3.考前必纠知识误区 学案
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考前必纠知识误区
1.进行集合运算时，根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
【例1】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
【解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}（不合题意，舍去）
故集合B＝{0,7,3,1}．
利用集合的包含关系，求参数，此类问题一定要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
【例2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围
【解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言，要注意特殊情况的判断.
【例3】命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
【解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝>0 a·b>0；而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系。但解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【例4】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A
5.利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
【例5】已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值．
【解】依题意设，带入关系式，整理得：，根据根据复数相等的充要条件，可得，
解得，则有
6.利用定义求解三角函数值，要重视角终边的位置，如果不确定，需要分析讨论.
【例6】若的终边所在直线经过点，则 ．
【答案】
【解析】∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若的终边在第二象限，则，若的终边在第四象限，∴，综上可知
7.利用诱导公式化简、求值，要明确：“奇变偶不变，符号看象限”的含义.这是解题的关键.
【例7】若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选A．
8.求三角函数的单调性，就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性求解.
【例8】函数单调增区间为（ ）
A．, B．,
C．, D．,
【答案】B
【解析】∵，
即求函数的减区间．故函数的增区间为,，故选B
9.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向
【例9】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位．
B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位．
C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位．
D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位．
【答案】D
【解析】由变形为常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再将函数的图象纵坐标不变，横坐标向右平移单位．即得函数，故选D
10.解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin A＝x.①若sin A＝1，则∠A＝90°；②若sin A＞1，矛盾无解；③若0＜sin A＜1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．
【例10】已知在△ABC中，a＝，b＝,求、和边
【解】由正弦定理,得sinA＝因为，，所以或，当时，，＝．
当时，，＝．
11.利用数量积公式时，要用到两个向量的夹角。如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
【例11】在中,,则的值为 ( )
A 20 B -20 C D
【答案】B
【解析】由题意,
故-20，选B.
12.向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
【例12】若平面向量满足，，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边的平行四边形的面积为：，所以，又因为，所以，即且，所以
13.a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意向量的方向.
【例13】已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则( )
（A）点P在线段AB上 （B）点P在线段AB的反向延长线上
（C）点P在线段AB的延长线上 （D）点P不在直线AB上
【答案】B
【解析】因为，所以，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
14.由求时，数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记，切记！
【例14】已知数列的前项和为＝n2＋n＋1，求的通项公式．
【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝＋＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝n.
当n＝1时不符合上式，所以．
15.用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．
【例15】已知数列，其前项和为，则的最大值是________．
【答案】22
【解析】方法1：由题意，，，
当时，离二次函数对称轴最近，所以的最大值是为．
方法2：令，解得，即前4项为正数，后面项均为负数，所以的最大值为．
16.构造新数列后，新数列的公比也发生变化，不要盲目认为是数列的首项.
【例16】已知数列{an}满足，，求的通项公式．
【答案】【
【解析】，
是以为首项，2为公比的等比数列
即
17.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.切勿混淆.
【例17】已知函数的定义域为[0，1]，则函数的定义域
【答案】[－1，0]
【解析】由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足，，∴的定义域是[－1，0]
18.判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
【例18】判断的奇偶性
【解】方法一：∵
＝＝＝－，∴是奇函数
方法二：∵
＝
∴是奇函数
19.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
【例19】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,则x的取值范围 .
【答案】{x|2【解析】由,故0又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得220.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【例20】已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
【答案】1＜＜2
【解析】∵是由，复合而成，又＞0
∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可， ∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2:
21.求曲线的切线时(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个
【例21】已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方程．
【解】设切点坐标为，则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点N在切线上，
所以，
解得，所以切线方程为y=21x+32．
22.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.要区分“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系。
【例22】已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是
【答案】A
【解析】由导函数的图像，可得：当时，，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A．
23.误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系，利用导数研究函数的极值，f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，需要进行验证。
【例23】函数在处有极值10，求的值．
【解】，依题意得，解得或，当时，，所以在处取得极值；当时，，此时在无极值．所以．
24.对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．
【例24】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2 B. C．2 D．4
【答案】D
【解析】原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.
25.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理，旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【例25】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
【解】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.
当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝.
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
26.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系.
【例26】已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
对于①AD1 平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．
对于③，AD1 平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；
对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C 平面D1DCC1，
∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④错误，故选C.
27.在求直线方程时，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.
【例27】求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．
【解】当直线的截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1.
因为直线过点(2,4)，所以＋＝1，解得a＝－2.
故所求的直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.
当直线的截距均为0时，直线过原点，
此时直线的斜率为k＝2，
直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0.
28.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【例28】过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．y＝1 B．x＝3
C．x＝3或y＝1 D．不确定
【答案】C
【解析】由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝1，所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1.
29.求解最值、范围问题时要注意隐含条件中变量的取值范围．
【例29】已知，求的取值范围。
【解】由已知得
因，故
故
当时，有最小值为0；当时，有最大值9
故的取值范围是
30.求解有关的轨迹问题时,要考虑不重不漏.
【例30】已知Rt△ABC的斜边为AB，点A(－2,0)，B(4,0)，求点C满足的方程
【解】设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
如图所示，则半径为＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，
即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．
31.在求抛物线焦点以及准线时候需要将抛物线先转化为标准形式
【例31】抛物线的准线方程为
【答案】
【解析】 由可化为，其标准方程为
32.椭圆焦点可能在x轴上可能在y轴上需要注意分类讨论.
【例32】已知椭圆的离心率，则m的值为（ ）
A.3 B或 C. D.或3
【答案】D
【解析】当焦点在x轴上时，，所以m=3
当焦点在y轴上时，
所以，故m的值为或3
33.对于圆锥曲线需要讨论是椭圆还是双曲线
【例33】设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于
【答案】或，
【解析】若圆锥曲线为椭圆，由，可设，，，则.
若圆锥曲线为双曲线，由，可设，，，则，因此
34.直线与双曲线联立使用韦达定理的时候需要判别式判别
【例34】已知双曲线，过能否作一条直线与双曲线交于两点，且为中点.
【解】（1）当斜率不存在时，过点点且与轴垂直的直线显然不符合要求.
当斜率存在时，设过点的直线的方程为，代入，
并整理得，所以 ，
又因为，所以，解得，
将其代入可知，故这样的直线不存在
35.解决排列、组合问题特殊元素优先安排。即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
【例35】现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
【答案】D
【正解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有种.
36.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.
【例36】已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则n的取值所构成的集合为 .
【答案】
【解析】由题设，可得，即解得（舍去）,故答案为
37.混淆二项式最大项与展开式系数最大项，二项展开式系数最大项的求法：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.
【例37】已知的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1，求展开式中系数最大的项.
【解】由题意知第五项系数为，第三项系数为，
则有，所以
设第r+1项的系数绝对值最大，则有，解得 5≤r≤6，
故系数最大的项T6＝T7＝1792x﹣11
38.判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
【例38】把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
【答案】C
【解析】事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”，显然两个事件不可能同时发生，
但两者可能同时不发生，如“甲分得红牌和白牌”与“乙分得蓝牌和黑牌”，
综上，这两个事件为互斥但不对立事件，故选C.
39.互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点
(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【例39】甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
【解】设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)＝P(A)×P(B)
＝C×0.82×0.2×C×0.72×0.3≈0.169.
40.“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
【例40】袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率.
【解】P(C)＝P(A·B)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.
41.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．而判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.
【例41】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为15.
(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过65公斤的学生人数，求的分布列及数学期望.
【解】（1）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为
则解得，
∵第2小组的频数为15，频率为，
∴该校报考飞行员的总人数为：（人）．
（2）体重超过65公斤的学生的频率为
∴的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
∴的分布列为：
0 1 2 3
由于，．
1.进行集合运算时，根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
【例1】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
【解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}（不合题意，舍去）
故集合B＝{0,7,3,1}．
利用集合的包含关系，求参数，此类问题一定要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
【例2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围
【解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言，要注意特殊情况的判断.
【例3】命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
【解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝>0 a·b>0；而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系。但解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【例4】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A
5.利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
【例5】已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值．
【解】依题意设，带入关系式，整理得：，根据根据复数相等的充要条件，可得，
解得，则有
6.利用定义求解三角函数值，要重视角终边的位置，如果不确定，需要分析讨论.
【例6】若的终边所在直线经过点，则 ．
【答案】
【解析】∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若的终边在第二象限，则，若的终边在第四象限，∴，综上可知
7.利用诱导公式化简、求值，要明确：“奇变偶不变，符号看象限”的含义.这是解题的关键.
【例7】若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选A．
8.求三角函数的单调性，就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性求解.
【例8】函数单调增区间为（ ）
A．, B．,
C．, D．,
【答案】B
【解析】∵，
即求函数的减区间．故函数的增区间为,，故选B
9.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向
【例9】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位．
B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位．
C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位．
D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位．
【答案】D
【解析】由变形为常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再将函数的图象纵坐标不变，横坐标向右平移单位．即得函数，故选D
10.解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin A＝x.①若sin A＝1，则∠A＝90°；②若sin A＞1，矛盾无解；③若0＜sin A＜1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．
【例10】已知在△ABC中，a＝，b＝,求、和边
【解】由正弦定理,得sinA＝因为，，所以或，当时，，＝．
当时，，＝．
11.利用数量积公式时，要用到两个向量的夹角。如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
【例11】在中,,则的值为 ( )
A 20 B -20 C D
【答案】B
【解析】由题意,
故-20，选B.
12.向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
【例12】若平面向量满足，，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边的平行四边形的面积为：，所以，又因为，所以，即且，所以
13.a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意向量的方向.
【例13】已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则( )
（A）点P在线段AB上 （B）点P在线段AB的反向延长线上
（C）点P在线段AB的延长线上 （D）点P不在直线AB上
【答案】B
【解析】因为，所以，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
14.由求时，数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记，切记！
【例14】已知数列的前项和为＝n2＋n＋1，求的通项公式．
【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝＋＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝n.
当n＝1时不符合上式，所以．
15.用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．
【例15】已知数列，其前项和为，则的最大值是________．
【答案】22
【解析】方法1：由题意，，，
当时，离二次函数对称轴最近，所以的最大值是为．
方法2：令，解得，即前4项为正数，后面项均为负数，所以的最大值为．
16.构造新数列后，新数列的公比也发生变化，不要盲目认为是数列的首项.
【例16】已知数列{an}满足，，求的通项公式．
【答案】【
【解析】，
是以为首项，2为公比的等比数列
即
17.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.切勿混淆.
【例17】已知函数的定义域为[0，1]，则函数的定义域
【答案】[－1，0]
【解析】由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足，，∴的定义域是[－1，0]
18.判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
【例18】判断的奇偶性
【解】方法一：∵
＝＝＝－，∴是奇函数
方法二：∵
＝
∴是奇函数
19.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
【例19】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,则x的取值范围 .
【答案】{x|2
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2
【例20】已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
【答案】1＜＜2
【解析】∵是由，复合而成，又＞0
∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可， ∴＜2
综上可知所求的取值范围是1＜＜2:
21.求曲线的切线时(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个
【例21】已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方程．
【解】设切点坐标为，则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点N在切线上，
所以，
解得，所以切线方程为y=21x+32．
22.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.要区分“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系。
【例22】已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是
【答案】A
【解析】由导函数的图像，可得：当时，，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A．
23.误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系，利用导数研究函数的极值，f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，需要进行验证。
【例23】函数在处有极值10，求的值．
【解】，依题意得，解得或，当时，，所以在处取得极值；当时，，此时在无极值．所以．
24.对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．
【例24】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2 B. C．2 D．4
【答案】D
【解析】原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.
25.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理，旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【例25】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
【解】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.
当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝.
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
26.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系.
【例26】已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
对于①AD1 平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．
对于③，AD1 平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；
对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C 平面D1DCC1，
∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④错误，故选C.
27.在求直线方程时，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.
【例27】求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．
【解】当直线的截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1.
因为直线过点(2,4)，所以＋＝1，解得a＝－2.
故所求的直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.
当直线的截距均为0时，直线过原点，
此时直线的斜率为k＝2，
直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0.
28.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【例28】过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．y＝1 B．x＝3
C．x＝3或y＝1 D．不确定
【答案】C
【解析】由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直线与圆相切，所以d＝＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝1，所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x＝3或y＝1.
29.求解最值、范围问题时要注意隐含条件中变量的取值范围．
【例29】已知，求的取值范围。
【解】由已知得
因，故
故
当时，有最小值为0；当时，有最大值9
故的取值范围是
30.求解有关的轨迹问题时,要考虑不重不漏.
【例30】已知Rt△ABC的斜边为AB，点A(－2,0)，B(4,0)，求点C满足的方程
【解】设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
如图所示，则半径为＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，
即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．
31.在求抛物线焦点以及准线时候需要将抛物线先转化为标准形式
【例31】抛物线的准线方程为
【答案】
【解析】 由可化为，其标准方程为
32.椭圆焦点可能在x轴上可能在y轴上需要注意分类讨论.
【例32】已知椭圆的离心率，则m的值为（ ）
A.3 B或 C. D.或3
【答案】D
【解析】当焦点在x轴上时，，所以m=3
当焦点在y轴上时，
所以，故m的值为或3
33.对于圆锥曲线需要讨论是椭圆还是双曲线
【例33】设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于
【答案】或，
【解析】若圆锥曲线为椭圆，由，可设，，，则.
若圆锥曲线为双曲线，由，可设，，，则，因此
34.直线与双曲线联立使用韦达定理的时候需要判别式判别
【例34】已知双曲线，过能否作一条直线与双曲线交于两点，且为中点.
【解】（1）当斜率不存在时，过点点且与轴垂直的直线显然不符合要求.
当斜率存在时，设过点的直线的方程为，代入，
并整理得，所以 ，
又因为，所以，解得，
将其代入可知，故这样的直线不存在
35.解决排列、组合问题特殊元素优先安排。即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
【例35】现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
【答案】D
【正解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有种.
36.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.
【例36】已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则n的取值所构成的集合为 .
【答案】
【解析】由题设，可得，即解得（舍去）,故答案为
37.混淆二项式最大项与展开式系数最大项，二项展开式系数最大项的求法：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.
【例37】已知的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1，求展开式中系数最大的项.
【解】由题意知第五项系数为，第三项系数为，
则有，所以
设第r+1项的系数绝对值最大，则有，解得 5≤r≤6，
故系数最大的项T6＝T7＝1792x﹣11
38.判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
【例38】把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
【答案】C
【解析】事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”，显然两个事件不可能同时发生，
但两者可能同时不发生，如“甲分得红牌和白牌”与“乙分得蓝牌和黑牌”，
综上，这两个事件为互斥但不对立事件，故选C.
39.互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点
(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【例39】甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
【解】设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)＝P(A)×P(B)
＝C×0.82×0.2×C×0.72×0.3≈0.169.
40.“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
【例40】袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率.
【解】P(C)＝P(A·B)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.
41.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．而判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.
【例41】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为15.
(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过65公斤的学生人数，求的分布列及数学期望.
【解】（1）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为
则解得，
∵第2小组的频数为15，频率为，
∴该校报考飞行员的总人数为：（人）．
（2）体重超过65公斤的学生的频率为
∴的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
∴的分布列为：
0 1 2 3
由于，．
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