湖南省衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期3月测评数学试卷（含答案）

湖南衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期3月测评数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A． B．4 C． D．2
3．设，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边上一点，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
8．已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．若，则
11．已知定义在上的单调函数满足：对任意，都有且.则以下结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．当时，
C．函数是奇函数
D．若，则
三、填空题
12．计算：__________.
13．已知函数，则的定义域为__________.
14．已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知全集，集合.
(1)若，求；
(2)设命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.
16．为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料 人工 能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）；
(2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润.
17．已知函数的最小正周期为，最大值为.
(1)求函数的解析式和对称中心；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.
18．已知且，函数是指数函数，且.
(1)求实数和的值；
(2)对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值.
19．已知函数在上为奇函数，.
(1)求实数的值；
(2)求在上的值域；
(3)已知，若对任意，任意，不等式都成立，求正数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】由已知，，
所以.
2．A
【详解】因为为幂函数，所以，解得，
当时，，在上单调递增，不符合题意，
当时，，在上单调递减，所以，
所以
3．B
【详解】对数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
因为指数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
又因为，因此大小关系为：.
4．C
【详解】由题意得是方程的两个根，
则，解得，则.
5．C
【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，
则，解得，
所以.
6．B
【详解】根据三角函数的定义可知，
根据诱导公式和同角三角函数关系式可知
.
7．A
【详解】因为，当，即时取等号，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为．
8．D
【详解】原方程等价于：
和共有一个实数根.
当时，函数在上严格单调递增，因此在上的值域为，
方程在上有一个实根等价于，
令，则，结合题干得，不等式等价于：，
构造函数，，
因为均为上的减函数，故为上的减函数，
而，故的解为，故的解为.
故当方程在上有一个实根时.
当时，考虑方程即，
，结合分类：
当，
由韦达定理，两根之和，两根之积，故有个负根；
当或；
时，方程为，根（不在区间，无负根）；
当：方程为，根（在区间，有个负根）；
当：方程无实根，无负根.
分类讨论总根个数：
当：方程有个负根，方程无正根总根个数，不符合题意；
当：方程有个负根，方程无正根总根个数，符合题意；
当：方程无负根，方程有个正根总根个数，符合题意；
故满足方程恰有一个实数根的取值范围为：.
9．AC
【详解】选项A：由得，根据正数平方的单调性，，即，A正确；
选项B：函数在上严格单调递增，因，故，B错误；
选项C：，由，得，，故，即 ，C正确；
选项D：不等式两边同乘负数，不等号方向改变，由得，D错误.
10．ABD
【详解】由题意，
则的最小正周期，故A正确；
令，则，为函数的最大值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时， ，故C错误；
因为，所以，
由题意，得，
所以，所以，
则
，故D正确.
11．ACD
【详解】令，代入，得，即，
又，所以，
对于A选项，因为为定义在上的单调函数，又，，
所以函数在上单调递增，故A正确；
对于B选项，在中令，得.
由可知，,
当时，则，又，所以，
又函数在上单调递增，所以，
所以，故B错误；
对于C选项，因为，所以，
所以，
又，所以，
即，所以函数为奇函数，故C正确；
对于D选项，因为，所以，，
所以，当且仅当，即时取等，
又，
所以，故D正确.
12．/
【详解】原式
13．
【详解】由已知，
则，解得，
即函数的定义域为.
14．
【详解】因为，则，所以.
因为，则，所以，
当时，，
当时，.
而对任意的，总存在，使得成立，
则有在上的取值范围是在上的取值范围的子集.
所以当时，则有，解得.
当时，则有，解得.
综上所述，取值范围为
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，解得或，
所以或，
当时，，
所以或，又，
所以；
（2）由（1）知，，，
由题意命题是命题的充分条件，
所以，所以，解得.
综上，实数的取值范围是.
16．(1)
(2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元
【详解】（1）由，
可得，
（2）当时，是对称轴为的二次函数，
则在上单调递增，
故当时，万元，
时，，
显然，，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，万元，
，
当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元.
17．(1)；，
(2)
【详解】（1）由，得 ，而，得.
所以由，得，而，
所以，则.
由解得，，
所以的对称中心为，.
（2）将的图象向左平移个单位，得到函数
，再将所得图象上各点
的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数.
由函数在区间上有两个不同的零点，即
在区间上有两个不同的交点.
而时单调递增，时单调递减，
且，，
，所以有.
18．(1)，
(2)
(3)0
【详解】（1）因为函数是指数函数，
所以，即，解得或，
又，所以，
又，且，所以；
（2）由（1）知，
由题意对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
则，记，
令，因为，所以，则，
由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以，即实数的取值范围为；
（3）方程，
即方程，即方程，
令，则方程，
因为关于的方程的一根大于0，另一根小于0，
所以关于的方程的一根大于1，另一根大于0且小于1，
记，
所以，
所以，所以整数的最大值为0.
19．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）因为函数在上为奇函数，
所以，
所以恒成立，
因为，可得.
（2）由（1）知，
设，可得函数为上的减函数，
因为，函数为单调递增函数，
根据复合函数的单调性，可得函数为上的减函数，所以为上的减函数，
则，，
所以函数的值域为.
（3）由不等式，
即，
因为为奇函数，所以，
所以，
又因为函数为上的减函数，
所以，
因为，
整理不等式得，
因不等式对任意恒成立，故左侧关于的最大值须小于等于右侧，
由基本不等式知，当且仅当时取等号，
故，即，
因为，令，
则，即，所以，
因为在上为增函数，所以，
则，即，所以，
因为，所以，解得，
所以正数的取值范围为.