第二单元认识三角形和四边形（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年四年级数学下册培优讲练测（北师大版）
文档属性
| 名称 | 第二单元认识三角形和四边形（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年四年级数学下册培优讲练测（北师大版） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 691.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-03 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二单元认识三角形和四边形（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、平面图形的特征是构成图形的所有的点都在同一平面内，而立体图形的特征是占有一定的空间。
2、由四条线段首尾顺次边接组成的封闭图形是四边形。
3、只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。
4、等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。
5、一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。
6、等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
7、一个三角形中最多有一个直角。
8、任意一个三角形的内角和都是180°。
9、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。
10、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。
11、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。
12、只有一组对边平行的四边形是梯形。
高频易错题
一、选择题
1．爷爷家门前的树被吹歪了。以下几种加固方式，你推荐（ ）给爷爷。
A． B． C． D．
2．一个三角形最大的内角是88°，这个三角形是（ ）。
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．一个等边三角形，同时又是（ ）。
①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④等腰三角形
A．① B．①④ C．② D．③④
4．在等腰三角形△ABC中，A，B两顶点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形（如图），已知顶点C也在图中的格点上，那么满足条件的点C位置有（ ）个。
A．9 B．7 C．6 D．5
5．三角形ABC是一个等腰三角形，其中∠B＝110°，∠C＝（ ）。
A．35° B．110° C．35°或110° D．需要知道∠A度数才能计算
6．下面每组小棒能围成一个等腰三角形的是（ ）（单位：厘米）。
A．4，3，4 B．3，3，7 C．3，4，5 D．5，10，5
7．笑笑家的太阳能热水器的支架断裂了（如图），需要更换一根钢条，钢条的长度可能是（ ）米。
A．0.3 B．0.4 C．1.2 D．3.6
二、填空题
8．要使下面这些图形更稳定，至少要在图中增加几条线段？
至少需要( )条。 至少需要( )条。 至少需要( )条。
9．按要求选一选，填一填。（填序号）
能围成三角形的3根小棒是（ ）； 能围成等腰三角形的3根小棒是（ ）； 能围成平行四边形的4根小棒是（ ）。
10．数一数，填一填。
上图中有( )个锐角三角形，( )个钝角三角形和( )个直角三角形。
11．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。
12．如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。
13．有两根小棒分别长2厘米和6厘米，如果要组成三角形，取整厘米数的第三根小棒的长度有( )种选择；如果要组成等腰三角形，那么有( )种选择，组成等腰三角形的周长是( )厘米。
14．如图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的( )性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是( )三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第( )个卡扣处。
三、判断题
15．一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( )
16．如下图，把长方形纸的一个角折起，∠1＝31°。( )
17．锐角三角形的内角和小于直角三角形的内角和。( )
18．等腰梯形同一条底上的两个角相等。( )
19．用三根小棒拼三角形，有两根小棒的长度分别是7厘米和12厘米，则第三根小棒的长度（取整厘米数）最长是20厘米。( )
四、计算题
20．如图中，大三角形被分成了两个小三角形，已知∠1＝36°，∠3＝63°，∠5＝105°，求∠2，∠4，∠6的度数。
五、作图题
21．在下面点子图中按要求画图。
六、解答题
22．王叔叔准备用铁丝网把一块等腰三角形菜地围起来，量得这块菜地的两条边长分别为5米和4米。请你算算至少要用多长的铁丝网。
23．端午节制作龙船手工，用长24厘米、宽12厘米的长方形卡纸制作背鳍。如图所示，淘气在纸片上剪下3个边长为8厘米的等边三角形求剩下卡纸的周长。
24．把40厘米长的铁丝围成一个平行四边形，已知其中一条边长8厘米，相邻的边长多少厘米？
25．如果一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是多少度？按角分，它是什么三角形？
26．下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。
27．小宇想给他的小狗做一个房子，房顶的框架要用木条做成三角形，其中一根木条长3分米，另一根长5分米，那么第三根木条可能长多少分米？你认为最有可能是哪种？为什么？（木条取整分米数）
28．乐乐想制作一个三角形框架，他找到两根木条，想把其中一根锯成两段。
A 木条7厘米 B 木条15厘米
（1）你认为乐乐应该锯断哪根木条？写出你的理由。
（2）锯成的两段木条应该分别长多少厘米（取整厘米数），才能和另一根木条围成一个三角形？（至少写出两个方案）
参考答案
1．B
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，而平行四边形容易变形。由题意得，需要逐个分析选项，然后看哪个选项的加固方式最牢固即可。
【详解】A．由图可知，木条和树组成了两个长方形。长方形是特殊的平行四边形，容易变形。不满足题意。
B．由图可知，木条和树组成了两个三角形。三角形具有稳定性，不容易变形。满足题意。
C．由图可知，木条围成了一个圆，这种方案的稳定性肯定不如围成三角形。不满足题意。
D．由图可知，木条和树组成了一个长方形。长方形是特殊的平行四边形，容易变形。不满足题意。
故答案为：B
2．A
【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此选择。
【详解】88°的角是锐角，一个三角形最大的内角是88°，那么它的三个角都只能是锐角，这个三角形是锐角三角形。
故答案为：A
3．B
【分析】等边三角形的三个角均为60°，属于锐角三角形；同时，等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。据此选择即可。
【详解】三个角均为60°，均为锐角，因此属于锐角三角形，①正确。
等边三角形三个角均为60°，无90°角，不是直角三角形，②错误。
等边三角形三个角均为60°，无大于90°的角，③错误。
三条边长度相等，满足等腰三角形“至少两条边相等”的定义，因此属于等腰三角形，④正确。
故答案为：B
4．A
【分析】利用正方形四条边都相等的特征，结合等腰三角形的定义，以AB作底和以AB作腰，分情况进行讨论，依次找出C点可能的位置。
【详解】①以AB为底边，符合条件的格点C共有5个；
②以AB、AC为腰，以BC为底边的等腰三角形，符合条件的格点C共有2个；
③以AB、BC为腰，以AC为底边的等腰三角形，符合条件的格点C共有2个；
5＋2＋2＝9（个）
因此满足条件的点C位置有9个。
故答案为：A
5．A
【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形中有一个角等于110°，则这个角一定是顶角（因为一个三角形中只能有一个角是钝角），根据等腰三角形的两底角相等可得，用180°减去顶角的度数，再除以2即可得出两底角度数。
【详解】假设∠C与∠B相等，都是110°。
110°＋110°＝220°
220°＞180°
所以∠C与∠B相等，不符合题意。
即∠A与∠C相等。
（180°－110°）÷2
＝70°÷2
＝35°
∠C是35°。
故答案为：A
6．A
【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
由题意得，先判断选项中的小棒能否围成三角形，再看围成的三角形是否是等腰三角形即可。
【详解】A．4＋3＝7（厘米），7厘米＞4厘米，即这三根小棒可以围成三角形。4厘米＝4厘米，所以围成的三角形是一个等腰三角形。满足题意。
B．3＋3＝6（厘米），6厘米＜7厘米，即这三根小棒无法围成三角形。不满足题意。
C．3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，即这三根小棒可以围成三角形。3＜4＜5，即三角形的三边都不相等，所以围成的三角形不是等腰三角形。不满足题意。
D．5＋5＝10（厘米），10厘米＝10厘米，即这三根小棒无法围成三角形。不满足题意。
故答案为：A
7．C
【分析】将太阳能热水器的支架看作一个三角形，可根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边（需要更换的钢条长度）的长度范围，观察选项，选择在这个范围内的选项即可。
【详解】钢条长度小于：1.6＋2＝3.6（米）
钢条长度大于：2－1.6＝0.4（米）
钢条长度在0.4米到3.6米之间，不包括0.4米和3.6米，观察选项，只有C选项1.2米是在这个范围内的，所以只有C选项符合。
故答案为：C
8． 2 3 5
【分析】由题目可知，根据三角形具有稳定性，图中是多边形图形，为了增加其稳定性，需要通过添加线段来形成三角形。这样，无论图形的其余部分如何变化，这些三角形都会保持其形状，从而增强整个图形的稳定性。据此即可解题。
【详解】由分析可知：
，至少需要2条；
，至少需要3条；
，至少需要5条。
9．①②③；③④⑤；①②③④（前两空答案不唯一）
【分析】三角形三边需满足 “任意两边之和大于第三边”，如：，，所以①②③能围成三角形；，，所以②③④能围成三角形；
等腰三角形需2边长度相等，同时满足三角形三边关系，如：，，所以③④⑤能围成等腰三角形；，，所以②③④能围成等腰三角形；
平行四边形需 “两组对边分别相等”，①和②都是2米，③和④都是3米，所以①②③④能围成平行四边形。
【详解】能围成三角形的3根小棒是①②③；（答案不唯一）
能围成等腰三角形的3根小棒是③④⑤；（答案不唯一）
能围成平行四边形的4根小棒是①②③④。
10． 1 5 2
【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此解答。
【详解】图中有1个锐角三角形，5个钝角三角形和2个直角三角形。
11． 70° 40° 55° 55° 锐角
【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。
【详解】根据分析可知：
当70°为底角时：
180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
此时三个角为：70°、70°、40°
当70°为顶角时：
（ 180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
此时三个角分别为：70°、55°、55°
一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。
12． 57 锐角
【分析】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
【详解】180°－66°－57°
＝114°－57°
＝57°
三个角都大于0°，小于90°。
所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。
13． 3 1 14
【分析】根据题意，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边。由此确定第三条边的取值范围，再确定有几种选择。
等腰三角形的两腰相等，由此确定可以是哪几种是等腰三角形。将等腰三角形的三条边长度相加，就是它的周长。
【详解】2＋6＝8（厘米），6－2＝4（厘米），所以4厘米＜第三条边的长度＜8厘米。第三条边取整厘米数，可以是5厘米、6厘米、7厘米。一共3种选择。
其中2厘米、6厘米、6厘米是等腰三角形。有1种选择是等腰三角形。
6＋6＋2
＝12＋2
＝14（厘米）
所以，组成等腰三角形的周长是14厘米。
14． 稳定 等腰 7
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。
【详解】由题意得，手机支架制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性。
5厘米＝5厘米，所以图②中支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形。
第三条边＜两边之和，5＋3＝8（厘米），那么第三条边的长度小于8厘米。每两个卡扣的间隔为1厘米，所以手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。
图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。
15．×
【详解】已知两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形，且平行四边形是中心对称图形，其对称点是两条对角线的交点，如果过这个交点，任意画一条线段与一组对边相交（交点不在顶点上），则两边分成的图形一定是相同的梯形（如图）。
【点睛】根据分析可知：
一个平行四边形一定能分成2个相同的梯形。原题说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】折叠前后的两个图形关于折线轴对称；根据三角形的内角和是180°可知，直角三角形的两个锐角相加等于90°。
【详解】由分析可知，图中三角形是直角三角形，已知其中一个锐角是59°，求∠1，可得：
∠1＝90°－59°
＝31°
所以原题干说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】根据三角形的性质，任意三角形的内角和都是180°，所以不论是锐角三角形还是直角三角形，它们的内角和都相等，据此判断。
【详解】根据分析可得：
锐角三角形与直角三角形内角和都是180°，没有谁大谁小的区别，所以原题说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】根据等腰梯形的定义，等腰梯形是两腰相等的梯形。在等腰梯形中，同一底边（上底或下底）上的两个底角（即与底边相邻的两个角）相等。题干中“同一条底上的两个角”即指底角，因此该描述符合等腰梯形的性质，是正确的。
【详解】根据分析可知：
等腰梯形同一条底上的两个角相等。原题说法正确。
故答案为：√
19．×
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【详解】12＋7＝19（厘米）
19－1＝18（厘米）
12－7＝5（厘米）
5＋1＝6（厘米）
因此第三根小棒的长度最长是18厘米，最短是6厘米，所以原题说法错误。
故答案为：×
20．∠2＝42°；∠4＝75°；∠6＝39°
【分析】根据题意，大三角形被分成了两个小三角形，已知∠1＝36°，∠3＝63°，∠5＝105°，平角等于180°，用180°减去105°，求出∠4的度数，然后再根据三角形的内角和是180°，∠2的度数是180°减去∠4的度数，再减去63°，∠6的度数用180°减去36°，再减去105°，列式计算即可。
【详解】根据分析可知：
∠4＝180°－105°＝75°
∠2＝180°－75°－63°＝42°
∠6＝180°－36°－105°＝39°
即∠2＝42°，∠4＝75°，∠6＝39°。
21．见详解
【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。平行四边形是两组对边平行且相等的四边形。梯形是只有一组对边平行的四边形。等腰直角三角形的两条腰相等，有一个直角。据此画图即可。
【详解】据分析作图如下：
（画法不唯一）
22．13米
【分析】本题需要确定等腰三角形的底边和腰长，计算两种可能情况的周长，选择较小的周长作为答案。
【详解】底边长为5米时：（米）
底边长为4米时：（米）
答：至少要用13米长的铁丝网。
23．96厘米
【分析】根据图示，淘气在纸片上剪下3个边长为8厘米的等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，纸片上三角形6条边的长度为8×6＝48厘米，围成一个平面几何图形的所有边长的总和，叫做这个图形的周长，用三角形6条边的长度和加上长方形2条宽的长度和1条长的长度，即可求出剩下卡纸的周长。
【详解】8×6＋12×2＋24
＝48＋24＋24
＝72＋24
＝96（厘米）
答：剩下卡纸的周长是96厘米。
24．12厘米
【分析】平行四边形的对边相等，则平行四边形的周长等于相邻两边长之和乘2；已知围成平行四边形的铁丝长40厘米，那么用40除以2，即可求出相邻两边长之和；又已知其中一条边长8厘米，则用求出的相邻两边长之和减去8，即求出相邻的边长多少厘米。
【详解】40÷2－8
＝20－8
＝12（厘米）
答：相邻的边长12厘米。
25．100°；钝角三角形
【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和是180°，用180°减去两个40°就是顶角的度数。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。
【详解】180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
100°是钝角。
答：它的顶角是100°，按角分，它是钝角三角形。
26．直角三角形；
（180°－120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
120°－30°＝90°
【分析】因为图形是正六边形，它的每条边的长度相等。所以图中左下角三角形是等腰三角形，故该三角形两个锐角的度数相等。因为正六边形的每个内角是120°，三角形三个内角的和是180°。所以，两个锐角的度数分别是（180°－120°）÷2＝30°。已知正六边形的每个内角都是120°，用120°减去左下角锐角的度数30°求出涂色三角形最下面的角的度数，最后再判断三角形的形状。
【详解】（180°－120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
120°－30°＝90°
答：涂色三角形按角分是直角三角形；因为涂色三角形中有一个角是90°（直角），所以涂色三角形是直角三角形。
27．第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。
【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。
【详解】（分米）
（分米）
2分米＜第三根木条＜8分米
答：第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。
28．（1）应该锯断B木条，因为三角形的两边之和要大于第三条边。
（2）锯成的两段木条应该分别长6厘米和9厘米或7厘米和8厘米。
【分析】（1）因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，乐乐应该锯断B木条。理由是：如果锯断 7 厘米的木条，那么两段长度之和只有 7 厘米，7 厘米无法再与 15 厘米的另一根木条组成一个三角形（因为两段相加不可能大于 15）。
（2）把B木条锯成两段，可以是6厘米和9厘米，根据三角形的两边之和大于第三条边，6厘米、9厘米和7厘米围成三角形，也可以是7厘米和8厘米，由此解答即可。
【详解】根据分析可知：
（1）乐乐应该锯断B木条，B木条可以和A木条围成三角形。因为三角形的两边之和要大于第三条边。
（2）方案一：B木条锯成长是6厘米和9厘米的两段；6＋9＞7，9－7＜6；6厘米和9厘米和A木条组成三角形。
方案二：B木条锯成长是7厘米和8厘米的两段；7＋8＞7，8－7＜7；7厘米和8厘米和A木条组成三角形。
（答案不唯一）
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第二单元认识三角形和四边形（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、平面图形的特征是构成图形的所有的点都在同一平面内，而立体图形的特征是占有一定的空间。
2、由四条线段首尾顺次边接组成的封闭图形是四边形。
3、只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。
4、等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。
5、一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。
6、等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。
7、一个三角形中最多有一个直角。
8、任意一个三角形的内角和都是180°。
9、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。
10、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。
11、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。
12、只有一组对边平行的四边形是梯形。
高频易错题
一、选择题
1．爷爷家门前的树被吹歪了。以下几种加固方式，你推荐（ ）给爷爷。
A． B． C． D．
2．一个三角形最大的内角是88°，这个三角形是（ ）。
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．一个等边三角形，同时又是（ ）。
①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④等腰三角形
A．① B．①④ C．② D．③④
4．在等腰三角形△ABC中，A，B两顶点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形（如图），已知顶点C也在图中的格点上，那么满足条件的点C位置有（ ）个。
A．9 B．7 C．6 D．5
5．三角形ABC是一个等腰三角形，其中∠B＝110°，∠C＝（ ）。
A．35° B．110° C．35°或110° D．需要知道∠A度数才能计算
6．下面每组小棒能围成一个等腰三角形的是（ ）（单位：厘米）。
A．4，3，4 B．3，3，7 C．3，4，5 D．5，10，5
7．笑笑家的太阳能热水器的支架断裂了（如图），需要更换一根钢条，钢条的长度可能是（ ）米。
A．0.3 B．0.4 C．1.2 D．3.6
二、填空题
8．要使下面这些图形更稳定，至少要在图中增加几条线段？
至少需要( )条。 至少需要( )条。 至少需要( )条。
9．按要求选一选，填一填。（填序号）
能围成三角形的3根小棒是（ ）； 能围成等腰三角形的3根小棒是（ ）； 能围成平行四边形的4根小棒是（ ）。
10．数一数，填一填。
上图中有( )个锐角三角形，( )个钝角三角形和( )个直角三角形。
11．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。
12．如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。
13．有两根小棒分别长2厘米和6厘米，如果要组成三角形，取整厘米数的第三根小棒的长度有( )种选择；如果要组成等腰三角形，那么有( )种选择，组成等腰三角形的周长是( )厘米。
14．如图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的( )性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是( )三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第( )个卡扣处。
三、判断题
15．一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( )
16．如下图，把长方形纸的一个角折起，∠1＝31°。( )
17．锐角三角形的内角和小于直角三角形的内角和。( )
18．等腰梯形同一条底上的两个角相等。( )
19．用三根小棒拼三角形，有两根小棒的长度分别是7厘米和12厘米，则第三根小棒的长度（取整厘米数）最长是20厘米。( )
四、计算题
20．如图中，大三角形被分成了两个小三角形，已知∠1＝36°，∠3＝63°，∠5＝105°，求∠2，∠4，∠6的度数。
五、作图题
21．在下面点子图中按要求画图。
六、解答题
22．王叔叔准备用铁丝网把一块等腰三角形菜地围起来，量得这块菜地的两条边长分别为5米和4米。请你算算至少要用多长的铁丝网。
23．端午节制作龙船手工，用长24厘米、宽12厘米的长方形卡纸制作背鳍。如图所示，淘气在纸片上剪下3个边长为8厘米的等边三角形求剩下卡纸的周长。
24．把40厘米长的铁丝围成一个平行四边形，已知其中一条边长8厘米，相邻的边长多少厘米？
25．如果一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是多少度？按角分，它是什么三角形？
26．下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。
27．小宇想给他的小狗做一个房子，房顶的框架要用木条做成三角形，其中一根木条长3分米，另一根长5分米，那么第三根木条可能长多少分米？你认为最有可能是哪种？为什么？（木条取整分米数）
28．乐乐想制作一个三角形框架，他找到两根木条，想把其中一根锯成两段。
A 木条7厘米 B 木条15厘米
（1）你认为乐乐应该锯断哪根木条？写出你的理由。
（2）锯成的两段木条应该分别长多少厘米（取整厘米数），才能和另一根木条围成一个三角形？（至少写出两个方案）
参考答案
1．B
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，而平行四边形容易变形。由题意得，需要逐个分析选项，然后看哪个选项的加固方式最牢固即可。
【详解】A．由图可知，木条和树组成了两个长方形。长方形是特殊的平行四边形，容易变形。不满足题意。
B．由图可知，木条和树组成了两个三角形。三角形具有稳定性，不容易变形。满足题意。
C．由图可知，木条围成了一个圆，这种方案的稳定性肯定不如围成三角形。不满足题意。
D．由图可知，木条和树组成了一个长方形。长方形是特殊的平行四边形，容易变形。不满足题意。
故答案为：B
2．A
【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此选择。
【详解】88°的角是锐角，一个三角形最大的内角是88°，那么它的三个角都只能是锐角，这个三角形是锐角三角形。
故答案为：A
3．B
【分析】等边三角形的三个角均为60°，属于锐角三角形；同时，等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。据此选择即可。
【详解】三个角均为60°，均为锐角，因此属于锐角三角形，①正确。
等边三角形三个角均为60°，无90°角，不是直角三角形，②错误。
等边三角形三个角均为60°，无大于90°的角，③错误。
三条边长度相等，满足等腰三角形“至少两条边相等”的定义，因此属于等腰三角形，④正确。
故答案为：B
4．A
【分析】利用正方形四条边都相等的特征，结合等腰三角形的定义，以AB作底和以AB作腰，分情况进行讨论，依次找出C点可能的位置。
【详解】①以AB为底边，符合条件的格点C共有5个；
②以AB、AC为腰，以BC为底边的等腰三角形，符合条件的格点C共有2个；
③以AB、BC为腰，以AC为底边的等腰三角形，符合条件的格点C共有2个；
5＋2＋2＝9（个）
因此满足条件的点C位置有9个。
故答案为：A
5．A
【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形中有一个角等于110°，则这个角一定是顶角（因为一个三角形中只能有一个角是钝角），根据等腰三角形的两底角相等可得，用180°减去顶角的度数，再除以2即可得出两底角度数。
【详解】假设∠C与∠B相等，都是110°。
110°＋110°＝220°
220°＞180°
所以∠C与∠B相等，不符合题意。
即∠A与∠C相等。
（180°－110°）÷2
＝70°÷2
＝35°
∠C是35°。
故答案为：A
6．A
【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
由题意得，先判断选项中的小棒能否围成三角形，再看围成的三角形是否是等腰三角形即可。
【详解】A．4＋3＝7（厘米），7厘米＞4厘米，即这三根小棒可以围成三角形。4厘米＝4厘米，所以围成的三角形是一个等腰三角形。满足题意。
B．3＋3＝6（厘米），6厘米＜7厘米，即这三根小棒无法围成三角形。不满足题意。
C．3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，即这三根小棒可以围成三角形。3＜4＜5，即三角形的三边都不相等，所以围成的三角形不是等腰三角形。不满足题意。
D．5＋5＝10（厘米），10厘米＝10厘米，即这三根小棒无法围成三角形。不满足题意。
故答案为：A
7．C
【分析】将太阳能热水器的支架看作一个三角形，可根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边（需要更换的钢条长度）的长度范围，观察选项，选择在这个范围内的选项即可。
【详解】钢条长度小于：1.6＋2＝3.6（米）
钢条长度大于：2－1.6＝0.4（米）
钢条长度在0.4米到3.6米之间，不包括0.4米和3.6米，观察选项，只有C选项1.2米是在这个范围内的，所以只有C选项符合。
故答案为：C
8． 2 3 5
【分析】由题目可知，根据三角形具有稳定性，图中是多边形图形，为了增加其稳定性，需要通过添加线段来形成三角形。这样，无论图形的其余部分如何变化，这些三角形都会保持其形状，从而增强整个图形的稳定性。据此即可解题。
【详解】由分析可知：
，至少需要2条；
，至少需要3条；
，至少需要5条。
9．①②③；③④⑤；①②③④（前两空答案不唯一）
【分析】三角形三边需满足 “任意两边之和大于第三边”，如：，，所以①②③能围成三角形；，，所以②③④能围成三角形；
等腰三角形需2边长度相等，同时满足三角形三边关系，如：，，所以③④⑤能围成等腰三角形；，，所以②③④能围成等腰三角形；
平行四边形需 “两组对边分别相等”，①和②都是2米，③和④都是3米，所以①②③④能围成平行四边形。
【详解】能围成三角形的3根小棒是①②③；（答案不唯一）
能围成等腰三角形的3根小棒是③④⑤；（答案不唯一）
能围成平行四边形的4根小棒是①②③④。
10． 1 5 2
【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此解答。
【详解】图中有1个锐角三角形，5个钝角三角形和2个直角三角形。
11． 70° 40° 55° 55° 锐角
【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。
【详解】根据分析可知：
当70°为底角时：
180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
此时三个角为：70°、70°、40°
当70°为顶角时：
（ 180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
此时三个角分别为：70°、55°、55°
一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。
12． 57 锐角
【分析】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
【详解】180°－66°－57°
＝114°－57°
＝57°
三个角都大于0°，小于90°。
所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。
13． 3 1 14
【分析】根据题意，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边。由此确定第三条边的取值范围，再确定有几种选择。
等腰三角形的两腰相等，由此确定可以是哪几种是等腰三角形。将等腰三角形的三条边长度相加，就是它的周长。
【详解】2＋6＝8（厘米），6－2＝4（厘米），所以4厘米＜第三条边的长度＜8厘米。第三条边取整厘米数，可以是5厘米、6厘米、7厘米。一共3种选择。
其中2厘米、6厘米、6厘米是等腰三角形。有1种选择是等腰三角形。
6＋6＋2
＝12＋2
＝14（厘米）
所以，组成等腰三角形的周长是14厘米。
14． 稳定 等腰 7
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。
【详解】由题意得，手机支架制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性。
5厘米＝5厘米，所以图②中支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形。
第三条边＜两边之和，5＋3＝8（厘米），那么第三条边的长度小于8厘米。每两个卡扣的间隔为1厘米，所以手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。
图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。
15．×
【详解】已知两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形，且平行四边形是中心对称图形，其对称点是两条对角线的交点，如果过这个交点，任意画一条线段与一组对边相交（交点不在顶点上），则两边分成的图形一定是相同的梯形（如图）。
【点睛】根据分析可知：
一个平行四边形一定能分成2个相同的梯形。原题说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】折叠前后的两个图形关于折线轴对称；根据三角形的内角和是180°可知，直角三角形的两个锐角相加等于90°。
【详解】由分析可知，图中三角形是直角三角形，已知其中一个锐角是59°，求∠1，可得：
∠1＝90°－59°
＝31°
所以原题干说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】根据三角形的性质，任意三角形的内角和都是180°，所以不论是锐角三角形还是直角三角形，它们的内角和都相等，据此判断。
【详解】根据分析可得：
锐角三角形与直角三角形内角和都是180°，没有谁大谁小的区别，所以原题说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】根据等腰梯形的定义，等腰梯形是两腰相等的梯形。在等腰梯形中，同一底边（上底或下底）上的两个底角（即与底边相邻的两个角）相等。题干中“同一条底上的两个角”即指底角，因此该描述符合等腰梯形的性质，是正确的。
【详解】根据分析可知：
等腰梯形同一条底上的两个角相等。原题说法正确。
故答案为：√
19．×
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【详解】12＋7＝19（厘米）
19－1＝18（厘米）
12－7＝5（厘米）
5＋1＝6（厘米）
因此第三根小棒的长度最长是18厘米，最短是6厘米，所以原题说法错误。
故答案为：×
20．∠2＝42°；∠4＝75°；∠6＝39°
【分析】根据题意，大三角形被分成了两个小三角形，已知∠1＝36°，∠3＝63°，∠5＝105°，平角等于180°，用180°减去105°，求出∠4的度数，然后再根据三角形的内角和是180°，∠2的度数是180°减去∠4的度数，再减去63°，∠6的度数用180°减去36°，再减去105°，列式计算即可。
【详解】根据分析可知：
∠4＝180°－105°＝75°
∠2＝180°－75°－63°＝42°
∠6＝180°－36°－105°＝39°
即∠2＝42°，∠4＝75°，∠6＝39°。
21．见详解
【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。平行四边形是两组对边平行且相等的四边形。梯形是只有一组对边平行的四边形。等腰直角三角形的两条腰相等，有一个直角。据此画图即可。
【详解】据分析作图如下：
（画法不唯一）
22．13米
【分析】本题需要确定等腰三角形的底边和腰长，计算两种可能情况的周长，选择较小的周长作为答案。
【详解】底边长为5米时：（米）
底边长为4米时：（米）
答：至少要用13米长的铁丝网。
23．96厘米
【分析】根据图示，淘气在纸片上剪下3个边长为8厘米的等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，纸片上三角形6条边的长度为8×6＝48厘米，围成一个平面几何图形的所有边长的总和，叫做这个图形的周长，用三角形6条边的长度和加上长方形2条宽的长度和1条长的长度，即可求出剩下卡纸的周长。
【详解】8×6＋12×2＋24
＝48＋24＋24
＝72＋24
＝96（厘米）
答：剩下卡纸的周长是96厘米。
24．12厘米
【分析】平行四边形的对边相等，则平行四边形的周长等于相邻两边长之和乘2；已知围成平行四边形的铁丝长40厘米，那么用40除以2，即可求出相邻两边长之和；又已知其中一条边长8厘米，则用求出的相邻两边长之和减去8，即求出相邻的边长多少厘米。
【详解】40÷2－8
＝20－8
＝12（厘米）
答：相邻的边长12厘米。
25．100°；钝角三角形
【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和是180°，用180°减去两个40°就是顶角的度数。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。
【详解】180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
100°是钝角。
答：它的顶角是100°，按角分，它是钝角三角形。
26．直角三角形；
（180°－120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
120°－30°＝90°
【分析】因为图形是正六边形，它的每条边的长度相等。所以图中左下角三角形是等腰三角形，故该三角形两个锐角的度数相等。因为正六边形的每个内角是120°，三角形三个内角的和是180°。所以，两个锐角的度数分别是（180°－120°）÷2＝30°。已知正六边形的每个内角都是120°，用120°减去左下角锐角的度数30°求出涂色三角形最下面的角的度数，最后再判断三角形的形状。
【详解】（180°－120°）÷2
＝60°÷2
＝30°
120°－30°＝90°
答：涂色三角形按角分是直角三角形；因为涂色三角形中有一个角是90°（直角），所以涂色三角形是直角三角形。
27．第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。
【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。
【详解】（分米）
（分米）
2分米＜第三根木条＜8分米
答：第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。
28．（1）应该锯断B木条，因为三角形的两边之和要大于第三条边。
（2）锯成的两段木条应该分别长6厘米和9厘米或7厘米和8厘米。
【分析】（1）因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，乐乐应该锯断B木条。理由是：如果锯断 7 厘米的木条，那么两段长度之和只有 7 厘米，7 厘米无法再与 15 厘米的另一根木条组成一个三角形（因为两段相加不可能大于 15）。
（2）把B木条锯成两段，可以是6厘米和9厘米，根据三角形的两边之和大于第三条边，6厘米、9厘米和7厘米围成三角形，也可以是7厘米和8厘米，由此解答即可。
【详解】根据分析可知：
（1）乐乐应该锯断B木条，B木条可以和A木条围成三角形。因为三角形的两边之和要大于第三条边。
（2）方案一：B木条锯成长是6厘米和9厘米的两段；6＋9＞7，9－7＜6；6厘米和9厘米和A木条组成三角形。
方案二：B木条锯成长是7厘米和8厘米的两段；7＋8＞7，8－7＜7；7厘米和8厘米和A木条组成三角形。
（答案不唯一）
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