玉溪一中2027届高二下学期 月考（一）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
选项 D A B D C A C B BCD ACD BC 4
15.，，即是锐角，
，，
由正弦定理，得， 又为锐角，则
由余弦定理，即，
即，得，解得或舍，
的面积．
16.全班人中随机抽取人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为
喜爱打篮球的学生人数为，
则列联表填写如下：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生
女生
合计
零假设为：喜爱打篮球与性别无关，
由得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不超过；
在女生中抽取人调查，其中喜爱打篮球的女生人数可能是人、人、人，
的所有可能取值为，，，， ， ，
则的分布列为：
故．
17.证法一： 底面，底面，.
，是的中点，. 底面，底面，.
底面是正方形，BC，,平面,又 平面, ,
,平面, 平面,,
，且,平面.
（1）证法二：侧棱底面，而，底面，故，，
底面是正方形，故AD，故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设 ，依题意得 ， ， ， ．
所以 ， ，
因为 ，所以 ．
由已知 ，且 ，，平面，所以 平面．
解：依题意得 ，且 ， ，，．
设平面的一个法向量为 ，
则 即 ，取 ．
同理可得 的 一个法向量为 ，所以 ．
所以平面与平面的夹角为 ．
18.解：由，解得，椭圆E的标准方程为：；
因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在，
设直线：，代入，，可得，
设，，则，，因为弦的中点的纵坐标为，
所以，即，
，原点O到直线MN的距离，
，
由，，可得，
当即时，取得最大值；
，，
即，
，，
代入式，得，
即，化简得，
即，或，
当时，则直线：，此时直线过点，不合题意舍去，
当，则直线：，此时直线过定点，
当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，
此时，显然成立，直线过定点
19.解：当时,，的定义域为，则，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
由恒成立，即恒成立，令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，上单调递减，
，，的最小值为．
由知：当时，，即恒成立，
即，时取“”， 令，得，
，
当时，．玉溪一中2027届高二下学期 月考（一）
数学
总分：150分 考试时间：120分钟
命题人：
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则
A． B． C． D．
2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则
A． B．
C． D．
3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则
A． B． C．或 D．或
4．已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，下列结论中，成立的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为
A． B． C． D．
6．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为
A． B． C． D．
7．已知双曲线=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为,则此双曲线的离心率e=
A.2 B. C. D.
下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是
问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和；
问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为；
问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为．
A. B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共,18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示，按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
变量线性负相关且相关性较强
相应于点的残差约为0.4
当时，y的估计值为14.4
10．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 的展开式中， 的一次项的系数为______.
13．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______.
14．已知数列满足，则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明.
15.（本小题13分）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，．
求；
求的面积.
16.（本小题15分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下列联表：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生
女生
合计
已知在全班人中随机抽取人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
请将上面的列联表补充完整不用写计算过程；
根据小概率值的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与均值．
附：，其中．
（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，
是的中点，作交于点．
求证：平面；
求平面与平面 的 夹角的大小．
18.（本小题17分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于，两点．
求椭圆的标准方程；
若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；
若，求证：直线过定点．
19.（本小题17分）已知函数，其中．
当时，求函数的单调区间；
若恒成立，求的最小值；
证明：，其中.
