(共30张PPT)
第四章 三角形
第3课时 认识三角形(三)—— 三角形的高、中线、角平分线
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理解三角形中线、高线、角平分线等概念；了解三角形重心的概念．(几何直观、推理能力、模型观念、运算能力)
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三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线
概念 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
图示
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例1 (RJ八上P9 T3改编)如图1，对于下面每个三角形，分别画出它们的高．
三角形的高
图1
解：画出每个三角形的高如答图1所示．
答图1
1.三角形的三条高所在的直线交于一点．
2．(1)锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高相交于三角形内部一点；
(2)直角三角形有两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高相交于直角顶点；
(3)钝角三角形的最长边上的高在三角形内部，其余两边上的高在三角形外部，三条高所在的直线相交于三角形外部一点．
例2 如图2，在△ABC中，AD是边BC上的高．
(1)若∠C＝43°，则∠CAD＝________°；
(2)若∠B＝57°，∠CAD＝47°，则∠BAC＝________°.
图2
47
80
训练 1.如图3，在△ABC中，AD是边BC上的高，若BC＝7，AD＝4，则S△ABC＝________．
变式 在△ABC中，AD是边BC上的高，若S△ABC＝16，BC＝8，则AD＝________．
图3
14
4
例3 如图4，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高．若AC＝12，BC＝14，BE＝7，求AD的长．
图4
解：因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以AD＝6.
训练 2.如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，CD是边AB上的高，求CD的长．
图5
解：因为∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，
例4 如图6，CD是△ABC的中线．若AD＝5 cm，则AB＝________cm.
三角形的中线
图6
10
训练 3.如图7，M是AB的中点，连接CM.若△ACM的面积是15 cm2，则△BCM的面积是________cm2.
三角形的中线平分三角形的面积．
图7
15
例5 如图8，AD是△ABC的一条角平分线．
(1)若∠BAD＝45°，则∠CAD＝________°；
(2)若∠BAC＝100°，则∠BAD＝________°.
三角形的角平分线
图8
45
50
训练 4.(BS七下P92 T1改编)如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠CBD的度数是________°.
图9
25
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1．如图10，BD＝DE＝EF＝FC，那么△ABE的中线是( )
A．AD
B．AE
C．AF
D．以上都是
图10
A
2．如图11，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是( )
图11
D
3．如图12，小明用铅笔可以平稳地支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应该是三角形的________．
4．如图13，(1)在△AEC中，边AE上的高是________；
(2)在△BCD中，边BC上的高是________；
(3)在△ABC中，边AB上的高是________．
图12
图13
重心
CE
DB
CF
5．如图14，线段BD是△ABC的一条角平分线，∠A＝40°，∠CBD＝30°，则∠C的度数为________．
图14
80°
6．如图15，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝8，BC＝6.求△ABD与△BCD的周长差．
图15
变式 在△ABC中，BD是AC边上的中线，若△ADB的周长比△BCD的周长多4，AB＝10，则BC＝__________．
解：因为BD是AC边上的中线，所以AD＝CD.
因为AB＝8，BC＝6，
所以△ABD与△BCD的周长差为AB＋AD＋BD－(BC＋CD＋BD)＝AB－BC＝8－6＝2.
6
7．如图16，在由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，△ABC的边AB的长为5.
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)画出△ABC的边AB上的高CE；
(3)△ABC的面积为__________，
CE的长为__________．
图16
解：(1)如答图2，线段AD即为所求．
(2)如答图2，线段CE即为所求．
答图2
22
8．(BS七下P94 T14改编)如图17，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且DE∥BC，求∠CDE的度数．
图17
解：因为∠A＝60°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－70°＝50°.
又因为DE∥BC，
所以∠CDE＝∠BCD＝25°.
9．如图18，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线．若△ABD的面积为12 cm2，则△CDE的面积为__________cm2.
图18
6
10．(RJ八上P21 T2改编)如图19，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．若AE＝5 cm，S△ABD＝15 cm2，则BC＝__________cm.
图19
12
11．【整体思想】如图20，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，求∠APB的度数．
图20
解：因为∠ACB＝90°，
所以∠BAC＋∠ABC＝180°－∠ACB＝90°.
因为AD，BE是△ABC的角平分线，
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1．三角形的高、中线和角平分线都是( )
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上答案都不对
2．下列各图形中，AD是△ABC的高的是( )
C
D
3．如图1，在Rt△ABC中，AE是边BC上的中线．若△ACE的面积为6 cm2，则△ABC的面积为__________cm2.
4．如图2，AD是△ABC的角平分线，∠B＝50°，∠C＝30°，则∠BAD的度数是__________．
图1
图2
12
50°
5．如图3，AD，BE分别是△ABC的边BC，AC上的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9.求AD的长．
图3
解：因为AD，BE分别是△ABC的边BC，AC上的高，
又AC＝5，BC＝12，BE＝9，(共24张PPT)
第四章 三角形
第5课时 探索三角形全等的条件(一)—— SSS
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掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；能用尺规作图：已知三边作三角形；了解三角形的稳定性．(几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
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1．【衔接回顾】全等三角形的性质：
全等三角形的对应边__________，对应角__________．
相等
相等
2．全等三角形的判定1
判定 图示 几何语言
__________分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或 “SSS”
在△ABC和△A′B′C′中，
所以ABC≌△A′B′C′(SSS)
3. 三角形具有__________性，四边形具有__________性．
三边
AB＝A′B′
BC＝B′C′
AC＝A′C′
稳定
不稳定
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例1 如图1，已知AC＝AD，BC＝BD. 求证：△ABC≌△ABD.
全等三角形的判定1——SSS
图1
所以△ABC≌△ABD(SSS).
训练 1.(RJ八上P60 T10改编)如图2，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE. 求证：∠D＝∠E.
图2
证明：因为C是AB的中点，所以AC＝CB.
所以△ACD≌△CBE(SSS).
所以∠D＝∠E.
例2 (BS七下P117 T6改编)如图3，点E，C在BF上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC. 求证：∠B＝∠F.
图3
证明：因为BE＝FC，
所以BE＋EC＝FC＋EC，即BC＝FE.
所以△ABC≌△DFE(SSS).
所以∠B＝∠F.
训练 2.如图4，ED＝BF，AD＝CB，AF＝CE，点E，B，D，F在同一条直线上．求证：AF∥CE.
图4
证明：因为ED＝BF，
所以ED－BD＝BF－BD，即EB＝FD.
所以△ADF≌△CBE(SSS).
所以∠F＝∠E. 所以AF∥CE.
例3 如图5，已知线段a，b，c，求作△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
请按下列作法作图(保留作图痕迹).
作法：(1)作一条线段BC＝a；
(2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径
作弧，两弧交于点A；
(3)连接AB，AC.△ABC就是所要作的三角形．
用尺规作三角形——SSS
图5
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
例4 安装空调时，一般会采用如图6所示的固定，这样做的数学依据是____________________．
三角形的稳定性
图6
三角形具有稳定性
训练 3. 在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是( )
C
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1．如图7，已知AB＝DC，则要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，还需添加的条件是__________.
图7
AC＝DB
2．如图8，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样设计蕴含的数学原理是( )
A．两直线平行，内错角相等
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形具有稳定性
图8
D
3．(BS七下P118 T11改编)工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图9，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC，此时∠AOC＝∠BOC，即OC平分∠AOB.请你说明理由．
图9
所以△MOC≌△NOC(SSS).
所以∠AOC＝∠BOC，即OC平分∠AOB.
4．(RJ八上P45 T13改编)如图10，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
图10
证明：因为AD＝BE，
所以AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.
所以△ABC≌△DEF(SSS).
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
图10
解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝55°，
所以∠FDE＝∠A＝55°.
因为∠E＝45°，
所以∠F＝180°－∠FDE－∠E＝80°.
5．【模型观念】如图11，在四边形ABCD中，AB＝CD，CB＝AD. 求证：∠B＝∠D.
图11
证明：如答图2，连接AC.
答图2
所以△ABC≌△CDA(SSS).
所以∠B＝∠D.
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1．如图1，已知AD＝CB，若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA，则应添加条件：__________．
2．如图2，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是三角形具有__________性．
图1
图2
AB＝CD
稳定
3．图3是用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明∠A′O′B′＝∠AOB，需要证明△C′O′D′≌△COD，判定这两个三角形全等的是___________________________________
____________________________．
图3
SSS (或“边边边”，或“三边分别相等的两个三角形全等”)
4．如图4，在人字形屋架中，AB＝AC，D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD.
图4
证明：因为D是BC的中点，所以BD＝CD.
所以△ABD≌△ACD(SSS).
5．(RJ八上P44 T7)如图5，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE. 求证：∠BAC＝∠DAE.
图5
所以△ABC≌△ADE(SSS).
所以∠BAC＝∠DAE.(共22张PPT)
第四章 三角形
第6课时 探索三角形全等的条件(二)—— ASA，AAS
课堂讲练
掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形．(几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
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1．【衔接回顾】(1)全等三角形的性质：
全等三角形的对应边__________，对应角__________；
(2)全等三角形的判定1：边边边(SSS).
相等
相等
2．全等三角形的判定2，3
判定 图示 几何语言
________及其________分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)
________分别相等且其中一组等角的________相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS)
两角
夹边
AC＝A′C′
两角
对边
∠A＝∠A′
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例1 (RJ八上P35例2改编)如图1，点D，C分别在线段AB，AE上，AB＝AE，∠B＝∠E. 求证：△ABC≌△AED.
全等三角形的判定2——ASA
图1
所以△ABC≌△AED(ASA).
训练 1.如图2，已知AD平分∠BAC，AD⊥BC.求证：△ABD≌△ACD.
图2
证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.
因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.
所以△ABD≌△ACD(ASA).
例2 如图3，已知∠α，∠β，线段a.用尺规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a. 请补充下列作法并完成作图(保留作图痕迹).
作法：①作∠DAE＝∠α；
②在射线AD上截取线段_______ ＝a；
③以点_______为顶点，以_______为一
边，作∠ABF＝∠β，BF交AE于点_______ ．
△ABC就是所要作的三角形．
思考：你还有其他的作图吗？
线段、射线、直线
图3
AB
B
BA
C
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
例3 如图4，AC＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠D.
求证：△ABC≌△ADE.
全等三角形的判定3——AAS
图4
证明：因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠EAB＝∠2＋∠EAB，即∠CAB＝∠EAD.
所以△ABC≌△ADE(AAS).
训练 2.如图5，点E在△ABC的边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠D. 试说明：AB＝DE.
图5
解：因为BC∥AD，所以∠C＝∠DAE.
所以△ABC≌△DEA(AAS).
所以AB＝DE.
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1．如图6，AD与BC相交于点O，OC＝OD，则添加一个条件后能使用“角角边”来判定△AOC≌△BOD的是( )
A．AC＝BD
B．OA＝OB
C．∠A＝∠B
D．∠C＝∠D
图6
C
2．在解决问题时，小明发现如图7所示的两个被纸板挡住的三角形，只有右边的能画出唯一的三角形，他判断的依据是_______．
图7
ASA
3．(RJ八上P44 T4改编)如图8，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：BD＝BC.
图8
证明：因为∠3＝∠4，
所以180°－∠3＝180°－∠4，即∠ABD＝∠ABC.
所以△ABD≌△ABC(ASA).
所以BD＝BC.
4．如图9，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，AD与CE相交于点F. 求证：△AEF≌△CEB.
图9
证明：因为AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠B＋∠BAD＝180°－∠ADB＝90°.
因为CE⊥AB，
所以∠AEF＝∠CEB＝90°.
所以△AEF≌△CEB(ASA).
所以∠B＋∠ECB＝180°－∠CEB＝90°.
所以∠BAD＝∠ECB，即∠EAF＝∠ECB.
图9
5．(2025内江)如图10，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
图10
证明：因为AB∥DE，所以∠B＝∠E.
所以△ABC≌△DEF(AAS).
(2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长．
图10
解：因为△ABC≌△DEF，
所以BC＝EF，即BF＋FC＝CE＋FC.
所以BF＝CE.
因为BF＝4，所以CE＝4.
因为FC＝3，
所以BE＝BF＋FC＋CE＝4＋3＋4＝11.
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1．如图1，已知AB＝AD，∠1＝∠2，在不添加其他字母的情况下，要想根据“ASA”判定△ABC≌△ADE，还需添加的条件是____________．
图1
∠B＝∠D
2．如图2，C是AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE.
求证：△ACD≌△CBE.
图2
证明：因为AD∥CE，所以∠A＝∠BCE.
因为C是AB的中点，所以AC＝CB.
所以△ACD≌△CBE(ASA).
3．(2025福建)如图3，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD. 求证：AB＝AD.
图3
证明：因为∠CBE＝∠CDF，∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，所以∠ABC＝∠ADC.
所以△ABC≌△ADC(AAS).
所以AB＝AD.(共21张PPT)
第四章 三角形
第7课时 探索三角形全等的条件(三)—— SAS
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掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．(几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
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1．【衔接回顾】(1)全等三角形的性质：
全等三角形的对应边__________，对应角__________；
(2)全等三角形的判定：
边边边(SSS)，角边角(ASA)，角角边(AAS).
相等
相等
2．全等三角形的判定4
判定 图示 几何语言
________及其_______分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(SAS)
两边
夹角
∠A＝∠A′
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例1 (RJ八上P45 T14改编)如图1，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD. 求证：AB∥CD.
全等三角形的判定4——SAS
图1
所以△AOB≌△COD(SAS).
所以∠A＝∠C.
所以AB∥CD.
训练 1.(RJ八上P43 T2改编)如图2，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE. 求证：∠B＝∠C.
图2
所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以∠B＝∠C.
例2 (BS七下P107 T10改编)如图3，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB. 求证：DE＝BC.
图3
所以△EAD≌△CAB(SAS).
所以DE＝BC.
训练 2. 如图4，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，BC＝EF，BC∥EF. 求证：AC∥DF.
图4
证明：因为AD＝BE，
所以AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
因为BC∥EF，所以∠ABC＝∠E.
所以△ABC≌△DEF(SAS).
所以∠A＝∠EDF. 所以AC∥DF.
例3 如图5，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.请补充下列作法并完成作图(保留作图痕迹).
作法：①作一条线段BC＝a；
②以点B为顶点，以BC为一边，作
∠DBC＝∠_______；
③在射线BD上截取线段_______ ＝c；
④连接_______ ．△ABC就是所要作的三角形．
思考：你还有其他的作图吗？
用尺规作三角形——SAS
图5
α
BA
AC
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
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1．如图6，已知AD∥BC，若要根据SAS证明△ABC≌△CDA，则需补充的一个条件为__________．
图6
AD＝CB
2．如图7，兰兰书上的三角形被墨迹污染了一部分，已知∠A的两边长分别为3 cm，5 cm，她想利用直尺和圆规在作业本上画一个与书上完全一样的三角形，她应该运用的依据为( )
A.SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
图7
B
3．(RJ八上P43 T1)如图8，M是AB的中点，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD. 求证：AC＝BD.
图8
证明：因为M是AB的中点，所以AM＝BM.
所以△AMC≌△BMD(SAS).
所以AC＝BD.
4．【易错】如图9，在△ABD中，点C在边BD上，AC＝AD.
(1)在△ABC和△ABD中，相等的边AB和_______，AC和_______，相等的角为∠B和_______.
(2)△ABC和△ABD是否全等？_______ (填
“是”或“否”). 这说明___________________
_________________________________________．
图9
归纳 使用SAS判定三角形全等时，注意等角必须是等边的夹角；SSA不能判定两个三角形全等．
AB
AD
∠B
否
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等
5．如图10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠B＝45°，D为BC边上一点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.探索线段CE与BD之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
图10
解：CE＝BD，CE⊥BD. 理由如下：
因为∠BAC＝∠DAE＝90°，
所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD.
又∠ACB＝180°－∠BAC－∠B＝180°－90°－45°＝45°，
所以∠ECB＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，
即CE⊥BD.
图10
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1．如图1，已知AD平分∠BAC，若要用“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是( )
A．AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC
C．BD＝CD
D．∠B＝∠C
图1
A
2．(2025新疆)如图2，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AC＝BD.
图2
所以△DAB≌△CBA(SAS).
所以BD＝AC，即AC＝BD.
3．如图3，点B，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE. 求证：∠AEB＝∠DFC.
图3
证明：因为BF＝CE，
所以BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.
因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.
所以△ABE≌△DCF(SAS). 所以∠AEB＝∠DFC.(共20张PPT)
第四章 三角形
第9课时 利用三角形全等测距离
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例1 (BS七下P111 T1改编)如图1，将两根相同的钢条AC，BD的中点O固定在一起，使其可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这样根据△OAB≌△OCD可知，CD的长就等于工件内径AB的长，这里判定三角形全等的依据是( )
A．SSS B．ASA
C．AAS D．SAS
利用三角形全等测距离
图1
D
训练 1. (BS七下P110改编)如图2，小明站在河岸边的点C处，想要测量河对岸的一棵树到点C的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，他想出来这样一个办法：他面向树的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在树的底部B处；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点D上；接着，他用步测的办法量出自己与点D的距离，这个距离就是他与树间的距离，小明这种测量的依据是( )
A．SSS B．SAS
C．AAS D．ASA
图2
D
例2 (BS七下P112 T2改编)小明带着工具(卷尺、测角仪、标杆、红绳等)到堤岸边进行实践活动．如图3，他站立在路灯B处发现路灯A恰好在他的正对面，小明想知道A，B之间有多远，于是他沿着堤岸行走100 m到C处，插好标杆后往前走相同的距离到D处，然后向右直行，当看到路灯A与标杆在一条直线上时停下来，此时他位于E点．那么D，E两点间距
离就是路灯A，B之间的距离．
图3
所以△ABC≌△EDC(ASA).
所以AB＝ED.
图3
(1)请解释其中的道理；
(2)假设小明所在的岸边都是视野开阔的平地，请利用小明带来的工具，设计另外一种测量方案(画出相应的示意图并说明理由)．
图3
解：在与AB垂直的方向上取一点C，用测角仪测得∠ACB＝∠DCB，且点D与点A，B在同一条直线上，那么D，B两点间距离就是路灯A，B之间的距离，
画出示意图如答图1所示．
答图1
所以△ABC≌△DBC(ASA).
所以AB＝DB.
(答案不唯一)
答图1
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1．(BS七下P108 T12改编)如图4，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的原理是：根据
仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝
∠PAE，这两个三角形全等的依据是( )
A．SAS B．ASA
C．AAS D．SSS
图4
D
2．(RJ八上P34 T1改编)如图5，山脚下有A，B两点，小康想要测出A，B两点间的距离．他在地面上选取一个可以直接到达点A，B的点C，连接AC并延长到点D，使得CD＝CA.连接BC并延长到点E，使得CE＝CB，连接DE.此时测得DE的长为 27 m，则A，B两点间的距离为__________m.
图5
27
3．如图6，小明与小红玩跷跷板，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是60 cm，当小红从水平位置AB下降30 cm时，小明到地面的距离是__________cm.
图6
90
4．(BS七下P119 T16)如图7，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．
图7
解：一样长．理由：由题意，得AB⊥BC，A′B′⊥B′C′.
所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°.
因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′.
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS). 所以BC＝B′C′.
所以同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长．
5．如图8，小语同学为了测量一幢楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P，测得PC与地面的夹角∠DPC约为18°，PA与地面的夹角∠APB约为72°，点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都是9 m，旗杆CD与楼AB之间的距离DB＝36 m．
请你计算楼AB的高度．
图8
解：由题意，得CD⊥DB，AB⊥DB，所以∠D＝∠ABP＝90°.
所以∠CPD＋∠C＝180°－∠D＝90°.
因为∠CPD＝18°，∠APB＝72°，
所以∠CPD＋∠APB＝18°＋72°＝90°.
所以∠C＝∠APB.
所以△CPD≌△PAB(ASA). 所以PD＝AB.
图8
因为DB＝36 m，PB＝9 m，
所以AB＝PD＝DB－PB＝36－9＝27(m).
答：楼AB的高度是27 m.
图8
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1．如图1，为了测量一水池两端点A，B之间的距离，小莉同学设计下列方案：过点B作AB的垂线BF，在BF上取BC＝CD，过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为点A，B之间的距离，此测量方案的原理是( )
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
图1
C
2．如图2，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝70 m，则A，B两点间的距离为( )
A．60 m
B．70 m
C．100 m
D．130 m
图2
B
3．如图3，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△DBC来测量A，B两点间的距离，其中AC＝DC，∠ACB＝∠DCB.这时量出DB的长就是AB的长．请你判断小明的这个是否正确，并说明理由．
图3
解：正确．理由如下：
所以△ABC≌△DBC(SAS). 所以AB＝DB.
所以量出DB的长就是AB的长．(共22张PPT)
第四章 三角形
第2课时 认识三角形(二)—— 三角形的三边关系
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证明三角形的任意两边之和大于第三边；理解等腰三角形的概念．(几何直观、推理能力、运算能力)
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1．(1)等腰三角形：有两边相等的三角形．如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.其中，腰是__________，底边是__________；顶角是__________，底角是__________.
(2)等边三角形：三边都相等的三角形．
图1
2．三角形按边分类：
AB，AC
BC
∠A
∠B，∠C
等边三角形
3．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边．
如图2，一块三角形菜地上有两条路连接着A，B处，其中最短的路线是_______(填“甲”或“乙”)，依据是_________________，所以AC＋BC__________AB，变形可得AB－AC__________BC， AB－BC__________AC(填“>”“<”或“＝”).
图2
乙
两点之间线段最短
＞
＜
＜
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例1 (2025连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( )
A.1，2，3 B．2，3，4
C.3，5，8 D．4，5，10
训练 1.三角形的两条边长分别是4和9，则第三条边长x的范围是__________．
三角形的三边关系
B
5＜x＜13
1. 判断三条线段能组成三角形的：较短的两条线段之和＞最长的线段；
2．已知三角形的两边长分别为a，b，则第三边长x的取值范围为|a－b|＜x＜a＋b.
例2 三角形的两边长分别是2 cm和8 cm，第三边长为偶数，则第三边长为__________cm.
训练 2. 如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为__________cm.
8
2.5或7
例3 (1)若等腰三角形的底边长为3 cm，腰长为5 cm，则这个三角形的周长为__________；
(2)若等腰三角形的一边长为3 cm，另一边长为5 cm，则这个三角形的周长为______________．
等腰三角形周长的相关计算
13 cm
11 cm或13 cm
训练 3. (1)若等腰三角形的周长为14 cm，底边长为6 cm，则它的腰长为__________；
(2)若等腰三角形的一边长为3 cm，另一边长为7 cm，则这个三角形的周长为__________．
没有明确等腰三角形的腰和底边时，需要分类讨论，还应检验各种情况是否满足三角形的三边关系．
4 cm
17 cm
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1．如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，则图中的等腰三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图3
C
2．三根底端对齐的小棒中有一根的顶端被挡板遮住了，它们的长度如图4所示．若这三根小棒可以围成三角形，则顶端被遮住的小棒的长度可以是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
图4
C
3．若某等腰三角形的一边长为12 cm，另一边长为5 cm，则它的第三边长为( )
A．5 cm或12 cm B．12 cm
C．7 cm D．5 cm
4．若三角形的两边长分别是2 cm和9 cm，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是________________．
B
19 cm或21 cm
5．下列说法中，正确的有( )
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
D
6．(RJ八上P6 例题改编)用一条长为28 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么这个等腰三角形的三边长分别是多少？
解：设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
由题意，得3x＋3x＋x＝28.
解得x＝4. 所以3x＝12.
所以这个等腰三角形的三边长分别是12 cm，12 cm，4 cm.
(2)能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形吗？若能，请求出等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由．
解：能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形．
①当底边长为6 cm时，腰长为(28－6)÷2＝11(cm).
②当腰长为6 cm时，底边长为28－6×2＝16(cm).
因为6＋6＝12<16，出现了两边之和小于第三边的情况，
所以此时不能围成三角形．
综上，等腰三角形的三边长分别为11 cm，11 cm，6 cm.
7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数．简：|a＋b－c|＋|a－b－c|.
解：因为△ABC的三边长分别为a，b，c，
所以a＋b＞c，a－b＜c.
所以a＋b－c＞0，a－b－c＜0.
所以原式＝a＋b－c＋[－(a－b－c)]
＝a＋b－c＋(－a＋b＋c)
＝a＋b－c－a＋b＋c
＝2b.
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC，请在图中分别标出腰、底边、顶角和底角．
解：标出三角形各部分名称如答图1所示．
答图1
2．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是( )
A．3 B．5 C．7 D．8
3．若等腰三角形的一边长为6 cm，另一边长为12 cm，则这个等腰三角形的腰长为__________cm.
4．小航要制作一个三角形木架，现有两根长度为2 cm和9 cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是奇数，那么这个三角形木架的周长是__________cm. (衔接处忽略不计)
D
12
20
5．已知一个等腰三角形的两边长分别为9和7，求这个等腰三角形的周长．
解：分两种情况：
①当7为底边长，9为腰长时，
这个等腰三角形的周长为7＋9＋9＝25.
②当9为底边长，7为腰长时，
这个等腰三角形的周长为7＋7＋9＝23.
综上，这个等腰三角形的周长为25或23.(共28张PPT)
第四章 三角形
章末复习
1．如图1，一个三角形只剩下一个角，则这个三角形为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
图1
B
2．如图2，在△ABC中，D是BC的中点．若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是( )
A．1
B．2
C．2.5
D．3
图2
B
3．画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是( )
D
4．如图3，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形具有稳定性
图3
D
5．如图4，已知AC＝AD，添加下列条件不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．ED＝BC
B．AE＝AB
C．∠E＝∠B
D．∠ACB＝∠ADE
图4
A
6．如图5，已知△ABF≌△CDE，且AE＝2，AC＝10，则EF＝( )
A．2
B．5
C．6
D．8
图5
C
7．如图6，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F.已知∠BAD＝42°，则∠BFD的度数为( )
A．45°
B．54°
C．56°
D．66°
图6
D
8．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是( )
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝90°，AB＝6
D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝6
D
9．如图7，点O是△ABC的重心，连接AO并延长，交BC于点D.若BC＝3，则CD＝__________．
图7
10．等腰三角形的两边长分别为6和2，则其周长为__________．
14
11．将一副三角板按如图8所示的方式摆放(∠A＝∠EDF＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°)，点D在边AC上，BC∥EF，则∠CDF的度数为__________.
12．如图9，在△ABC中，BC＝4，AE，CD为△ABC的高．若AE＝6，CD＝3，则AB的长为__________．
图8
图9
15°
8
13．如图10，D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC. 求证：DE＝CB.
图10
证明：因为DE∥AC，所以∠EDB＝∠C.
所以△BDE≌△ACB(AAS).
所以DE＝CB.
14．【项目式学习】如图11，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点处(即AB与堤岸垂直)停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是设计了如下测量方案：
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案 示意图 (不完整)
图11
图11
(1)请你根据测量方案将示意图补充完整；
课题 测量凉亭与游艇之间的距离
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁(直线AC与堤岸平行)；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90°直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．
测量数据 AC＝10 m，CD＝10 m，DE＝8 m．
解：测量方案示意图如答图1所示．
答图1
(2)求凉亭A与游艇B之间的距离．
解：因为AC与河岸平行，AB与河岸垂直，
所以AB⊥AC，即∠A＝90°.
因为∠D＝90°，所以∠A＝∠D＝90°.
因为AC＝10 cm，CD＝10 cm，所以AC＝CD.
所以△ABC≌△DEC(ASA). 所以AB＝DE＝8 m．
所以凉亭A与游艇B之间的距离是8 m.
答图1
15．已知图12中的两个三角形全等，则∠1的度数是( )
A．85°
B．55°
C．40°
D．95°
图12
A
16．已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．无法确定
C
17．如图13，将两根木棍AB，AC(AB>AC)的一端A固定在一起，得到△ABC. 将木棍AB固定，绕点A转动木棍AC得到△ABD，使B，C，D三点在同一条直线上．这个实验说明( )
图13
A．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等
B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
D．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形一定不全等
A
18．(2025罗湖区期末)如图14，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是( )
A．∠1＋∠2＝180°
B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠1＋90°
D．∠2＝2∠1
图14
A
19．如图15，已知A岛在B岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，C岛在A岛的南偏东30°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为__________．
图15
70°
20．如图16，在△ABC中，E是边AB上一点，AC与DE相交于点F，∠BCE＝∠ACD，AC＝DC，BC＝EC.
求证：(1)△ABC≌△DEC；
图16
证明：因为∠BCE＝∠ACD，
所以∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠BCA＝∠ECD.
所以△ABC≌△DEC(SAS).
(2)∠AED＝∠BCE.
图16
证明：因为△ABC≌△DEC，所以∠A＝∠D.
因为∠A＋∠AFE＋∠AED＝180°，∠D＋∠DFC＋∠ACD＝180°，且∠AFE＝∠DFC，
所以∠AED＝∠ACD.
因为∠BCE＝∠ACD，
所以∠AED＝∠BCE.
21．如图17，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8 cm，点P从点A出发，沿A→B→A的路径以2 cm/s的速度运动，点Q从点D出发，以1 cm/s的速度向点E运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点E时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t s.
(1)求证：△ACB≌△ECD；
图17
所以△ACB≌△ECD(SAS).
(2)填空：线段DQ＝__________cm，线段EQ＝__________cm；(用含t的式子表示)
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
图17
t
(8－t)
解：当线段PQ经过点C时，如答图2所示．
答图2
由(2)，得EQ＝(8－t) cm.
因为△ACB≌△ECD，所以∠A＝∠E.
所以△ACP≌△ECQ(ASA). 所以AP＝EQ.
当4＜t≤8时，AP＝16－2t.
所以16－2t＝8－t. 解得t＝8.
当0≤t≤4时，AP＝2t.
答图2(共23张PPT)
第四章 三角形
第1课时 认识三角形(一)—— 三角形及其内角和
课堂讲练
理解三角形及其内角的概念；探索并证明三角形的内角和定理；理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．(几何直观、推理能力、运算能力)
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三角形及其有关概念
概念及图示 符号表示 基本要素
由_________________的 三条线段__________相接 所组成的图形叫作三角形 “三角形 ”可以用符号“_____”表示，如三角形ABC可记作__________ 三条边：
AB，______，AC；
三个内角：
∠A，∠B，_____；
三个顶点：
点A，B，C
注：△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如上图，顶点A所对的边BC用a来表示，顶点B所对的边AC用_______来表示，顶点C所对的边AB用c来表示
不在同一直线上
首尾顺次
△
△ABC
BC
∠C
b
例1 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中是三角形的是( )
D
例2 如图1，回答下列问题：
(1)图中共有__________个三角形，分别可用符号表示为__________________________；
(2)在△ABD中，三条边分别是________________，∠B所对的边是__________；
(3)在△ACD中，三个内角分别是___________
_______________，边AC所对的角是__________．
图1
3
△ABC，△ABD，△ADC
AB，BD，AD
AD
∠CAD，
∠C， ∠ADC
∠ADC
1.三角形的内角和定理：
三角形三个内角的和等于__________°.
2.按三角形内角的大小把三角形分为三类：
__________三角形(三个内角都是锐角)；
__________三角形(有一个内角是直角)；
__________三角形(有一个内角是钝角).
三角形的内角和定理及其分类(按角分)
180
锐角
直角
钝角
例3 如图2，已知△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
补全下列证明过程和依据：
证明：延长BC到点D，过点C 作CE∥BA.
所以∠A＝∠1(两直线平行，________相等)，
∠B＝∠______(________________________).
因为∠1＋∠2＋∠ACB＝________°(平角的定义)，
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝________°(等量代换)．
思考：还有其他证明三角形内角和定理的吗？
图2
内错角
2
两直线平行，同位角相等
180
180
训练 1.如图3，已知△ABC.
(1)若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝________°；
(2)若∠A＝∠C＝70°，则∠B＝________°；
(3)若∠B＝40°，则∠A＋∠C＝________°；
(4)(BS七下P92 T1改编)若∠A＝2x°，∠B＝x°，
∠C＝3x°，则∠B＝________°；
(5)若∠B＝20°，∠C＝3∠B，则∠C＝________°，∠A＝________°，△ABC是________(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．
图3
70
40
140
30
60
100
钝角
直角三角形及其性质
图示 符号表示及相关概念 性质
1.直角三角形ABC 可用符号表示为__________； 2．直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边 直角三角形的两个锐角__________．
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝_________°
斜边
直角边
直角边
Rt△ABC
互余
90
例4 如图4，已知Rt△ABC，∠C＝90°.
(1)若∠A＝65°，则∠B＝__________°；
(2)若∠B＝∠A，则∠A＝__________°.
图4
25
45
训练 2.(BS七下P93 T3改编)如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则x的值为( )
A．15
B．30
C．50
D．60
图5
B
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1．(RJ八上P4 T1改编)如图6，以BC为边的三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图6
C
2．(BS七下P92 T2改编)如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．如图7，在△ABC中，∠A＝60°，
∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数为
__________．
图7
C
80°
4．【方程思想】已知△ABC，其三个内角∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，求这个三角形三个内角的度数，并判断△ABC的形状．
点拨 可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x.
解：由题意，可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x.
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以2x＋3x＋4x＝180°. 解得x＝20°.
所以∠A＝2x＝40°，∠B＝3x＝60°，∠C＝4x＝80°.
所以△ABC是锐角三角形．
5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若∠C比∠A大20°，则∠A的度数为__________°.
35
6．【推理探究】(BS七下P93 T4改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)如图8①，E为边AC上一点，ED⊥AB，垂足为D.若∠A＝38°，则∠1＝________，∠2＝________．
图8
52°
52°
(2)如图8②，CD⊥AB，垂足为D.试猜想∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
图8
解：∠1＝∠2.
理由：在Rt△ACD中，∠A＋∠1＝90°．
在Rt△ABC中，∠A＋∠2＝90°．
所以∠1＝∠2.
7．(BS七下P94 T9改编)如图9，巡逻艇C在军舰A北偏东62°的方向上，巡逻艇C在军舰B北偏东13°的方向上，军舰B位于军舰A的正东方向，则∠ACB的度数为__________．
图9
49°
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1．如图1，∠ABC的对边是( )
A．AD B．CD C．AC D．BD
2．图2中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
图1
图2
C
D
3．在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
4．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠1＝70°，则∠B的度数是__________．
图3
B
70°
5．如图4，AC⊥BD，垂足为C，∠A＝∠D. 求证：△BDE是直角三角形．
图4
证明：因为AC⊥BD，所以∠ACB＝90°.
所以∠A＋∠B＝90°.
又∠A＝∠D，所以∠B＋∠D＝90°.
所以∠BED＝90°.
所以△BDE是直角三角形．(共22张PPT)
第四章 三角形
第10课时 ☆问题解决策略—— 特殊
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1．“特殊”策略：面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或解决一般性的问题，这就是特殊策略．
2．“特殊”策略的意义：
(1)特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；
(2)它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中；
(3)从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路．
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例1 (BS七下P113问题改编)【问题提出】如图1①，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合．在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？是否会发生变？
思考：在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？
图1
【特殊探究】先考虑特殊情形．
(1)如图1②，当EF∥AD，EH∥AB，即重叠部分是正方形时，重叠部分的面积为__________．
(2)如图1③，当EF，EH分别经过点B，C，即重叠部分是等腰直角三角形，重叠部分的面积为__________；
图1
【探究延伸】
(3)①提出猜想：在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积__________(填“会”或“不会”)发生变，重叠部分的面积与正方形ABCD的面积之间的关系是S重叠部分＝__________S正方形ABCD；
图1
不会
②证明猜想：将一般情形转为特殊情形．如图1④，连接BE，CE.证明在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积始终保持不变．(提示：可证△BEM≌△CEN)
(知识储备：点E为正方形ABCD的中心，即BE＝CE，∠BEC＝90°，∠EBC＝∠ECB＝45°.)
图1
解：因为四边形EFGH是正方形，
所以∠MEN＝90°，∠MCN＝90°.
因为点E为正方形ABCD的中心，
所以BE＝CE，∠BEC＝90°，∠EBM＝∠ECB＝45°.
所以∠BEC＝∠MEN，∠ECN＝∠MCN－∠ECB＝90°－45°＝45°，
即∠EBM＝∠ECN＝45°.
所以∠BEC－∠MEC＝∠MEN－∠MEC，即∠BEM＝∠CEN.
所以△BEM≌△CEN(ASA).所以S△BEM＝S△CEN.
所以在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积始终保持不变．
思考：你还有其他证明猜想的吗？
【拓展运用】(4)如图2，三个边长均为 4 的正方形部分重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积为__________．
图2
8
归纳 “特殊”策略的情境特征和一般步骤：问题情境通常是个连续变的过程，包括多种情形．存在相对简单或具体的特殊情形，先以此为切入点解决问题得到结论；再考虑将其他情形转为特殊情形，得到一般性结论．
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1．(BS七下P115 T3改编)甲、乙两人轮流往一个圆形桌面上平放同样大小的硬币，每人每次只能放一枚，且不允许任何两枚硬币有重叠部分，规定谁放下最后一枚，并使得对方没有再放的位置，就算谁获胜．那么第一个人想获胜，应先放在( )
A．周长上 B．直径上
C．半径上 D．圆心上
D
2．如图3，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别与正方形ABCD的边AB，BC相交于点M，N. 记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形ABCD的边长AB＝10，则S1＋S2＝__________．
图3
25
3．特殊是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论．
【问题提出】如图4①，△OAB和△OCD是等腰
三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
且点A，C，D在同一直线上，AC和BD有怎样的关系？
图4
【问题解决】(1)如图4②，若α＝90°，则AC和BD的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)如图4③，若α＝60°，则AC和BD的数量关系是__________，∠ADB的度数是__________；
图4
AC＝BD
AC⊥BD
AC＝BD
60°
(3)通过上述特殊研究，解决在【问题提出】中，AC与BD有怎样的关系？(写出两条结论并证明)
解：结论：AC＝BD；∠ADB＝α.
证明：因为OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
所以△OAB和△OCD都是等腰三角形，∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，即∠AOC＝∠BOD.
所以△AOC≌△BOD(SAS).
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1．如图，在Rt△POQ中，OP＝OQ，M是边PQ的中点，把一个三角尺的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A，B.
(1)求证：AM＝BM.
证明：如答图1，连接OM.
答图1
因为∠POQ＝90°，OP＝OQ，
所以△POQ为等腰直角三角形．
所以∠BQM＝45°.
因为M是PQ的中点，
所以△OMP，△OMQ都为等腰直角三角形．
所以OM＝PM＝QM，∠AOM＝45°＝ ∠BQM，
∠OMQ＝90°.
所以∠OMB＋∠BMQ＝90°.
又∠AMB＝90°，即∠AMO＋∠OMB＝90°，
所以∠AMO＝∠BMQ.
答图1
所以△AMO≌△BMQ(ASA).
所以AM＝BM.
答图1
(2)在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积是否发生变？并说明理由．
解：四边形AOBM的面积不发生变．理由如下：
由(1)知△AMO≌△BMQ，所以S△AMO＝S△BMQ.
所以四边形AOBM的面积为定值，不发生变．(共25张PPT)
第四章 三角形
第8课时 探索三角形全等的条件(四)
—— 全等三角形的判定综合
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1．三角形全等的条件
已知 三边(SSS) 两角一边 两边一角 三角(AAA)
两角及 其夹边(ASA) 两角及 其中一角 的对边(AAS) 两边及 其夹角(SAS) 两边及 其中一边 的对角(SSA)
图形
是否全等 是 是 是 是 否 否
注：由图形可知，SSA和AAA不能判定三角形全等
2. 找证明三角形全等的条件可以从以下两种情况入手：
(1)找相等线段：常通过公共边、中点、线段的和差等得到；
(2)找相等角：常通过公共角、对顶角、角平分线、平行线、角的和差等得到．
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例1 如图1，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，那么可以添加条件_______________________________________________．
全等三角形的判定综合
图1
DC＝BC (或∠DAC＝∠BAC，或AC平分∠DAB)
例2 如图2，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，BE∥DF，只需补充一个条件，就可得△ADF≌△CBE. 下列条件中不符合要求的是( )
A.BE＝DF
B．AD＝CB
C.∠B＝∠D
D．AD∥BC
图2
B
训练 1.如图3，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF. 若______，则AB＝CD.
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这三个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由．
图3
解：选择①. 理由如下：
因为AE∥BF，所以∠A＝∠FBD.
因为CE∥DF，所以∠ACE＝∠D.
所以△AEC≌△BFD(AAS). 所以AC＝BD.
所以AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.
(或选择③.
可用ASA证明△AEC≌△BFD，同理可得AB＝CD.)
例3 (RJ八上P38 T1)如图4，AC＝BD，BC＝AD，求证：∠ABC＝∠BAD.
图4
所以△ABC≌△BAD(SSS).
所以∠ABC＝∠BAD.
训练 2. 如图5，已知∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD. 求证：△EBD≌△ABC.
图5
证明：因为∠ABE＝∠CBD，
所以∠ABE＋∠ABD＝∠CBD＋∠ABD，即∠EBD＝∠ABC.
所以△EBD≌△ABC(ASA).
所以△EAD≌△ABC(SAS). 所以∠EDA＝∠C.
因为∠C＋∠CAD＝180°－∠B＝90°，
所以∠EDA＋∠CAD＝90°.
所以∠AFD＝180°－∠EDA－∠CAD＝90°，即DE⊥AC.
例4 如图6，已知EA⊥AB，CB⊥AB，AD＝BC，EA＝AB，ED与AC相交于点F. 求证：DE⊥AC．
图6
证明：因为EA⊥AB，CB⊥AB，所以∠EAD＝∠B＝90°.
训练 3.如图7，在△ABC中，∠A＝90°，AC⊥CE，ED⊥BD，AC＝DE. 求证：AB＋CE＝BD.
图7
证明：因为∠A＝90°，AC⊥CE，ED⊥BD，
所以∠A＝∠D＝∠ACE＝90°.
所以∠ACB＋∠DCE＝180°－∠ACE＝90°，∠E＋∠DCE＝180°－∠D＝90°. 所以∠ACB＝∠E.
所以△ABC≌△DCE(ASA). 所以AB＝DC，BC＝CE.
因为DC＋BC＝BD，所以AB＋CE＝BD.
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1．在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图8所示．下面是4名同学用不同画出的三角形，根据图中已知条件可以判断，不一定与△ABC全等的是( )
图8
C
2．(RJ八上P44 T6)如图9，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗？为什么？
图9
解：相等．理由：由题意，得AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC.
所以∠CDA＝∠CEB＝90°.
所以△ACD≌△BCE(AAS).所以AD＝BE.
3．如图10，点A，B在射线CA，CB上，CA＝BC.点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC＋∠BCA＝180°.
(1)求证：△BCE≌△CAF；
图10
所以△BCE≌△CAF(AAS).
图10
证明：因为∠BEC＋∠BCA＝180°，
所以∠BEC＋∠BCE＋∠ACF＝180°.
因为∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝180°，∠BEC＝∠CFA，
所以∠BCE＝∠CAF.
(2)试判断线段EF，BE，AF之间的数量关系，并说明理由．
图10
解：AF＋EF＝BE. 理由如下：
因为△BCE≌△CAF，
所以CE＝AF，BE＝CF.
因为CE＋EF＝CF，
所以AF＋EF＝BE.
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1．如图1，AC，BD相交于点O，AB＝DC，添加一个条件，不能证明OB＝OC的是( )
A．∠B＝∠C
B．∠A＝∠D
C．AC＝BD
D．OA＝OD
图1
D
2．如图2，已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，则添加下列条件后，仍不能判定△ABC≌△ADE的是( )
A．AC＝AE
B．∠C＝∠E
C．BC＝DE
D．∠B＝∠D
图2
C
3．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是( )
A．AB＝6，BC＝7，CA＝8
B．AB＝6，∠B＝50°，BC＝8
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝40°
D．∠A＝60°，∠B＝40°，AB＝8
C
4．如图3，在△ABC中，∠B＝90°，过点C作CD⊥AC，且满足CD＝AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E. 求证：AB＝CE.
图3
证明：因为CD⊥AC，所以∠ACD＝90°.
所以∠ACB＋∠DCE＝180°－∠ACD＝90°.
因为∠B＝90°，
所以∠ACB＋∠A＝180°－∠B＝90°.
所以∠A＝∠DCE.
因为DE⊥BC，
所以∠E＝90°.
所以∠B＝∠E.
所以△ABC≌△CED(AAS).
所以AB＝CE.
图3(共24张PPT)
第四章 三角形
第4课时 全等三角形
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理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．(抽象能力、几何直观、推理能力、模型观念)
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1．全等三角形的概念与性质
概念 全等三角形：能够__________的两个三角形叫作全等三角形．
重合的顶点是对应顶点，重合的边是__________，重合的角是__________．
符号表示：△ABC与△DEF全等，记作△ABC__________△DEF.
注：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
性质 全等三角形的__________相等、__________相等．
注：全等三角形对应边的高、对应边的中线、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积相等
完全重合
对应边
对应角
≌
对应边
对应角
2. 如图1，将△ABC平移后可以与△DEF完全重合．
(1)△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△________．
(2)AB的对应边是________，AB＝________；
BC的对应边是________，BC＝________；
AC的对应边是________，AC＝________．
(3)∠A的对应角是________，∠A＝________；
∠B的对应角是________，∠B＝________；
∠C的对应角是________，∠C＝________．
图1
DEF
DE
DE
EF
EF
DF
DF
∠D
∠D
∠E
∠E
∠F
∠F
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例1 如图2，△ADC是由△ABC沿AC边所在的直线翻折得到的．
(1)△ABC≌________；
(2)AB的对应边为________，BC的对应边为________；
(3)∠BAC的对应角为____________，∠B的对应角为________．
全等三角形及其对应边、对应角
图2
△ADC
AD
DC
∠DAC
∠D
训练 1.如图3，△AOB绕点O旋转后与△COD重合．
(1)△AOB≌__________；
(2)对应边有________________________________________；
(3)对应角有________________________________________．
图3
△COD
AB和CD，AO和CO，BO和DO
∠A和∠C，∠B和∠D，∠AOB和∠COD
1. 平移、翻折、旋转前后的图形全等．
2．找全等三角形的对应边或对应角的：
(1)利用“≌”两边字母的对应关系；
(2)大角(边)对大角(边)，小角(边)对小角(边)；
(3)有公共角(边)的，公共角(边)一般是对应角(边)，有对顶角的，对顶角一般是对应角．
例2 如图4，△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上．
求证：(1)AB∥DE；
全等三角形的性质
图4
证明：因为△ABC≌△DEF，
所以∠B＝∠DEF.
所以AB∥DE.
求证：(2)BE＝CF.
图4
证明：因为△ABC≌△DEF，
所以BC＝EF.
所以BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.
训练 2.(RJ八上P31 T2 改编)如图5，△ABE≌△ACD，点B，D，E，C在同一条直线上．
(1)求证：∠BAD＝∠CAE；
图5
证明：因为△ABE≌△ACD，
所以∠BAE＝∠CAD.
所以∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE.
(2)若BE＝8，CE＝3，求DE的长．
解：因为△ABE≌△ACD，BE＝8，
所以BE＝CD＝8.
因为CE＝3，
所以DE＝CD－CE＝8－3＝5．
图5
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1．如图6，已知△AOC≌△BOD，则下列结论错误的是( )
A．OB＝OC
B．∠A＝∠B
C．AC＝BD
D．∠C＝∠D
图6
A
2．(BS七下P97 T2改编)如图7，点E，F在线段AC上，已知△ADE≌△CBF，EF＝2，CE＝3，则AE的长为( )
A．2
B．3
C．5
D．8
图7
C
3．如图8，△ABC≌△CDE.若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为________．
4．(RJ八上P31 T3改编)图9是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝________°.
图8
图9
100°
66
5．如图10，AB⊥BE，DE⊥BE，点C在BE上，已知△ABC≌△CED，下列结论：
①AB∥DE；
②AC＝CD；
③AC⊥CD；
④BE＝AB＋DE.
其中正确的是__________．(填序号)
图10
①②③④
6．(RJ八上P31 T5改编)如图11，已知△ABC≌△ADE，点E在边BC上，AB与DE相交于点F.
求证：(1)∠CAE＝∠BAD；
图11
证明：因为△ABC≌△ADE，
所以∠BAC＝∠DAE.
所以∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
求证：(2)∠BED＝∠BAD.
证明：因为△ABC≌△ADE，
所以∠B＝∠D.
因为∠BFE＝∠AFD，
所以180°－∠B－∠BFE＝180°－∠D－∠AFD，
即∠BED＝∠BAD.
图11
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1．(RJ八上P31 T1改编)如图1，△ABC≌△CDA，AB和CD是对应边，写出其他对应边及对应角．
(1)对应边：AB＝CD，BC＝__________，AC＝__________；
(2)对应角：∠__________＝∠__________，
∠__________＝∠__________，
∠__________＝∠__________．
图1
DA
CA
B
D
BAC
DCA
ACB
CAD
2．如图2，将△ABC沿AC进行翻折可与△AEC重合，点D在AC上，则图中全等的三角形有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
图2
C
3．如图3，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D＝80°，∠CAB＝40°，那么∠DAB的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
图3
B
4．如图4，已知△ABC≌△DEF，点A，D，B，E在一条直线上，若AB＝3，BD＝2，则BE＝__________．
图4
1
