2.考前回扣梳理内容 学案
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考前回扣篇
回扣1 集合与常用逻辑用语、不等式
1.集合间的关系与运算：A∪B＝A B A；A∩B＝B B A；（易错提醒：代表元素意义不清致错）
2.元素与子集的个数：若集合A有n（n∈N*）个元素，则A有 2n 个子集，有 （2n－1） 个真子集，有 （2n－2） 个非空真子集.（易错提醒：忽视空集是任何集合的子集）
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，它们之间的关系如下表所示：
命题 命题的否定
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
4.充分条件与必要条件的两种判定方法
①定义法：若p q，则p是q的 充分 条件（或q是p的 必要 条件）；若p q，且q p，则p是q的 充分不必要 条件（或q是p的 必要不充分 条件）；
②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A B，则p是q的 充分 条件（q是p的 必要 条件）；若A B，则p是q的 充分不必要 条件（q是p的 必要不充分 条件）；若A＝B，则p是q的 充要 条件.
5.分式不等式
＞0（＜0） f（x）g（x） ＞ 0（＜0）；
≥0（≤0）
6.基本不等式
① ≥≥ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号（易错提醒：忽视基本不等式取等的条件）
②4ab≤（a＋b）2≤2（a2＋b2），即ab ≤ （ ）2 ≤ ，当且仅当a＝b时取等号；
③＋≥ 2 （ab＞0），当且仅当a＝b时取等号，＋≤ －2 （ab＜0），当且仅当a＝－b时取等号.
【对点.检测】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“”的否定是“”，故选D
2．已知集合，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】由，解得，所以，所以的子集有个，故选B
3.（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点，
集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以，故选D.
4．（2025·河南郑州·一模）“ ”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得或，解得或，
所以由“ ”推得出“”，故充分性成立；
由“”推不出“ ”，故必要性不成立；
所以“ ”是“” 的充分不必要条件，故选A
5.不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由得，整理得，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
6．（2025·辽宁大连·二模）设，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，且,所以，
当且仅当，即时取等号.
回扣2 函数与导数
1.函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 ＞0 f（x）在[a，b]上 单调递增 ；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 ＜0 f（x）在[a，b]上 单调递减 ；（易错提醒：函数的单调区间不能用并集）
②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 减 函数；若函数f（x）和g（x）都是增函数， 则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 增 函数；根据 同增异减 判断复合函数y＝f（g（x））的单调性.
2.函数奇偶性的常用结论
①如果奇（偶）函数f（x）在区间[a，b]（0≤a＜b）上具有单调性，那么f（x）在[－b，－a]上具有相同（反）的单调性；
②定义在R上的函数f（x）总可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，其中g（x）＝，h（x）＝.（易错提醒：忽略函数的定义域）
3.函数周期性的常用结论
①设周期函数f（x）的最小正周期为T（T＞0），则f（λx）（λ≠0）的最小正周期为；
②若u＝g（x）是周期函数，f（u）是任意函数，则f（g（x））也是周期函数；
③若f（x＋a）＝f（x＋b），则f（x）的周期T＝b－a，其中a≠0，b≠0，a≠b；
④若f（x＋a）＝－f（x），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
⑤若f（x＋a）＝±（c为常数），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0，c≠0；
⑥若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝4a，其中a≠0.
4.函数图象的对称性
①函数y＝f（x）的图象与其反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称；
②函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称；
③函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称 f（a－x）＝f（a＋x） f（2a－x）＝f（x）；
④函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称 f（a－x）＝－f（a＋x） f（2a－x）＝－f（x）；
⑤函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 f（a＋mx）＝f（b－mx）（m≠0） f（a＋b－mx）＝f（mx）（m≠0）.
5.指数函数与对数函数的基本性质
①定点：y＝ax（a＞0，且a≠1）恒过点 （0，1） ；y＝logax（a＞0，且a≠1）恒过点 （1，0） ；
②单调性：当a＞1时，y＝ax在R上 单调递增 ，y＝logax在（0，＋∞）上 单调递增 ；当0＜a＜1时，y＝ax在R上 单调递减 ，y＝logax在（0，＋∞）上 单调递减 ；
6.5组基本初等函数的导数公式
① c'＝0（c为常数）
② （xα）'＝ αxα－1 （α∈R，且α≠0），高频使用：（ ）'＝（x－1）'＝ －
③ （sin x）'＝ cos x ，（cos x）'＝ －sin x
④ （logax）'＝ （x＞0，a＞0且a≠1），（ln x）'＝ （x＞0）
⑤ （ax）'＝ axln a （a＞0且a≠1），（ex）'＝ex
【对点.检测】
1．（2025·云南昆明·二模）若函数（且）是偶函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】，则，由于是偶函数，
故对恒成立，故，所以，故选D
2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是，故选A.
3．（24-25·北京顺义·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，令，即，
解得，所以函数的单调递减区间为，
结合选项可知只有D符合题意，故选D
4．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为为定义在上的奇函数，则，又因为，
则，可得，可知2为的一个周期，
所以，故选B.
5.（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】利用指数运算法则、指数式与对数式互化关系化简函数，再利用指数函数过定点问题求解.
【详解】函数，由，得恒成立，
所以点的坐标为.
6.，函数没有极值的充要条件为 ．
【答案】
【解析】，注意到是开口向上的二次函数，
若没有极值，则只能是恒成立，
即，解得．
回扣3 三角函数、解三角形
1.几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°，k∈Z}.
(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α=180°+k·360°，k∈Z}.
(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°，k∈Z}.
(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α=90°+k·180°，k∈Z}.
(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°，k∈Z}.忽视对角终边位置的讨论致误
2.同角三角函数的基本关系式
商的关系 ＝tan α
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
常见变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±，cos α＝±，sin α＝cos αtan α，cos α＝，sin2α＝＝，1＋tan2α＝
3.三角恒等变换
①cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ；
cos（α－β）＝ cos αcos β＋sin αsin β ；
sin（α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β ；
sin（α－β）＝ sin αcos β－cos αsin β ；
tan（α＋β）＝ ；
tan（α－β）＝ .
②二倍角公式：sin 2α＝ 2sin αcos α ，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝ ；
③降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
4.三角函数的图象和性质（易错提醒：忽略隐含条件如）
项目 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x
单调性 增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z） （ －＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
减区间 ［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）
对称性 对称轴 x＝ ＋kπ （k∈Z） x＝ kπ （k∈Z）
对称中心 （kπ，0） （k∈Z） （ ＋kπ，0） （k∈Z） （ ，0） （k∈Z）
5.三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种方法：
6.正、余弦定理及其变形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径.（易错提醒：忽略大边对大角隐含条件）
定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或两边及其夹角）
内容 ＝＝＝2R； 变式：＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C
常见变形 ①边化角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②角化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③求比值：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 求角或角化边： cos A＝， cos B＝ ， cos C＝
【对点.检测】
1.（2025·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设且，故终边与角相同的角的集合为.故选B
2．（2025·甘肃金昌二模）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【解析】依题意得，则，
所以．故选：A．
3.（2025·广东·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，
所以，
故选：D.
4．（2025·天津滨海新一模）在中，，则B=（ ）
A．60° B．120° C．60° 或120° D．以上都不对
【答案】C
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，可得，
又因为，可得，所以或.故选：C.
5．（2025·河北石家庄·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知.
令，解得，∴函数图象的对称中心.∴当时，为函数图象的一个对称中心.故选：A.
6．（2025·湖南长沙·二模）已知角终边上一点，则 ；
【答案】
【解析】根据三角函数定义，可得，则.
回扣4平面向量复数
1.复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0（a，b∈R）；（易错提醒：误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解）
2.复数的几个常见结论
①（1±i）2＝±2i；
②＝i，＝－i；
③i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i ，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝ 0 （n∈N）.
3.复数的运算法则
加减法：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；
乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；
除法：(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0).(其中a，b，c，d∈R)
4.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.（易错提醒：数量积运算时弄错两个向量的夹角）
名称 几何表示 坐标表示
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ a·b＝ x1x2＋y1y2
夹角的余弦值 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2 ＝0
｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a与b共线时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤·（当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立）
6.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
①O为△ABC的外心 ｜｜＝｜｜＝｜｜＝；
②O为△ABC的重心 ＋＋＝0；
③O为△ABC的垂心 ·＝·＝·；
④O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
【对点.检测】
1.（2025·福建泉州·一模）若i为虚数单位，复数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，其中为实数，
所以，解得．故选C．
2．（2025·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是边上的中点，所以，即，故选A.
3．（2025·河北秦皇岛·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设复数，则，
，
又，，
，，.
故选：A.
4．（2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
解得或（舍），故选：B
5.（2025·河北保定·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心 B．点为的外心
C． D．为等边三角形
【答案】B
【解析】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B.
6．（2025·山东临沂一模）在菱形ABCD中，，，E，F分别为AD，CD的中点，则 .
【答案】6
【解析】如图：由题意，得,,
，
回扣5数列
1.等差、等比数列的通项公式与前n项和公式（易错提醒：忽略公比致错）
项目 等差数列 等比数列
通项公式 an＝ a1＋（n－1）d an＝ a1qn－1 （q≠0）
前n项和公式 Sn＝＝ na1＋d ①q≠1，Sn＝＝ ； ②q＝1，Sn＝ na1
2.等差数列的性质
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ ap＋aq ；
②ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为 md 的等差数列；
③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列（公差为 m2d ，m∈N*）；
④S2n－1＝（2n－1）an；
⑤若项数n为偶数，则S偶－S奇＝ ；若项数n为奇数，则S奇－S偶＝ .
3.等比数列的性质
已知等比数列{an}的公比为q（q≠0），前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则aman＝ apaq ；
②若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列，即若m＋n＝ 2p ，则aman＝ ；
③ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公比为 qm 的等比数列；
④当q≠－1，或q＝－1且m（m∈N*）为奇数时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公比为 qm 的等比数列；
⑤若Tn为等比数列{an}的前n项积，则Tm，，，…是公比为（qm）m的等比数列；
⑥当项数为2n时，＝ q ；当项数为2n＋1时，＝ q .
4.判断等差数列的常用方法
①定义法：an+1-an=d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列；
②通项公式法：an=pn+q(p，q为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
③中项公式法：2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}是等差数列；
④前n项和公式法
Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列.（易错提醒：已知求时, 易忽略致错）
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法：=q(q是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列；
②通项公式法：an=cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列；
③中项公式法：=an·an+2(an≠0，n∈N*) {an}是等比数列.
5.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(3)通项公式形如an=(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
裂项相消法常见形式：
=-，
=，
=，
=-.
(4)形如{an·bn}的数列(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)，利用错位相减法求和.
(5)通项公式形如an=(-1)n·n，an=a·(-1)n或an=(-1)n(2n+1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
【对点.检测】
1．（2025·四川凉山·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为数列为等差数列，则，即，
又因为，即，所以公差，故选A.
2．（2025·甘肃金昌·二模）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
所以数列的前10项和为，故选B.
3．（2025·浙江·二模）记数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．33 B．46 C．49 D．42
【答案】A
【解析】数列中，，，当时，，
当时，，则，，
因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，
数列的通项公式为：，，，
所以，故选：A
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ）
A．是等比数列 B．是等差数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ABD
【解析】A选项，由题意得，故，
其中，故为等比数列，A正确；
B选项，，故，
又，故是等差数列，B正确；
C选项，，，
，其中，故不是等比数列，C错误；
D选项，，故，
故，所以为等比数列，D正确.
故选：ABD
5．（2025·山东·一模）若数列满足，，则的前2025项的和为 ．
【答案】1013
【解析】易知当为偶数时，可得，即；所以可知的前2025项的和.
6.（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，∴.
∴，
∴.
回扣6立体几何与空间向量
1.空间旋转体的表面积与体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝ 2πrl S表＝2πr（r＋l） V＝S底h＝ πr2h
圆锥 S侧＝ πrl S表＝πr（r＋l） V＝ S底h ＝πr2h
圆台 S侧＝ π（r＋r'）l S表＝π（r2＋r'2＋rl＋r'l） V＝ （S上＋S下＋ ）h ＝π（r2＋r'2＋rr'）h
2.空间多面体的表面积与体积（易错提醒：多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理，旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用）
几何体 侧面积 表面积 体积
直棱柱 S侧＝Ch（C为底面周长） S表＝S侧＋ S上＋S下（棱 锥的S上＝0） V＝S底h
正棱锥 S侧＝Ch'（h'为斜高） V＝S底h
正棱台 S侧＝（C＋C'）h'（C，C'分别是上、下底面周长，h'为斜高） V＝ （S上＋S下＋）h
球 S＝ 4πR2 V＝ πR3
3.利用空间向量求角和距离
异面直线a，b所成的角θ cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝ ，其中0°＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量
直线AB与平面α所成的角θ sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝ ，其中0°≤θ≤90°，m是平面α的法向量
二面角α-l-β的平面角θ ｜cos θ｜＝｜cos＜m，n＞｜＝ ，其中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量
点B到平面α的距离d d＝，其中n为平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一条斜线
4.平行、垂直关系的转化
（易错提醒：空间图形位置关系掌握不牢）
5.用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分别为u＝（a2，b2，c2），v＝（a3，b3，c3）.则有
①线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝0；
②线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；
③面面平行：α∥β u∥v u＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3；
④面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3 ＝0.
【对点.检测】
1．（2025·广东深圳·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，
所以，解得，
，所以，故选A.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知圆台的上 下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆台的母线长为，则圆台的表面积，即，
故圆台的高为，根据线面角定义求出母线与底面所成角，
所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为，故选D．
3.（2025·甘肃白银·三模）如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，
故异面直线和夹角的余弦值为.
故选：B.
4.（多选）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【解析】对于A，由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与平面内某条直线平行，则该直线与此平面平行，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，设正方体上底面为，下底面内任意取两条直线，有，但不一定有成立，故C错误；
对于D，由面面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的所有直线均与另一个平面平行，故D正确；故选AD.
5．（2025·湖南·三模）已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则．
在上的投影向量的长度为，
点到的距离为
回扣7平面解析几何
1.直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：（易错提醒：忽视斜率不存在致误）
（ⅰ）两直线平行：l1∥l2 k1＝k2 ；
（ⅱ）两直线垂直：l1⊥l2 k1k2＝－1 .
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
②直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
（ⅰ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－B1A2 ＝ 0且A1C2－A2C1 ≠ 0；
（ⅱ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2 ＝ 0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
2.三种距离公式
①已知A（x1，y1），B（x2，y2），两点间的距离｜AB｜＝；
②点到直线的距离d＝ （其中点P（x0，y0），直线方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0）；
③两平行线间的距离d＝（其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，A2＋B2≠0）.
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.
3.圆的方程的两种形式
①圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2；
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）；
4.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质（易错提醒：忽视焦点位置致误）
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 ｜PF1｜＋｜PF2｜ ＝ 2a （2a ＞ ｜F1F2｜） ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝ 2a （0＜2a ＜ ｜F1F2｜） ｜PF｜＝｜PM｜点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 ＋＝1 （a＞b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） y2＝2px（p＞0）
图形
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 范围 ｜x｜≤ a ，｜y｜≤ b ｜x｜≥ a x≥0
顶点 （±a，0）， （0，±b） （±a，0） （0，0）
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 （±c，0） （，0）
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 轴 长轴长 2a ，短轴长 2b 实轴长 2a ，虚轴长 2b
离心率 e＝＝（0＜e＜1） e＝＝（e＞1） e＝1
准线 x＝－
渐近线 y＝ ±x
5.设直线的斜率为k（k≠0），直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·.
6.圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线的焦点三角形 椭圆的焦点三角形： 如图1，以椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2＝θ，则 ①｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a； ②4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos θ； ③＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2tan.
圆锥曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形： 如图2，若点P是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上不同于顶点的任意一点，F1，F2为双曲线C的两焦点，则△PF1F2叫作双曲线的焦点三角形.记∠F1PF2＝θ，则＝
椭圆、双曲线第三定义的推广 椭圆的第三定义的推广：若M，N是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝－，e为椭圆C的离心率. 双曲线的第三定义的推广：若M，N是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝，e为双曲线C的离心率
双曲线的渐近线 ①若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ（λ∈R，且λ≠0）； ②焦点到渐近线的距离总是b； ③双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为e＝＝
抛物线的焦点弦 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2），α为直线AB的倾斜角，则有以下结论： ①焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝，＋＝； ②弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； ③S△OAB＝（O为抛物线的顶点）； ④以弦AB为直径的圆与准线相切； ⑤过点A，B分别向抛物线的准线引垂线，设垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1＝90°
相交弦所在直线斜率与弦中点的关系 ①已知直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝－·； ②已知直线y＝kx＋m（k≠0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝·； ③已知直线y＝kx＋m（k≠0）与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝
【对点.检测】
1.（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故选：.
2．（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，所以抛物线方程为，
准线方程为，故选D
3．（2025·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】椭圆的焦点在轴上,则，解得，
故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件，故选B
4．（2025·河南周口·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】，故过定点，
又，故在圆内，
所以当⊥时，取最小值，此时，又，所以，故选B
5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ．
【答案】
【解析】由与两直线平行可得，解得；
即可得：，
所以与间的距离为.
6．（2025·山西朔州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为，圆与在第一象限的交点为，且，则 .
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，半焦距为，
因为圆与在第一象限的交点为，所以，
由双曲线的定义得，由得，
所以，解得或（舍去）.
回扣8计数原理、概率
1.排列数与组合数的性质
①＝n；②＝m＋；③＝；④＝＋.
2.二项式系数的3个性质（易错提醒：混淆二项式系数和项的系数）
对称性 当0≤k≤n（n∈N*，k∈N）时，与的关系是：＝
增减性与 最大值 二项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大； 当n为偶数时，第 ＋1 项的二项式系数最大，最大值为 ； 当n为奇数时，第 项和第 项的二项式系数最大，最大值为 （或 ）
各二项式 系数的和 各二项式系数的和：＋＋＋…＋＝ 2n ； 奇数项的二项式系数的和＝偶数项的二项式系数的和＝2n－1，即＋＋…＝＋＋…＝ 2n－1
3.概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式：
P（A）＝；
②互斥事件的概率计算公式：P（A∪B）＝ P（A）＋P（B） ；
③对立事件的概率计算公式：P（）＝ 1－P（A） ；
④独立事件同时发生的概率计算公式：P（AB）＝ P（A）P（B） ；
⑤条件概率公式：P（B｜A）＝ ，P（A）＞0；
⑥概率的乘法公式：P（AB）＝ P（A）P（B｜A） ，P（A）＞0；
⑦全概率公式：P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）（A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，B Ω）.
4.期望与方差的性质
①均值的性质：（ⅰ）E（aX＋b）＝ aE（X）＋b ；（ⅱ）若X～B（n，p），则E（X）＝ np ；（ⅲ）若X服从两点分布，则E（X）＝ p .
②方差的性质：（ⅰ）D（aX＋b）＝ a2D（X） ；（ⅱ）若X～B（n，p），则D（X）＝ np（1－p） ；（ⅲ）若X服从两点分布，则D（X）＝ p（1－p） .
5.二项分布与超几何分布（易错提醒：混淆超几何分布与二项分布混淆）
二项分布 超几何分布
定义 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk·（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p） 如果随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么称随机变量X服从超几何分布
期望 E（X）＝ np E（X）＝ np ，其中p＝，表示N件产品的次品率
【对点.检测】
1．（2025·山西朔州·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A．15 B．6 C．20 D．2
【答案】A
【解析】在的展开式中，含有项为，
所以展开式中含有项的系数为15，故选A
2．（2025·山西朔州·模拟预测）若，则（ ）
A．28 B．56 C．112 D．120
【答案】B
【解析】由，得，解得，
所以
.
故选：B
3.（2025·陕西汉中·模拟预测）若从小明 小红 小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明 小红 小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从6人中选3人排列共有种，由题意得去班的方案有：种；
去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种；
所以，满足条件的方案数是：.所以所求概率是，故选：D.
4.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由二项分布和正态分布可知，
，，，.
故A正确，B错误；
对于C项，.故C错误；
对于D项，根据正态分布可知，，
所以，，，
所以有.故D错误.
故选：A.
5.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】X的可能取值为0,1,2,3，
，，，
，
则，
所以．
故选：C
6．（2025·宁夏石嘴山·三模）某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为 .
【答案】/
【解析】该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为,
回扣9统计与成对数据的统计分析
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
众数 在一组数据中，出现 次数 最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的 中点 的横坐标即众数
中位数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在 最中间 的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的 面积 相等
平均数 ＝（x1＋x2＋…＋xn）＝xi，其中xi是第i个样本数据，n是样本容量 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和
2.方差与标准差
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
方差 s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]＝（xi－）2 记频率分布直方图中有m个区间分组，各区间中点的横坐标分别为y1，y2，…，ym，各区间对应的频率分别为p1，p2，…，pm，为样本数据的平均数， 则s2＝（yi－）2pi
标准差 s＝ s＝
3.一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)=x+一定过点(，)，
其中
4.样本相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.
5.独立性检验
利用随机变量χ2=
(n=a+b+c+d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
【对点.检测】
1．（2025·甘肃张掖一模）某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得，，解得，故选B．
2．（2025·辽宁沈阳·三模）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（ ）
A．87.5 B．85 C．70 D．62.5
【答案】C
【解析】由题意可得，解得，且第一个小矩形面积为，
第二个小矩形面积为，则第一四分位数即第百分位数为.故选C
3．（2025·天津一模）某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ）
A．样本中心点为 B．
C．时， 残差为 D．相关系数
【答案】C
【解析】对于A项，因为，，
所以样本中心点为，故A项正确；
对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确；
对于C项，由B项知，，令，则，
所以残差为，故C项错误；
对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关，
故相关系数，故D项正确.故选：C
4．（2025·辽宁·三模）已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表：
去云南旅游 去河南旅游 合计
东小组 60 40 100
西小组 70 30 100
合计 130 70 200
由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
参考公式：.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】 没有
【解析】由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为.
因为，
所以没有的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
回扣1 集合与常用逻辑用语、不等式
1.集合间的关系与运算：A∪B＝A B A；A∩B＝B B A；（易错提醒：代表元素意义不清致错）
2.元素与子集的个数：若集合A有n（n∈N*）个元素，则A有 2n 个子集，有 （2n－1） 个真子集，有 （2n－2） 个非空真子集.（易错提醒：忽视空集是任何集合的子集）
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，它们之间的关系如下表所示：
命题 命题的否定
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
4.充分条件与必要条件的两种判定方法
①定义法：若p q，则p是q的 充分 条件（或q是p的 必要 条件）；若p q，且q p，则p是q的 充分不必要 条件（或q是p的 必要不充分 条件）；
②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A B，则p是q的 充分 条件（q是p的 必要 条件）；若A B，则p是q的 充分不必要 条件（q是p的 必要不充分 条件）；若A＝B，则p是q的 充要 条件.
5.分式不等式
＞0（＜0） f（x）g（x） ＞ 0（＜0）；
≥0（≤0）
6.基本不等式
① ≥≥ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号（易错提醒：忽视基本不等式取等的条件）
②4ab≤（a＋b）2≤2（a2＋b2），即ab ≤ （ ）2 ≤ ，当且仅当a＝b时取等号；
③＋≥ 2 （ab＞0），当且仅当a＝b时取等号，＋≤ －2 （ab＜0），当且仅当a＝－b时取等号.
【对点.检测】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“”的否定是“”，故选D
2．已知集合，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】由，解得，所以，所以的子集有个，故选B
3.（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点，
集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以，故选D.
4．（2025·河南郑州·一模）“ ”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得或，解得或，
所以由“ ”推得出“”，故充分性成立；
由“”推不出“ ”，故必要性不成立；
所以“ ”是“” 的充分不必要条件，故选A
5.不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由得，整理得，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
6．（2025·辽宁大连·二模）设，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，且,所以，
当且仅当，即时取等号.
回扣2 函数与导数
1.函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 ＞0 f（x）在[a，b]上 单调递增 ；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 ＜0 f（x）在[a，b]上 单调递减 ；（易错提醒：函数的单调区间不能用并集）
②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 减 函数；若函数f（x）和g（x）都是增函数， 则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 增 函数；根据 同增异减 判断复合函数y＝f（g（x））的单调性.
2.函数奇偶性的常用结论
①如果奇（偶）函数f（x）在区间[a，b]（0≤a＜b）上具有单调性，那么f（x）在[－b，－a]上具有相同（反）的单调性；
②定义在R上的函数f（x）总可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，其中g（x）＝，h（x）＝.（易错提醒：忽略函数的定义域）
3.函数周期性的常用结论
①设周期函数f（x）的最小正周期为T（T＞0），则f（λx）（λ≠0）的最小正周期为；
②若u＝g（x）是周期函数，f（u）是任意函数，则f（g（x））也是周期函数；
③若f（x＋a）＝f（x＋b），则f（x）的周期T＝b－a，其中a≠0，b≠0，a≠b；
④若f（x＋a）＝－f（x），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
⑤若f（x＋a）＝±（c为常数），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0，c≠0；
⑥若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝4a，其中a≠0.
4.函数图象的对称性
①函数y＝f（x）的图象与其反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称；
②函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称；
③函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称 f（a－x）＝f（a＋x） f（2a－x）＝f（x）；
④函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称 f（a－x）＝－f（a＋x） f（2a－x）＝－f（x）；
⑤函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 f（a＋mx）＝f（b－mx）（m≠0） f（a＋b－mx）＝f（mx）（m≠0）.
5.指数函数与对数函数的基本性质
①定点：y＝ax（a＞0，且a≠1）恒过点 （0，1） ；y＝logax（a＞0，且a≠1）恒过点 （1，0） ；
②单调性：当a＞1时，y＝ax在R上 单调递增 ，y＝logax在（0，＋∞）上 单调递增 ；当0＜a＜1时，y＝ax在R上 单调递减 ，y＝logax在（0，＋∞）上 单调递减 ；
6.5组基本初等函数的导数公式
① c'＝0（c为常数）
② （xα）'＝ αxα－1 （α∈R，且α≠0），高频使用：（ ）'＝（x－1）'＝ －
③ （sin x）'＝ cos x ，（cos x）'＝ －sin x
④ （logax）'＝ （x＞0，a＞0且a≠1），（ln x）'＝ （x＞0）
⑤ （ax）'＝ axln a （a＞0且a≠1），（ex）'＝ex
【对点.检测】
1．（2025·云南昆明·二模）若函数（且）是偶函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】，则，由于是偶函数，
故对恒成立，故，所以，故选D
2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是，故选A.
3．（24-25·北京顺义·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，令，即，
解得，所以函数的单调递减区间为，
结合选项可知只有D符合题意，故选D
4．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为为定义在上的奇函数，则，又因为，
则，可得，可知2为的一个周期，
所以，故选B.
5.（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】利用指数运算法则、指数式与对数式互化关系化简函数，再利用指数函数过定点问题求解.
【详解】函数，由，得恒成立，
所以点的坐标为.
6.，函数没有极值的充要条件为 ．
【答案】
【解析】，注意到是开口向上的二次函数，
若没有极值，则只能是恒成立，
即，解得．
回扣3 三角函数、解三角形
1.几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°，k∈Z}.
(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α=180°+k·360°，k∈Z}.
(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°，k∈Z}.
(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α=90°+k·180°，k∈Z}.
(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°，k∈Z}.忽视对角终边位置的讨论致误
2.同角三角函数的基本关系式
商的关系 ＝tan α
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
常见变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±，cos α＝±，sin α＝cos αtan α，cos α＝，sin2α＝＝，1＋tan2α＝
3.三角恒等变换
①cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ；
cos（α－β）＝ cos αcos β＋sin αsin β ；
sin（α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β ；
sin（α－β）＝ sin αcos β－cos αsin β ；
tan（α＋β）＝ ；
tan（α－β）＝ .
②二倍角公式：sin 2α＝ 2sin αcos α ，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝ ；
③降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
4.三角函数的图象和性质（易错提醒：忽略隐含条件如）
项目 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x
单调性 增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z） （ －＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
减区间 ［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）
对称性 对称轴 x＝ ＋kπ （k∈Z） x＝ kπ （k∈Z）
对称中心 （kπ，0） （k∈Z） （ ＋kπ，0） （k∈Z） （ ，0） （k∈Z）
5.三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种方法：
6.正、余弦定理及其变形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径.（易错提醒：忽略大边对大角隐含条件）
定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或两边及其夹角）
内容 ＝＝＝2R； 变式：＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C
常见变形 ①边化角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②角化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③求比值：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 求角或角化边： cos A＝， cos B＝ ， cos C＝
【对点.检测】
1.（2025·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设且，故终边与角相同的角的集合为.故选B
2．（2025·甘肃金昌二模）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【解析】依题意得，则，
所以．故选：A．
3.（2025·广东·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，
所以，
故选：D.
4．（2025·天津滨海新一模）在中，，则B=（ ）
A．60° B．120° C．60° 或120° D．以上都不对
【答案】C
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，可得，
又因为，可得，所以或.故选：C.
5．（2025·河北石家庄·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知.
令，解得，∴函数图象的对称中心.∴当时，为函数图象的一个对称中心.故选：A.
6．（2025·湖南长沙·二模）已知角终边上一点，则 ；
【答案】
【解析】根据三角函数定义，可得，则.
回扣4平面向量复数
1.复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0（a，b∈R）；（易错提醒：误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解）
2.复数的几个常见结论
①（1±i）2＝±2i；
②＝i，＝－i；
③i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i ，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝ 0 （n∈N）.
3.复数的运算法则
加减法：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；
乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；
除法：(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0).(其中a，b，c，d∈R)
4.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.（易错提醒：数量积运算时弄错两个向量的夹角）
名称 几何表示 坐标表示
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ a·b＝ x1x2＋y1y2
夹角的余弦值 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2 ＝0
｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a与b共线时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤·（当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立）
6.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
①O为△ABC的外心 ｜｜＝｜｜＝｜｜＝；
②O为△ABC的重心 ＋＋＝0；
③O为△ABC的垂心 ·＝·＝·；
④O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
【对点.检测】
1.（2025·福建泉州·一模）若i为虚数单位，复数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，其中为实数，
所以，解得．故选C．
2．（2025·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是边上的中点，所以，即，故选A.
3．（2025·河北秦皇岛·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设复数，则，
，
又，，
，，.
故选：A.
4．（2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
解得或（舍），故选：B
5.（2025·河北保定·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心 B．点为的外心
C． D．为等边三角形
【答案】B
【解析】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B.
6．（2025·山东临沂一模）在菱形ABCD中，，，E，F分别为AD，CD的中点，则 .
【答案】6
【解析】如图：由题意，得,,
，
回扣5数列
1.等差、等比数列的通项公式与前n项和公式（易错提醒：忽略公比致错）
项目 等差数列 等比数列
通项公式 an＝ a1＋（n－1）d an＝ a1qn－1 （q≠0）
前n项和公式 Sn＝＝ na1＋d ①q≠1，Sn＝＝ ； ②q＝1，Sn＝ na1
2.等差数列的性质
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ ap＋aq ；
②ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为 md 的等差数列；
③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列（公差为 m2d ，m∈N*）；
④S2n－1＝（2n－1）an；
⑤若项数n为偶数，则S偶－S奇＝ ；若项数n为奇数，则S奇－S偶＝ .
3.等比数列的性质
已知等比数列{an}的公比为q（q≠0），前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则aman＝ apaq ；
②若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列，即若m＋n＝ 2p ，则aman＝ ；
③ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公比为 qm 的等比数列；
④当q≠－1，或q＝－1且m（m∈N*）为奇数时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公比为 qm 的等比数列；
⑤若Tn为等比数列{an}的前n项积，则Tm，，，…是公比为（qm）m的等比数列；
⑥当项数为2n时，＝ q ；当项数为2n＋1时，＝ q .
4.判断等差数列的常用方法
①定义法：an+1-an=d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列；
②通项公式法：an=pn+q(p，q为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
③中项公式法：2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}是等差数列；
④前n项和公式法
Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列.（易错提醒：已知求时, 易忽略致错）
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法：=q(q是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列；
②通项公式法：an=cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列；
③中项公式法：=an·an+2(an≠0，n∈N*) {an}是等比数列.
5.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(3)通项公式形如an=(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
裂项相消法常见形式：
=-，
=，
=，
=-.
(4)形如{an·bn}的数列(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)，利用错位相减法求和.
(5)通项公式形如an=(-1)n·n，an=a·(-1)n或an=(-1)n(2n+1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
【对点.检测】
1．（2025·四川凉山·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为数列为等差数列，则，即，
又因为，即，所以公差，故选A.
2．（2025·甘肃金昌·二模）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
所以数列的前10项和为，故选B.
3．（2025·浙江·二模）记数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．33 B．46 C．49 D．42
【答案】A
【解析】数列中，，，当时，，
当时，，则，，
因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，
数列的通项公式为：，，，
所以，故选：A
4．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ）
A．是等比数列 B．是等差数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ABD
【解析】A选项，由题意得，故，
其中，故为等比数列，A正确；
B选项，，故，
又，故是等差数列，B正确；
C选项，，，
，其中，故不是等比数列，C错误；
D选项，，故，
故，所以为等比数列，D正确.
故选：ABD
5．（2025·山东·一模）若数列满足，，则的前2025项的和为 ．
【答案】1013
【解析】易知当为偶数时，可得，即；所以可知的前2025项的和.
6.（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，∴.
∴，
∴.
回扣6立体几何与空间向量
1.空间旋转体的表面积与体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝ 2πrl S表＝2πr（r＋l） V＝S底h＝ πr2h
圆锥 S侧＝ πrl S表＝πr（r＋l） V＝ S底h ＝πr2h
圆台 S侧＝ π（r＋r'）l S表＝π（r2＋r'2＋rl＋r'l） V＝ （S上＋S下＋ ）h ＝π（r2＋r'2＋rr'）h
2.空间多面体的表面积与体积（易错提醒：多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理，旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用）
几何体 侧面积 表面积 体积
直棱柱 S侧＝Ch（C为底面周长） S表＝S侧＋ S上＋S下（棱 锥的S上＝0） V＝S底h
正棱锥 S侧＝Ch'（h'为斜高） V＝S底h
正棱台 S侧＝（C＋C'）h'（C，C'分别是上、下底面周长，h'为斜高） V＝ （S上＋S下＋）h
球 S＝ 4πR2 V＝ πR3
3.利用空间向量求角和距离
异面直线a，b所成的角θ cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝ ，其中0°＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量
直线AB与平面α所成的角θ sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝ ，其中0°≤θ≤90°，m是平面α的法向量
二面角α-l-β的平面角θ ｜cos θ｜＝｜cos＜m，n＞｜＝ ，其中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量
点B到平面α的距离d d＝，其中n为平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一条斜线
4.平行、垂直关系的转化
（易错提醒：空间图形位置关系掌握不牢）
5.用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分别为u＝（a2，b2，c2），v＝（a3，b3，c3）.则有
①线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝0；
②线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；
③面面平行：α∥β u∥v u＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3；
④面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3 ＝0.
【对点.检测】
1．（2025·广东深圳·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，
所以，解得，
，所以，故选A.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知圆台的上 下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆台的母线长为，则圆台的表面积，即，
故圆台的高为，根据线面角定义求出母线与底面所成角，
所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为，故选D．
3.（2025·甘肃白银·三模）如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，
故异面直线和夹角的余弦值为.
故选：B.
4.（多选）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【解析】对于A，由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与平面内某条直线平行，则该直线与此平面平行，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，设正方体上底面为，下底面内任意取两条直线，有，但不一定有成立，故C错误；
对于D，由面面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的所有直线均与另一个平面平行，故D正确；故选AD.
5．（2025·湖南·三模）已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则．
在上的投影向量的长度为，
点到的距离为
回扣7平面解析几何
1.直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：（易错提醒：忽视斜率不存在致误）
（ⅰ）两直线平行：l1∥l2 k1＝k2 ；
（ⅱ）两直线垂直：l1⊥l2 k1k2＝－1 .
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
②直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
（ⅰ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－B1A2 ＝ 0且A1C2－A2C1 ≠ 0；
（ⅱ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2 ＝ 0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
2.三种距离公式
①已知A（x1，y1），B（x2，y2），两点间的距离｜AB｜＝；
②点到直线的距离d＝ （其中点P（x0，y0），直线方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0）；
③两平行线间的距离d＝（其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，A2＋B2≠0）.
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.
3.圆的方程的两种形式
①圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2；
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）；
4.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质（易错提醒：忽视焦点位置致误）
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 ｜PF1｜＋｜PF2｜ ＝ 2a （2a ＞ ｜F1F2｜） ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝ 2a （0＜2a ＜ ｜F1F2｜） ｜PF｜＝｜PM｜点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 ＋＝1 （a＞b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） y2＝2px（p＞0）
图形
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 范围 ｜x｜≤ a ，｜y｜≤ b ｜x｜≥ a x≥0
顶点 （±a，0）， （0，±b） （±a，0） （0，0）
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 （±c，0） （，0）
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 轴 长轴长 2a ，短轴长 2b 实轴长 2a ，虚轴长 2b
离心率 e＝＝（0＜e＜1） e＝＝（e＞1） e＝1
准线 x＝－
渐近线 y＝ ±x
5.设直线的斜率为k（k≠0），直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·.
6.圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线的焦点三角形 椭圆的焦点三角形： 如图1，以椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2＝θ，则 ①｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a； ②4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos θ； ③＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2tan.
圆锥曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形： 如图2，若点P是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上不同于顶点的任意一点，F1，F2为双曲线C的两焦点，则△PF1F2叫作双曲线的焦点三角形.记∠F1PF2＝θ，则＝
椭圆、双曲线第三定义的推广 椭圆的第三定义的推广：若M，N是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝－，e为椭圆C的离心率. 双曲线的第三定义的推广：若M，N是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝，e为双曲线C的离心率
双曲线的渐近线 ①若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ（λ∈R，且λ≠0）； ②焦点到渐近线的距离总是b； ③双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为e＝＝
抛物线的焦点弦 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2），α为直线AB的倾斜角，则有以下结论： ①焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝，＋＝； ②弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； ③S△OAB＝（O为抛物线的顶点）； ④以弦AB为直径的圆与准线相切； ⑤过点A，B分别向抛物线的准线引垂线，设垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1＝90°
相交弦所在直线斜率与弦中点的关系 ①已知直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝－·； ②已知直线y＝kx＋m（k≠0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝·； ③已知直线y＝kx＋m（k≠0）与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝
【对点.检测】
1.（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故选：.
2．（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，所以抛物线方程为，
准线方程为，故选D
3．（2025·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】椭圆的焦点在轴上,则，解得，
故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件，故选B
4．（2025·河南周口·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】，故过定点，
又，故在圆内，
所以当⊥时，取最小值，此时，又，所以，故选B
5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ．
【答案】
【解析】由与两直线平行可得，解得；
即可得：，
所以与间的距离为.
6．（2025·山西朔州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为，圆与在第一象限的交点为，且，则 .
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，半焦距为，
因为圆与在第一象限的交点为，所以，
由双曲线的定义得，由得，
所以，解得或（舍去）.
回扣8计数原理、概率
1.排列数与组合数的性质
①＝n；②＝m＋；③＝；④＝＋.
2.二项式系数的3个性质（易错提醒：混淆二项式系数和项的系数）
对称性 当0≤k≤n（n∈N*，k∈N）时，与的关系是：＝
增减性与 最大值 二项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大； 当n为偶数时，第 ＋1 项的二项式系数最大，最大值为 ； 当n为奇数时，第 项和第 项的二项式系数最大，最大值为 （或 ）
各二项式 系数的和 各二项式系数的和：＋＋＋…＋＝ 2n ； 奇数项的二项式系数的和＝偶数项的二项式系数的和＝2n－1，即＋＋…＝＋＋…＝ 2n－1
3.概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式：
P（A）＝；
②互斥事件的概率计算公式：P（A∪B）＝ P（A）＋P（B） ；
③对立事件的概率计算公式：P（）＝ 1－P（A） ；
④独立事件同时发生的概率计算公式：P（AB）＝ P（A）P（B） ；
⑤条件概率公式：P（B｜A）＝ ，P（A）＞0；
⑥概率的乘法公式：P（AB）＝ P（A）P（B｜A） ，P（A）＞0；
⑦全概率公式：P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）（A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，B Ω）.
4.期望与方差的性质
①均值的性质：（ⅰ）E（aX＋b）＝ aE（X）＋b ；（ⅱ）若X～B（n，p），则E（X）＝ np ；（ⅲ）若X服从两点分布，则E（X）＝ p .
②方差的性质：（ⅰ）D（aX＋b）＝ a2D（X） ；（ⅱ）若X～B（n，p），则D（X）＝ np（1－p） ；（ⅲ）若X服从两点分布，则D（X）＝ p（1－p） .
5.二项分布与超几何分布（易错提醒：混淆超几何分布与二项分布混淆）
二项分布 超几何分布
定义 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk·（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p） 如果随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么称随机变量X服从超几何分布
期望 E（X）＝ np E（X）＝ np ，其中p＝，表示N件产品的次品率
【对点.检测】
1．（2025·山西朔州·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A．15 B．6 C．20 D．2
【答案】A
【解析】在的展开式中，含有项为，
所以展开式中含有项的系数为15，故选A
2．（2025·山西朔州·模拟预测）若，则（ ）
A．28 B．56 C．112 D．120
【答案】B
【解析】由，得，解得，
所以
.
故选：B
3.（2025·陕西汉中·模拟预测）若从小明 小红 小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明 小红 小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从6人中选3人排列共有种，由题意得去班的方案有：种；
去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种；
所以，满足条件的方案数是：.所以所求概率是，故选：D.
4.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由二项分布和正态分布可知，
，，，.
故A正确，B错误；
对于C项，.故C错误；
对于D项，根据正态分布可知，，
所以，，，
所以有.故D错误.
故选：A.
5.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】X的可能取值为0,1,2,3，
，，，
，
则，
所以．
故选：C
6．（2025·宁夏石嘴山·三模）某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，则该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为 .
【答案】/
【解析】该同学从家到学校遇到两次红灯的概率为,
回扣9统计与成对数据的统计分析
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
众数 在一组数据中，出现 次数 最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的 中点 的横坐标即众数
中位数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在 最中间 的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的 面积 相等
平均数 ＝（x1＋x2＋…＋xn）＝xi，其中xi是第i个样本数据，n是样本容量 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和
2.方差与标准差
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
方差 s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]＝（xi－）2 记频率分布直方图中有m个区间分组，各区间中点的横坐标分别为y1，y2，…，ym，各区间对应的频率分别为p1，p2，…，pm，为样本数据的平均数， 则s2＝（yi－）2pi
标准差 s＝ s＝
3.一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)=x+一定过点(，)，
其中
4.样本相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.
5.独立性检验
利用随机变量χ2=
(n=a+b+c+d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
【对点.检测】
1．（2025·甘肃张掖一模）某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得，，解得，故选B．
2．（2025·辽宁沈阳·三模）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（ ）
A．87.5 B．85 C．70 D．62.5
【答案】C
【解析】由题意可得，解得，且第一个小矩形面积为，
第二个小矩形面积为，则第一四分位数即第百分位数为.故选C
3．（2025·天津一模）某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ）
A．样本中心点为 B．
C．时， 残差为 D．相关系数
【答案】C
【解析】对于A项，因为，，
所以样本中心点为，故A项正确；
对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确；
对于C项，由B项知，，令，则，
所以残差为，故C项错误；
对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关，
故相关系数，故D项正确.故选：C
4．（2025·辽宁·三模）已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表：
去云南旅游 去河南旅游 合计
东小组 60 40 100
西小组 70 30 100
合计 130 70 200
由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
参考公式：.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】 没有
【解析】由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为.
因为，
所以没有的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
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