第五章 图形的轴对称 单元测试卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版七年级下册

图形的轴对称
知识点1　轴对称及其性质
1．如果一个平面图形沿一条直钱折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴．
2．如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴．
3．在轴对称图形或两个成轴对称的图形中：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等；（3）对应角相等．
1．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（　　）
2．观察下列4组图形，其中关于某条直线成轴对称的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．如图1，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′，CC′，CC′与直线l相交于点D，下列结论不一定正确的是（　　）
图1
A．∠BAC＝∠B′AC′ B．AD＝CC′
C．AD⊥CC′ D．BB′∥CC′
知识点2　等腰三角形的性质
1．等腰三角形的性质：
（1）是轴对称图形，有1条对称轴；（2）三线合一；（3）两底角相等．
2．等边三角形的性质：
（1）是轴对称图形，有3条对称轴；（2）三线合一；（3）三个内角都相等，且等于60°.
4．如图2，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数是__________．
图2
5．如图3，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是边BC上的中线，下列结论不一定成立的是（　　）
图3
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．BD＝AD
6．如图4，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，CD＝1，则∠CBD的度数为__________，AB的长为__________．
图4
知识点3　线段的垂直平分线的性质
1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2．垂直平分线：
（1）定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线；
（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
7．如图5，已知直线AD是线段BC的垂直平分线，若AB的长为6，则AC的长为________．
图5
8．如图6，在△ABC中，边AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E，D.
图6
（1）若BD＝4，CD＝2，则AC＝__________；
（2）若AC＝6，BC＝4，则△BDC的周长是________．
知识点4　角的平分线的性质
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2．角的平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
9．如图7，点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离是10，点Q在射线OB上，则PQ的长度不可能是（　　）
图7
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，AB＝7.
（1）点D到AB的距离是__________；
（2）求△ABD的面积．
图8
知识点5　尺规作图
1．作已知线段的垂直平分线（过直线上一点作该直线的垂线）；
2．作已知角的平分线．
11．如图9，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠CAB内相交于点G，作射线AG，交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是__________．
图9
12．如图10，已知△ABC，用尺规在边AB上找一点D，连接CD，使CD平分△ABC的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
图10
知识点6　最短路径问题
13．如图11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
（1）作出四边形ABCD关于直线l对称的图形；
（2）在直线l上找一点P，使得△PDC的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
图11
14．如图12，在△ABC中，AB＝3，AC＝7，CB＝8，EF垂直平分AC，P为直线EF上一点，则△ABP周长的最小值是________．
图12
15．如图13，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N.若△PMN的周长是6 cm，则P1P2的长是________cm.
图13
基础题
1．下面是四类生活垃圾的图标，其中不是轴对称图形的是（　　）
2．如图14，挡板盖住的图形与图形①关于直线l成轴对称，则挡板盖住的图形是（　　）
3．如图15，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，连接AD.若∠1＝25°，则∠C的度数为（　　）
图15
A．55° B．60° C．65° D．75°
4．如图16，AB∥CD，AD⊥AB于点A，P为AD上一点，且BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB.若 AD＝10，则点P到BC的距离是__________．
图16
5．如图17，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD.若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为__________．
图17
　
6．将长方形纸片ABCD按如图18所示的方式折叠，已知AD∥BC，∠DQP＝50°，则∠CPN＝__________°.
图18
7．一个等腰三角形的两个内角的度数之比是2∶5，则它的顶角的度数为__________．
8．如图19，已知△ABC.
（1）用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点G；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，BC＝12，S△ABG＝18，求△BCG的面积．
图19
9．如图20，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
图20
提升题
10．如图21，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，分别与AB，AC交于点M，N，且MN∥BC.若AB＝8，BC＝7，AC＝6，则△AMN的周长为（　　）
图21
A．15 B．14 C．13 D．12
11．如图22，已知△ABC的周长是40，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且 OD＝3，则S△ABC＝________．
图22
12．如图23，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且∠CDF＝∠EDB.
（1）求证：∠B＋∠AFD＝180°；
（2）试判断AE与AF，BE之间的数量关系，并说明理由．
图23
13．如图24，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，AC＝20 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB运动，同时点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿折线BC－CA运动，设运动时间为t s.
（1）BP＝__________cm；（用含t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求t的值；
（3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形，求t的值．
图24 备用图
　
图形的轴对称
1．A　2．C　3．B　4．70°　5．D　6．30°　2　7．6　
8．(1)6；(2)10　9．A　
10．解：(1)2．　(2)S△ABD＝×7×2＝7．
11．20°　
12．解：如答图1，点D即为所求．
【提示】作边AB的垂直平分线，与AB交于点D，此时D为AB中点，CD平分△ABC的面积．
答图1 　　　 答图2
13．解：(1)如答图2，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)如答图2，点P即为所求．
14．11　15．6　
常考训练　1．B　2．A　3．C　4．5　5．4　6．80　
7．30°或100°　
8． 解：(1)如答图3，射线BG即为所求．
答图3
(2)如答图3，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E．
因为BG平分∠ABC，所以GD＝GE．
因为AB＝8，S△ABG＝18，
所以S△ABG＝AB·GD＝×8·GD＝18．所以GD＝．
因为BC＝12，GE＝GD＝，
所以S△BCG＝BC·GE＝×12×＝27．
9．解：因为△ABC为等边三角形，且AD⊥BC，
所以∠BAC＝60°，∠CAD＝∠BAC＝30°．
因为AD＝AC，所以∠ACD＝∠ADC．
在△ACD中，∠ACD＋∠ADC＋∠CAD＝180°，
所以∠ACD＝(180°－∠CAD)＝75°．
在△ACE中，∠BAC＋∠ACD＋∠E＝180°，
所以∠E＝180°－∠BAC－∠ACD＝45°．
10．B　11．60　
12．(1)证明：因为∠C＝90°，所以DC⊥AC．
因为DE⊥AB，所以∠DEB＝∠DEA＝90°＝∠C．
因为AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，所以DC＝DE．
在△DCF和△DEB中，
所以△DCF≌△DEB(ASA)．所以∠CFD＝∠B．
因为∠CFD＋∠AFD＝180°，所以∠B＋∠AFD＝180°．
(2)解：AE＝AF＋BE．理由如下：
因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠EAD．
在△CAD和△EAD中，
所以△CAD≌△EAD(AAS)．所以AC＝AE．
由(1)可知，△DCF≌△DEB．所以FC＝BE．
所以AC＝AF＋FC＝AF＋BE．所以AE＝AF＋BE．
13．解：(1)(16－t)．
(2)当点Q在边BC上运动时，若△PQB为等腰三角形，则BP＝BQ．
由题意可知，BP＝16－t，BQ＝2t．
所以16－t＝2t．解得t＝．
(3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形，分以下两种情况：
①如答图4，当CQ＝BQ时，∠C＝∠CBQ．
因为∠ABC＝90°，
所以∠A＋∠C＝90°，∠CBQ＋∠ABQ＝90°．
所以∠A＝∠ABQ．
如答图4，过点Q作QD⊥AB于点D．
所以∠ADQ＝∠BDQ＝90°．
在△ADQ和△BDQ中，
所以△ADQ≌△BDQ(AAS)．所以AQ＝BQ．所以CQ＝AQ＝AC＝10．
因为BC＋CQ＝2t，所以12＋10＝2t．解得t＝11．
答图4 　　　答图5
②如答图5，当CQ＝BC＝12时，
可得BC＋CQ＝12＋12＝2t．解得t＝12．
综上，t的值为11或12．