＝a，
所以，因此，.
等差数列判定方法
(人教A版选择性必修第二册P22页探索)
【解】∵，
∴当时，，
当时，．
当时，适合，
．
∴数列是等差数列，通项公式是，首项，公差．
当时，不适合，
∴数列不是等差数列，通项公式是
【对点训练】（23-24高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【解析】数列为等差数列，首项，公差，
所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项，故选C
圆锥曲线的定义
人教A版《选择性必修第一册》P105“探究”
【解】画出的轨迹是椭圆，移动的笔尖满足的几何条件是，笔尖到两个定点的距离的和等于常数，这个常数大于两个定点的距离．
【对点训练】（2025浙江省金丽衢十二校联考）已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．(x≤－1)
【答案】D
【思维导引】设动圆圆心M坐标为（x，y）→由圆与圆相切得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|→点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支→由a，c求b→点M的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，
由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，
相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，
【提醒】注意是否满足：0<2a<|F1F2|
故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．
由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝，
故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1），故选D.
椭圆、双曲线的第三定义
【解】设，则直线的斜率，
直线的斜率,
由题意得，，化简，整理得，
所以点的轨迹方程为：.与例3比较发现
定义：平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=.
【对点训练】（22-23高二下·广东·阶段练习）已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为1的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由探究可得M的轨迹为
设直线，联立可得
点O到直线的距离
故选：D.
用导数的方法求近似解
【对点训练】（2023高三·全国·专题练习）牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【答案】B
【解析】由，求导得，而，则，又，
于是函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，
令，得，则，，
因此函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，
令，得，所以约为1.417，故选B
杨辉三角
通过阅读《数学探究--杨辉三角的性质与应用》(人教A版选择性必修第三册P39),可从中提炼出如下结论
【对点训练】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】由杨辉三角知：
第1行：，，
第2行：，，，
第3行：，，，，
第4行：，，，，，
由此可得第行，第个数为，
所以第15行第15个数是．故选B
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