第一单元圆柱与圆锥（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年六年级数学下册培优讲练测（北师大版）
文档属性
| 名称 | 第一单元圆柱与圆锥（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年六年级数学下册培优讲练测（北师大版） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 784.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-03 00:00:00 | ||
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文档简介
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第一单元圆柱与圆锥（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、圆柱的底面是圆，不是椭圆。
2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。
3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。
5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。
6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。
7、将一个圆柱截成两个小圆柱后，表面积之和比原来的表面积增加了两个底面积。
8、求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。
9、计算圆柱的体积，一定要先算出底面积，再与高相乘。
10、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。
11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。
12、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。
13、当圆柱与圆锥的体积和高分别相等时，S柱﹕S锥=1﹕3，当圆柱与圆锥的体积和底面积分别相等时，h柱﹕h锥=1﹕3。
14、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积一定存在3倍的关系。
高频易错题
一、选择题
1．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是36立方厘米，那么它们的体积和是（ ）。
A．36立方厘米 B．42立方厘米 C．54立方厘米 D．72立方厘米
2．把一根圆柱形橡皮泥捏成一个等高的最大圆锥，圆锥与圆柱底面积的比是（ ）
A．3∶1 B．1∶3 C．1∶9 D．9∶1
3．一个圆锥，底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，那么它的体积（ ）。
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的8倍 D．缩小到原来的
4．下列图形中，（ ）的体积最大。
A． B． C． D．
5．下面图形中，旋转后会得到下面图形的是（ ）。
A． B． C． D．
6．一个长方体包装盒的长是，宽是，高是。圆柱形罐头盒的底面直径是，高是。这个包装盒内最多能放（ ）个这样的罐头盒。
A．12 B．24 C．36 D．48
7．根据下面的实验，可知水面下降了（ ）cm。
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二、填空题
8．旋转一周后形成( )体，其中a是这个图形的( )，b是这个图形的( )。
9．“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。
10．阳阳要把一个底面直径为6dm，高为10dm的圆柱形木料表面刷上油漆。若把这根木料按底面直径切成两个半圆柱（如图），需多刷( )dm2。
11．一段高是12dm，底面半径是3dm的圆柱形木料，把它锯成长短不同的三小段圆柱形木料，表面积增加了( )dm2。
12．把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314dm2；若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加400dm2。这根木料原来的体积是( )m3。
13．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
14．苗苗做了一个圆柱形容器并加入水，如图（单位：cm）。她将圆柱形容器中的水全部倒入一个底面直径是15cm的圆锥形容器中，且正好倒满，圆锥的高是( )cm。
三、判断题
15．一块圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它底面积相等的圆锥，圆锥的高是12厘米。( )
16．一个圆柱侧面沿一条高剪开后展开是一个正方形，这个圆柱底面周长与高的比是1∶1。( )
17．把一个圆柱体截成两个圆柱体之后，表面积就比原来增加了1个底面积的大小。( )
18．用一张长方形纸围成两个不同的圆柱（接头处不计），圆柱的侧面积相等，体积也相等。( )
四、计算题
19．求下面图形的体积。（单位：cm）
五、解答题
20．李阿姨用调制好的冰激凌奶浆制作冰激凌，做成的冰激凌可近似看作两个圆锥，尺寸如下图。这个冰激凌的体积大约是多少？（结果保留整数）
21．一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？
22．一种圆柱形饮料，底面直径是6厘米，高为15厘米，如图，照样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是多少立方厘米？
23．现在人们越来越注重生活品质，花瓶不仅提升家居美感，还体现主人品味。李阿姨重视花卉养护，某天她将圆柱形花瓶中10厘米高的营养液倒入长方体花瓶中，此时长方体花瓶中的营养液的高度大约是多少厘米？（结果保留一位小数）
24．一支牙膏出口处直径是0.4厘米，奇思每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，可用90次。新包装牙膏出口处直径改为0.6厘米，奇思现在每次挤出0.5厘米，照这样的用法，这只牙膏他能用多少次？
25．王爷爷是一个吹糖人艺术家，他使用的工具箱如图所示，如果给这个工具箱所有表面包一层牛皮，准备一张1平方米的牛皮，够吗？请写出你的思考过程。
26．沙漏是我国古代一种计量时间的仪器。现如今，许多餐厅开始使用沙漏计时，并承诺在沙子全部漏下去之前所有菜品上齐，以提高顾客满意度。下图是某餐厅使用的沙漏，沙漏上面的圆锥中装满了沙子，如果每分钟漏掉6.28立方厘米的沙子，这家餐厅上菜时间最长是多少分？
27．在中国的传统建筑中，圆有着广泛的应用，园林中的月亮门便是其中的代表。怡景公园想建一道围墙（墙的厚度为20厘米），原本要用土石35立方米，后来开了一个月亮门（如图），减少了土石的用量。
（1）公园想给月亮门安装一个铁门，每平方米的铁重5千克，这个铁门的重量是多少千克？
（2）实际上用了多少立方米土石？
参考答案
1．D
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米；圆柱的体积－圆锥的体积＝36立方厘米，据此列方程，解方程即可。
【详解】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。
3x－x＝36
2x＝36
x＝36÷2
x＝18
18×3＝54（立方厘米）
54＋18＝72（立方厘米）
它们的体积和是72立方厘米。
2．A
【分析】橡皮泥捏制前后体积不变，所以得到的圆锥和原圆柱体积相等，且它们的高也相等，根据体积公式：圆柱体积V＝S柱h ，可得S柱＝，圆锥体积V＝S锥h，可得S锥＝。所以圆锥与圆柱底面积的比，约去相等的体积V和高h后，整理可得S锥∶S柱＝3∶1。
【详解】设圆锥和圆柱的体积为V，圆锥和圆柱的高为h。
则圆柱的底面积S柱＝，圆锥的底面积S锥＝
所以S锥∶S柱＝∶＝3∶1，即圆锥与圆柱底面积的比是3∶1。
3．C
【分析】用假设法赋值，根据圆锥的体积＝，分别求出现在的体积和原来的体积，再相除即可解答。
【详解】假设圆锥原来的底面直径是2，则半径是2÷2＝1，底面直径扩大到原来的4倍后是2×4＝8，半径是8÷2＝4，高是4，则缩小到原来的后是4×＝2。
××2＝×16×2＝×32＝
××4＝×1×4＝×4＝
÷（）＝÷÷（÷）＝÷＝×＝8
它的体积扩大到原来的8倍。
4．A
【分析】根据圆柱体积V＝πr2h（r是底面半径，h是高），圆锥体积V＝πr2h（r是底面半径，h是高），分别计算各选项的体积，然后再进行比较即可。
【详解】A．已知圆柱底面半径r＝2x，高h，根据圆柱体积公式，体积为π×（2x）2×h＝π×4x2×h＝4πx2h。
B．圆柱底面半径r＝x，高h＝2h，体积为π×x2×2h＝2πx2h。
C．圆锥底面半径r＝3x，高h，根据圆锥体积公式，体积为π×（3x）2×h＝π×9x2×h＝3πx2h。
D．圆锥底面半径r＝2x，高h＝2h，体积为π×（2x）2×2h＝π×4x2×2h＝πx2h。
4πx2h＞3πx2h＞πx2h＞2πx2h，所以选项A的图形体积最大。
故答案为：A
5．C
【分析】根据旋转的意义：在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转，据此判断。
【详解】A．图形旋转后得到的是一个圆锥，不符合题意；
B．图形旋转后得到一个圆锥和一个倒放的比较小的圆锥，不符合题意；
C．图形旋转后得到一个正放的圆锥和一个倒放且形状相同的圆锥，符合题意；
D．图形旋转后得到一个圆柱被挖去两个圆锥的立体图形，不符合题意。
故答案为：C
6．D
【分析】首先根据“包含”除法的意义，用除法求出长方体盒子的长里面包含多少8厘米，长方体盒子的宽里面包含多少8厘米，长方体盒子的高里面包含多少个10厘米，然后根据整数乘法的意义，用乘法解答。
【详解】
（个）
这个包装盒内最多能放48个这样的罐头盒。
故答案为：D
7．A
【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，下降部分水的体积＝圆柱形水杯的底面积×下降的高度。从题意分析可得：下降部分水的体积＝浸没在水中的圆锥形铅锤体积。根据等量关系，列方程解答。
【详解】解：设水面下降了xcm。
12x＝×9×4
12x＝12
12x÷12＝12÷12
x＝1
水面下降了1cm。
8． 圆锥 高 底面半径
【分析】以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，底面圆心到圆周的距离是圆锥底面圆的半径，据此解答。
【详解】旋转一周后形成（圆锥）体，其中a是这个图形的（高），b是这个图形的（底面半径）。
9． 6 4
【分析】以较长直角边为轴旋转，则该直角边为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径。
【详解】已知直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米，因为5＞4＞3，所以5为斜边，较长直角边为4厘米，另一条直角边为3厘米。
另一条直角边3厘米，就是圆锥的底面半径3厘米，直径为2×3＝6（厘米）。以较长直角边4厘米为轴旋转一周，那么圆锥的高为4厘米。
10．120
【分析】根据题意，需要多刷两个切开的截面。由图可得，截面为长方形，长为圆柱高，宽为圆柱底面直径。长方形面积＝长×宽，再×2，即是两个切开截面的面积。
【详解】6×10×2
＝60×2
＝120（dm2）
所以若把这根木料按底面直径切成两个半圆柱，需多刷120dm2。
11．113.04
【分析】把一根圆柱形木材截成3段，增加了4个圆柱的底面，所以它的表面积就增加了4个底面积，根据“圆柱的底面积＝πr2”，求出圆柱的一个底面积，进而求出增加的表面积，据此判断即可。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（面）
3.14×3×3×4
＝3.14×9×4
＝28.26×4
＝113.04（dm2）
表面积增加了113.04dm2。
12．1.57
【分析】将一根圆柱形木料截成3段，需要截2次，表面积会增加4个底面的面积。所以用314dm2除以4，即可求出圆柱形木料的底面积。将底面积除以圆周率，求出半径的平方，从而求出底面半径。若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积会增加两个切面的面积，每个切面都是长方形，长和宽分别是圆柱的底面直径和高。将400dm2除以2，求出底面直径乘高的积，再除以底面直径，求出圆柱形木料的高。最后，根据“圆柱体积＝底面积×高”求出这根木料原来的体积。根据“1m3＝1000dm3”进行单位换算。
【详解】314÷4＝78.5（dm2）
78.5÷3.14＝25（dm2）
25＝5×5，所以这个圆柱形木料的底面半径是5dm。
400÷2÷（5×2）
＝200÷10
＝20（dm）
78.5×20＝1570（dm3）
1570dm3＝1.57m3
所以，这根木料原来的体积是1.57m3。
13． 108 36
【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为3份，圆柱比圆锥的体积多（3－1）份，由题可知圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，用除法计算，可求出一份是多少立方厘米，即圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，即可求出圆柱的体积，据此解答。
【详解】72÷（3－1）
＝72÷2
＝36（立方厘米）
36×3＝108（立方厘米）
即圆柱的体积是108立方厘米，圆锥的体积是36立方厘米。
14．15
【分析】从题意可知：圆柱形容器和圆锥形容器的底面直径都是15cm，即圆柱和圆锥的底面积相等，水的体积不变。根据体积相等，底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍可知，圆柱形容器中的水的高度是5cm， 那么用5×3＝15cm，即可求出圆锥的高。
【详解】5×3＝15（cm）
圆锥的高是15cm。
15．×
【分析】先根据题意，利用公式V＝Sh，求出圆柱的体积。把它捏成等底的圆锥，圆锥的体积等于圆柱的体积。根据圆锥的体积公式V＝Sh反求出圆锥的高， h＝V÷÷S，代入数据计算即可。
【详解】圆柱体积：12×6＝72（立方厘米）
圆锥的高：
72÷÷12
＝72×3÷12
＝216÷12
＝18（厘米）
所以圆锥的高是18厘米。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积。关键在于理解圆柱橡皮泥捏成与它同底的圆锥，体积是不变的。
16．√
【分析】如果圆柱的侧面展开是一个正方形，那么圆柱的底面周长＝圆柱的高，再根据比的意义即可求出圆柱的底面周长与高的比是多少。
【详解】由分析可知：
圆柱的底面周长＝圆柱的高，所以这个圆柱底面周长与高的比是1∶1。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查圆柱的展开图的特点，要清楚的知道圆柱展开图的特点是解题的关键。
17．×
【分析】把一个圆柱体截成两个圆柱体之后，多了两个横截面的面积，一个横截面的面积等于底面积，所以表面积就比原来增加了2个底面积的大小；据此解答。
【详解】根据分析可知，把一个圆柱体截成两个圆柱体之后，表面积就比原来增加了2个底面积的大小。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查立体图形的切割，要抓住增加的面积是哪一部分。
18．×
【分析】可设长方形的长为a，宽为b，分别表示出以长方形的长和宽为底面周长和高围成两个圆柱形纸筒的侧面积和体积，再比较即可。
【详解】设长方形的长为a，宽为b
则以长方形的长为底面周长，宽为高的圆柱的侧面积为a×b＝ab
体积为：π（）2×b＝
以长方形的宽为底面周长，长为高的圆柱的侧面积为b×a＝ab
体积为：π（）2×a＝
ab＝ab，所以面积相等，≠，所以体积不相等；原说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查圆柱的侧面积及体积公式的灵活运用。
19．803.84cm3
【分析】由图可知，这个图形是由圆柱和圆锥构成的，且两者等底等高，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以先根据圆柱的体积公式：V圆柱＝πr2h（π取3.14）；再用圆柱体积÷3求出圆锥体积，最后把两部分体积相加即可解答。
【详解】半径：8÷2＝4（cm）
圆柱的体积：3.14×42×12
＝3.14×16×12
＝50.24×12
＝602.88（cm3）
圆锥的体积：602.88÷3＝200.96（cm3）
总体积：602.88＋200.96＝803.84（cm3）
20．113立方厘米
【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是4厘米的圆锥的体积，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×8×＋3.14×（6÷2）2×4×
＝3.14×32×8×＋3.14×32×4×
＝3.14×9×8×＋3.14×9×4×
＝226.08×＋113.04×
＝75.36＋37.68
≈113（立方厘米）
答：这个冰激凌的体积大约是113立方厘米。
21．0.8厘米
【分析】圆锥形铁块底面直径8厘米，因此半径为8÷2＝4厘米，高为15厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可计算出圆锥形铁块的体积（水面下降部分的水体积）。
水面下降部分的水形成一个圆柱体，其体积等于圆锥体积，圆柱形杯子底面直径20厘米，因此半径为20÷2＝10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷（πr2），把计算出的圆锥体积，和圆柱形杯子底面半径代入计算即可。
【详解】8÷2＝4（厘米）
×3.14×42×15
＝×3.14×16×15
＝251.2（立方厘米）
20÷2＝10（厘米）
251.2÷（3.14×102）
＝251.2÷（3.14×100）
＝251.2÷314
＝0.8（厘米）
答：杯子里的水面会下降0.8厘米。
22．12960立方厘米
【分析】要计算箱子的体积，需要先确定箱子的长、宽、高，由于箱子是按照圆柱形饮料的摆放方式来确定尺寸的，所以要通过观察饮料在箱子中的排列情况，这张图中未明确显示饮料具体排列数量，但从常规装箱思路出发，先数出每行饮料数量和行数来确定箱子底面的长和宽，箱子的高一般与饮料的高相等（在饮料装满箱子且无多余空间堆叠的情况下），用饮料排列确定箱子尺寸，假设从图中观察到饮料在箱子里面一行摆了6个（横向），摆了4行（纵向），因为饮料底面直径是6厘米，所以箱子的长等于一行饮料的直径总和，即长为厘米，箱子的宽等于饮料行数对应的直径总和，即宽为厘米，而箱子的高和饮料的高相同为15厘米，代入长方体的体积公式：V＝abh即可求出这个箱子的体积。
【详解】这个箱子的高为15厘米
这个箱子的长：（厘米）
这个箱子的宽：（厘米）
这个箱子的体积：（立方厘米）
答：照这个样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是12960立方厘米。
23．10.5厘米
【分析】已知圆柱形花瓶的底面直径是10厘米，里面的营养液高10厘米；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出营养液的体积；
将这些营养液全部倒入长15厘米、宽5厘米的长方体花瓶中，先根据长方形的面积公式S＝ab，求出长方体花瓶的底面积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出长方体花瓶中的营养液的高度。
【详解】3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
15×5＝75（平方厘米）
785÷75≈10.5（厘米）
答：此时长方体花瓶中的营养液的高度大约是10.5厘米。
24．80次
【分析】牙膏可近似看作圆柱体，圆柱体积公式为V＝πr h（V是体积，r是半径，h是高，这里π取3.14）。原来出口处直径是0.4厘米，所以半径为0.4÷2＝0.2厘米；每次挤出长度1厘米，可用90次。以此求出原来牙膏体积。
新包装出口处直径为0.6厘米，半径为0.6÷2＝0.3厘米；每次挤出长度为0.5厘米。根据圆柱体积公式V＝πr h（V是体积，r是半径，h是高，这里π取3.14），计算出新包装每次挤出牙膏体积。
因为牙膏总体积不变，所以用原来牙膏体积除以新包装每次挤出牙膏体积即可解答。
【详解】0.4÷2＝0.2（厘米）
3.14×0.2 ×1×90
＝3.14×0.04×1×90
＝0.1256×1×90
＝11.304（立方厘米）
0.6÷2＝0.3（厘米）
3.14×0.3 ×0.5
＝3.14×0.09×0.5
＝0.2826×0.5
＝0.1413（立方厘米）
11.304÷0.1413＝80（次）
答：照这样的用法，这只牙膏他能用80次。
25．够；见详解
【分析】要判断1平方米的牛皮是否够用，需先计算工具箱所有表面的总面积，再与1平方米比较。观察工具箱可知，它由长方体和半圆柱两部分组成。计算时，长方体部分需算前、后、左、右四个侧面及底面的面积（顶面与半圆柱衔接，无需单独计算）；半圆柱部分需算侧面面积（圆柱侧面积的一半）和一个完整的底面圆面积。将两部分面积相加，得到总面积，再与1平方米（1平方米＝100平方分米）比较。
长方形的面积公式：S＝ab
圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch
圆的面积公式：S＝πr2＝π（d÷2）2
【详解】4×2×2＋4×2×2＋4×4
＝16＋16＋16
＝48（平方分米）
3.14×4×4÷2＋3.14×（4÷2）2
＝3.14×4×4÷2＋3.14×22
＝3.14×4×4÷2＋3.14×4
＝25.12＋12.56
＝37.68（平方分米）
48＋37.68＝85.68（平方分米）
1平方米＝100平方分米
100＞85.68
答：准备一张1平方米的牛皮，够。
26．25分
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出沙子的体积，沙子的体积÷每分钟漏掉的沙子体积＝漏完的时间，即最长上菜时间。
【详解】3.14×（10÷2）2×6÷3
＝3.14×52×6÷3
＝3.14×25×6÷3
＝157（立方厘米）
157÷6.28＝25（分）
答：这家餐厅上菜时间最长是25分。
27．（1）15.7千克
（2）34.372立方米
【分析】（1）铁门的面积就是圆的面积，根据圆的面积＝πr2，将数据代入计算，再用面积乘5就是铁门的重量；
（2）月亮拱门的体积就是圆柱的体积，根据圆柱的体积，将数据代入计算，再用原来的土石减去月亮门需要的土石就是实际需要的土石的体积。再计算体积的过程中，注意单位换算，将厘米转化为米除以100即可。
【详解】（1）2÷2＝1（米）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方米）
3.14×5＝15.7（千克）
答：这个铁门的重量是15.7千克。
（2）20厘米＝0.2米
35－3.14×12×0.2
＝35－3.14×0.2
＝35－0.628
＝34.372（立方米）
答：实际上用了34.372立方米土石。
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第一单元圆柱与圆锥（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、圆柱的底面是圆，不是椭圆。
2、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。
3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
4、圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。
5、圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。
6、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。
7、将一个圆柱截成两个小圆柱后，表面积之和比原来的表面积增加了两个底面积。
8、求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。
9、计算圆柱的体积，一定要先算出底面积，再与高相乘。
10、圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的。
11、瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。
12、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。
13、当圆柱与圆锥的体积和高分别相等时，S柱﹕S锥=1﹕3，当圆柱与圆锥的体积和底面积分别相等时，h柱﹕h锥=1﹕3。
14、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积一定存在3倍的关系。
高频易错题
一、选择题
1．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是36立方厘米，那么它们的体积和是（ ）。
A．36立方厘米 B．42立方厘米 C．54立方厘米 D．72立方厘米
2．把一根圆柱形橡皮泥捏成一个等高的最大圆锥，圆锥与圆柱底面积的比是（ ）
A．3∶1 B．1∶3 C．1∶9 D．9∶1
3．一个圆锥，底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，那么它的体积（ ）。
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的8倍 D．缩小到原来的
4．下列图形中，（ ）的体积最大。
A． B． C． D．
5．下面图形中，旋转后会得到下面图形的是（ ）。
A． B． C． D．
6．一个长方体包装盒的长是，宽是，高是。圆柱形罐头盒的底面直径是，高是。这个包装盒内最多能放（ ）个这样的罐头盒。
A．12 B．24 C．36 D．48
7．根据下面的实验，可知水面下降了（ ）cm。
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二、填空题
8．旋转一周后形成( )体，其中a是这个图形的( )，b是这个图形的( )。
9．“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。
10．阳阳要把一个底面直径为6dm，高为10dm的圆柱形木料表面刷上油漆。若把这根木料按底面直径切成两个半圆柱（如图），需多刷( )dm2。
11．一段高是12dm，底面半径是3dm的圆柱形木料，把它锯成长短不同的三小段圆柱形木料，表面积增加了( )dm2。
12．把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314dm2；若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加400dm2。这根木料原来的体积是( )m3。
13．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
14．苗苗做了一个圆柱形容器并加入水，如图（单位：cm）。她将圆柱形容器中的水全部倒入一个底面直径是15cm的圆锥形容器中，且正好倒满，圆锥的高是( )cm。
三、判断题
15．一块圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它底面积相等的圆锥，圆锥的高是12厘米。( )
16．一个圆柱侧面沿一条高剪开后展开是一个正方形，这个圆柱底面周长与高的比是1∶1。( )
17．把一个圆柱体截成两个圆柱体之后，表面积就比原来增加了1个底面积的大小。( )
18．用一张长方形纸围成两个不同的圆柱（接头处不计），圆柱的侧面积相等，体积也相等。( )
四、计算题
19．求下面图形的体积。（单位：cm）
五、解答题
20．李阿姨用调制好的冰激凌奶浆制作冰激凌，做成的冰激凌可近似看作两个圆锥，尺寸如下图。这个冰激凌的体积大约是多少？（结果保留整数）
21．一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？
22．一种圆柱形饮料，底面直径是6厘米，高为15厘米，如图，照样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是多少立方厘米？
23．现在人们越来越注重生活品质，花瓶不仅提升家居美感，还体现主人品味。李阿姨重视花卉养护，某天她将圆柱形花瓶中10厘米高的营养液倒入长方体花瓶中，此时长方体花瓶中的营养液的高度大约是多少厘米？（结果保留一位小数）
24．一支牙膏出口处直径是0.4厘米，奇思每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，可用90次。新包装牙膏出口处直径改为0.6厘米，奇思现在每次挤出0.5厘米，照这样的用法，这只牙膏他能用多少次？
25．王爷爷是一个吹糖人艺术家，他使用的工具箱如图所示，如果给这个工具箱所有表面包一层牛皮，准备一张1平方米的牛皮，够吗？请写出你的思考过程。
26．沙漏是我国古代一种计量时间的仪器。现如今，许多餐厅开始使用沙漏计时，并承诺在沙子全部漏下去之前所有菜品上齐，以提高顾客满意度。下图是某餐厅使用的沙漏，沙漏上面的圆锥中装满了沙子，如果每分钟漏掉6.28立方厘米的沙子，这家餐厅上菜时间最长是多少分？
27．在中国的传统建筑中，圆有着广泛的应用，园林中的月亮门便是其中的代表。怡景公园想建一道围墙（墙的厚度为20厘米），原本要用土石35立方米，后来开了一个月亮门（如图），减少了土石的用量。
（1）公园想给月亮门安装一个铁门，每平方米的铁重5千克，这个铁门的重量是多少千克？
（2）实际上用了多少立方米土石？
参考答案
1．D
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米；圆柱的体积－圆锥的体积＝36立方厘米，据此列方程，解方程即可。
【详解】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。
3x－x＝36
2x＝36
x＝36÷2
x＝18
18×3＝54（立方厘米）
54＋18＝72（立方厘米）
它们的体积和是72立方厘米。
2．A
【分析】橡皮泥捏制前后体积不变，所以得到的圆锥和原圆柱体积相等，且它们的高也相等，根据体积公式：圆柱体积V＝S柱h ，可得S柱＝，圆锥体积V＝S锥h，可得S锥＝。所以圆锥与圆柱底面积的比，约去相等的体积V和高h后，整理可得S锥∶S柱＝3∶1。
【详解】设圆锥和圆柱的体积为V，圆锥和圆柱的高为h。
则圆柱的底面积S柱＝，圆锥的底面积S锥＝
所以S锥∶S柱＝∶＝3∶1，即圆锥与圆柱底面积的比是3∶1。
3．C
【分析】用假设法赋值，根据圆锥的体积＝，分别求出现在的体积和原来的体积，再相除即可解答。
【详解】假设圆锥原来的底面直径是2，则半径是2÷2＝1，底面直径扩大到原来的4倍后是2×4＝8，半径是8÷2＝4，高是4，则缩小到原来的后是4×＝2。
××2＝×16×2＝×32＝
××4＝×1×4＝×4＝
÷（）＝÷÷（÷）＝÷＝×＝8
它的体积扩大到原来的8倍。
4．A
【分析】根据圆柱体积V＝πr2h（r是底面半径，h是高），圆锥体积V＝πr2h（r是底面半径，h是高），分别计算各选项的体积，然后再进行比较即可。
【详解】A．已知圆柱底面半径r＝2x，高h，根据圆柱体积公式，体积为π×（2x）2×h＝π×4x2×h＝4πx2h。
B．圆柱底面半径r＝x，高h＝2h，体积为π×x2×2h＝2πx2h。
C．圆锥底面半径r＝3x，高h，根据圆锥体积公式，体积为π×（3x）2×h＝π×9x2×h＝3πx2h。
D．圆锥底面半径r＝2x，高h＝2h，体积为π×（2x）2×2h＝π×4x2×2h＝πx2h。
4πx2h＞3πx2h＞πx2h＞2πx2h，所以选项A的图形体积最大。
故答案为：A
5．C
【分析】根据旋转的意义：在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转，据此判断。
【详解】A．图形旋转后得到的是一个圆锥，不符合题意；
B．图形旋转后得到一个圆锥和一个倒放的比较小的圆锥，不符合题意；
C．图形旋转后得到一个正放的圆锥和一个倒放且形状相同的圆锥，符合题意；
D．图形旋转后得到一个圆柱被挖去两个圆锥的立体图形，不符合题意。
故答案为：C
6．D
【分析】首先根据“包含”除法的意义，用除法求出长方体盒子的长里面包含多少8厘米，长方体盒子的宽里面包含多少8厘米，长方体盒子的高里面包含多少个10厘米，然后根据整数乘法的意义，用乘法解答。
【详解】
（个）
这个包装盒内最多能放48个这样的罐头盒。
故答案为：D
7．A
【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，下降部分水的体积＝圆柱形水杯的底面积×下降的高度。从题意分析可得：下降部分水的体积＝浸没在水中的圆锥形铅锤体积。根据等量关系，列方程解答。
【详解】解：设水面下降了xcm。
12x＝×9×4
12x＝12
12x÷12＝12÷12
x＝1
水面下降了1cm。
8． 圆锥 高 底面半径
【分析】以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，底面圆心到圆周的距离是圆锥底面圆的半径，据此解答。
【详解】旋转一周后形成（圆锥）体，其中a是这个图形的（高），b是这个图形的（底面半径）。
9． 6 4
【分析】以较长直角边为轴旋转，则该直角边为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径。
【详解】已知直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米，因为5＞4＞3，所以5为斜边，较长直角边为4厘米，另一条直角边为3厘米。
另一条直角边3厘米，就是圆锥的底面半径3厘米，直径为2×3＝6（厘米）。以较长直角边4厘米为轴旋转一周，那么圆锥的高为4厘米。
10．120
【分析】根据题意，需要多刷两个切开的截面。由图可得，截面为长方形，长为圆柱高，宽为圆柱底面直径。长方形面积＝长×宽，再×2，即是两个切开截面的面积。
【详解】6×10×2
＝60×2
＝120（dm2）
所以若把这根木料按底面直径切成两个半圆柱，需多刷120dm2。
11．113.04
【分析】把一根圆柱形木材截成3段，增加了4个圆柱的底面，所以它的表面积就增加了4个底面积，根据“圆柱的底面积＝πr2”，求出圆柱的一个底面积，进而求出增加的表面积，据此判断即可。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（面）
3.14×3×3×4
＝3.14×9×4
＝28.26×4
＝113.04（dm2）
表面积增加了113.04dm2。
12．1.57
【分析】将一根圆柱形木料截成3段，需要截2次，表面积会增加4个底面的面积。所以用314dm2除以4，即可求出圆柱形木料的底面积。将底面积除以圆周率，求出半径的平方，从而求出底面半径。若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积会增加两个切面的面积，每个切面都是长方形，长和宽分别是圆柱的底面直径和高。将400dm2除以2，求出底面直径乘高的积，再除以底面直径，求出圆柱形木料的高。最后，根据“圆柱体积＝底面积×高”求出这根木料原来的体积。根据“1m3＝1000dm3”进行单位换算。
【详解】314÷4＝78.5（dm2）
78.5÷3.14＝25（dm2）
25＝5×5，所以这个圆柱形木料的底面半径是5dm。
400÷2÷（5×2）
＝200÷10
＝20（dm）
78.5×20＝1570（dm3）
1570dm3＝1.57m3
所以，这根木料原来的体积是1.57m3。
13． 108 36
【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为3份，圆柱比圆锥的体积多（3－1）份，由题可知圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，用除法计算，可求出一份是多少立方厘米，即圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，即可求出圆柱的体积，据此解答。
【详解】72÷（3－1）
＝72÷2
＝36（立方厘米）
36×3＝108（立方厘米）
即圆柱的体积是108立方厘米，圆锥的体积是36立方厘米。
14．15
【分析】从题意可知：圆柱形容器和圆锥形容器的底面直径都是15cm，即圆柱和圆锥的底面积相等，水的体积不变。根据体积相等，底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍可知，圆柱形容器中的水的高度是5cm， 那么用5×3＝15cm，即可求出圆锥的高。
【详解】5×3＝15（cm）
圆锥的高是15cm。
15．×
【分析】先根据题意，利用公式V＝Sh，求出圆柱的体积。把它捏成等底的圆锥，圆锥的体积等于圆柱的体积。根据圆锥的体积公式V＝Sh反求出圆锥的高， h＝V÷÷S，代入数据计算即可。
【详解】圆柱体积：12×6＝72（立方厘米）
圆锥的高：
72÷÷12
＝72×3÷12
＝216÷12
＝18（厘米）
所以圆锥的高是18厘米。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积。关键在于理解圆柱橡皮泥捏成与它同底的圆锥，体积是不变的。
16．√
【分析】如果圆柱的侧面展开是一个正方形，那么圆柱的底面周长＝圆柱的高，再根据比的意义即可求出圆柱的底面周长与高的比是多少。
【详解】由分析可知：
圆柱的底面周长＝圆柱的高，所以这个圆柱底面周长与高的比是1∶1。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查圆柱的展开图的特点，要清楚的知道圆柱展开图的特点是解题的关键。
17．×
【分析】把一个圆柱体截成两个圆柱体之后，多了两个横截面的面积，一个横截面的面积等于底面积，所以表面积就比原来增加了2个底面积的大小；据此解答。
【详解】根据分析可知，把一个圆柱体截成两个圆柱体之后，表面积就比原来增加了2个底面积的大小。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查立体图形的切割，要抓住增加的面积是哪一部分。
18．×
【分析】可设长方形的长为a，宽为b，分别表示出以长方形的长和宽为底面周长和高围成两个圆柱形纸筒的侧面积和体积，再比较即可。
【详解】设长方形的长为a，宽为b
则以长方形的长为底面周长，宽为高的圆柱的侧面积为a×b＝ab
体积为：π（）2×b＝
以长方形的宽为底面周长，长为高的圆柱的侧面积为b×a＝ab
体积为：π（）2×a＝
ab＝ab，所以面积相等，≠，所以体积不相等；原说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查圆柱的侧面积及体积公式的灵活运用。
19．803.84cm3
【分析】由图可知，这个图形是由圆柱和圆锥构成的，且两者等底等高，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以先根据圆柱的体积公式：V圆柱＝πr2h（π取3.14）；再用圆柱体积÷3求出圆锥体积，最后把两部分体积相加即可解答。
【详解】半径：8÷2＝4（cm）
圆柱的体积：3.14×42×12
＝3.14×16×12
＝50.24×12
＝602.88（cm3）
圆锥的体积：602.88÷3＝200.96（cm3）
总体积：602.88＋200.96＝803.84（cm3）
20．113立方厘米
【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是4厘米的圆锥的体积，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×8×＋3.14×（6÷2）2×4×
＝3.14×32×8×＋3.14×32×4×
＝3.14×9×8×＋3.14×9×4×
＝226.08×＋113.04×
＝75.36＋37.68
≈113（立方厘米）
答：这个冰激凌的体积大约是113立方厘米。
21．0.8厘米
【分析】圆锥形铁块底面直径8厘米，因此半径为8÷2＝4厘米，高为15厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可计算出圆锥形铁块的体积（水面下降部分的水体积）。
水面下降部分的水形成一个圆柱体，其体积等于圆锥体积，圆柱形杯子底面直径20厘米，因此半径为20÷2＝10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷（πr2），把计算出的圆锥体积，和圆柱形杯子底面半径代入计算即可。
【详解】8÷2＝4（厘米）
×3.14×42×15
＝×3.14×16×15
＝251.2（立方厘米）
20÷2＝10（厘米）
251.2÷（3.14×102）
＝251.2÷（3.14×100）
＝251.2÷314
＝0.8（厘米）
答：杯子里的水面会下降0.8厘米。
22．12960立方厘米
【分析】要计算箱子的体积，需要先确定箱子的长、宽、高，由于箱子是按照圆柱形饮料的摆放方式来确定尺寸的，所以要通过观察饮料在箱子中的排列情况，这张图中未明确显示饮料具体排列数量，但从常规装箱思路出发，先数出每行饮料数量和行数来确定箱子底面的长和宽，箱子的高一般与饮料的高相等（在饮料装满箱子且无多余空间堆叠的情况下），用饮料排列确定箱子尺寸，假设从图中观察到饮料在箱子里面一行摆了6个（横向），摆了4行（纵向），因为饮料底面直径是6厘米，所以箱子的长等于一行饮料的直径总和，即长为厘米，箱子的宽等于饮料行数对应的直径总和，即宽为厘米，而箱子的高和饮料的高相同为15厘米，代入长方体的体积公式：V＝abh即可求出这个箱子的体积。
【详解】这个箱子的高为15厘米
这个箱子的长：（厘米）
这个箱子的宽：（厘米）
这个箱子的体积：（立方厘米）
答：照这个样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是12960立方厘米。
23．10.5厘米
【分析】已知圆柱形花瓶的底面直径是10厘米，里面的营养液高10厘米；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出营养液的体积；
将这些营养液全部倒入长15厘米、宽5厘米的长方体花瓶中，先根据长方形的面积公式S＝ab，求出长方体花瓶的底面积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出长方体花瓶中的营养液的高度。
【详解】3.14×（10÷2）2×10
＝3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝785（立方厘米）
15×5＝75（平方厘米）
785÷75≈10.5（厘米）
答：此时长方体花瓶中的营养液的高度大约是10.5厘米。
24．80次
【分析】牙膏可近似看作圆柱体，圆柱体积公式为V＝πr h（V是体积，r是半径，h是高，这里π取3.14）。原来出口处直径是0.4厘米，所以半径为0.4÷2＝0.2厘米；每次挤出长度1厘米，可用90次。以此求出原来牙膏体积。
新包装出口处直径为0.6厘米，半径为0.6÷2＝0.3厘米；每次挤出长度为0.5厘米。根据圆柱体积公式V＝πr h（V是体积，r是半径，h是高，这里π取3.14），计算出新包装每次挤出牙膏体积。
因为牙膏总体积不变，所以用原来牙膏体积除以新包装每次挤出牙膏体积即可解答。
【详解】0.4÷2＝0.2（厘米）
3.14×0.2 ×1×90
＝3.14×0.04×1×90
＝0.1256×1×90
＝11.304（立方厘米）
0.6÷2＝0.3（厘米）
3.14×0.3 ×0.5
＝3.14×0.09×0.5
＝0.2826×0.5
＝0.1413（立方厘米）
11.304÷0.1413＝80（次）
答：照这样的用法，这只牙膏他能用80次。
25．够；见详解
【分析】要判断1平方米的牛皮是否够用，需先计算工具箱所有表面的总面积，再与1平方米比较。观察工具箱可知，它由长方体和半圆柱两部分组成。计算时，长方体部分需算前、后、左、右四个侧面及底面的面积（顶面与半圆柱衔接，无需单独计算）；半圆柱部分需算侧面面积（圆柱侧面积的一半）和一个完整的底面圆面积。将两部分面积相加，得到总面积，再与1平方米（1平方米＝100平方分米）比较。
长方形的面积公式：S＝ab
圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch
圆的面积公式：S＝πr2＝π（d÷2）2
【详解】4×2×2＋4×2×2＋4×4
＝16＋16＋16
＝48（平方分米）
3.14×4×4÷2＋3.14×（4÷2）2
＝3.14×4×4÷2＋3.14×22
＝3.14×4×4÷2＋3.14×4
＝25.12＋12.56
＝37.68（平方分米）
48＋37.68＝85.68（平方分米）
1平方米＝100平方分米
100＞85.68
答：准备一张1平方米的牛皮，够。
26．25分
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出沙子的体积，沙子的体积÷每分钟漏掉的沙子体积＝漏完的时间，即最长上菜时间。
【详解】3.14×（10÷2）2×6÷3
＝3.14×52×6÷3
＝3.14×25×6÷3
＝157（立方厘米）
157÷6.28＝25（分）
答：这家餐厅上菜时间最长是25分。
27．（1）15.7千克
（2）34.372立方米
【分析】（1）铁门的面积就是圆的面积，根据圆的面积＝πr2，将数据代入计算，再用面积乘5就是铁门的重量；
（2）月亮拱门的体积就是圆柱的体积，根据圆柱的体积，将数据代入计算，再用原来的土石减去月亮门需要的土石就是实际需要的土石的体积。再计算体积的过程中，注意单位换算，将厘米转化为米除以100即可。
【详解】（1）2÷2＝1（米）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方米）
3.14×5＝15.7（千克）
答：这个铁门的重量是15.7千克。
（2）20厘米＝0.2米
35－3.14×12×0.2
＝35－3.14×0.2
＝35－0.628
＝34.372（立方米）
答：实际上用了34.372立方米土石。
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