【提升卷】苏科版数学八下第九章 因式分解单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·遵义期末）将关于的多项式因式分解得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·南明模拟）一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·唐山月考）多项式可以因式分解成，则的值是（ ）
A．0 B．4 C．3或-3 D．1
4．（2025八上·安定期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若多项式(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，则m-n的值是( )
A．0 B．4 C．3或-3 D．1
6．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
7．（2026八上·常宁期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
9．（2025七下·安吉期中） 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
10．黑板上写有1， ，……， 共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是( ).
A．2012 B．101 C．100 D．99
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2023八下·成都期中）把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝ ．
12．（2025九上·山丹月考）因式分解： ．
13．（2026九上·龙马潭期末）将多项式 因式分解的结果是 .
14．多项式 因式分解的结果为 ，则的值为 .
15．（2026八上·海珠期末） 若 则 的值为 .
16．（2026八上·门头沟期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值 ．
17．设y= ax，若代数式(x+y)(x-2y)+3y(x+y)化简的结果为x2，则a= .
18．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=
三、解答题（共8题，共90分）
19．分解因式：
（1）
（2）
20．（2025八上·广州月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将（1）中的二次三项式分解因式．
21．（广西贵港市港南区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 ）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
22．（2023八上·集贤期末）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则 ；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
23．
（1）因式分解：(x-y)(3x-y)+2x(3x-y)。
（2）设 y= kx，是否存在实数k，使得(1)中的结果为x2 若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由。
24．（2025七下·上城期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m>n.(以上长度单位：cm)
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 .
（3）若每块小矩形的面积为10cm2四个正方形的面积和为58cm2，试求m-n 的值.
25．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
26．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差， 那么称这个正整数为奇特数， 例如： ， 则 这三个数都是奇特数．
（1） 填空： 32 奇特数， 2024 奇特数． （填“是”或者“不是”）
（2） 设两个连续奇数是 和 （其中 取正整数）， 由这两个连续奇数构造的奇特数是 8 的倍数吗？ 为什么？
（3） 如图所示， 拼叠的正方形边长是从 1 开始的连续奇数， 按此规律拼叠到正方形 ， 其边长为 99 ， 求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵，
又∵原多项式为，
∴，
故选：．
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据对应项相等即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别对各个选项的因式进行分解，然后再对照题干中的式子，即可求解。
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 可以因式分解成，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：C
【分析】本题核心是运用提取公因式法分解因式，再对比确定参数值。观察式子可知两项均含有公因式，先提取公因式，得到，化简括号内的式子为，进一步提取公因数2，得到。将其与对比，可得和的取值为或，分别计算两种情况下的值，即可得到结果。
4．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．是从左边到右边为整式乘法，不合题意；
B．是从左边到右边为因式分解，满足题意；
C．，故该选项不合题意；
D．，故该选项不合题意．
故选：B．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵(x+2)(2x﹣1)﹣(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，
∴(x+2)(2x-1)-(x+2)，
=(x+2)(2x-2)，
=2(x+2)(x-1)，
=2(x+m)(x+n)，
故m=2，n=-1或m=-1，n=2，
则m-n=3或m-n=-3.
【分析】提取公因式分解因式，然后得到m和n的值，代入计算即可.
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
7．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：A．
【分析】根据平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可．
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
9．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：将方程分解为质因数幂
分解质因数：
化简为：
∴
由第二式得，代入第一式：
代入第三式：
则，
解得：
计算代入得：，
故答案为：Ａ.
【分析】首先将方程分解为质因数幂的形式，通过比较指数建立方程组，解方程组后代入计算即可．
10．【答案】C
【知识点】因式分解-分组分解法；列一元一次方程
【解析】【解答】解：
已知a + b + ab = (a + 1)(b + 1) - 1，这意味着每次选取两个数a、b进行操作后，得到的新数a + b + ab，若给它加上1，就等于原来两个数分别加1后的乘积，即a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1)。这表明每次操作前黑板上两个数分别加1后的乘积，与操作后新数加1的结果相等。由此可以推断出，每次操作前和操作后，黑板上所有数加1后的乘积始终保持不变。
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x。
有1， ，……， 共100个数字，它们加1后分别为1 + 1，，，...，
那么最初所有数加1后的乘积为(1 + 1)()()......()
经过99次操作后剩下数x，它加1后为x + 1。
因为每次操作前后所有数加1后的乘积不变，所以x + 1 =(1 + 1)()()......()，
计算(1 + 1)()()......()=2×=101
可以发现前一项的分子与后一项的分母可以依次约掉，最后结果为101，即x + 1 = 101。
解得x = 100。
故答案为：C .
【分析】本题关键在于发现每次操作前后，黑板上每个数加1后的乘积不变这一规律。通过设出最后剩下的数，利用这一规律建立等式，从而求解出剩下的数。
11．【答案】5
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵＝(x+3)(x+2)＝，
∴m＝5，
故答案为：5．
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此可得x2+mx+6=(x+3)(x+2)，根据多形式乘以多项式法则求出(x+3)(x+2)的积，然后根据多形式相等，则对应项的系数相等可求出m的值.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2(x2+2x+1)
=2(x+1)2，
故答案为：2(x+1)2.
【分析】将原式提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.
14．【答案】5
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：因为
所以a=1，ab+1=5，
所以b+1=5，
解得b=4，
所以a+b=5.
故答案为：5.
【分析】利用多项式的乘法展开合并，然后根据对应系数相等求出a和b，然后代入代数式计算解答即可.
15．【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=1+a（1+a+a2+a3+a4）+a6（1+a+a2+a3+a4）+......+a2021（1+a+a2+a3+a4）
=1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4）
=1.
故答案为：1.
【分析】把原式变形为1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4），根据即可得出答案。
16．【答案】x=12，y=10（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：=y(x2+x-6)=y(x+3)(x-2)
∴因式码为y，x+3，x-2
取x=12，y=10，则因式码为10，10，15 按从小到大的顺序排列就形成密码 为101015
生成的六位数密码中含有最小的两位数为10，
因而x=12，y=10，符合条件
故答案为：x=12，y=10，答案不唯一
【分析】先提公因式将多项式因式分解，然后再十字相乘法分解，最后得到因式码y，x+3，x-2再取符合条件的值，解答即可.
17．【答案】0或-2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：0或-2.
【分析】首先把 (x+y)(x-2y)+3y(x+y) 进行因式分解可得出结果为（x+y）2，然后把 y= ax代入进去，即可得出（1+a）2x2=x2，即可得出解得a的值即可。
18．【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
19．【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）此题中，多项式各项都有公因式4ab，故利用提取公因式法直接分解即可；
（2）此题中，多项式首项符号是负号，故先利用添括号法则将多项式放到一个带负号的括号内，进而发现多项式各项都有公因式x，故利用提取公因式法直接分解即可.
20．【答案】（1）解：
，
，
∴原来的二次三项式为：；
（2）解：．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式计算和，再根据题意即可求出答案.
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：
，
，
∴原来的二次三项式为：；
（2）解：．
21．【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
22．【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）解：设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：；
∴；
故答案为：1
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）设另一个因式为，根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3） 设另一个因式为， 根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：；
∴；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
23．【答案】（1）解：原式
（2）解： 将y=kx代入上式，得
令
则3-k=±1，
解得k=4或2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2) 把y=kx代入 (1)结果化简，令 系数为1求出k的值即可。
24．【答案】（1）解：图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和为：
（2）
（3）解：依题意得：
∴，
∵m>n，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】 可以因式分解为
故答案为：
【分析】(1)结合图像，求得所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；
(2)根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为
(3)根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式得到，mn=10，然后根据完全平方公式的变形解答即可.
25．【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
26．【答案】（1）是；不是
（2）解：是8的倍数，理由如下：
由题意知：（2n+1）2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n
∵ 取正整数
∴8n是8的倍数
故答案是8的倍数.
（3）解：32-12+72-52+112-92+…992-972
=(3+1)(3-1)+(7-5)(7+5)+…+（99-97）（99+97）
=2（1+3+5+7+…97+99）
=2×502
=5000
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)设两个连续的奇数为n+1，n-1(n为自然数)
∴(n+1)2-(n-1)2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n
令4n=32，n=8
∴32=92-72
令不是整数，
∴32是奇特数，2024不是奇特数.
【分析】(1)设两个连续的奇数为n+1，n-1(n为自然数)，可得(n+1)2-(n-1)2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n，再分别令4n=32和4n=2024，得出n为正整数，这个数就是奇特数，反之，就不是奇特数
(2)根据题意：列出（2n+1）2-(2n-1)2并计算其的结果是8n，即可得出结论.
（3）先把阴影部分面积表示出来：S阴影部分=32-12+72-52+112-92+…992-972，再利用平方差公式，分解，计算出结果即可.
1 / 1【提升卷】苏科版数学八下第九章 因式分解单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·遵义期末）将关于的多项式因式分解得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵，
又∵原多项式为，
∴，
故选：．
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据对应项相等即可求出答案.
2．（2025·南明模拟）一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别对各个选项的因式进行分解，然后再对照题干中的式子，即可求解。
3．（2025八上·唐山月考）多项式可以因式分解成，则的值是（ ）
A．0 B．4 C．3或-3 D．1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 可以因式分解成，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：C
【分析】本题核心是运用提取公因式法分解因式，再对比确定参数值。观察式子可知两项均含有公因式，先提取公因式，得到，化简括号内的式子为，进一步提取公因数2，得到。将其与对比，可得和的取值为或，分别计算两种情况下的值，即可得到结果。
4．（2025八上·安定期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．是从左边到右边为整式乘法，不合题意；
B．是从左边到右边为因式分解，满足题意；
C．，故该选项不合题意；
D．，故该选项不合题意．
故选：B．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．若多项式(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，则m-n的值是( )
A．0 B．4 C．3或-3 D．1
【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵(x+2)(2x﹣1)﹣(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，
∴(x+2)(2x-1)-(x+2)，
=(x+2)(2x-2)，
=2(x+2)(x-1)，
=2(x+m)(x+n)，
故m=2，n=-1或m=-1，n=2，
则m-n=3或m-n=-3.
【分析】提取公因式分解因式，然后得到m和n的值，代入计算即可.
6．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
7．（2026八上·常宁期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：A．
【分析】根据平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可．
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
9．（2025七下·安吉期中） 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：将方程分解为质因数幂
分解质因数：
化简为：
∴
由第二式得，代入第一式：
代入第三式：
则，
解得：
计算代入得：，
故答案为：Ａ.
【分析】首先将方程分解为质因数幂的形式，通过比较指数建立方程组，解方程组后代入计算即可．
10．黑板上写有1， ，……， 共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是( ).
A．2012 B．101 C．100 D．99
【答案】C
【知识点】因式分解-分组分解法；列一元一次方程
【解析】【解答】解：
已知a + b + ab = (a + 1)(b + 1) - 1，这意味着每次选取两个数a、b进行操作后，得到的新数a + b + ab，若给它加上1，就等于原来两个数分别加1后的乘积，即a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1)。这表明每次操作前黑板上两个数分别加1后的乘积，与操作后新数加1的结果相等。由此可以推断出，每次操作前和操作后，黑板上所有数加1后的乘积始终保持不变。
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x。
有1， ，……， 共100个数字，它们加1后分别为1 + 1，，，...，
那么最初所有数加1后的乘积为(1 + 1)()()......()
经过99次操作后剩下数x，它加1后为x + 1。
因为每次操作前后所有数加1后的乘积不变，所以x + 1 =(1 + 1)()()......()，
计算(1 + 1)()()......()=2×=101
可以发现前一项的分子与后一项的分母可以依次约掉，最后结果为101，即x + 1 = 101。
解得x = 100。
故答案为：C .
【分析】本题关键在于发现每次操作前后，黑板上每个数加1后的乘积不变这一规律。通过设出最后剩下的数，利用这一规律建立等式，从而求解出剩下的数。
二、填空题（第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分）
11．（2023八下·成都期中）把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝ ．
【答案】5
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵＝(x+3)(x+2)＝，
∴m＝5，
故答案为：5．
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此可得x2+mx+6=(x+3)(x+2)，根据多形式乘以多项式法则求出(x+3)(x+2)的积，然后根据多形式相等，则对应项的系数相等可求出m的值.
12．（2025九上·山丹月考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
13．（2026九上·龙马潭期末）将多项式 因式分解的结果是 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2(x2+2x+1)
=2(x+1)2，
故答案为：2(x+1)2.
【分析】将原式提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.
14．多项式 因式分解的结果为 ，则的值为 .
【答案】5
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：因为
所以a=1，ab+1=5，
所以b+1=5，
解得b=4，
所以a+b=5.
故答案为：5.
【分析】利用多项式的乘法展开合并，然后根据对应系数相等求出a和b，然后代入代数式计算解答即可.
15．（2026八上·海珠期末） 若 则 的值为 .
【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=1+a（1+a+a2+a3+a4）+a6（1+a+a2+a3+a4）+......+a2021（1+a+a2+a3+a4）
=1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4）
=1.
故答案为：1.
【分析】把原式变形为1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4），根据即可得出答案。
16．（2026八上·门头沟期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值 ．
【答案】x=12，y=10（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：=y(x2+x-6)=y(x+3)(x-2)
∴因式码为y，x+3，x-2
取x=12，y=10，则因式码为10，10，15 按从小到大的顺序排列就形成密码 为101015
生成的六位数密码中含有最小的两位数为10，
因而x=12，y=10，符合条件
故答案为：x=12，y=10，答案不唯一
【分析】先提公因式将多项式因式分解，然后再十字相乘法分解，最后得到因式码y，x+3，x-2再取符合条件的值，解答即可.
17．设y= ax，若代数式(x+y)(x-2y)+3y(x+y)化简的结果为x2，则a= .
【答案】0或-2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：0或-2.
【分析】首先把 (x+y)(x-2y)+3y(x+y) 进行因式分解可得出结果为（x+y）2，然后把 y= ax代入进去，即可得出（1+a）2x2=x2，即可得出解得a的值即可。
18．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=
【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
三、解答题（共8题，共90分）
19．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）此题中，多项式各项都有公因式4ab，故利用提取公因式法直接分解即可；
（2）此题中，多项式首项符号是负号，故先利用添括号法则将多项式放到一个带负号的括号内，进而发现多项式各项都有公因式x，故利用提取公因式法直接分解即可.
20．（2025八上·广州月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将（1）中的二次三项式分解因式．
【答案】（1）解：
，
，
∴原来的二次三项式为：；
（2）解：．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式计算和，再根据题意即可求出答案.
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：
，
，
∴原来的二次三项式为：；
（2）解：．
21．（广西贵港市港南区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 ）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
22．（2023八上·集贤期末）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则 ；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）解：设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：；
∴；
故答案为：1
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）设另一个因式为，根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3） 设另一个因式为， 根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：；
∴；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
23．
（1）因式分解：(x-y)(3x-y)+2x(3x-y)。
（2）设 y= kx，是否存在实数k，使得(1)中的结果为x2 若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：原式
（2）解： 将y=kx代入上式，得
令
则3-k=±1，
解得k=4或2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2) 把y=kx代入 (1)结果化简，令 系数为1求出k的值即可。
24．（2025七下·上城期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m>n.(以上长度单位：cm)
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 .
（3）若每块小矩形的面积为10cm2四个正方形的面积和为58cm2，试求m-n 的值.
【答案】（1）解：图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和为：
（2）
（3）解：依题意得：
∴，
∵m>n，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】 可以因式分解为
故答案为：
【分析】(1)结合图像，求得所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；
(2)根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为
(3)根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式得到，mn=10，然后根据完全平方公式的变形解答即可.
25．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
26．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差， 那么称这个正整数为奇特数， 例如： ， 则 这三个数都是奇特数．
（1） 填空： 32 奇特数， 2024 奇特数． （填“是”或者“不是”）
（2） 设两个连续奇数是 和 （其中 取正整数）， 由这两个连续奇数构造的奇特数是 8 的倍数吗？ 为什么？
（3） 如图所示， 拼叠的正方形边长是从 1 开始的连续奇数， 按此规律拼叠到正方形 ， 其边长为 99 ， 求阴影部分的面积．
【答案】（1）是；不是
（2）解：是8的倍数，理由如下：
由题意知：（2n+1）2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n
∵ 取正整数
∴8n是8的倍数
故答案是8的倍数.
（3）解：32-12+72-52+112-92+…992-972
=(3+1)(3-1)+(7-5)(7+5)+…+（99-97）（99+97）
=2（1+3+5+7+…97+99）
=2×502
=5000
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)设两个连续的奇数为n+1，n-1(n为自然数)
∴(n+1)2-(n-1)2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n
令4n=32，n=8
∴32=92-72
令不是整数，
∴32是奇特数，2024不是奇特数.
【分析】(1)设两个连续的奇数为n+1，n-1(n为自然数)，可得(n+1)2-(n-1)2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n，再分别令4n=32和4n=2024，得出n为正整数，这个数就是奇特数，反之，就不是奇特数
(2)根据题意：列出（2n+1）2-(2n-1)2并计算其的结果是8n，即可得出结论.
（3）先把阴影部分面积表示出来：S阴影部分=32-12+72-52+112-92+…992-972，再利用平方差公式，分解，计算出结果即可.
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