【提升卷】苏科版数学八下第十一章 二次根式单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026九上·常宁期末）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．下列各式中，属于最简二次根式的为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简二次根式；
B：，不是最简二次根式；
C：，不是最简二次根式；
D：，不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开放的因数或因式，且不含分母”逐项判断解答即可.
3．（2026九上·德惠期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的加减运算法则，即可求解.
4．成立的条件是（ ）。
A．a≤2 B．a≤4 C．a≥2 D．2≤a≤4
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由 成立，可得
解得
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的双重非负性解答即可.
5．有下列算式：①（ )2=2；②=2；③（-2 )2=12；（ -1，其中结果正确的个数为（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：解： 所以①正确；
所以②正确；
所以③正确；
所以④正确.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质对①②③进行判断；根据平方差公式对④进行判断.
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
7．已知 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x=9时， 当 时，x的值为（ )。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： 解得： ∴符合题意；
解得： 由 得 .不合题意；
则 ∴不合题意；
故只有 时，才有 ，
故答案为：C.
【分析】分为三种情况计算，然后验证解答即可.
8．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
9．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：根据题意可知有理数因式的定义，针对小组成员利用有理化因式的结论：
甲： ，故甲的结论是正确的；
乙：由 ，所以得到，故乙的结论错误；
丙：
因为，所以 ，丙的结论正确；
丁： 已知，且，所以 ，故丁的结论错误；
戊：
故戊的结论正确；
所以正确的结论为：甲丙戊，
故答案为：B.
【分析】逐一验证每个结论的正确性， 主要用到有理化因式的概念和计算方法。通过有理化处理， 可以消除分母中的根号， 从而简化计算和比较大小。
10．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2026九上·德惠期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：2x-1≥0，
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可.
12．一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是
【答案】
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可知，这个三角形三边周长为：，
故答案为：.
【分析】首先将三边长化为最简二次根式，然后三边相加合并即可得到周长.
13．（2024八下·荔湾期末）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质及三角形三边的关系求出，再利用二次根式的性质化简，最后利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
14．一个面积为 的长方形，若其宽为 ，则长为 。
【答案】2
【知识点】二次根式的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的额除法计算即可.
15．如果 是整数， 那么整数 的值是 .
【答案】18或2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴x的值为18或2.
故答案为：18或2.
【分析】先根据二次根式的乘法把式子化简，然后由结果是整数即可解答.
16．（2026八上·惠州期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除混合运算；二次根式的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
∵正方形的面积与长方形相等，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】
先计算长方形的面积为，再根据正方形面积等于长方形的面积为40，再根据40求边长，开方计算即可解答．
17．（2024八下·潍城期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵三个正方形的面积分别为2、3、6，
∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为，
S阴影部分=，
故答案为：
【分析】阴影部分的长=小正方形的边长， 阴影部分的宽=小正方形的边长-（大正方形的边长-中正方形的边长），由此先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积．
18．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ．
【答案】39
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：
【分析】这道题的核心思路是平方差公式配对消元：先计算，再结合已知的，通过解方程组求出，最后平方求x。
三、解答题（共8题，共90分）
19．婷婷对“化简： 的解答过程如下：
解：原式 2=12.
婷婷的解答过程是否正确 若正确，请你再写出一种解答过程；若不正确，请你写出正确的解答过程.
【答案】解：婷婷的解答过程正确.
另一种解答过程如下：
×===12
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简求值即可.
20．一个直角三角形的斜边长15cm，一条直角边长10cm，求另一条直角边的长.
【答案】解：不妨设c=15cm，a=10cm，另一直角边为b，则
根据勾股定理得：b2=c2-a2=152-102=125，
∴b==cm
答： 另一条直角边的长 为cm.
【知识点】最简二次根式；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理求解即可.
21．
（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮；A
（2）解：，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】(1)先把根号里的式子化为完全平方形式，再根据二次根式性质化简。当a=1012>1时，，小亮直接去掉绝对值写成1-a，忽略了1-a为负数，所以小亮的解法错误，错误原因是未正确运用(选项A)；
(2)先把根号内的式子 配方成，再根据 写成，最后根据 a 与 3 的大小关系去掉绝对值符号。
22．（2025九上·衡阳期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
将，代入得：原式．
【知识点】整式的混合运算；二次根式的乘除混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本题考查了整式混合运算的化简求值(完全平方、平方差、单项式乘多项式），先展开所有整式，再合并同类项，化简为最简形式，再代入a，b的值，注意用平方差公式简化计算.
23． 如图，在3×3 的方格（每个小方格的边长均为1）中有一个格点三角形 ABC，求BC边上的高线长.
【答案】解：由勾股定理，得AB=，AC=2，BC=，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°.
设BC边上的高线长为h，
则S△ABC=BC·h=AC·AB，
∴h===.
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】根据勾股定理得AB、AC、BC的长，根据勾股定理逆定理得Rt△ABC，再根据等面积法计算出三角形 BC边上的高线长 .
24．（2025八上·兰州期中）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
，
……
（1）利用上面的规律，计算：．
（2）利用上面的思路，计算：．
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
即．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【分析】（1）通过分母有理化将通项转化为裂项形式（如)，利用相邻项相消的特性简化求和即可；
（2）先通过通分将分式转化为同分母形式，然后结合平方差公式展开分子，合并同类项简化表达式即可；
（3）将差值表达式通过分母有理化转化为分母形式（），利用分母大小关系比较原式大小。
25．（2025八下·南宁期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
（1）对偶式与之间的关系是 ；
A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数
（2）已知，，求的值；
（3）计算：的值．
【答案】（1）C
（2）解：由题意得：，
，
，
．
（3）解：
．
【知识点】公因式的概念；二次根式的乘除混合运算；分母有理化
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴对偶式与之间的关系是互为倒数，
故答案为：C.
【分析】（1）利用“对偶数”的定义及二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化求出x、y的值，再将其代入计算即可；
（3）先利用分母有理化化简括号内的算式，再求解即可.
（1）解：∵，
∴对偶式与之间的关系是互为倒数，
故选：C；
（2）解：由题意得：，
，
，
．
（3）解：
．
26．（2026八上·深圳期末）【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【知识点】分母有理化；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
1 / 1【提升卷】苏科版数学八下第十一章 二次根式单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026九上·常宁期末）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2
2．下列各式中，属于最简二次根式的为（ ）。
A． B． C． D．
3．（2026九上·德惠期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．成立的条件是（ ）。
A．a≤2 B．a≤4 C．a≥2 D．2≤a≤4
5．有下列算式：①（ )2=2；②=2；③（-2 )2=12；（ -1，其中结果正确的个数为（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
7．已知 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x=9时， 当 时，x的值为（ )。
A． B． C． D．
8．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
9．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
10．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2026九上·德惠期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是
13．（2024八下·荔湾期末）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ．
14．一个面积为 的长方形，若其宽为 ，则长为 。
15．如果 是整数， 那么整数 的值是 .
16．（2026八上·惠州期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ．
17．（2024八下·潍城期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
18．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ．
三、解答题（共8题，共90分）
19．婷婷对“化简： 的解答过程如下：
解：原式 2=12.
婷婷的解答过程是否正确 若正确，请你再写出一种解答过程；若不正确，请你写出正确的解答过程.
20．一个直角三角形的斜边长15cm，一条直角边长10cm，求另一条直角边的长.
21．
（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
22．（2025九上·衡阳期末）先化简，再求值：，其中，．
23． 如图，在3×3 的方格（每个小方格的边长均为1）中有一个格点三角形 ABC，求BC边上的高线长.
24．（2025八上·兰州期中）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
，
……
（1）利用上面的规律，计算：．
（2）利用上面的思路，计算：．
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
25．（2025八下·南宁期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
（1）对偶式与之间的关系是 ；
A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数
（2）已知，，求的值；
（3）计算：的值．
26．（2026八上·深圳期末）【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简二次根式；
B：，不是最简二次根式；
C：，不是最简二次根式；
D：，不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开放的因数或因式，且不含分母”逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的加减运算法则，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由 成立，可得
解得
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的双重非负性解答即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：解： 所以①正确；
所以②正确；
所以③正确；
所以④正确.
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质对①②③进行判断；根据平方差公式对④进行判断.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： 解得： ∴符合题意；
解得： 由 得 .不合题意；
则 ∴不合题意；
故只有 时，才有 ，
故答案为：C.
【分析】分为三种情况计算，然后验证解答即可.
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
9．【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：根据题意可知有理数因式的定义，针对小组成员利用有理化因式的结论：
甲： ，故甲的结论是正确的；
乙：由 ，所以得到，故乙的结论错误；
丙：
因为，所以 ，丙的结论正确；
丁： 已知，且，所以 ，故丁的结论错误；
戊：
故戊的结论正确；
所以正确的结论为：甲丙戊，
故答案为：B.
【分析】逐一验证每个结论的正确性， 主要用到有理化因式的概念和计算方法。通过有理化处理， 可以消除分母中的根号， 从而简化计算和比较大小。
10．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：2x-1≥0，
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可.
12．【答案】
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可知，这个三角形三边周长为：，
故答案为：.
【分析】首先将三边长化为最简二次根式，然后三边相加合并即可得到周长.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质及三角形三边的关系求出，再利用二次根式的性质化简，最后利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
14．【答案】2
【知识点】二次根式的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】根据二次根式的额除法计算即可.
15．【答案】18或2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴x的值为18或2.
故答案为：18或2.
【分析】先根据二次根式的乘法把式子化简，然后由结果是整数即可解答.
16．【答案】
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除混合运算；二次根式的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
∵正方形的面积与长方形相等，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】
先计算长方形的面积为，再根据正方形面积等于长方形的面积为40，再根据40求边长，开方计算即可解答．
17．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵三个正方形的面积分别为2、3、6，
∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为，
S阴影部分=，
故答案为：
【分析】阴影部分的长=小正方形的边长， 阴影部分的宽=小正方形的边长-（大正方形的边长-中正方形的边长），由此先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积．
18．【答案】39
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：
【分析】这道题的核心思路是平方差公式配对消元：先计算，再结合已知的，通过解方程组求出，最后平方求x。
19．【答案】解：婷婷的解答过程正确.
另一种解答过程如下：
×===12
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简求值即可.
20．【答案】解：不妨设c=15cm，a=10cm，另一直角边为b，则
根据勾股定理得：b2=c2-a2=152-102=125，
∴b==cm
答： 另一条直角边的长 为cm.
【知识点】最简二次根式；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理求解即可.
21．【答案】（1）小亮；A
（2）解：，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】(1)先把根号里的式子化为完全平方形式，再根据二次根式性质化简。当a=1012>1时，，小亮直接去掉绝对值写成1-a，忽略了1-a为负数，所以小亮的解法错误，错误原因是未正确运用(选项A)；
(2)先把根号内的式子 配方成，再根据 写成，最后根据 a 与 3 的大小关系去掉绝对值符号。
22．【答案】解：原式
．
将，代入得：原式．
【知识点】整式的混合运算；二次根式的乘除混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本题考查了整式混合运算的化简求值(完全平方、平方差、单项式乘多项式），先展开所有整式，再合并同类项，化简为最简形式，再代入a，b的值，注意用平方差公式简化计算.
23．【答案】解：由勾股定理，得AB=，AC=2，BC=，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°.
设BC边上的高线长为h，
则S△ABC=BC·h=AC·AB，
∴h===.
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】根据勾股定理得AB、AC、BC的长，根据勾股定理逆定理得Rt△ABC，再根据等面积法计算出三角形 BC边上的高线长 .
24．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
即．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【分析】（1）通过分母有理化将通项转化为裂项形式（如)，利用相邻项相消的特性简化求和即可；
（2）先通过通分将分式转化为同分母形式，然后结合平方差公式展开分子，合并同类项简化表达式即可；
（3）将差值表达式通过分母有理化转化为分母形式（），利用分母大小关系比较原式大小。
25．【答案】（1）C
（2）解：由题意得：，
，
，
．
（3）解：
．
【知识点】公因式的概念；二次根式的乘除混合运算；分母有理化
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴对偶式与之间的关系是互为倒数，
故答案为：C.
【分析】（1）利用“对偶数”的定义及二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化求出x、y的值，再将其代入计算即可；
（3）先利用分母有理化化简括号内的算式，再求解即可.
（1）解：∵，
∴对偶式与之间的关系是互为倒数，
故选：C；
（2）解：由题意得：，
，
，
．
（3）解：
．
26．【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【知识点】分母有理化；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
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