(共25张PPT)
第五章 图形的轴对称
第3课时 简单的轴对称图形(二)—— 线段
课堂讲练
理解线段垂直平分线的概念；探索线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线．(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念)
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1．线段的对称性：线段是__________图形，_______________线段的直线是它的一条对称轴．
2．垂直平分线的定义：_________于一条线段，并且_________这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线)．
例如：如图1，直线l⊥AB，垂足为O，且AO＝BO，
则直线l是线段AB的垂直平分线．
图1
轴对称
垂直并且平分
垂直
平分
3．垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__________.
例如：如图2，因为直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，所以PA__________PB.
图2
相等
＝
课堂讲练
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例1 如图3，已知直线PO是线段AB的垂直平分线，垂足为O.
(1)∠AOP＝________°，AO＝________，PA＝________；
(2)若AO＝4，PA＝5，则△ABP的周长为________．
垂直平分线的性质
图3
90
BO
PB
18
训练 1.如图4，AD是线段MN的垂直平分线，交MN于点C，B是AD上任意一点，下列说法正确的有__________.(填序号)
①AD⊥MN；
②BM＝BN；
③CM＝CN；
④MN也是AD的垂直平分线．
注：线段的垂直平分线是一条直线．
图4
①②③
例2 如图5，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.若AE＝5，EC＝3，则BC的长是__________．
训练 2.如图6，在△ABC中，DE垂直平分BC，连接BD.若AB＝10，AC＝13，则△ABD的周长是__________．
图5
图6
8
23
例3 如图7，用尺规作线段AB的垂直平分线，请补充下列作法并完成作图．
作法：(1)分别以点________和点________为圆心，
以大于________的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
(2)作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
作已知线段的垂直平分线
图7
A
B
解：如答图1，直线CD即为所求．
答图1
训练 3.如图8，已知△ABC，请用尺规作边BC的中点．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图2，点D即为所求．
答图2
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1．如图9，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，若∠A＝40°，则∠B的度数为( )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
图9
B
2．如图10，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB于点D，交AC于点E，连接BE.若AC＝15 cm，BE＝10 cm，则CE的长为( )
A．10 cm
B．5 cm
C．4 cm
D．2 cm
图10
B
3．如图11，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD
B．∠BAD＝∠BCD
C．CB＝CD
D．△BAC≌△DAC
图11
B
4．如图12，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是__________．
图12
115°
5．如图13，已知点A，B和直线l，请用尺规作点P，使点P在直线l上，且PA＝PB. (保留作图痕迹，不写作法)
图13
解：如答图3，点P即为所求．
答图3
6．【方程思想】如图14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交BC，AB于点D，E，连接AD.若∠CAD∶∠DAB＝2∶1，则∠B的度数为( )
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
图14
点拨 直角三角形的两锐角互余．
B
7．如图15，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，观察图中尺规作图的痕迹．若△ABD的周长为50 cm，则AB＋BC＝__________cm.
图15
50
8．如图16，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
图16
解：因为EF垂直平分AC，所以AE＝EC.
所以∠C＝∠CAE.
因为AD⊥BC，BD＝DE，所以AD垂直平分BE.
所以AB＝AE，∠BAD＝∠EAD.
所以∠DAC＋∠C＝∠EAD＋∠CAE＋∠C＝20°＋2∠C＝90°.
所以∠C＝35°.
(2)若DC＝3 cm，AC＝4 cm，求△ABC的周长．
图16
解：由(1)知，AB＝AE＝EC.
所以AB＋BD＝EC＋DE＝DC.
因为DC＝3 cm，AC＝4 cm，
所以△ABC周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DC＋AC
＝2DC＋AC
＝10 cm.
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1．P是线段AB的垂直平分线上一点，若PA＝4，则PB的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图1，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，则下列结论不一定正确的是( )
A．AC＝BC
B．AP＝BP
C．AC＝PC
D．∠ACP＝90°
图1
B
C
3．如图2，在△ABC中，BC＝13，DE垂直平分AB，若AD＝4，则CD的长为__________．
4．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC于点D，交AB于点E，已知∠CBD＝10°，则∠A的度数为__________．
图2
图3
9
40°
5．如图4，在△ABC中，AB＝11，BC＝10.
(1)请用尺规作AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
图4
解：完成作图如答图1所示．
答图1
(2)连接CD，求△BCD的周长．
解：因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD.
因为AB＝11，BC＝10，
所以△BCD的周长为
BC＋CD＋BD＝BC＋AD＋BD
＝BC＋AB
＝10＋11
＝21.
答图1(共23张PPT)
第五章 图形的轴对称
章末复习
1．下列交通标志中，属于轴对称图形的是( )
A
2．两个全等的直角三角板有一条边重合，下列组成的四个图形中，两个直角三角板不成轴对称的是( )
D
3．如图1，△ABC与△DEF关于直线l对称．若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝( )
A．80°
B．65°
C．45°
D．35°
图1
D
4．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AP平分∠BAC.若BC＝8，则BP的长为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
图2
B
5．如图3， CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，点F在BC上，连接DF. 若DE＝2，CF＝4，则△CDF的面积为( )
A．4
B．6
C．8
D．12
图3
A
6．如图4，在等边三角形ABC中，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，则∠D＝( )
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
图4
B
图5
C
8．如图6，已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点D到直线AB的距离为5，则点D到直线AC的距离为__________．
图6
9．若等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为__________．
5
50°或65°
10．如图7，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD. 若∠A＝50°，∠B＝44°，则∠BCD的度数为__________．
图7
36°
11．如图8，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AD＝AE.若∠BAC＝48°，求∠EDC的度数．
图8
解：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD是边BC上的中线．
所以AD平分∠BAC，AD⊥BC. 所以∠ADC＝90°.
因为∠BAC＝48°，
所以∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－78°＝12°.
12.如图9，在正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；
图9
解：画出△A1B1C1如答图1所示．
答图1
(2)在直线MN上找一点P，使PA＋PC的值最小．
解：如答图1，连接A1C，与直线MN的交点P即为所求．
图9
答图1
13．如图10，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，边AB与AD关于AC对称，则下列结论正确的是( )
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE＝DE.
A．②
B．①②
C．②③④
D．①②③④
图10
D
14．如图11，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，M，P分别是AB，AD上的动点．若AD＝4，则PM＋PB的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
图11
C
15．如图12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°.若以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的度数为__________.
图12
30°
16．如图13，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＝7 cm，BC＝12 cm，点E在BC上，将△ABC沿直线AE折叠，使点B落在△ABC外部的点B′处，则图形中阴影部分的周长为________cm.
图13
26
17．如图14，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长为__________．
18．如图15，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，BD平分∠ABC，直线l与BD相交于点P，连接CP.若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABC的度数为__________．
图14
图15
6
64°
19．如图16，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
(1)求证：AB＝CE；
图16
证明：因为AD⊥BC，且BD＝DE，
所以AD垂直平分BE.
所以AB＝AE.
因为EF垂直平分AC，
所以AE＝CE.
所以AB＝CE.
(2)若△ABC的周长为16，AF＝3，求DC的长．
图16
解：因为△ABC的周长为16，
所以AB＋BC＋AC＝16.
因为EF垂直平分AC，AF＝3，所以AC＝6.
所以AB＋BC＝10.
因为BC＝BD＋DE＋CE，BD＝DE，所以BC＝2DE＋CE.
由(1)知，AB＝CE.
所以AB＋BC＝CE＋2DE＋CE＝2CE＋2DE＝10.
所以CE＋DE＝5，即DC＝5.(共28张PPT)
第五章 图形的轴对称
第2课时 简单的轴对称图形(一)—— 等腰三角形
课堂讲练
探索等腰三角形的轴对称性质；理解等腰三角形的概念，探索等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等，底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念)
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(1)等腰三角形是轴对称图形．
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴．
(3)等腰三角形的两个底角相等．
例如：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，则∠BAC的
平分线、_______上的中线、BC上的高重合，都为AD，且
_______所在的直线为△ABC的对称轴，∠B＝∠_______．
等腰三角形的性质
BC
AD
C
例1 在下列等腰三角形中，已知AB＝AC，请写出x的值．
x＝________ x＝________
50
30
训练 1. (1)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°；
(2)一个等腰三角形的顶角为直角，则它的底角的度数为________°.
100
45
例2 如图1，在△ABC中，AB＝AC.
(1)若AD是边BC上的中线，∠BAC的度数为40°，则∠BAD的度数为________；
(2)若AD是∠BAC的平分线，BC＝6，求BD的长．
图1
20°
解：因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以BD＝CD.
因为BC＝6，
所以BD＝3.
训练 2. 如图2，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D.
(1)若CD＝4，则BC＝________；
(2)在(1)的条件下，△ABC的周长为________．
图2
8
20
3．如图3，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线．
(1)若BC＝10，则CD的长为________；
(2)△ABD与△ACD的周长相等吗？
图3
5
解：△ABD与△ACD的周长相等．
(1)等边三角形是特殊的等腰三角形，所以具有等腰三角形的所有性质．
(2)等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴．
(3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
例如：在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC，
则它有________条对称轴，分别为直线AD，BE，
CF，且∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝________°.
等边三角形的性质
3
60
例3 如图4，在等边三角形ABC中，AB＝2.
(1)∠B＝__________°，∠C＝__________°.
(2)△ABC有__________条对称轴．
(3)若AD是∠BAC的平分线，则
∠CAD＝__________°，∠ADB＝__________°.
(4)若AD⊥BC，E是AD上一点，则
①BD＝__________；
②BE__________CE(填“＞”“＜”或“＝”)．
图4
60
60
3
30
90
1
＝
训练 4.如图5，△ABC是等边三角形，BD＝CD，AE＝CE，AD，BE相交于点F，求∠AFB的度数．
图5
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC＝∠ABC＝60°.
因为BD＝CD，AE＝CE，
所以AD，BE是△ABC的中线，
即AD，BE是△ABC的角平分线．
所以∠AFB＝180°－∠BAD－∠ABE＝120°.
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1．如图6，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.若DC＝5，则BC的长为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
图6
D
2．下列说法正确的是( )
A．等腰三角形都有3条对称轴
B．等腰三角形的底角可能是钝角
C．等边三角形的三个角都相等
D．等边三角形的高、中线、角平分线互相重合
C
3．如图7，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，D是边BC的中点，则∠CAD的度数为__________．
图7
图8
4．如图8，在△ABC中，D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为__________．
20°
32°
5．如图9，在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，BD＝4，CD＝6，则△ABC的面积为________．
图9
24
6．(BS七下P127例1改编)求满足下列条件的等腰三角形的各个内角的度数．
(1)它的底角是顶角的2倍；
点拨 可以通过设参，列方程的方式求解．
解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°.
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得x＋2x＋2x＝180.
解得x＝36.
2×36＝72.
所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°.
(2)它的顶角是底角的2倍．
解：设这个等腰三角形底角的度数为y°，则顶角的度数为2y°.
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得y＋y＋2y＝180.
解得y＝45.
2×45＝90.
所以，这个三角形的三个内角分别是45°，45°，90°.
7．如图10，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB.若△ABC的周长为18，△BCD的周长为12，则CD的长为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
图10
A
8．【易错】(1)若等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数为__________；
(2)若等腰三角形中有一个内角为80°，则其底角的度数为__________．
点拨 当不确定已知角是顶角还是底角时，要进行分类讨论．
50°
50°或80°
9.如图11，△ABC是等边三角形，AD是边BC上的中线，点E在AB上，AE＝AD，则∠EDB的度数为__________．
图11
15°
10．如图12，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点F，AE＝BE.
求证：(1)△AEF≌△BEC；
图12
证明：因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
所以∠C＋∠FAE＝90°.
因为BE⊥AC，
所以∠AEF＝∠BEC＝90°.
所以∠C＋∠CBE＝90°.
所以∠FAE＝∠CBE.
所以△AEF≌△BEC(ASA).
图12
求证：(2)AF＝2BD.
图12
证明：由(1)知，△AEF≌△BEC.
所以AF＝BC.
因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AD为边BC上的中线．
所以BC＝2BD.
所以AF＝2BD.
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1．等边三角形的对称轴有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( )
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
图1
C
B
3．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.若BC＝4，则CD的长是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图3，在等边三角形ABC中，P是AC的中点，E是BC延长线上一点．若PE＝PB，则∠CPE的度数是__________．
图2
图3
C
30°
5．如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，DE⊥AC，垂足为E. 若∠BAD＝50°，求∠CDE的度数．
图4
解：因为∠ADC＝90°，所以AD⊥BC.
因为AB＝AC，所以∠CAD＝∠BAD＝50°.
在△ACD中，∠C＝180°－∠CAD－∠ADC＝40°.
因为DE⊥AC，
所以∠CED＝90°.
在△CDE中，∠CDE＝180°－∠CED－∠C＝50°.(共23张PPT)
第五章 图形的轴对称
第4课时 简单的轴对称图形(三)—— 角
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理解角平分线的概念，探索角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；能用尺规作图：作一个角的平分线．(几何直观、空间观念、推理能力、模型观念)
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1．角的对称性：角是__________图形，__________所在的直线是它的对称轴．
例如：如图1，OC是∠AOB的平分线，则OC所在的直线是∠AOB的对称轴．
2．角平分线的性质：角平分线上的点到
这个角的两边的距离__________．
例如：如图2，因为OC是∠AOB的平分线，点D在OC上，DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，所以DE__________DF.
轴对称
角平分线
相等
＝
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角平分线的性质
例1 如图3，AO平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N.若ON＝8，则OM的长为( )
A.4
B．5
C．8
D．10
图3
C
训练 1.如图4，OC是∠AOB的平分线，CE⊥OA，CF⊥OB，则下列结论错误的是( )
A．∠AOC＝∠BOC
B．CE＝CF
C．OE＝OF
D．OF＝OC
图4
D
例2 如图5，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝3，BC＝8，则BD的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
图5
B
训练 2.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，CD＝4.
(1)DE的长为________；
(2)△ABD的面积为__________．
图6
4
30
例3 如图7，用尺规作∠AOB的平分线，请补充下列作法并完成作图．
作法：(1)在OA和OB上分别截取OM，ON，使M__________ON.
(2)分别以点__________和点__________为
圆心，以大于__________的长为半径作弧，两
弧在∠AOB内相交于点C.
(3)作射线OC.
射线OC就是∠AOB的平分线．
作已知角的平分线
图7
＝
M
N
解：如答图1，射线OC即为所求．
答图1
训练 3. 如图8，用尺规在△ABC的边AB上作点P，使得∠ACP＝∠BCP. (不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图2，点P即为所求．
图8
答图2
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1．如图9，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
图9
C
2．如图10，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝4 cm，BC＝7 cm，对角线AC平分∠BCD，则△ABC的面积为__________．
3．如图11，已知∠ABC与∠BCD的平分线相交于点O，OP⊥AB于点P，OQ⊥CD于点Q，则OP__________OQ (填“＞”
“＜”或“＝”).
图10
图11
14 cm2
＝
4．如图12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝10，DE＝4，AC＝8，求△ABC的面积．
图12
解：如答图3，过点D作DF⊥AC于点F.
答图3
因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE＝DF＝4.
因为AB＋AC＝18，
5．如图13，BM是∠ABC的平分线，点D在BM上，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5.5
图13
点拨 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
A
图14
6
7．【模型观念】如图15，已知∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，P是射线OM上一动点，C，D分别为射线OA，OB上的点，且PC⊥PD，试猜想PC和PD之间的数量关系，并说明理由．
图15
解：PC＝PD. 理由如下：
如答图4，过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
所以∠PEC＝∠PFD＝90°.
因为OM平分∠AOB，所以PE＝PF.
因为∠AOB＝90°，∠PEC＝∠PFD＝90°，
所以∠EPF＝90°.
答图4
因为PC⊥PD，所以∠CPD＝90°.
所以∠EPF－∠CPF＝∠CPD－∠CPF，即∠EPC＝∠FPD.
点拨 由角平分线的性质可过角平分线上的一点作角两边的垂线段，进而证明三角形全等，由全等三角形的性质即可得到PC与PD的数量关系．
所以△PCE≌△PDF(ASA). 所以PC＝PD.
答图4
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1．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC. 若点D到AB的距离为3，则CD的长为( )
A．2.4
B．3
C．3.6
D．4
图1
B
2．如图2，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N.若OM＋ON＝8，则OM的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
3．角的平分线是一条__________，角的对称轴是一条__________．(均填“线段”“射线”或“直线”)
图2
A
射线
直线
4．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4.
(1)∠ADC的度数为__________；
(2)△ABD的面积是__________．
图3
67.5°
2
5．如图4，已知△ABC，AB＝AC，作∠ABC的平分线BD交AC于点D. (保留作图痕迹，不要求写作法)
图4
解：完成作图如答图1所示．
答图1(共30张PPT)
第五章 图形的轴对称
第1课时 轴对称及其性质
课堂讲练
通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分；能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形；理解轴对称图形的概念；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．(几何直观、空间观念、推理能力、应用意识)
课标要求
随 堂 测
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课堂讲练
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轴对称现象
轴对称图形 两个图形成轴对称
概念 如果一个平面图形沿一条直线__________后，直线两旁的部分能够互相__________，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够__________，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴
示例 如图1，正五边形OABB′A′ 是轴对称图形． ①点A和点A′是对应点； ②OA与OA′是对应线段； ③∠OAB与∠OA′B′是对应角 如图2，△ABC和△A′B′C′
成轴对称．
①点A和点A′是对应点；
②AB与A′B′是对应线段；
③∠BAC与∠B′A′C′是对应角
图1
图2
折叠
重合
完全重合
情况一 轴对称图形
例1 下列是轴对称图形的请打“√”，不是的请打“×”．
正方形 平行四边形 圆 直角梯形
( ) ( ) ( ) ( )
√
×
√
×
训练 1.以下四个标志图案中，是轴对称图形的是( )
D
情况二 两个图形成轴对称
例2 视力表中的字母“E”有不同的摆放方向，下列选项中左右两个“E”关于某条直线成轴对称的是( )
D
训练 2.下列各组图形中，两个图形关于虚线成轴对称的有__________．(填序号)
轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系：
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 一个图形的形状 两个图形的形状和位置
联系 1.都有对称轴(至少一条)；2.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形
②④
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中：
①对应点所连的线段被对称轴_____________；
②对应线段__________；
③对应角__________．
【拓展】对应点所连的线段互相平行(或在同一条直线上)．
轴对称的性质
垂直平分
相等
相等
例3 如图3，已知△ABC与△DEF关于直线MN对称．
(1)AB＝__________，∠A＝∠__________；
(2)若BE交MN于点O，则BO__________EO；
(3)线段CF与MN的位置关系是___________．
图3
DE
D
＝
CF⊥MN
训练 3.如图4是一个零件的设计图，其主体部分(四边形ABCD)关于AC所在的直线对称，E为BD与AC的延长线的交点，下列结论正确的是__________．(填序号)
①AB＝AD；
②BE＝DE；
③∠BAD＝∠BCE；
④△ABC≌△ADC.
图4
①②④
例4 画出下列轴对称图形的所有对称轴．
与轴对称有关的作图
图5
解：画出对称轴如答图1所示．
答图1
训练 4. 画出下列轴对称图形的所有对称轴．
图6
解：画出对称轴如答图2所示．
答图2
例5 如图7，将下列图形补成关于直线l对称的图形．
图7
解：补全图形如答图3所示．
答图3
训练 5. 如图8，在正方形网格中，△ABC的顶点均在网格的格点上．请画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
图8
解：如答图4，△A1B1C1即为所求．
答图4
课堂检测
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1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
C
2．如图9，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠B＝110°，则∠D的度数是( )
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
图9
B
3．瓷器上的纹饰是中国古代传统文的重要载体之一．图10是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
图10
D
4．如图11，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO
D．AC∥BD
图11
A
5．观察下列各组图形，其中成轴对称的有__________对．
2
6．(1)如图12，画出这些图形的全部对称轴；
(2)如图13，分别以图中直线l为对称轴，画出图形的另一半．
图12
图13
解：(1)画出这些图形的对称轴如答图5所示．
(2)画出这些图形的另一半如答图6所示．
答图5
答图6
7．如图14，正方形ABCD的边长为2，则图中阴影部分的面积为__________．
图14
点拨 可将阴影部分移动，形成一个易求面积的规则图形．
2
8．如图15，在3×3的正方形网格中，其中有2个小方格的中心画上了大小相同的圆，若在剩下的7个方格中选择1个在其中心画上大小相同的圆，使整个图形成为轴对称图形，则可选的小方格的位置有__________种．
点拨 对称轴可以为“竖直”“水平”以及两条“倾斜”的直线．
图15
3
9．如图16，将△ABC沿直线MN折叠，使点C与点B重合．
(1)若AB＝5，AC＝8，求△ABM的周长；
图16
解：由折叠可知，BM＝CM.
所以△ABM的周长为
AB＋AM＋BM＝AB＋AM＋CM
＝AB＋AC
＝5＋8
＝13.
解：因为∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠A＝80°，∠C＝40°，
所以∠ABC＝180°－80°－40°＝60°.
由折叠可知，∠MBN＝∠C＝40°.
因为∠ABC＝∠ABM＋∠MBN，
所以∠ABM＝∠ABC－∠MBN＝60°－40°＝20°.
(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠ABM的度数．
图16
随 堂 测
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1．(2025凉山州)以下字母是轴对称图形的是( )
2．下列四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是( )
B
B
3．轴对称图形的对称轴是一条__________(填“直线”“射线”或“线段”).
直线
4.如图1，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，已知AC＝
3.8 cm，AB＝3.6 cm，BC＝1.8 cm，则A′B′的长为( )
A．3.8 cm
B．3.6 cm
C．1.8 cm
D．无法确定
图1
B
5．如图2，△ABC和△ADE关于直线MN对称．
(1)图中点B的对称点是__________，∠AED的对应角是__________；
(2)连接EC，与MN交于点P，若EC＝6，
则EP＝__________；
(3)连接BD，则BD与EC的位置关系是
__________________．
图2
点D
∠ACB
3
BD∥EC(或平行)(共28张PPT)
第五章 图形的轴对称
第5课时 ☆问题解决策略—— 转
策略精讲
问题初探
随 堂 测
策略应用
问题初探
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1.如图1，点A，B在直线l的异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．
(1)请你画出这样的点P；
(2)这样做的原理是____________________．
图1
解：(1)画出点P如答图1所示．
答图1
两点之间线段最短
策略精讲
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类型一 两定点一动点
例1 如图2，现要紧挨一条笔直街道l修建供奶站C，来向A，B两个小区提供牛奶．供奶站应建在什么地方，才能使A，B两个小区到它的距离之和最短？
将军饮马模型
例题讲练
(1)如图3，如果在街道对面有一个小区A′，且A，A′关于街道对称，那么小区A到街道旁的距离__________小区A′到街道旁的距离(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)请你在图3中画出供奶站的位置．
作图步骤：
作点A关于l的对称点A′，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有AC＝A′C，因此AC＋BC＝A′C＋BC.问题转为：在直线l上确定一个点C，使A′C＋BC最短．
根据“两点之间线段最短”，连接A′B，与l交于点C，点C就是所要确定的点．
＝
解：如答图2，点C即为所求．
答图2
类型二 一定点两动点
例2 (BS七下P138改编)如图4，点P在∠AOB的内部，在射线OA上找出一点M，在射线OB上找出一点N，使PM＋MN＋NP的值最小．
(1)如果作出点P关于OA对称的点P1，那么此时OA上一点到点P与到点P1的距离有什么关系？
(2)请你在图5中继续作图，画出点M，N的位置．
作图步骤：
分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，根据轴对称的性质，对于OA上任意一点M，都有PM＝P1M，对于OB上任意一点N，都有PN＝P2N，因此PM＋PN＝P1M＋P2N.问题转为：分别在直线OA，OB上确定点M，N，使P1M＋MN＋P2N最短．
根据“两点之间线段最短”，连接P1P2，分别与OA，OB交于点M，N，点M，N就是所要确定的点．
解：(1)此时OA上一点到点P与到点P1的距离相等．
(2)完成作图如答图3所示．
答图3
例3 如图6是由四个边长为3 cm的小正方形组成的长方形．
求阴影部分的面积
(1)你能在图中找到些面积相等的部分吗？并说明理由．
解：图中的4个扇形的面积均相等．
理由：因为相邻的两扇形都关于正方形一条边所在的直线对称(或因为它们的圆心角和半径都相等).
(2)请在图7中将阴影部分转为规则图形．
(3)图中阴影部分的面积是__________cm.
解：(2)将阴影部分转为规则图形
如答图4所示．(答案不唯一)
18
答图4
转过程：
如下图，将阴影部分分为4个部分①②③④.由于图形①与⑤关于正方形一条边所在的直线对称，所以它们的面积相等，即可将阴影①对称至⑤的位置；同理也可将阴影④对称至⑥的位置．
最终阴影部分面积就转为由②③⑤⑥组成的规则图形，即两个小正方形的面积．
例4 现有两堆火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次只能在任意一堆中取1根或若干根(不能两堆同时取，也不能不取)，规定取走最后一根火柴的人获胜．已知甲、乙两人都按照最佳策略取火柴，且甲先取．
获胜策略
策略分析：
当两组物品的数量相等时，后取者可选择与前取者拿相同数量的物品，这样就能保证前取者总拿不到最后一件物品．
当两组物品的数量不相等时，前取者将数量多的一组多出的部分取出，即可变为数量相等的情况，此时前取者变为后取者的情况，后取者变为前取者的情况．
(1)若两堆火柴数量相等，则甲、乙谁会获胜？获胜的策略是什么？
解：乙会获胜．
获胜的策略是：甲先在其中一堆火柴中取a根火柴，则乙就在另一堆火柴中也取a根火柴．
(2)若两堆火柴分别有26根和28根，则甲、乙谁会获胜？获胜的策略是什么？
解：甲会获胜．
获胜的策略是：甲先从28根的那堆火柴中取走2根火柴，使两堆火柴的数量相等．后续当乙从任意一堆中取走火柴时，甲就从另一堆中取走同样多的火柴．
总结 转是解决数学问题的一种重要策略．通过转，可以把一个问题转为与它等价的问题，达到繁为简、难为易、不熟悉为熟悉的目的．
策略应用
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1．如图8，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，BC＝8，直线l垂直平分AB，分别交BC，AB于点D，E，点F在直线l上，则AF＋CF的最小值是( )
A．6 B．8
C．10 D．14
图8
B
2．如图9，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上找一点P，使PM＋PN的值最小，则点P应选在( )
A．点A处
B．点B处
C．点C处
D．点D处
图9
C
3．如图10，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__________．
图10
4．某班举行儿童节晚会，将桌子从点O开始沿两条射线OA，OB摆放(如图11，中间无缝隙)，桌面OA上摆满了零食，桌面OB上摆满了饮料，坐在点C处的小明先去拿零食再去拿饮料，最后回到座位上，请你帮他确定一条路线，使其行走的路程最短．(不考虑桌面长度限制)
图11
解：如答图5，分别作点C关于OA，OB的对称点E，F，连接EF，分别交OA，OB于点M，N，则路线CMNC即为所求．
答图5
5．甲、乙两名同学玩抢硬币游戏．如图12，将7枚硬币排成一行，两人轮流从中取一枚或相邻的两枚硬币，如果两枚硬币中间有空位，那么不能将这两枚硬币同时取走，规定谁取走最后一枚硬币谁就获胜．如果甲同学先取，并确保获胜，那么甲会先取几号？获胜的策略是什么？
图12
解：甲会先选4号．
获胜策略：根据轴对称的性质，甲先拿正中间的1枚硬币，这样使左右两边形成对称，乙拿多少数量的硬币，甲在另一边对称的位置拿相同数量的硬币，乙有的拿，甲就有的拿，这样就能确保甲取走最后一枚硬币，从而获胜．
点拨 尝试取走一枚或相邻的两枚后，将剩下的硬币分为相同的两部分．
6．如图13，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠B＝70°，D为BC的中点，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F.M为直线EF上一动点，当CM＋DM的值最小时，∠ACM的度数为__________．
图13
20°
7．如图14，∠AOB＝30°，P为∠AOB内一点，OP＝8.点M，N分别在射线OA，OB上，则△PMN周长的最小值为__________．
图14
8
随 堂 测
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1．如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是( )
B
2.如图1，△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆，交AB于点D，连接CD(CD⊥AB)，则图中阴影部分的面积为__________．
图1
4
3．如图2，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B均在格点(网格线的交点)上，直线l与点A右侧2个单位长度的竖直方向的网格线重合．
(1)请画出与线段AB关于直线l对称的线段A′B′；
图2
解：如答图1，线段A′B′即为所求．
答图1
(2)在l上找一点C，使得AC＋BC的值最小．
答图1
解：如答图，连接A′B交直线l于点C，连接AC，
此时AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B最小，点C即为所求．
4．“抢30”游戏的规则是：第一个人先说“1”或“1，2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就得胜．如果采取适当策略，其结果是__________(填“先报数者”或“后报数者”)胜．
后报数者
